лод. Программа курса Методика преподавания математики делит его на две части Общая методика

• Название: Программа курса Методика преподавания математики делит его на две части Общая методика
• Дата: 17.09.2019
• Размер: 7.21 Mb.
• Имя файла: [CHerkasov_R.S.,_Stolyar_A.A.]_Metodika_prepodavan(BookFi).doc
• Тип: Программа курса; #87048
• страница: 44 из 109

§ 4. ОБОБЩЕНИЕ, АБСТРАГИРОВАНИЕ И КОНКРЕТИЗАЦИЯ

4.1. Обобщение и абстрагирование — два логических приема, при­меняемые почти всегда совместно в процессе познания.

Обобщение — это мысленное выделение, фиксирование каких-ни­будь общих существенных свойств, принадлежащих только данному классу предметов или отношений. Абстрагирование — это мысленное отвлечение, отделение общих, существенных свойств, выделенных в результате обобщения, от прочих несущественных или необщих свойств рассматриваемых предметов или отношений и отбрасывание (в рамках нашего изучения) последних.

Когда мы говорим «несущественные свойства», то имеется в виду несущественные с математической точки зрения. Один и тот же пред­мет может изучаться, например, и физикой, и математикой. Для фи­зики существенны одни его свойства (твердость, теплопроводимость, электропроводимость и другие физические свойства), для математики эти свойства несущественны, она изучает лишь форму, размеры, рас­положение предмета.

Из приведенного краткого разъяснения видно, что абстрагирова­ние не может осуществляться без обобщения, без выделения того общего, существенного, что подлежит абстрагированию.

Обобщение и абстрагирование неизменно применяются в процес­се формирования понятий, при переходе от представлений к понятиям и, вместе с индукцией, как эвристический метод.

Под обобщением понимают также переход от единичного к общему, от менее общего к более общему.

Под конкретизацией понимают обратный переход- от более об­щего к менее общему, от общего к единичному.

Если обобщение используется при формировании понятий, то конкретизация используется при описании конкретных ситуаций с помощью сформированных ранее понятий.

4.2. Уточним переход от единичного к общему, от менее общего к более общему и обратный переход.

Изучение отдельных предметов а, Ь, с, ... приводит нас к заклю­чению о наличии у них общего свойства (или общих свойств, которые мы можем объединить в одно — конъюнкцию этих свойств) S, т. е. S (a), S (b), S (с), ... (S (х) означает: «х обладает свойством S»). От­влечением этих свойств S от прочих свойств рассматриваемых пред­метов (т. е. абстрагированием) мы формируем класс предметов, ха­рактеризуемый свойством S:



Таким образом мы осуществляем переход от единичного (от от­дельных предметов) к общему (классу предметов). Дальнейшее изучение приводит к включениюкласса А в более широкий класс В:

Это и есть переход от общего к более общему.

Например, формирование понятия «квадрат» на раннем этапе обучения начинается показом множества предметов, отличающихся друг от друга формой, размерами, окраской, материалом, из которого они сделаны. Дети, после того как им показывают на одну из этих фигур и говорят, что это квадрат, безошибочно отбирают из множе­ства фигур все те, которые имеют такую же форму, пренебрегая раз­личиями, касающимися размеров, окраски, материала. Здесь выде­ление из множества предметов подмножества производится по одному еще недостаточно проанализированному признаку — по форме. Дети еще не знают свойств квадрата, они распознают его только по форме. Такое распознавание встречается у детей 4—5 лет. Дальнейшая работа по формированию понятия квадрата состоит в анализе этой формы с целью выявления ее свойств. Учащимся предлагается путем наблюдения найти, что есть общего у всех отобранных фигур, имею­щих форму квадрата, чем они отличаются от остальных. Устанавли­вается, что у всех квадратов 4 вершины и 4 стороны. Но у некоторых фигур, которые мы не отнесли к квадратам, тоже 4 вершины и 4 сто­роны. Оказывается, у квадрата все стороны равны и все углы прямые. Все отобранные фигуры, обладающие этими свойствами, мы объеди­няем в один класс — квадраты (переход от единичного к общему).

В дальнейшем обучении этот класс включается в более широкий класс прямоугольников (переход от общего к более общему). При этом переходе к более широкому классу происходит сужение харак­теристики класса, одно из свойств, характеризующих класс квадра­тов (равенство всех сторон), опускается.

Так, если множество свойств, характеризующих класс предметов А, обозначить через S (А) (в традиционной формальной логике А на­зывается объемом понятия, a S (А)—содержанием понятия), то имеет место следующее соотношение:



Обратный переход от более общего к менее общему, или выделе­ние некоторого подкласса А класса В, осуществляется с помощью некоторого свойства, которым обладают некоторые элементы В, дру­гие же не обладают им. Те элементы В, которые обладают этим но­вым свойством и образуют подкласс Л класса В.

Присоединив это новое свойство Р к множеству свойств, характе­ризующих класс В, получаем множество свойств, характеризующих подкласс А, т. е.

В нашем примере, если к содержанию понятия «прямоугольник» (к множеству свойств, характеризующих класс прямоугольников) Добавить новое свойство (равенство всех сторон), мы получим содер­жание понятия «квадрат» (множество свойств, характеризующих класс квадратов).

4-3. В математике обобщение и абстрагирование часто связаны с заменой постоянных переменными (в переходе от записи отдельных фактов к записи общих закономерностей), а конкретизация — с под­становкой вместо переменных их значений (в обратном переходе).

Рассмотрим с точки зрения использования обобщения и абстра­гирования открытие закона коммутативности сложения, который ра­нее мы изучили в ином аспекте.

Исходным эмпирическим материалом здесь служат непересекаю­щиеся множества А я В конкретных предметов (карандашей и ручек или черных и красных палочек). Легко обнаруживается опытным путем, что, присоединяя к множеству А множество В или, наоборот, к множеству В множество А, получаем одно и то же множество. Варь­ируя число элементов этих множеств, получаем ряд конкретных ра­венств:

2 + 3 = 3 + 2; 5 + 7 = 7 + 5; 4 + 8 = 8 + 4 и т. п.

Внимательно присматриваемся к этим равенствам с целью выяв­ления содержащегося в них общего и отделения его от частного со­держания. Замечаем: в левой части каждого из этих равенств запи­сана сумма двух чисел, в правой — сумма этих же чисел, но записан­ных в другом порядке. Как же сохранить только это общее, отвлекаясь от конкретных чисел, входящих в эти равенства?

Если просто отбросить эти числа, мы получим форму с «пустыми местами»: . которая не отражает выявленной

общей закономерности, так как не отмечено, какие пустые места должны заполняться одними и теми же названиями чисел. Чтобы устранить этот недостаток полученной формы, изображают пустые места, кото­рые должны заполняться именами одних и тех же чисел, в виде пу­стых «окошек» одинаковой формы. В результате получаем: