Конспект лекций по физике.Часть 2. Протокол 1 от 14. 09. 2012 г. Утверждено учебноиздательским советом Доннту. Протокол 4 от 04. 10. 2012 г. 2014
 Скачать 1.36 Mb.
|
|
ЧАСТЬ 3. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ Элементы квантовой механики Квантовая механика – это физическая теория явлений и процессов мик- ромира. Под микромиром понимают совокупность объектов, линейные размеры которых порядка 10 –8 – 10 –15 м. Возникла квантовая механика в связи с развити- ем экспериментальных исследований по изучению свойств теплового излуче- ния, фотоэффекта, закономерностей атомных спектров. §33 Гипотеза де Бройля Законы классической механики и классической электродинамики оказа- лись непригодными для описания поведения микрочастиц. Необходимо было пересмотреть представление об электроне в виде механической частицы, харак- теризуемой определенными координатами и определенной скоростью. В процессе изучения природы света выяснилось, что в оптических явле- ниях наблюдается корпускулярно-волновой дуализм. Интерференция, дифрак- ция и поляризация говорят о волновой природе света, а фотоэффект и эффект Комптона – о корпускулярной. В 1924 году Луи де Бройль выдвинул гипотезу о том, что корпускулярно- волновая двойственность свойств имеет универсальный характер, т.е. ча- стицы вещества наряду с корпускулярными свойствами имеют также и волновые. Согласно гипотезе де Бройля, движение электрона или какой-либо другой частицы связано с волновым процессом, длина волны которого равна v m h p h (33.1) где h – постоянная Планка, v m p – импульс частицы. Если гипотеза справедлива, то должна наблюдаться дифракция микроча- стиц. В 1927 году Дэвиссон и Джермер изучали рассеяние электронов на моно- кристалле никеля. Схема установки представлена на рис. 33.1. В электронной пушке А создавался поток электронов, который направлялся на кристалл никеля В. Скорость электронов определялась ускоряющим напряжением, созданным внутри пушки. Никелевую мишень можно было вращать вокруг оси, перпенди- кулярной плоскости рисунка. Приемник электронов С вращался вокруг той же B A C Рисунок 33.1 N r Рисунок 33.2 Элементы квантовой механики 76 оси и регистрировал электроны, рассеянные мишенью по всем направлениям. Если бы электроны вели себя как классические частицы, то они должны были бы отражаться от мишени в соответствии с законами геометрической оптики. Но оказалось, что интенсивность рассеянных электронов различна по разным направлениям – имеются максимумы и минимумы числа электронов, рассеян- ных под разными углами, то есть наблюдалась дифракция. На рис. 33.2 дана диаграмма рассеяния по направлениям числа электро- нов, рассеянных мишенью В относительно падающего пучка электронов N. Длина радиус-вектора r , проведенного из центра мишени, пропорциональна числу электронов, рассеянных в данном направлении. Видно, что существуют максимумы и минимумы числа электронов, рассеянных под разными углами. Результаты опытов Дэвиссона и Джермера можно объяснить, используя идею де Бройля о волновых свойствах частиц. Зная ускоряющую разность потенциа- лов уск U , можно рассчитать скорость электронов: m eU уск 2 v , где e – заряд электрона, m – масса электрона. Затем по формуле (33.1) можно найти соответствующую длину волны де Брой- ля: уск 2emU h m h v Если пучок электронов обладает волновыми свойствами, то он должен отражаться от кристалла никеля так же, как и рентгеновское излучение, т.е. должно выполняться условие Вульфа – Брэгга: m d sin 2 , где d – межплоскостное расстояние, известное из рентгенографических иссле- дований. Подстановка реальных данных (значений , d ) дала значение длины волны, совпадающее с длиной волны де Бройля. Волновые свойства электронов также были обнаружены в опытах П.С. Тартаковского и Дж. П. Томсона. Была получена дифракционная картина электронного пучка, проходящего через тонкую (толщиной порядка 10 –7 м) ме- таллическую фольгу. Опыт осуществлялся следующим образом (рис. 33.3). Пу- чок электронов, ускоренных разностью потенциалов порядка нескольких десят- ков киловольт, проходил через фольгу и попадал на фотопластинку. Электрон при ударе о фотопластинку оказывает на нее такое же действие, как и фотон. Полученная таким образом электронограмма золота представлена на рис. 33.4. Пользуясь подобными фотографиями, Томсон проверил формулу де Бройля и определил по формуле Вульфа – Брэгга период кристаллической ре- шетки металла, через который проходили