лод. Программа курса Методика преподавания математики делит его на две части Общая методика

• Название: Программа курса Методика преподавания математики делит его на две части Общая методика
• Дата: 17.09.2019
• Размер: 7.21 Mb.
• Имя файла: [CHerkasov_R.S.,_Stolyar_A.A.]_Metodika_prepodavan(BookFi).doc
• Тип: Программа курса; #87048
• страница: 42 из 109

ЛИТЕРАТУРА

1. Беляев Е. А. и др. Некоторые особенности развития мате­матического знания. — Изд-во МГУ, 1975.

2. Болтянский В. Г. Как устроена теорема? — Математи­ка в школе, 1975, № 5.

3. КолмогоровА. Н. О системе основных понятий и обо­значений для школьного курса математики. — Математика в школе, 1971, № 2.

4. П о й а Д. Математика и правдоподобные рассуждения / Пер. с англ. — М.: 1957.

5. Р у з а в и н Г. И. О природе математического знания. —М.: Мысль, 1976.

6. С о х о р А. М. Логические структуры учебного материала. — М-: Педагогика, 1974.

7. Столяр А. А. Педагогика математики.—Минск: Вышэй-щая школа, 1974.

8. Хи н ч и н А. Я. Педагогические статьи. — М.: Изд-во АПН РСФСР, 1963.

Глава IV МЕТОДЫ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ

Одно из центральных мест в дидактике (общей теории обучения) и в методике преподавания математики (конкретной теории обучения, где учитывается специфика математики как учебного предмета) за­нимают методы обучения. Знание методой обучения математике необходимо для организации эффективного обучения школьников.

Как учебный предмет «математика» обладает многими лишь ей присущими чертами. Главной из них является высокая степень обоб­щенности изучаемых понятий, которая проявляется буквально сразу, при первом же знакомстве с математикой на уроках. В силу этого в процессе обучения необходимо использовать различные методы, отражающие эту особенность и при формировании математических понятий, и при знакомстве с задачами, возникающими при использо­вании этих понятий в практической и учебной деятельности. Суще­ственно отметить, что указанные методы способствуют развитию мыш­ления школьников, повышают их общую культуру, способности к переносу понятий и приемов, сформированных на уроках математики, в процесс изучения других учебных предметов. Это происходит по­тому, что к числу методов обучения математике принадлежат такие важнейшие теоретические методы, как использование наблюдения, сравнения и аналогии, применение индуктивных и дедуктивных умо­заключений, анализ и синтез. В этой главе описаны перечисленные здесь методы, а также рассмотрены специальные методы обучения математике.
§ 1. ПРОБЛЕМА МЕТОДОВ ОБУЧЕНИЯ

1.1. Проблема методов обучения формулируется кратко с по­мощью вопроса как учить?

Для решения вопроса о том, как учить чему-то учащихся, надо, во-первых, выяснить, для чего это изучается, какие знания, умения и навыки должны приобрести учащиеся в результате этого изуче­ния; во-вторых, надо провести логико-дидактический анализ того, что изучается, т. е. выяснить структуру и другие особенности содер­жания обучения, его изложения в школьном учебнике; в-третьих, надо знать объект обучения, т. е. уровень мыслительной деятельности учащихся, какие у них имеются знания, умения и навыки, на которые можно опираться в обучении их данному содержанию.

Только при наличии достаточной информации по вопросам: для чего?, чему? и кого? — мы можем успешно решить и вопрос как?, т. е. вопрос о выборе адекватных методов обучения, наилучшим обра­зом отвечающих целям, содержанию обучения и уровню мыслитель­ной деятельности и знаний учащихся.

Таким образом, проблема методов обучения решается с учетом целей обучения, специфики и структуры содержания (как учебного предмета в целом, так и отдельных его разделов, тем, понятий, ут­верждений) и особенностей мыслительной деятельности учащихся, состояния уже полученных ими в процессе предшествующего обуче­ния знаний, умений и навыков.

