Программа дисциплины (силлабус) 9 3 Краткий курс лекций 30 1
 Скачать 4.39 Mb.
|
|
Тема. Дискретизация аналоговых сигналов Цель занятия: Изучить методы дискретизации непрерывных сигналов. Изучаемые вопросы разложение непрерывных сигналов в ряд Котельникова; определение частоты дискретизации; восстановление сигнала по его дискретным отсчетам. Рекомендуемая литература 1 Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. Учебник для ВУЗов. - М.: Высшая школа. 2000. 2 Панфилов Н.П., Дырда В.Е. Теория электрической связи- М.: Радио и связь.1990. Журавлева О.Б., Крук Б.И. Дискретные сигналы и цепи. – Новосибирск. 1999. Краткое содержание Если требуется передать непрерывный сигнал X(t) с ограниченным спектром, по каналу связи, то не обязательно передавать все его значения, достаточно передать мгновенные значения (отсчеты), через интервалы времени t. Так как сигнал X(t) полностью определен этими отсчетами, то по ним он может быть и полностью восстановлен [1, 2, 3]. Все реальные непрерывные сигналы являются плавными функциями времени, поэтому их можно представить последовательностью значений, взятых с определенным шагом по времени. Еще в 1933 году В.А. Котельников доказал теорему, которая носит его имя и является основополагающей в технике цифровой связи [1,2, 3]. Теорема известна в разных вариантах, в общем, сводится к одному: Если непрерывный сигнал X(t) имеет спектр с граничной частотой Fгр, то он может быть полностью восстановлен по его дискретным отсчетам, взятым через интервалы времени t или T = 1/(2Fгр ), т.е. с частотой дискретизации fД = 2Fгр. Следует заметить, что в данном случае указана минимальная частота дискретизации. Тогда для тонального сигнала частота дискретизации составит: fД = 2∙3400= 6800 Гц Так как граничная или максимальная частота тонального сигнала Fгр =3,4 кГц Международным комитетом по связи и телекоммуникациям принята Fгр = 4 кГц, тогда частота дискретизации fД = 8000 Гц , указанная частота принята как стандарт во всех цифровых системах данного типа. В предыдущем разделе упоминалось о принципе неопределенности сигналов и их спектров. Согласно этому принципу, если дискретизации подвергается спектр, то это приводит к периодическому повторению сигнала. В случае редкой дискретизации происходит наложение сигналов из разных периодов, при этом форма периодической последовательности становится отличной от формы одиночного сигнала [2, 3]. Когда дискретизации подвергается сигнал, то периодически будет повторяться спектр сигнала. При неправильном выборе частоты дискретизации произойдет наложение спектров друг на друга из разных периодов, что повлечет искажение спектра сигнала. На рисунках приведены спектры сигналов для 3-х случаев частоты дискретизации [3]. Рисунок 4.2.1 - Спектр сигнала, если . Рисунок 4.2.2 - Спектр сигнала, если fД < 2 fгр . Рисунок 4.2.3 - Спектр сигнала, если fД 2 fгр . Как видно из рисунков, в первом случае работа цифровых систем возможна при стабильных параметрах аппаратуры и, в первую очередь, источников питания, что на практике обеспечить сложно. В реальных системах применяется третий вариант с частотой дискретизации, увеличенной на 10-15 процентов, по отношению к расчетной частоте fd. Задание на расчет Представить в виде ряда Котельникова тональный непрерывный сигнал, в интервале времени от 1 до 1,5 мс. Форма сигнала произвольная, максимальные значения амплитуды принять по последней цифре шифра, если нуль – принять максимальное значение амплитуды самостоятельно Пример построения тонального сигнала приведен на рис. 4. Рисунок 4.2.4 - Тональный сигнал при Uм = 5В. Для построения ряда Котельникова необходимо выполнить следующие операции: 1. Определить шаг дискретизации t =1/2 Fгр, сравнить расчетные данные для Fгр и FСТ (максимальная и стандартная частоты) 2. Начиная с нуля, через время t, отметить на графике точки и взять отсчеты в эти моменты. Таблица 1 - Значения отсчетов