электроны. Результаты совпали с из- вестными ранее данными рентгеноструктурного анализа. Элементы квантовой механики 77 Таким образом, идея де Бройля о волновых свойствах частиц получила экспериментальное подтверждение. §34 Вероятностный смысл волн де Бройля. Волновая функция Волны де Бройля, связанные с движущимися частицами вещества, не яв- ляются электромагнитными, то есть их распространение не связано с распро- странением какого-либо электромагнитного поля. Они имеют специфическую квантовую природу, не имеющую аналогии среди волн, изучающихся в класси- ческой физике. Чтобы выяснить природу волн, надо выяснить физический смысл ампли- туды этих волн. Вместо амплитуды А выберем интенсивность волны, пропор- циональную квадрату модуля амплитуды 2 A Из опытов по дифракции электронов следует, что пучки электронов, от- раженных или рассеянных по разным направлениям, распределяются неодина- ково: в некоторых направлениях наблюдается большее число электронов, чем во всех других. С волновой точки зрения наличие максимумов числа электро- нов в некоторых направлениях означает, что эти направления соответствуют наибольшей интенсивности волн де Бройля. Если интенсивность волны в дан- ной точке пространства больше, то больше и вероятность попадания электро- нов в эту точку за 1 с. Это дает основание говорить о статистическом, вероят- ностном смысле волн де Бройля. Квадрат модуля амплитуды волн де Бройля в данной точке является мерой вероятности того, что частица обнаруживается в этой точке. Чтобы описать распределение вероятности нахождения частицы в данный момент времени в некоторой точке пространства, введем функцию t z y x , , , Эту функцию называют волновой или пси-функцией . Интерпретация пси- функции была дана М. Борном в 1926 году. Определяется она так. Вероятность w d того, что частица находится в элементе объема dV, пропорциональна квадрату модуля волновой функции 2 . dz dy dx dV d 2 2 w (34.1) фольга Пучок электронов Рисунок 33.3 Рисунок 33.4 Элементы квантовой механики 78 Физический смысл имеет не сама волновая функция , а квадрат ее мо- дуля 2 . Величина 2 имеет смысл плотности вероятности: 2 dV d w w , (34.2) т.е. определяет вероятность пребывания частицы в данной точке пространства. Пребывание частицы где-либо в пространстве есть достоверное событие и его вероятность должна быть равна единице. Поэтому волновая функция долж- на удовлетворять условию нормировки вероятностей: 1 2 dV . (34.3) Волновая функция является основной характеристикой состояния мик- рочастиц. С ее помощью могут быть вычислены средние значения физических величин, характеризующих микрочастицу, находящуюся в состоянии, которое описывается волновой функцией . §35 Соотношения неопределенности Гейзенберга В классической механике в каждой точке траектории частица имеет опре- деленные координаты x, y, z и определенный импульс p с проекциями по осям z y x p p p , , . Отличительной особенностью микрочастиц является наличие у них дуализма корпускулярных и волновых свойств. Волновые свойства микроча- стиц вносят ограничения в возможность применять к таким частицам понятия координаты и импульса в их классическом смысле. Из дифракционных опытов следует, что частицы не имеют траектории. Поэтому описывать их движение, задавая точное значение координаты и им- пульса в каждый момент времени, как это делается в классической механике, невозможно. Однако можно указать с некоторой степенью точности величину той области пространства, в которой частица с подавляюще большой вероятно- стью будет обнаружена, и интервал тех значений импульса, которым она при этом обладает. Пусть z y x , , означают интервалы координат (неопределенность зна- чений координаты), в которых может находиться частица, описываемая волной де Бройля, z y x p p p , , – интервалы (неопределенность значений проекции импульса), в которых заключены проекции ее импульса по осям координат. Не- определенности значений координаты и проекции импульса связаны соотноше- нием: 2 x p x , (35.1) где 2 h – постоянная Планка. Элементы квантовой механики 79 Аналогичные соотношения имеют место для y и y p , z и z p : 2 y p y , (35.2) 2 z p z . (35.3) Соотношения (35.1), (35.2), (35.3) установлены В. Гейзенбергом в 1927 году и называются соотношениями неопределенности Гейзенберга. Они являются математическим выражением одновременного наличия у микрочастиц волно- вых и корпускулярных свойств. Пары величин, входящих в соотношения неопределенности