1.2. Говоря о методах обучения математике, естественно прежде всего уточнить это понятие.

В дидактической литературе встречаются различные определения или разъяснения понятия «метод обучения», отражающие различные точки зрения на это центральное понятие теории обучения.

Мы не будем обсуждать и сравнивать эти определения и точки" зрения. Мы будем исходить из достаточно широко распространенного и интуитивно ясного представления о методах обучения как об упо­рядоченных способах взаимосвязанной деятельности учителя и уча­щихся, направленных на достижение целей обучения как средства образования и воспитания¹.

Исходя из такого понимания методов обучения, описание каждого метода обучения должно включать: 1) описание обучающей деятель­ности учителя; 2) описание учебной (познавательной) деятельности ученика и 3) связь между ними, или способ, каким обучающая дея­тельность учителя управляет познавательной деятельностью учащих­ся.

1.3. Предметом дидактики являются, однако, лишь общие методы обучения, т. е. методы, обобщающие определенную совокупность си­стем последовательных действий учителя и учащегося во взаимодей­ствии преподавания и учения, не учитывающие специфики отдельных учебных предметов.

Исследование возможностей конкретной реализации разработан­ных дидактикой общих методов в обучении математике путем их мо­дификации с учетом специфики математики и мыслительной деятель­ности учащихся различных возрастных периодов является предметом методики преподавания математики.

Кроме конкретизации и модификации общих методов обучения с учетом специфики математики, предметом методики является также Дополнение этих методов частными (специальными) методами обуче­ния, отражающими основные методы познания, используемые в самой математике.

Постановка проблемы отражения методов науки в обучении вполне правомерна. Во-первых, цели обучения включают усвоение не только определенной совокупности научных фактов, но и методов добывания этих фактов, используемых в самой науке. Во-вторых, методы науч­ных исследований — это методы приобретения новых знаний в нау­ке, методы обучения — это методы приобретения новых знаний в учебной (познавательной) деятельности. Поэтому вполне естественно, чтобы методы обучения отражали методы познания, используемые в данной науке, разумеется, в определенной, приспособленной для обучения форме, чтобы процесс обучения был в какой-то мере подо­бен процессу исследования.

Специальные методы обучения, отражающие методы самой мате­матики, имеют наибольшее влияние на формирование и развитие ма­тематического мышления учащихся (т. е. мышление, стиль и структу­ра которого специфичны для математики). Такое мышление, с одной стороны, необходимо для успешного усвоения математики, с другой — само развивается в результате целенаправленной постановки обуче­ния, в котором используются наряду с общими и специальные методы обучения.

Таким образом, система методов обучения математике состоит из общих методов обучения, разработанных дидактикой, адаптирован­ных к обучению математике, и из частных (специальных) методов обучения математике, отражающих основные методы познания, ис­пользуемые в математике.

1.4. Одна из задач, поставленных Коммунистической партией Советского Союза перед народным образованием, состоит в приве­дении самих методов обучения в соответствие с требованиями жизни.

Что это означает?

В отчетном докладе ЦК КПСС XXV съезду говорится: «...в совре­менных условиях, когда объем необходимых для человека знаний резко и быстро возрастает, уже невозможно делать главную ставку на усвоение определенной суммы фактов. Важно прививать умение самостоятельно пополнять свои знания, ориентироваться в стреми­тельном потоке научной и политической информации»¹.

Таким образом, задача овладения учащимися прочными знания­ми, умениями и навыками дополняется задачей приобретения ими значительного интеллектуального потенциала, необходимого для са­мостоятельного отбора и переработки нужной информации, важней­шим элементом которого является умение творчески мыслить.

В чем же несоответствие нередко применяемых в практике обуче­ния методов требованиям современной жизни, вызвавшее постановку указанной выше задачи?

