лод. Программа курса Методика преподавания математики делит его на две части Общая методика

• Название: Программа курса Методика преподавания математики делит его на две части Общая методика
• Дата: 17.09.2019
• Размер: 7.21 Mb.
• Имя файла: [CHerkasov_R.S.,_Stolyar_A.A.]_Metodika_prepodavan(BookFi).doc
• Тип: Программа курса; #87048
• страница: 41 из 109

«Если Q₂, то Р» и «Р» по ПО (правилу отрицания: из «Если А, то В» и следует ) получаем:



Аналогично допущениеприводит к

(4)

(достаточно через b и какую-нибудь точку прямой а провести пло­скость).

Получаем из

(5)

Из (3) и (5) по ВК получаем Q₂ и Q₃, или равносильное предложе­ние неверно, что Q₂ или Q₃:

неверно, что а х b или а Ь.

Из (1) и (6) по УД получаем:

(6)

3.4. Метод математической индукции — специальный метод дока­зательства, применяемый к предложениям типа

(1)

(т. е. к предложениям, выражающим некоторое свойство, присущее любому натуральному числу) или

(2)

(любому натуральному числу, большему некоторого натурального числа k).

Так как непосредственная проверка наличия свойства «Р» у лю­бого натурального числа или у любого натурального числа, больше­го k, невозможна ввиду бесконечности множества N, то поступают следующим образом: устанавливают наличие этого свойства у числа 1, т. е. истинность предложения «P(1)», и доказывают, что из допуще­ния о наличии его у некоторого х следует наличие этого свойства и у непосредственно следующего числа х + 1. После этого заключают об истинности предложения (1) или (2), т. е. что свойством «Р» обла­дает любое натуральное число или любое натуральное число х > k.

Как видим, в этом рассуждении использовано правило вывода:



называемое правилом индукции.

Основой этого правила служит аксиома математической индукции, одна из аксиом, характеризующих структуру натурального ряда: «Если число 1 обладает свойством Р и для некоторого х из того, что число х обладает этим свойством, следует, что и непосредственно следующее за ним натуральное число х + 1 обладает им, то всякое натуральное число обладает свойством Р» (или: «Если число k обла­дает свойством Р и для произвольного х > k из того, что число x обладает этим свойством, следует, что и непосредственно следующее за ним натуральное число х + 1 обладает им, то всякое натуральное число, большее k, обладает свойством P»).

Проиллюстрируем метод математической индукции на простом (школьном) примере.

Пусть необходимо доказать предложение



Таким образом,



Подставив 1 вместо х в (1), получаем 1 =, т. е. «Р (1)»- истинное высказывание.

Пусть теперь (1) верно для произвольного х. Докажем, что (1) верно и для х + 1, т. е. что



Действительно,



Таким образом, мы доказали, чтопо правилу индукции заключаем об истинности предложения (1) для всякого

Общая схема доказательства методом математической индукции может быть представлена следующим образом:

1. «Р (1)» —устанавливается проверкой.

2. «Р (х) Р (х + 1)» — доказывается.

3. «Vx N Р (х)» — следует из (1) и (2) по правилу индукции.

3.5. В практике школьного обучения математике наиболее часто используется прямое доказательство. Мы указали выше (3.1), что в практике всегда применяют содержательные доказательства в свер­нутом виде. Мы также показали два примера обычных свернутых доказательств (теоремы о диагоналях прямоугольника), логическим анализом которых мы постепенно перешли к логически полным (раз­вернутым) доказательствам (этой теоремы). Далее (3.3) мы уточнили понятие косвенного доказательства.

Таким образом, уточненное (логически полное, содержательное) доказательство отличается от формального доказательства лишь ис­толкованием используемой логики. В первом случае используемые правила вывода интерпретируются как правила следования (уста­навливаемые на базе отношения семантического следования с при­менением истинностных значений). Во втором правила вывода никак не интерпретируются и устанавливаются на базе логических ак­сиом и исходных правил.