Гейзенберга, называются канонически сопряженными. Утверждение о том, что произведение неопределенности двух канонически сопряженных величин не может быть по порядку величины меньше постоянной Планка , называется принципом неопределенности Гейзенберга. Из соотношения неопределенности вытекает следующее: микрочастица не может иметь одновременно вполне определенные значения координаты x и импульса x p . Это значит, что чем точнее для микрочастицы опреде- лена одна из величин – координата x или импульс x p , – тем больше стано- вится неточность в определении другой. Энергия и время также являются канонически сопряженными величина- ми. Для них справедливо соотношение неопределенности в виде: 2 t E (35.4) Это соотношение означает, что если частица некоторое время t находится в нестационарном состоянии, то энергия этого состояния может быть определена лишь с некоторой точностью до величины E. Соотношение неопределенности указывает, в какой мере можно пользо- ваться понятиями классической механики, в частности, с какой степенью точ- ности можно говорит о траекториях частиц. Подставив в (35.1) вместо p x произ- ведение x m v , получим соотношение m x x 2 v Из него следует, что чем больше масса частицы, тем меньше неопределенности ее координаты и скорости и, следовательно, с тем большей точностью приме- нимо понятие траектории. Соотношение неопределенности является одним из фундаментальных по- ложений квантовой механики. Оно позволяет объяснить тот факт, что электрон не падает на ядро атома, а также оценить размеры простейшего атома и мини- мальную возможную энергию электрона в таком атоме. Элементы квантовой механики 80 §36 Волновое уравнение Шрёдингера Уравнение движения в квантовой механике должно быть таким, чтобы оно позволяло объяснить наблюдаемые на опыте волновые свойства частиц. Состояние частицы в пространстве в данный момент времени задается волно- вой функцией t z y x , , , , точнее величиной 2 – плотностью вероятности нахождения частицы в точке с координатами x, y, z в момент времени t. Поэто- му основное уравнение квантовой механики должно быть уравнением относи- тельно функции t z y x , , , . Это уравнение должно быть волновым, так как из него получают свое объяснение эксперименты по дифракции частиц. Основное уравнение квантовой механики было получено в 1926 году Э. Шрёдингером. Шрёдингер установил свое уравнение, исходя из оптико- механической аналогии. Эта аналогия заключается в сходстве уравнений, опи- сывающих ход световых лучей, с уравнениями, определяющими траектории ча- стиц в аналитической механике. Волновое уравнение Шрёдингера можно назвать уравнением движения квантовой частицы. Задать закон движения ча- стицы в квантовой механике – это значит определить значение -функции в каждый момент времени и в каждой точке пространства. Мы будем рассматривать уравнение Шрёдингера только для случая, когда пси-функция не зависит от времени, т.е. z y x , , . Уравнение Шрёдингера при этом называют уравнением для стационарных состояний. Оно записывает- ся в следующем виде: 0 2 2 U E m (36.1) где – оператор Лапласа; 2 2 2 2 2 2 z y x ; m – масса частицы; – постоянная Планка; E – полная энергия частицы; U – потенциальная энергия частицы. Уравнение Шрёдингера позволяет найти пси-функцию данного состояния и, следовательно, определить вероятность нахождения частицы в разных точках пространства. В соответствии со своим смыслом пси-функция должна быть однознач- ной, непрерывной и конечной. Кроме того, она должна иметь непрерывную и конечную производную. Перечисленные требования называются стандарт- ными условиями . В теории дифференциальных уравнений доказывается, что уравнение вида (36.1) имеет решение, удовлетворяющее стандартным услови- ям, лишь при некоторых значениях параметра. В нашем случае этим парамет- ром является полная энергия частицы Е. Эти значения полной энергии называ- ются собственными значениями . Решения, соответствующие собственным значениям Е, называются собственными функциями задачи. Элементы квантовой механики 81 Совокупность собственных значений называется спектром величины Если эта совокупность образует дискретную последовательность, то спектр называется дискретным . Если собственные значения образуют непрерывную последовательность, то спектр называют непрерывным или сплошным В случае дискретного спектра собственные значения энергии и собствен- ные функции можно пронумеровать: n E E E E ,...., , , 3 2 1 (36.2) n ,...., , , 3 2 1 (36.3) О величинах, которые могут принимать только дискретные значения, го- ворят, что они квантуются . Таким образом, из основных положений кванто- вой механики вытекает квантование энергии. Нахождение собственных значений и собственных функций является сложной математической задачей, поэтому дальше рассмотрим только некото- рые частные случаи. §37 Частица в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме Потенциальной ямой называется область пространства, в которой по- тенциальная энергия U частицы меньше некоторого значения max U . Если max U , и максимальная энергия зависит только от координаты х: x U U , то получим бесконечно глубокую одномерную потенциальную яму. Пусть движение частицы ограничено непроницаемыми стенками: x=0, x=l (l –ширина ямы). В этом случае потенциальная энергия частицы (рис. 37.1): l x l x x x U если если если , 0 , 0 0 , Пси-функция будет зависеть только от координаты x, поэтому уравнение Шрёдингера примет вид: 0 2 2 2 2 E m x d d , (37.1) так как потенциальная энергия внутри ямы U=0. Введем обозначение: 2 2 2 E m (37.2) Уравнение (37.1) при этом перепишется следующим образом: 0 2 2 2 x d d (37.3) U U= 0 l x U= Рисунок 37.1 Элементы квантовой механики 82 Из теории колебаний известно, что решение уравнения (37.3) имеет вид: x A x sin (37.4) Для нахождения параметров и используют граничные условия. За пределы потенциальной ямы частица попасть не может, поэтому вероятность обнаружить частицу, а, следовательно, и функция за пределами ямы равны нулю. Из условия непрерывности следует, что должна быть равна нулю и на границах ямы, т.е. 0 0 l (37.5) Тогда можно записать: 0 sin 0 A . Так как 0 A , то отсюда следу- ет, что =0 (sin0=0). Дальше запишем, что 0 sin l A l При этом n l , (37.6) где n=1, 2, 3, ….(n=0 отпадает, так как при этом получается, что 0 Это означает, что частица нигде не находится). Заменив в уравнении (37.4) по формуле (37.6), получим собственные значения волновой функции: l x n A x n sin . (37.7) Используя условие нормировки, можно найти значение коэффициента А: l A 2 Тогда l x n l x n sin 2 (37.8) Подставим (37.6) в уравнение (37.2) и найдем собственные значения энергии частицы: 2 2 2 2 2 n ml E n , (n=1, 2, 3, …..) (37.9) Спектр энергии оказался дискретным (рис. 37.2). Графики собственных функций изображены на рис. 37.3. На рис. 37.4 пока- зана плотность вероятности обнаружения частицы в раз- личных точках ямы, равная 2 . Из графиков следует, что в состоянии, например, с n=2 частица не может быть обнаружена в середине ямы и n=4 n=3 n=2 n=1 x l 0 n=4 n=3 n=2 n=1 x l 0 Рисунок 37.3 Рисунок 37.4 n=4 n=1 n=2 n=3 E E E E 0 1 2 3 4 Рисунок 37.2 Элементы квантовой механики 83 вместе с тем одинаково часто бывает как в левой, так и правой половине ямы. Такое поведение частицы несовместимо с представлением о траекториях, так согласно классическим представлениям все положения частицы в яме равнове- роятны. Модель частицы, находящейся в бесконечно глубокой потенциальной яме, применяют для объяснения электропроводности металлов и полупровод- ников. Физика атомов и молекул §38 Атом водорода и водородоподобные ионы Атомом называется наименьшая частица вещества, обладающая всеми свойствами данного химического элемента. В состав атома входят положитель- но заряженное ядро и электроны, движущиеся в электрическом поле ядра. За- ряд ядра по абсолютной величине равен суммарному заряду всех электронов атома. Ионом называется электрически заряженная частица, которая образует- ся при приобретении или потере электронов атомом или молекулой. Простейшим атомом является атом водорода, состоящий из одного про- тона в ядре и одного электрона, движущегося в кулоновском электрическом поле ядра. Водородоподобными ионами являются ионы, имеющие ядро с заря- дом Ze и один электрон. Например, ионы однократно ионизованного гелия – He , двукратно ионизованного лития – Li , трехкратно ионизованного бе- риллия – Be и т.д. Единственный электрон водорода и водородоподобных ионов движется в кулоновском поле ядра и обладает потенциальной энергией r Ze r U 2 0 4 1 (38.1) где Z – порядковый номер элемента; r – расстояние между ядром и электроном. Уравнение Шредингера в этом случае примет вид: 0 4 1 2 2 0 2 r Ze E m , (38.2) где Е –полная энергия электрона в атоме. Мы не будем решать уравнение Шрёдингера, а только рассмотрим конеч- ные результаты решения уравнения (38.2). 