Применяемые методы обучения часто ориентированы главным образом на обучение готовым знаниям. Внешне эти методы прояв­ляются в хорошо известной форме, когда учитель излагает, объяс­няет, разъясняет учебный материал, привлекая различные средства наглядности и другие дидактические средства, а ученики восприни­мают адресованную им учебную информацию, затем заучивают ее и по требованию учителя воспроизводят. При этом, как правило, остается невыясненным, переработал ли ученик своим собственным умом эту информацию. Учебная деятельность ученика является в основном репродуктивной, а главным результатом такого обучения является в лучшем случае усвоение суммы фактов, причем не очень глубокое, а чаще всего и непрочное. Развивающий эффект таких методов обу­чения весьма низок, так как они не вызывают активной мыслительной деятельности ученика.

Естественно, во всякие времена существовали, а в наше время тем более имеется немало учителей, которые не ограничивают свою обу­чающую деятельность применением указанных выше методов обуче­ния. Однако правомерно говорить об этих методах, так как они до­вольно широко применяются в практике обучения.

Приведение методов обучения в соответствие с требованиями жиз­ни означает дополнение, развитие и целесообразное сочетание оправ­давших себя в практике традиционных методов с методами, главным образом ориентированными на обучение не готовым знаниям, а дея­тельности по самостоятельному приобретению новых знаний, т. е. познавательной деятельности.

Эти методы, которые можно (разумеется, условно) именовать «со­временными» (в том смысле, что они соответствуют требованиям со­временной жизни), не противопоставляются устано­вившимся в практике обучения методам,, которые можно (в такой же мере условно) именовать «традиционными». Те и другие обучают гото­вым знаниям и познавательной деятельности, но одни главным обра­зом ориентированы на обучение готовым знаниям, другие — на обу­чение познавательной деятельности. Речь идет не об отбрасывании одних и замене их другими, а о необходимости дидактически целесо­образного сочетания в обучении «традиционных» и «современных» методов, исходя из целей, специфики содержания обучения и уровня мыслительной деятельности учащихся.

1.5. Ставя задачу обучения познавательной деятельности в обла­сти математики, мы должны прежде всего проанализировать то, что обычно называют «познавательной деятельностью».

Осуществленный психологами анализ подобной деятельности вы­являет три основных компонента:

а) набор общих логических приемов мышления;

б) набор специальных (в данном случае для математики) приемов мыслительной деятельности;

в) система знаний.

К общим логическим приемам мышления относятся индукция и Дедукция, анализ и синтез, аналогия, обобщение и абстрагирование, конкретизация, классификация. Эти приемы могут быть описаны и Усвоены на любом содержании. Однако применение их в обучении тематике существенно отличается от применения в других областях знаний. Оно отражает, с одной стороны, логику школьной математи­ки, с другой — приемы ее усвоения, т. е. устанавливает связь между Сдержанней и методами обучения.

Специальные для математики приемы мыслительной деятельности лежат в основе используемых в математике методов познания действительности: метод построения математических моделей изучаемых явлений, процессов (один из наиболее плодотворных методов позна­ния внешнего мира, прогнозирования и управления различными про­цессами); различные, характерные для математики способы абстраги­рования, используемые, в частности, при построении математических моделей; аксиоматический метод, ставший одним из основных при построении математических моделей действительности, характери­зующий принятый в математике способ установления истинности предложений и открывший возможность широкого применения одной математической теории в разнообразных областях явлений.

Как видно, все используемые в математике методы познания в конечном итоге как бы интегрируются в методе построения матема­тических моделей изучаемых объектов действительности. Это вполне правомерно, так как конечная цель математики — изучение действи­тельного мира (разумеется, свойственными ей методами и средства­ми). Метод математического моделирования находит в настоящее время широкое применение в различных областях знаний, и именно через него математика находит все новые и новые приложения.