3. Определить функции отсчетов: при k= 0,1,2…n. 4. Построить ряд Котельникова: 5. Проанализировать сходимость ряда, сделать выводы и заключение. 4.3 Дискретные сигналы и цепи Практические занятия 6-7 (объем – 2часа) Тема. Дискретное преобразование Фурье Цель занятия: Освоить методику расчета ДПФ дискретных периодических сигналов. Изучаемые вопросы спектры непрерывных и дискретных сигналов; расчет спектра и моделирование на ЭВМ; расчет дискретного преобразования Фурье (ДПФ). Рекомендуемая литература Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. Учебник для ВУЗов. - М.: Высшая школа. 2000. Панфилов Н.П., Дырда В.Е. Теория электрической связи.- М: Радио и связь.1990. Журавлева О.Б., Крук Б.И. Дискретные сигналы и цепи. – Новосибирск. 1999. Краткое содержание В предыдущих разделах рассмотрены основные положения, связанные с сигналами и их спектрами [1,2,3]. Было выяснено, что спектр периодического сигнала находится по формуле: Сигнал восстанавливается по его дискретному спектру: В приведенных формулах один из компонентов уже представлен в дискретном виде. Заменим оставшуюся непрерывную переменную (t) дискретными значениями (время t на nT). Если периодический сигнал x(t) представлен в дискретной форме, x(n), то дискретный спектр периодически повторяется. Значит, суммирование надо вести на периоде, где находится N отсчетов (m изменяется от нуля до m = N-1). Для дискретного сигнала x(n), на периоде Тс, так же укладывается N отсчетов (n=0 до n=N-1). Переменная dt заменяется на T (T/Tc =1/N; Тс = N∙T). Частота дискретизации fД = NF , тогда T = 1/NF, а F = 1/NT (FT = 1/N) [3]. В результате, получим выражения прямого и обратного дискретного преобразования Фурье (ДПФ): Дискретное преобразование Фурье используется при расчетах на ЭВМ [2, 3]. Задание С помощью интерактивной обучающей программы BOOK 3.1 (3.0), которая включает в себя “Блок интерактивного обучения”, “Блок динамических демонстраций” и “Блок самоанализа”, изучить раздел “Спектры периодических сигналов” (информационные блоки И26 … И36) и выполнить задания (тренажерные блоки Т44 … Т48) приведенные ниже: синтезировать периодические сигналы различной формы (34 вида); провести анализ спектров периодических сигналов (типовой и произвольной формы); выяснить влияние параметров сигнала на его спектр; провести анализ прохождения периодических сигналов через цепь. Следующее задание заключается в приобретении навыков по расчету ДПФ (расчет выполнить по трем цифрам зачетной книжки), согласно примеру (можно использовать ЭВМ). Рассчитать ДПФ дискретного периодического сигнала, заданного отсчетами x(n) = {2; 1; 0}. Используя приведенные выше формулы, произведем расчет спектра. Для построения графиков преобразуем значения X[1] и X[2]: Рисунок 4.3.1 - а) график дискретного сигнала; б) дискретный спектр амплитуд. Произведем обратное действие, т.е. по известному дискретному спектру рассчитаем значение дискретного сигнала x(n). Графики спектра X(m) и сигнала x(n) приведены на рисунке 4.3.2 Рисунок 4.3.2 - а) дискретный спектр амплитуд; б) график дискретного сигнала. Согласно индивидуальному заданию выполнить прямое и обратное дискретные преобразования Фурье. Практическое занятие 8 (объем – 1 час) Тема. Расчет дискретной выходной последовательности Цель занятия: Освоить методику расчета выходной дискретной последовательности. Изучаемые вопросы интегральная свертка; дискретная свертка; расчет Uвых (nT). Рекомендуемая литература 1 Журавлева О.