38.1 Квантовые числа Волновая функция зависит не только от пространственных координат, но и от целочисленных параметров m l n , , Эти параметры называются кванто- выми числами . Охарактеризуем каждое из них: Элементы квантовой механики 84 1. n – главное квантовое число. Принимает значения 1, 2, 3, …., n. Соответ- ствует номеру энергетического уровня. 2. l – орбитальное квантовое число. Принимает значения 0, 1, 2, 3, ….,(n–1), то есть имеет n значений. 3. m – магнитное квантовое число. Принимает значения l ..., , 2 , 1 , 0 , то есть имеет (2l+1) значений. Конкретный набор квантовых чисел определяет конкретный вид волно- вой функции и, следовательно, форму и размеры электронного облака. Значе- ниями квантовых чисел определяются также основные динамические характе- ристики: энергия электрона в атоме, момент импульса, магнитный момент, про- екции момента импульса и магнитного момента на направление внешнего маг- нитного поля. 38.2 Квантование энергии Уравнение (38.2) имеет однозначные и непрерывные решения для элек- трона, связанного с ядром, при дискретных отрицательных значениях энергии. Эти значения энергии определяются соотношением: 2 2 Z n Rch E n , (38.3) где n – главное квантовое число, n = 1, 2, 3, … R = 1,09 10 7 м –1 – постоянная Ридберга; с = 3 10 8 м/с – скорость света; h = 6,63 10 –34 Дж с – постоянная Планка. Если подставить значения постоянных в уравнение (38.3) и выразить энергию в электрон-вольтах, то оно примет следующий вид: 2 2 6 , 13 Z n E n (38.4) Набор дискретных значений энергии n E образует энергетический спектр атома. Состояние с n=1 называется основным , состояния с n 1 называются воз- бужденными . В основном состоянии электрон может находиться сколь угодно долго. Важнейшим отличием возбужденных состояний является конечное вре- мя жизни электрона в этих состояниях: 10 8 с. В основном состоянии атом обладает минимальной энергией. Чтобы перевести атом из основного состояния в возбужденное (т.е. в состояние с большей энергией), ему необходимо сооб- щить энергию. Энергию можно сообщить одним из следующих способов: за счет теплового соударения (поэтому нагретые тела светятся атомы излу- чают, возвращаясь из возбужденного состояния в основное состояние); за счет столкновения атома с достаточно быстрым электроном; за счет поглощения атомом фотона. Элементы квантовой механики 85 Фотон при поглощении его атомом исчезает, передавая атому всю свою энергию. Атом не может поглотить часть фотона, так как фотон является неде- лимым. Поглощаются только те фотоны, энергия которых соответствует разно- сти энергий двух уровней. Энергия возбуждения 1 в E E E n , (38.5) где Е 1 – энергия электрона в основном состоянии; n E – энергия электрона в возбужденном состоянии. Величина e E в в (38.6) называется потенциалом возбуждения (e – заряд электрона). Энергия электрона в атоме – величина отрицательная, поэтому наиболь- шее значение энергии, которое может иметь электрон Е max =0. При этом n стре- мится к бесконечности (n ). Это соответствует ионизации атома, т.е. отрыву от него электрона. Потенциал ионизации e E i i , (38.7) где 1 E E i – энергия ионизации атома. Среди оптических свойств атома важнейшим является его спектр излуче- ния. Так как любая спектральная линия возникает при переходе с одного энер- гетического уровня на другой, то оптический спектр атома водорода и водоро- доподобных ионов является линейчатым. Длины волн спектральных линий описываются обобщенной формулой Бальмера: 2 2 2 1 1 1 Z n n R k i , (38.8) где n i – номер энергетического уровня, на который переходит электрон; n k – номер энергетического уровня, с которого переходит электрон. Спектральные линии принято группировать в спектральные серии. В каждую серию входят все линии с фиксированным n i , т.е. относящиеся к пере- ходу электрона (при излучении) на один и тот же нижний уровень с различных верхних. На рис. 38.1 показана схема уровней энергии атома водорода и его спектральные серии. Серию с n i = 1 (n k =2, 3, 4,…) называют серией Лаймана . Линии находят- ся в области ультрафиолетового излучения. Серия с n i = 2 (n k = 3, 4, 5,…) носит название серии Бальмера . Четыре первые линии этой серии лежат в видимой части спектра и обозначаются через H H H H , , , . Остальные линии серии Бальмера находятся в области ультра- фиолетового излучения. Серии с n i = 3 (n k = 4, 5, 6,…) серия Пашена , Элементы квантовой механики 86 n i = 4 (n k = 5, 6, 7,…) серия Бреккета , n i = 5 (n k = 6, 7, 8,…) серия Пфунда . находятся в инфракрасной части спектра. 