Система знаний является и важной составной частью познава­тельной деятельности, и ее результатом. Это объясняется тем, что формирование и развитие системы знаний происходит путем постепен­ного наращивания уже имеющихся знаний в процессе учебной дея­тельности с помощью общелогических и специальных приемов мы­шления, а также тех знаний, которые уже получены в предшествую­щем обучении. На голом месте, без всяких исходных знаний невозмож­на никакая познавательная деятельность. Это обстоятельство еще раз подтверждает необходимость целесообразного сочетания методов обу­чения готовым знаниям с методами обучения деятельности по приобре­тению новых знаний.

Выбор и правильное сочетание различных методов обучения в различных конкретных учебных ситуациях — сложная педагогичес­кая проблема, решение которой требует знаний, умений и педагоги­ческого мастерства. Нет и принципиально невозможен универсальный метод обучения, который, если только его строго придерживаться, гарантирует успех независимо от специфики содержания обучения, уровня умственной деятельности учащихся, умений и педагогического мастерства учителя.

1.6. Общеизвестна роль задач в обучении математике и развитии математического мышления учащихся. Усвоение математических зна­ний и уровень математического развития учащихся всегда проверя­лись, проверяются и, по-видимому, будут проверяться с помощью ре­шения задач. Поэтому проблема методов обучения математике вклю­чает и проблему методов обучения решению задач.

Как научить учащихся решать задачи? Это одна из наиболее слож­ных и важных педагогических проблем. Ей посвящена специальная глава. Здесь мы рассмотрим лишь подготовку учащихся к решению разного рода задач. Школьная математика, особенно алгебра, полна разного рода алгоритмов для решения стандартных задач разнооб­разных классов, от задачи сложения многозначных чисел («в столбик») до задач дифференцирования и интегрирования определенных клас­сов функций. Как изучать эти алгоритмы, составляющие важную часть учебного материала? Можно, разумеется, разъяснять учащимся эти алгоритмы в готовом виде. Это, однако, малоэффективная методи­ка. Методы обучения, ориентированные главным образом на развитие активной познавательной деятельности учащихся, требуют научить учащихся отыскивать и описывать общие методы (алгоритмы) решения классов однотипных задач с помощью анализа и обобщения способов решения частных задач, принадлежащих этим классам.

В школьной математике имеется и большое разнообразие нестан­дартных задач (на доказательство, преобразование алгебраических выражений, решение некоторых уравнений, неравенств, систем урав­нений и т. д.). Нестандартные задачи часто сводятся к некоторым стандартным задачам, и возникает необходимость в использовании соответствующих алгоритмов. Таким образом, знание алгоритмов необходимо для решения не только стандартных, но и нестандартных задач.

1.7. Методы обучения используются во взаимной связи. Трудно обнаружить в процессе преподавания (при изучении достаточно со­держательного фрагмента учебного материала) применение одного только метода в чистом виде. Универсального метода обучения не существует, и вряд ли можно жестко регламентировать выбор того или иного метода обучения. В основе выбора и сочетания различных методов обучения лежат как объективные факторы (цели и содержа­ние обучения), так и субъективные (учитель, учащиеся).

Цели и содержание обучения не определяют однозначно методы обучения. Одно и то же содержание может быть изучено различными методами, причем так, чтобы во всех случаях достигались цели обу­чения. С другой стороны, одни и те же методы обучения, применяемые разными учителями, могут дать различные результаты, так как пре­подавание не только наука, но и искусство.

В последующих параграфах этой главы приводятся краткие ха­рактеристики важнейших методов обучения математике, как общих (конкретизированных и адаптированных к обучению математике), так и специальных, отражающих методы самой математики. При этом мы будем рассматривать каждый метод изолированно от других с целью его изучения, а также в сочетании с другими на конкретном содер­жании различных тем школьного курса математики.