Б., Крук Б.И. Дискретные сигналы и цепи. – Новосибирск. 1999 г. 2 Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. Руководство к решению задач. – М.: Высшая школа.1987 г. 3 Гольденберг А.М. и др. Цифровая обработка сигналов. Учебное пособие для ВУЗов. – М.: Радио и связь. 1990 г. Краткое содержание Известно, что прием, передачу, обработку непрерывных сигналов можно осуществлять как в аналоговой, так и в дискретной форме [1,2,3]. Если на вход какой-либо цепи, например RC-цепи, подать входной сигнал Uвх (t) , то при известной импульсной характеристике цепи можно найти выходной сигнал Uвых (t) [1]. Рисунок 4.3.3 - Схема RC- цепи. Импульсная характеристика RC-цепи описывается формулой приведенной ниже и показана на рис. 4.3.4 . Рисунок 4.3.4 - Импульсная характеристика RC-цепи в аналоговой форме. При известном входном сигнале, можно определить и выходной сигнал, воспользовавшись интегралом свертки [1]: Рисунок 4.3.5 - Входной сигнал Uвх (t) в аналоговой области. Перейдем от непрерывных сигналов к дискретным сигналам [1]. Заменим входной сигнал Uвх (t) и импульсную характеристику h(t) их дискретными отсчетами. Тогда выходное напряжение: где время t заменено на nT, а время заменено на mT. Дискретная импульсная характеристика: Используя вышеприведенные выражения можно найти выходной сигнал с учетом реакции цепи. Задание на расчет Рассчитать отсчеты выходного напряжения Uвых (nT) для цепи и графиков (рис. 4.3.3 4.3.5). Привести графические зависимости сигнала и импульсной характеристики в дискретной форме, отсчеты брать в точках от нуля до 12 Т. Уровень напряжения входного сигнала принять по двум последним цифрам шифра. Если уровень напряжения велик, его можно уменьшить на порядок и округлить до ближайшего целого числа. Для расчета воспользоваться формулами, приведенными в дискретной форме Uвых (nT) и h[(n-m)T]. Воспользовавшись графиками Uвых (nT) и h(nT), т.е. в дискретной форме, запишем формулы для определения Uвых (nT): Аналогично рассчитываются и другие значения выходного напряжения. 5. По полученным значениям построить Uвых (nT) и Uвых (t) т.е. в дискретной и аналоговой областях. Практическое занятие 9 (объем – 1 час) Тема. Z- преобразование дискретных сигналов. Расчет дискретной цепи Цель занятия: Освоить методику расчета и изучить свойства Z-преобразования. Изучаемые вопросы - расчет дискретной цепи; - свойства Z - преобразования; - расчет Z - преобразования; - расчет передаточной функции дискретной цепи. Рекомендуемая литература 1 Журавлева О.Б., Крук Б.И. Дискретные сигналы и цепи. – Новосибирск. 1999 г. 2 Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. Руководство к решению задач. – М.: Высшая школа.1987 г. 3 Гольденберг А.М. Цифровая обработка сигналов. Учебное пособие для ВУЗов. – М.: Радио и связь. 1990 г. Краткое содержание В дискретной цепи могут осуществляться следующие операции над сигналом [1, 2, 3]: - сдвиг на целое число интервалов; - умножение на какой-либо коэффициент; - сложение сигналов. Данному набору операций базиса соответствует набор элементов цепи: - элемент задержки (память), Т; - умножитель (на коэффициент αm); - сумматор. Рассмотрим пример расчета цепи по схеме приведенной ниже: Рисунок 4.3.6 - Схема дискретной цепи. Разностное уравнение цепи будет иметь вид: У(n) = 3х(n)-2x(n-1) +0,5x(n-2). Импульсная характеристика h(n) рассчитывается при условии, что на вход цепи подается дискретная δ - функция [x(n) = δ(n) = 1; 0; 0; 0]: h(0) = 3 