Сопоставим теперь логически полное доказательство с применяе­мым в практике свернутым доказательством для выявления основных различий между ними.

Логически полное доказательство	Свернутое доказательство
1. Точное понятие. 2. Включает все посылки. 3. Не опускает никаких промежуточных рассуждений. 4. Явно указывает используемые правила вывода	1. Интуитивное понятие. 2. Опускает некоторые, в частности общие, посылки. 3. Опускает отдельные шаги (про межуточные рассуждения) 4. Не фиксирует используемую ло­гику.

Так же как переход от свернутого доказательства к логически полному неоднозначен (последнее может строиться с использованием различных правил вывода), обратный переход (от логически полного к свернутому доказательству) является неоднозначным. Исходя из определенного логически полного доказательства некоторой теоремы, можно строить различные свернутые доказательства этой теоремы (т. е. полное доказательство можно по-разному свертывать). Этим (свернутым) доказательствам, отличающимся числом пропущенных шагов, иногда приписывают различные уровни строгости. Можно говорить, по-видимому, и о наиболее высоком, допустимом для дан­ного этапа обучения уровне (исходя из возможностей учащихся). Как видим, понятие уровня строгости доказательства носит в какой-то мере прагматический характер, отражая отношение между до­казательством и тем, кто его ищет, строит, усваивает. Если доказа­тельство находится ниже некоторого «граничного снизу» уровня стро­гости, оно по существу перестает быть доказательством и только такое «доказательство» можно назвать «нестрогим». Таким образом, нестро­гое доказательство это не доказательство. Вопрос же об уровнях стро­гости доказательств, адекватных различным этапам обучения, есть важная психолого-педагогическая задача. Дело в том, что даже не­большое повышение этого уровня (разумеется, без достижения какой-то абсолютной логической полноты и строгости, недостижимой в применяемых доказательствах) приводит к значительному услож­нению доказательства, делая его непонятным для учащихся.

Не отрицая методических достоинств известных учебников А. П. Киселева, нельзя не отметить, что один из их существенных недостатков состоял в том, что уровень строгости доказательств в этих учебниках был примерно одинаков в VI и IX классах, был порою слишком высок и недоступен для шестиклассников и слишком низок для девятиклассников.

Многолетней практикой установлено, а психологией обосновано, что уровень строгости доказательств должен быть адекватен возраст­ным возможностям учащихся. Школьный учебник и методика преподавания должны разрабатываться с учетом этого психологического фактора. Нельзя ожидать результата процесса до того, как сформи­рован сам этот процесс. Процесс доказательства — сложный процесс мышления, и он формируется лишь постепенно, от простых к более сложным структурам. Этому должны соответствовать и постепенное усложнение структуры доказательства, постепенное повышение его уровня строгости. Таковы закономерности мышления, обусловливаю­щие и закономерности обучения.

3.6. Мы говорили выше (3.1—3.4) о доказательстве как о готовой конструкции. Однако обучение доказательству — педагогическая про­блема, включающая не только анализ готовых доказательств. Это прежде всего проблема обучения поиску доказательства и его корректному построению. Задача состоит не в том, чтобы учащиеся заучили отдельные готовые доказательства (изложенные в учебнике и объясненные учителем на уроке), а в том, чтобы научить их доказывать. Если иметь в виду, что доказывать означает рассуждать, то нетрудно оценить значение этой задачи, ее решение в процессе обучения математике.

Учитывая роль доказательств в математике (один известный ма­тематик говорил, что «доказательство в математике не все, но без него в ней нет ничего») и в усвоении математических знаний, методы обу­чения доказательству уместно отнести к методам обучения математике (гл. IV).

Задача «доказать предложение: ...» принадлежит одному из важ­нейших классов нестандартных задач, а вопрос о поиске доказатель­ства — частный случай общего вопроса поиска решения задач. Мето­дическое решение этого вопроса — существенный элемент методики развития творческого мышления учащихся. Этот вопрос рассматри­вается в следующей главе.