Мы также выскажем некоторые суждения о целесообразном выборе и сочетании различных методов обучения в зависимости от це­лей, специфики и структуры содержания обучения. Однако эти суж­дения не носят категорический характер и являются лишь рекомен­дациями.
§ 2. ЭМПИРИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ: НАБЛЮДЕНИЕ, ОПЫТ, ИЗМЕРЕНИЯ

2.1. Наблюдение, опыт, измерения — эмпирические методы, используемые, в частности, в экспериментальных естественных науках, математика не является экспериментальной наукой, и, следовательно, опытное подтверждение не может служить достаточным основа­нием истинности ее предложений.

Это несомненно верно, если под математикой понимать совокуп­ность готовых, уже построенных дедуктивных теорий, но это неверно, если под математикой понимать мыслительную деятельность, резуль­татом которой являются подобные теории. В последнем случае де­дуктивная теория лишь одна фаза математики. Но она имеет еще две фазы — предшествующую дедуктивной теории фазу накопления фак­тов (опытную, интуитивную) и следующую за ней фазу приложений. Эти две фазы независимо от того, считают ли их собственно математи­ческими или «около математическими», не менее важны в обучении, чем сама дедуктивная теория: первая — для понимания этой теории, вторая—для ее оправдания.

Исходя из рассмотренных выше (§ 1) задач, стоящих перед шко­лой, речь идет об обучении не только готовым знаниям, но и методам познания, приводящим к этим знаниям. Поэтому естественно приме­нять в обучении и те эмпирические методы познания, с помощью ко­торых формулируются гипотезы, подлежащие обоснованию (или опровержению) уже иными методами.

Наблюдение, опыт и измерения должны быть направлены на со­здание в процессе обучения специальных ситуаций и предоставление учащимся возможности извлечь из них очевидные закономерности, геометрические факты, идеи доказательства и т. д. Чаще всего резуль­таты наблюдения, опыта и измерений служат посылками индуктивных выводов, с помощью которых осуществляются открытия новых истин. Поэтому наблюдение, опыт и измерения относят и к эвристическим методам обучения, т. е. к методам, способствующим открытиям.

Проиллюстрируем такое применение наблюдения, опыта и измере­ний несколькими примерами.

2.2. Если показать учащимся IV—V классов различные фигуры, в том числе окружающие нас предметы, среди которых одни облада­ют, а другие не обладают осевой симметрией, то наблюдение этих фигур позволяет заметить, что каждая из «симметричных» фигур де­лится некоторой прямой на две части так, что, если согнуть фигуру по этой прямой, одна ее часть полностью наложится на другую. Для каждой же из «несимметричных» фигур такой прямой нельзя найти.

После такого наблюдения «симметричных» фигур вокруг нас (ар­хитектурных украшений, строительных и других деталей, некоторых листьев на деревьях и т. д.) можно перейти к дальнейшему изучению осевой симметрии с помощью специального опыта (эксперимента).

Каждому ученику предлагается согнуть лист бумаги так, чтобы одна часть листа упала на другую и образовалась линия сгиба. Затем предлагается выпрямить снова лист и отметить на нем произвольную точку А, не лежащую на линии сгиба, затем снова согнуть лист по той же линии сгиба и определить, глядя на свет через согнутый лист, с какой точкой совпала при этом точка А. Пусть это точка А₁. Уча­щимся сообщают, что точки А и А₁ называются симметричными отно­сительно прямой l (линии сгиба), называемой осью симметрии этих точек. Для другой точки В, лежащей по другую сторону от линии сгиба, чем точка А, предлагается определить (опытным путем, с по­мощью сгибания листа) симметричную ей точку относительно той же оси l Замечаем, что, если взять точку С на линии сгиба, она остается неподвижной при сгибании листа, т. е. не совпадает с какой-либо другой точкой листа. Мы говорим, что любая точка оси симметрии (линии сгиба) симметрична самой себе.

Естественно возникает вопрос: чем же характеризуется располо­жение относительно оси пары симметричных точек (А, A₁), (В, B₁), как это можно описать с помощью уже известных геометрических тер­минов? Учащиеся замечают (возможно, с помощью учителя), что сим­метричные точки (если они различны) всегда лежат по разные стороны от оси симметрии. Предлагается соединить симметричные точки отрез­ком прямой. Учащиеся высказывают гипотезу, что симметричные точки отстоят на равных расстояниях от оси симметрии, т. е. что отрез­ки AA₁ и BB₁ делятся осью симметрии пополам. Это предположение подкрепляется с помощью измерения соответствующих отрезков. Если учащиеся не замечают перпендикулярности отрезка АА₁ и ВВ₁ к оси симметрии (обычно равенство углов не так быстро обнару­живается, как равенство отрезков), то берут две точки, равностоя­щие от оси по разные стороны от нее, но не на одном перпендикуляре к ней, и задают вопрос: будут ли эти точки симметричны относительно той же оси? Сопоставляя расположение этих точек с расположением симметричных точек, учащиеся обнаруживают, что последние лежат на одном перпендикуляре к оси симметрии. Это пока предположение, которое также подкрепляется измерением соответствующих углов.

Если соединить отрезками точки А и В и симметричные им точки А₁ и B₁ то при сгибании листа бумаги по линии I отрезок АВ нало­жится на отрезок А₁В₁ т. е. обнаруживается, что расстояние между двумя точками А я В равно расстоянию между симметричными им точками A₁ и В₁

Опытным же путем обнаруживается также, что каждая из полу­плоскостей с границей l «накладывается» (преобразуется, отобража­ется) на другую.

Таким образом, с помощью наблюдения, опыта и измерений фор­мируется представление об осевой симметрии как о преобразовании плоскости, при котором каждой точке сопоставляется симметричная ей относительно оси l точка и мы получаем возможность описать осе­вую симметрию на уже известном учащимся геометрическом языке с помощью следующей совокупности предложений.

(p₁) Каждая точка оси симметрии симметрична сама себе.

Любые две различные симметричные точки лежат:

(p₂) по разные стороны от оси симметрии,

(р₃) на одном перпендикуляре к оси и

(p₄) на одинаковом расстоянии от оси.

(р₅) Расстояние между любыми двумя точками равно расстоянию между симметричными им точками.

(p₆) Каждая из полуплоскостей о границей l преобразуется в другую.

Полученное описание нашего опыта не является, однако, совершенным. Во-первых, все предложения p₁-р₆ «обоснованы» лишь опыт­ным путем. Во-вторых, еще не раскрыты логические связи между ними, не выяснено, какие из этих предложений могут служить по­сылками для вывода из них остальных предложений этой совокупности (с помощью, возможно, и некоторых других, уже известных геомет­рических истин).

Однако устранение этих дефектов нашего описания требует уже применения других методов, о которых речь пойдет дальше.

2.3. Приведем пример, когда опыт способствует открытию гео­метрического свойства и подсказывает путь его доказательства.

Экспериментально обнаружить, что сумма углов данного треуголь­ника равна 180°, можно сразу же, как только учащиеся научатся измерять углы с помощью транспортира.

Учащимся предлагается измерить транспортиром углы начерчен­ного в тетради треугольника и сложить результаты измерения. У не­которых сумма углов треугольника получается меньше 180°, у дру­гих — больше, но у всех результаты близки к 180°, а у некоторых даже «точно» 180° (!). Ученики догадываются, что должно получиться 180°, а другие результаты объясняются погрешностями измерения. Они «совершают открытие»: «Во всяком треугольнике сумма внутрен­них углов равна 180°».