38.3 Квантование орбитального момента импульса и магнитного момента Момент импульса электрона в атоме квантуется по формуле: 1 l l L , (38.9) где l – орбитальное квантовое число. При заданном главном квантовом числе n, орбитальное квантовое число принимает значения 0, 1, 2, 3, …., (n–1). Состоя- 13,6 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 E,эВ 1 2 3 4 5 n Серия Брэкета Серия Пашена Серия Бальмера Серия Лаймана Рисунок 38.1 Элементы квантовой механики 87 ния электрона, обладающего различными значениями орбитального квантового числа, в атомной физике принято обозначать и называть следующим образом: если l=0, то состояние электрона называется s–состоянием; если l=1, то состоя- ние электрона называется р–состоянием. Состояния с l=2, 3, и т.д. называются соответственно d–, f– и т.д. состояниями, т.е. уже в порядке следования букв латинского алфавита. Значение главного квантового числа указывается перед условным обозначением квантового числа l. Например, электрон с n =2 и l=0 обозначается символом 2s. Хотя в квантовой механике представление об орбитах, как и представле- ние о траекториях является неправомерным, момент, обусловленный движени- ем электрона в атоме, называют орбитальным моментом импульса. Движение электрона в атоме эквивалентно некоторому замкнутому контуру с током ( ор- битальному току ). Следовательно, кроме орбитального момента импульса электрон обладает орбитальным магнитным моментом. Отношение орбитального магнитного момента элементарной частицы к ее орбитальному моменту импульса называется магнитомеханическим (или гиромагнитным ) отношением. Для электрона оно равно m e L p m 2 , (38.10) где e – заряд электрона, m – его масса. Знак « – »указывает на то, что направле- ния моментов противоположны. Из соотношений (38.9) и (38.10) следует, что орбитальный магнитный момент m p также квантуется: 1 l l p m Б , (38.11) m e 2 Б – величина, называемая магнетоном Бора. Для электрона Б =0,92710 –23 А м 2 38.4 Пространственное квантование В классической механике считалось, что векторы орбитального момента импульса L и магнитного момента m p могут быть ориентированы во внешнем магнитном поле совершенно произвольно. В квантовой механике доказывается, что существует пространственное квантование: Вектор момента импульса электрона имеет лишь такие ориентации в пространстве, при которых проекция z L вектораL на направление Z внешнего магнитного поля принимает квантованные, целочисленные зна- чения, кратные m L z , (38.12) где m = 0, 1, 2, 3, …., l – магнитное квантовое число. Магнитное квантовое число может иметь (2 l +1) значений. Следовательно, момент импульса L может иметь в пространстве (2 l +1) ориентаций. Элементы квантовой механики 88 Аналогично справедливо следующее утверждение: Вектор магнитного момента электрона имеет лишь такие ориента- ции в пространстве, при которых проекция z m p вектора m p на направле- ние Z внешнего магнитного поля принимает квантованные, целочисленные значения, кратные Б . Б m p z m (38.13) Пример: электрон находится в р –состоянии, при этом l =1, m = 0, 1. Проекция орбитального момента импульса может иметь следующие значения: z L , 0 z L , z L Изобразим вектор момента импульса L в виде направ- ленных отрезков (рис. 38.2). Такая схема называется вектор- ной моделью атома Аналогично изображают магнитный момент m p . Век- торную модель нельзя понимать буквально. Ее следует рассматривать как сово- купность правил, позволяющих получить результаты, справедливость которых подтверждается строгими квантово-механическими расчетами. Экспериментальное определение магнитных моментов атомов было осу- ществлено Штерном и Герлахом. В их опытах пучок атомов пропускался через сильное неоднородное магнитное поле, перпендикулярное пучку. Неоднородность поля достигалась за счет специаль- ной формы полюсных сердечников электромагнита (рис. 38.3). На атомы пучка должна действовать сила cos x B p F m z При хаотическом распределении магнитных моментов по направлениям в пучке имеются частицы, у которых значения угла изменяются в пределах от 0 до . Узкий пучок атомов после прохождения между полюсами должен образо- вать на экране сплошной растянутый след (см. рис. 38.4). Опыты, проведенные с сереб- ром и другими элементами, привели к иному результату. Вместо сплошного растянутого следа на экране наблюдались отдельные ли- нии, расположенные симметрично относи- тельно пучка, полученного в отсутствие по- ля. Число возможных проекций зависело от природы атома. Для серебра, алюминия, ме- ди и щелочных металлов оно равно двум, для ванадия, азота – четырем, кислорода – пяти, марганца – шести и т.