§6 Затухающие колебания
6.1 Затухающие колебания пружинного маятника
В реальных условиях на шарик массы m, совершающий колебания вдоль оси 0x под действием силы упругости
kx
F
упр
, действует также сила сопро- тивления (вязкого трения). При малых скоростях она пропорциональна скоро- сти
dt
dx
r
r
F
c
v
,
(6.1) где r – коэффициент сопротивления. Знак “
“ обусловлен тем, что сила и скорость имеют противоположные направления. В этом случае второй закон
Ньютона запишется в виде
2 2
dt
x
d
m
dt
dx
r
kx
(6.2)
Разделив обе части полученного уравнения на m, перепишем его следую- щим образом:
0 2
2
x
m
k
dt
dx
m
r
dt
x
d
(6.2а) или
0 2
2 0
x
x
x
,
(6.3) где обозначено:
m
r
2
,
m
k
2 0
Величину β называют коэффициентом затухания. ω
0
– собственная ча- стота колебаний, то есть частота, с которой совершались бы свободные колеба- ния при отсутствии трения.
Уравнение (6.3) называют дифференциальным уравнением затухающих
колебаний
. Если затухание невелико (β<ω
0
), то решение имеет вид:
0 0
cos
t
e
A
t
x
t
, (6.4) где
2 2
0
,
(6.5)
– частота затухающих колебаний.
Согласно (6.4) движение маятника мож- но рассматривать как колебание с частотой ω и амплитудой А, изменяющейся по закону
t
e
A
t
A
A
0
(6.6)
График функции x(t) дан на рисунке 6.1.
Рисунок 6.1
Колебания
21
6.2 Затухающие колебания в колебательном контуре Всякий реальный контур (рис. 6.2) обладает активным сопротивлением
(
R0). Энергия, запасенная в контуре,
расходуется в этом сопротивлении на нагревание, поэтому свободные колебания затухают.
Потери энергии равны количеству тепла, выделив- шемуся на активном сопротивлении:
QWWd
м эл
(6.7)
Знак “–“ перед дифференциалом означает, что энергия уменьшается.
Согласно (3.19) и (3.20):
CqW2 2
эл
,
2 2
м
LIW
По закону Джоуля
Ленца
RdtIQ2
Сделав подстановку в (6,7) и проведя математические преобразования, получим дифференциальное уравнение второго порядка:
0 1
2 2
qLCdtdqLRdtqd(6.10) или
0 2
2 0
qqq
,
(6.11) где
LR2
,
LC1 2
0
Уравнение (6.11) по своему виду совпадает с дифференциальным уравне- нием (6.3) для затухающих механических колебаний. Если затухание невелико
(
0
), то его решение имеет вид:
0 0
cos
)
(
teqtqt,
(6.12) где
2 2
0
частота затухающих колебаний.
(6.13)
График функции
q(
t) имеет тот же вид, что и
x(
t) (см. рис. 6.1).
6.3 Основные характеристики затухающих колебаний Величинами, характеризующи- ми затухающие колебания, являются:
1.
Коэффициент затухания (β) – скалярная физическая величина, ха- рактеризующая скорость затухания.
[β]=1/с
Для механических колебаний
LCRРисунок 6.2
Рисунок 6.3
Колебания
22
m
r
2
(6.14)
Для электромагнитных колебаний
L
R
2
(6.15)
Чем больше коэффициент затухания, тем быстрее уменьшается амплитуда
(рис. 6.3).
2.
Время релаксации
(τ) – время, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в е =2,71… раз (е – основание натуральных логарифмов).
1
(6.16)
3.
Логарифмический декремент затухания
(λ) – безразмерная величина, количественная характеристика быстроты затухания колебаний, численно рав- ная натуральному логарифму отношения двух следующих друг за другом ам- плитуд
)
(t
A
и
)
(
T
t
A
в одну и ту же сторону (см. рис. 6.1)
)
(
)
(
ln
T
t
A
t
A
(6.17)
Логарифмический декремент затухания и коэффициент затухания связаны со- отношением.
T
(6.18)
4.
Число колебаний за время релаксации
– N
e
1 1
T
T
N
e
(6.19)
5.
Добротность колебательной системы
(Q) – безразмерная физическая величина, характеризующая убыль энергии за период и равная произведению
2π на отношение энергии W(t) колебаний системы в произвольный момент вре- мени t к убыли этой энергии за один период Т.
T
W
t
W
Q
)
(
2
,
(6.20) где
)
(
)
(
T
t
W
t
W
W
T
Если затухание невелико, то добротность определяется по соотношению:
Q
(6.21)
Большим значениям Q соответствует слабое затухание.