Это предположение подкрепляется вторым опытом, подсказываю­щим идею доказательства (одного из возможных доказательств). У каждого школьника заготовлен вырезанный из бумаги треугольник. Учитель предлагает «оторвать» два угла и приложить их к третьему так, как он это делает сам на большом треугольнике (рис. 12, 13). Учащиеся замечают, что получены три угла с общей вершиной А, расположенные по одну сторону от прямой. Следовательно, сумма этих углов равна 180°. С помощью этого опыта (уже без измерений) мы пришли к той же гипотезе, и всем ка­жется, что обнаруженное свойство достовер­но. Но можно ли быть уверенным в том, что два луча, сходящиеся в точке А, образуют прямую линию? Ведь они могут образовать ломаную, так мало отличающуюся от пря­мой, что мы этого не заметим. Но в этом случае сумма углов уже не будет равна 180°. Таким образом, проведенный опыт не за­меняет доказательство. Он лишь подсказыва­ет один из возможных путей доказательства открытого опытным путем свойства.

2.4. С помощью простого опыта формиру­ется и наглядное представление о перемеще­нии как об отображении плоскости на себя, сохраняющем расстояние между точками. На лист бумаги кладут тонкую прозрачную пластинку со многими отверстиями. С помо­щью карандаша отмечается на листе положение одного отверстия (одной точки). Пусть это точка А плоскости. Затем перемещают произвольно пластинку на листе и через это же отверстие отмечается новая точка A₁. При этом отмечается, что так можно поступить с любой точкой плоскости. Затем отмечают остри­ем карандаша через два отверстия пластинки точки В и С плоскос­ти и после некоторого перемещения пластинки через те же отверс­тия отмечают новые точки — В₁ и С₁ соответственно. Так как при перемещении пластинка не растягивается и не сжимается, то расстоя­ния между точками сохраняются, т. е.

Таким образом, всякая точка X неподвижного листа отображается точно в одну точку X₁ этого же листа. Так получается отображение плоскости на себя, при котором расстояние между любыми двумя точками равно расстоянию между их образами.

С помощью описанного опыта обнаруживаются и важнейшие свой­ства движения: а) если три точки А, М, В лежат на одной прямой, то и их образы A₁, M₁, B₁ тоже лежат на одной прямой; б) если точка М лежит между точками А и В, то и M₁ лежит между А₁г и В₁.

Открытые опытным путем, эти свойства, разумеется, подлежат доказательству. Здесь опять опыт проявляется как эвристический метод.

2.5. Рассмотрим пример применения опыта для открытия алгеб­раической закономерности.

Допустим, что в одном, синем, мешочке имеется т синих палочек, а в другом, красном, мешочке — m красных палочек. Нужно освобо­дить один мешочек. Мы можем это сделать двумя способами. Можно пересыпать все красные палочки из красного мешочка в синий, и тогда в нем окажется m+n палочек. Но можно пересыпать все синие палочки в красный мешочек, и тогда в нем окажется n+m палочек. Но и в одном, и в другом случае мы имеем в мешочке одно и то же множество палочек. Следовательно,

m+n=n+m

Разумеется, в конкретном опыте тип обозначают определенные числа. Поэтому полученное равенство является лишь одной из посы­лок, с помощью которых уже другим методом (индукцией) получают общий закон коммутативности сложения натуральных чисел:

«m+n=n+m для любых натуральных чисел m и n».

Подсчет двумя способами (по рядам и по столбцам) единичных квадратиков, заполняющих прямоугольник, измерения которого вы­ражаются натуральными числами, является опытом, с помощью ко­торого обнаруживается коммутативность умножения натуральных чисел.

Важно отметить, что с помощью эмпирических методов (наблюде­ния, опыта, измерений) выполняется лишь начальный этап работы по математическому описанию реальных ситуаций. Получаемый математический материал (интуитивные понятия, гипотезы, совокупности математических предложений) подлежит дальнейшей обработке уже другими методами.
§ 3. СРАВНЕНИЕ И АНАЛОГИЯ

3.1. Сравнение и аналогия—логические приемы мышления, ис­пользуемые как в научных исследованиях, так и в обучении.

С помощью сравнения выявляется сходство и различие сравнивае­мых предметов, т. е. наличие у них общих и необщих (различных) свойств.