д. Опыты Штер- на и Герлаха не только подтвердили пространственное квантование моментов импульсов в магнитном поле, но и дали экспериментальное подтверждение вы- h 0 h L L L Рисунок 38.2 Рисунок 38.3 С полем Fe Mn V Ag,Na,K Ожидаемый результат Без поля Рисунок 38.4 Элементы квантовой механики 89 воду о том, что магнитные моменты электронов и атомов имеют дискретную природу. Момент импульса атома (и его магнитный момент) равен сумме моментов электронов. Моменты электронов замкнутых оболочек компенсируются, по- этому суммарный момент электронов совпадает с суммарным моментом ва- лентных электронов. У элементов первой группы периодической системы имеется один ва- лентный электрон. Этот валентный электрон в основном состоянии имеет орби- тальное квантовое число, равное нулю, т.е. электрон находится в s -состоянии. Из формулы (38.9) следует, что при l =0 момент импульса электрона L равен ну- лю. Поэтому возник вопрос о том, пространственное квантование какого мо- мента импульса обнаружилось в опытах Штерна и Герлаха? Для объяснения полученного результата нужно было предположить, что у электрона кроме ор- битального момента импульса и соответствующего ему магнитного момента имеется собственный механический момент импульса и собственный магнит- ный момент. 38.5 Спин электрона В 1925 году С. Гаудсмит и Дж. Уленбек на основе анализа спектроскопи- ческих данных выдвинули гипотезу о том, что электрон обладает собственным моментом импульса s L и соответствующим ему собственным магнитным моментом s m p . Этот собственный момент импульса был назван спином . Сло- во «спин» (англ. s pin ) означает верчение. Спин следует считать внутренним свойством, присущим электрону так же, как заряд и масса . Предположение о спине электрона подтверждено большим количеством опытных фактов и считается совершенно доказанным. Из общих выводов квантовой механики следует, что спин (т.е. собствен- ный момент импульса или спиновый момент) квантуется по формуле: 1 s s L s , (38.14) где s – спиновое квантовое число, которое для электрона может принимать только одно значение, равное 1/2. Проекция спина на заданное направление также квантуется: s s m L z , (38.15) где для электрона m s = s = 1/2. Число m s по аналогии с m можно было бы назвать магнитным спиновым числом. Но такое название редко применяется. Гораздо чаще, говоря о спино- вом квантовом числе понимают под ним число m s , то есть приписывают спино- вому квантовому числу значения 1/2. Следует, однако, помнить, что число s имеет только одно значение: s= 1/2. Элементы квантовой механики 90 Для собственного магнитного момента электрона s m p выполняются такие соотношения: 1 2 s s p s m Б (38.16) Знак « – » указывает на то, что механический s L и магнитный s m p моменты электрона направлены в разные стороны. Проекция собственного магнитного момента электрона на заданное направление может принимать следующие значения: Б Б s m m p z s 2 (38.17) Минус получается, если m s = +1/2, плюс – если m s = –1/2. Таким образом, проекция собственного момента импульса электрона мо- жет принимать значения 2 и 2 , а собственного магнитного момента – значения + Б и – Б . В ряд формул, в частности в выражение для энергии, вхо- дят не сами моменты, а их проекции. Поэтому принято говорить, что собствен- ный механический момент (спин) равен 1/2 (в единицах ), а собственный маг- нитный момент равен магнетону Бора Б . §39 Принцип Паули. Периодическая система элементов Менделеева В 1925 году В. Паули установил квантово-механический закон, называе- мый принципом Паули или принципом запрета Паули. В своей простейшей формулировке он звучит так: В одном и том же атоме (или в какой-либо другой квантовой систе- ме) не может быть двух электронов, обладающих одинаковым набором че- тырех квантовых чисел: n, l, m, m s . Иными словами, в одном и том же со- стоянии не могут находиться одновременно два электрона Максимальное число электронов, находящихся в состояниях, описывае- мых набором трех квантовых чисел n, l, m и отличающихся только ориентаци- ей спинов электронов N (n, l, m )=2, так как магнитное спиновое квантовое число может принимать только два зна- чения +1/2 и –1/2. Максимальное число электронов, находящихся в состояниях, определяе- мых двумя квантовыми числами n и l: N (n, l) =2(2l+1). При этом учтено, что вектор L при заданном l может принимать (2l+1) ориентаций. Максимальное число электронов, находящихся в состояниях, определяе- мых значением главного квантового числа n: N (n) =2 n 2 Элементы квантовой механики 91 В 1869 году Д.