δ(0)-2 δ(-1)+0,5 δ(-2)=3∙1-2∙0+0,5∙0=3 h(1) = 3 δ(1)-2 δ(0)+0,5 δ(-1)=3∙0-2∙1+0,5∙0=-2 h(2) = 3 δ(2)-2 δ(1)+0,5 δ(0)=3∙0-2∙0+0,5∙1= 0,5 h(3) и далее равны нулю. Как видно, импульсная характеристика h(n) = {3; -2; 0,5}, т. е. это не что иное, как коэффициенты усиления схемы. Передаточная функция определится через Z - преобразование импульсной характеристики: Дискретный сигнал и его спектр можно представить в виде обратного и прямого преобразования Фурье [1, 2, 3]: Для перехода к Z-изображению необходимо произвести замену [1] , тогда формула прямого преобразования Фурье примет вид: Чаще всего используется одностороннее Z- преобразование: Как видно, Z - преобразование похоже на преобразование Лапласа и между ними существует связь [1, 3]: (т.к. ), тогда и . Приведенные выражения устанавливают связь между точками P-плоскости и Z-плоскости: p= α + jω и z = x + jy. Для вычисления Z - изображения существуют теоремы одностороннего Z - преобразования [1, 3]: - теорема линейности (суперпозиции); сумме дискретных сигналов x(n) и y(n) соответствует Z-изображение X(z) и Y(z), , (a и b- любые числа); - теорема опережающего сдвига; если дискретному сигналу x(n) соответствует Z-преобразование X(z), то сигналу, сдвинутому на один интервал дискретизации , соответствует Z- преобразование ; - теорема задержки: x(n-N)∙u(n-N)≡z-N∙x(z), при N ≥ 0, где u(n)- дискретные отсчеты функции единичного скачка, 1, n ≥ 0 u(n)={ ; 0, n < 0 u(n – N)- дискретные отсчеты функции U(n), задержанной на N интервалов дискретизации, , - теорема свертки; свертке дискретных сигналов x(n) и h(n) соответствует произведение их Z- преобразований, n x(n)∙h(n)=∑ x(m)∙h(n-m) ≡ X(z)∙H(z); m=0 - теорема умножения на ; αn∙x(n) ≡ x(α-1∙z); - теорема умножения на n; n∙x(n)≡ -Z[dx(z)/dz]. После изучения теоретического материала необходимо выполнить (по своему варианту) следующие задания: 1- рассчитать дискретную цепь по своей схеме; 2- вычислить Z-преобразование свертки дискретных сигналов. x(n) = 1; 1; 0; 0; 1; 1; 0; и y(n) = 0; 0; 1; 1; 0; 0; 0. Найдем Z- преобразование дискретных сигналов: Используя теорему свертки, вычислим Z - преобразование свертки сигналов: 3. Найти дискретный сигнал x(n), по известному Z- преобразованию: Для решения используем разложение функции в ряд , для данного примера , тогда Z - преобразование запишется в виде: Учитывая, что , последовательность можно записать, как , общий член последовательности , . 4. Найти Z - преобразование сигнала , (при , для ). Построить графики и Z-плоскости, указать расположение нулей и полюсов функции X(Z) на Z-плоскости. Z-преобразование для заданного сигнала будет иметь вид: , данный ряд сходится к функции , ( или ). Функция X(Z) имеет нуль при Z = 0, а полюс , находится на окружности радиусом , ограничивающей область сходимости. Найти передаточную функцию и импульсную характеристику дискретной цепи (4.3.7). Отчеты дискретной импульсной характеристики h(n), это реакция цепи на входную дискретную δ – функцию: ; ; ; т.е. , при , Отчеты импульсной характеристики есть не что иное, как коэффициенты усиления схемы. Для определения передаточной функции H(Z), надо найти Z-преобразование импульсной характеристики: Рисунок 4.3.7 - Дискретная цепь. Передаточную функцию можно найти и как отношение Z-изображений выходной и входной последовательности [1]: , где , тогда Рисунок 4.3.8 - Z - Изображение дискретной цепи. Задание выполнить по своему варианту, приняв два элемента задержки и три усилительных звена. Рассчитать дискретную цепь согласно своему варианту. 4.4 Расчет устройств систем связи Практическое занятие 10 (объем – 1ч) |