Например, сравнение треугольника и четырехугольника раскры­вает их общие свойства: наличие сторон, вершин, углов, столько же вершин и углов, сколько сторон, а также различие: у треугольника три вершины (стороны), у" четырехугольника — четыре. Сравнение параллелограмма и трапеции позволяет выявить их общие свойства: они оба четырехугольники, оба имеют параллельные стороны, — и различие: в одном — две пары параллельных сторон, в другом — одна. Сравнение обыкновенных и алгебраических дробей выявляет их сходство: наличие числителя и знаменателя, отсутствие значения, когда знаменатель обращается в нуль, и т. д., — и различие: в одном случае числитель и знаменатель — числа, в другом — алгебраичес­кие выражения.

Сравнение приводит к правильному выводу, если выполняются следующие условия: 1) сравниваемые понятия однородны и 2) срав­нение осуществляется по таким признакам, которые имеют сущест­венное значение.

Эти два условия выполняются в приведенных выше сравнениях: треугольник и четырехугольник — однородные понятия (многоуголь­ники), параллелограмм и трапеция — четырехугольники, обыкновен­ные и алгебраические дроби — выражения. Во всех трех случаях сравнение осуществлено по существенным признакам (если, напри­мер, включили бы в общие свойства параллелограмма и трапеции тот факт, что они оба обозначены одними и теми же буквами ABCD, или считали бы различием обозначение их различными буквами, то это было бы ошибочным подходом к сравнению).

Сравнение подготавливает почву для применения аналогии.

С помощью аналогии сходство предметов, выявленное в резуль­тате их сравнения, распространяется на новое свойство (или новые свойства).

Рассуждение по аналогии имеет следующую общую схему:

Вероятно(возможно) В обладает и свойством d.

Как видим, заключение по аналогии является лишь вероятным (правдоподобным), а не достоверным. Поэтому аналогия, как пра­вило, не является доказательным рассуждением, т. е. рассуждением, которое может служить доказательством. («Как правило» потому, что имеется исключение, связанное с особым видом аналогии, о кото­ром речь пойдет дальше.) Однако в обучении, как, впрочем, и в науке, аналогия часто полезна тем, что она наводит нас на догадки, т. е. служит эвристическим методом. В обучении же математике не менее важно, чем учить доказывать, это учить догадываться, что именно подлежит доказательству и как найти это доказательство.

3.2. В приведенном выше разъяснении того, что такое аналогия, используется понятие «сходство», которое само нуждается в разъяс­нении. Когда говорят, например, о сходстве между людьми, между человеком и его изображением на фотоснимке или картине и т. п., интуитивно понимают, что означает сходство. Но можно ли в таком же смысле говорить, например, о сходстве между множеством уча­щихся класса и множеством А = {1, 2, 3, ..., 30}, или между мно­жеством точек прямой и множеством действительных чисел, или меж­ду множеством объектов на некотором участке и планом этого участка? Применение же аналогии в математическом исследовании, а поэтому и в обучении математике, часто характеризуется именно тем, что оно основано на глубоком, внутреннем «сходстве», а по существу на оди­наковости структуры множеств предметов различной природы с от­ношениями, имеющими совершенно различный смысл, при отсутствии всякого внешнего «сходства» (в обычном смысле) между этими мно­жествами. Это «структурное сходство», получившее точное математи­ческое описание с помощью понятия изоморфизма, лежит в основе особого вида аналогии, приводящей в отличие от обычной аналогии к достоверным заключениям.

Например, в основе координатного метода лежит идея взаимно однозначного соответствия между множеством точек прямой (плос­кости или пространства) и множеством действительных чисел (пар или троек чисел), переводящего некоторые отношения между точ­ками в отношения между числами (парами или тройками чисел). Это взаимно однозначное соответствие является изоморфизмом, позволяю­щим осуществить однозначный перевод свойств с языка, описываю­щего структуру множества точек прямой (плоскости или пространст­ва), на язык, описывающий структуру множества R (R² или R³), и обратно.

Установив, например, что структуры