И. Менделеев открыл периодический закон изменения хи- мических и физических свойств элементов в зависимости от их атомных масс. Если расположить химические элементы в порядке возрастания их атомных масс, то периодически, через промежутки, называемые периодами, элементы, оказавшиеся в одном вертикальном ряду (группе), обнаруживают сходные фи- зико-химические свойства. Менделеев ввел понятие порядкового номера эле- мента. Расположив химические элементы в порядке возрастания их номера, он получил полную периодичность в изменении химических свойств элементов. При этом часть клеток периодической системы оказалась свободной, так как соответствующие элементы еще не были известны. Таким образом, Менделееву удалось предсказать ряд новых элементов (галлий, скандий, германий и т.д.). В дальнейшем все эти элементы были открыты. Физический смысл порядкового номера был установлен Резерфордом. Современная теория периодической системы основывается на следующих положениях: а) порядковый номер Z химического элемента равен общему числу элек- тронов в атоме данного элемента; б) состояние электронов в атоме определяется набором четырех кванто- вых чисел: n, l, m, m s . Распределение электронов в атомах по энергетическим состояниям должно удовлетворять принципу минимума потенциальной энер- гии: с возрастанием числа электронов каждый следующий должен занять воз- можное энергетическое состояние с наименьшей энергией; в) заполнение электронами энергетических состояний происходит в соот- ветствии с принципом Паули. Совокупность электронов в атоме с одинаковым значением главного квантового числа n называется электронным слоем (электронной оболочкой). Различают следующие электронные слои: К-слой, главное квантовое число n =1; L-слой, главное квантовое число n=2; М-слой, главное квантовое число n=3; N-слой, главное квантовое число n=4 и т.д. Внутри слоя электроны распределяются по подуровням (подоболочкам), каждая из которых соответствует определенному значению орбитального кван- тового числа l. У легких атомов сначала заполняется оболочка с меньшим n, и лишь за- тем должна заполняться электронами следующая оболочка. Внутри данной оболочки вначале заполняются состояния с l = 0, а затем состояния с бóльшими l, вплоть до l=(n–1). Начиная с калия (Z=19), начинаются нарушения этого порядка. Объясня- ется это следующим образом. При больших квантовых числах n взаимодей- ствие между электронами в атоме приводит к тому, что состояния с бóльшим n и меньшим l могут иметь меньшую энергию, чем состояния с меньшим n, но с бóльшим l, т.е. быть энергетически более выгодными. Поэтому имеются хими- ческие элементы с недостроенными предыдущими оболочками, у которых за- страиваются последующие. Элементы квантовой механики 92 Таблица 39.1 Квантовые числа, характеризующие состояние электрона в атоме Квантовое число и его значение Величина, кото- рая квантуется Формула Примечание 1. Главное кванто- вое число n=1, 2, 3, …. Соответствует но- меру энергетиче- ского уровня Энергия 2 2 Z n Rch E n (Дж) или 2 2 6 , 13 Z n E n (Эв) R = 1,09 10 7 м –1 – постоянная Рид- берга; с = 3 10 8 м/с – скорость света; h = 6,63 10 –34 Дж с – постоянная Планка. 2. Орбитальное квантовое число l=0, 1, 2,..., (n–1) 1. Орбитальный момент импульса 2. Орбитальный магнитный мо- мент 1. 1 l l L 2. 1 l l p m Б Б =0,927 10 –23 А м 2 – магнетон Бора 3. Магнитное квантовое число m= l ..., , 2 , 1 , 0 1. Проекция ор- битального мо- мента импульса на направление внешнего маг- нитного поля 2. Проекция маг- нитного момента на направление внешнего маг- нитного поля 1. m L z 2. Б m p z m 2 h – постоянная План- ка 4. Спиновое кван- товое число s=1/2 1. Собственный момент импульса (спин) 2. Собственный магнитный мо- мент 1. 1 s s L s 2. 1 2 s s p s m Б Число s имеет только одно зна- чение: s=1/2, по- этому состояние электрона в атоме определяется набором четырех квантовых чисел: n, l, m, m s . Число m s чаще называют просто спиновым числом 5. Магнитное спи- новое число m s = 1/2 1. Проекция соб- ственного момен- та импульса 2. Проекция соб- ственного маг- нитного момента 1. s s m L z 2. Б Б s m m p z s 2 |