6. Энергия колебаний. Так как энергия колебаний пропорциональна квадрату амплитуды (см. формулу (4.4)), то закон изменения энергии при зату- хающих колебаниях примет вид:
Колебания
23
teWtW
2 0
)
(
,
(6.22) где в соответствии с (4.4):
2 2
0 0
kAW
(6.23)
6.4 Апериодический процесс Согласно (6.5) частота затухающих колебаний
2 2
0
,
2
TЕсли
0
, то частота затухающих колебаний обращается в нуль, а пе- риод – в бесконечность, то есть движение перестает быть периодическим.
Если
0
, то движение носит апериодический (непериодический) ха- рактер. Это означает, что выведенная из положения равновесия система воз- вращается в положение равновесия, не совершая колебаний.
Таким образом, при
0
колебательная система переходит к апериоди- ческому процессу.
На практике нередко возникает задача погашения колебаний в момент их возникновения (например,
колебания стрелки измерительного прибора, колеба- ний кузова автомобиля). Устройства, которые позволяют увеличить затухание колебательной системы, называются
демпферами или
амортизаторами.
§7 Вынужденные колебания Чтобы вызвать вынужденные колебания нужно оказывать на систему внешнее периодически изменяющееся воздействие.
7.1 Вынужденные механические колебания В качестве колебательной системы рассмотрим пружинный маятник, со- вершающий колебания вдоль оси 0
x (см. п. 3.1). Переменная внешняя сила, приложенная к системе и вызывающая ее механические колебания, называется
вынуждающей силой. Пусть вынуждающая сила изменяется по закону
tFtF
cos
)
(
0
,
(7.1) где Ω – частота вынуждающей силы, а
F0
– ее амплитудное значение. Кроме вынуждающей силы на маятник действуют также те силы, что и при свободных колебаниях, то есть квазиупругая сила и сила сопротивления (см. п. 6.1). Запи- шем второй закон Ньютона:
2 2
0
cos
dtxdmtFdtdxrkx
Колебания
24
Разделив это уравнение на
m, перепишем его в виде:
tmFxmkdtdxmrdtxd
cos
0 2
2
,
(7.2) или
tfxxx
cos
2 0
2 0
,
(7.3) где
mFf0 0
,
mr2
,
mk
2 0
Уравнение (7.3) является
дифференциальным уравнением вынужденных механических колебаний. Из
теории дифференциальных уравнений известно, что общее решение данного неоднородного дифференциального уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного:
)
(
)
(
)
(
2 1
txtxtx
Общее решение однородного уравнения уже известно (см. формулу (6.4)):
0 0
1
cos
teAtxtМожно показать, что частное решение, удовлетворяющее правой части уравнения (7.2), имеет вид:
tAtxcos
2
Амплитудное значение
)
(
1
tx,
равное
teA
0
, после начала вынужденных колебаний более или менее быстро уменьшается. Следовательно, через некото- рое время τ после начала колеба- ний свободные колебания маятни- ка практически прекращаются:
)
(
)
(
2
txtx
. Маятник переходит в состояние установившихся вы- нужденных колебаний, которые совершаются с частотой вынуж- дающей силы (см. рис. 7.1):
tAtxcos
, (7.4) где φ
представляет собой вели- чину отставания по фазе вынуж- денного колебания от обусловив- шей его вынуждающей силы. Ам- плитуда этих колебаний
А и значение φ определяются как параметрами систе- мы (
m,
0
), так и параметрами вынуждающей силы (
F0
,
).
xtпереходный процесс установившиеся колебания
)
(
cos
0
tAxte
Рисунок 7.1
Колебания
25
2 2
2 2
2 0
0 4
m
F
A
(7.5)
2 2
0 2
tg
(7.6)
График зависимости амплитуды А вынужденных колебаний от частоты
вынуждающей силы (т.е. амплитудно-частотная характеристика) имеет вид, представленный на рис. 7.2.
Если
0
, то
0
В этом случае
k
F
m
F
A
A
0 2
0 0
ст
(7.7)
Амплитуду А
ст называют статическим
смещением
(статической амплитудой) маятника из положения равновесия под действием посто- янной силы F
0
При некоторой частоте p
, называемой резонансной, амплитуда достигает максимально- го значения А
р
Явление резкого возрастания амплиту-
ды вынужденных колебаний при приближе-
нии частоты вынуждающей силы к соб-
ственной частоте
0
называется
резонансом.
Чтобы определить резонансную частоту p
, надо исследовать выражение
(7.5) на экстремум. При этом для резонансной частоты получится следующее выражение:
2 2
0
р
2
(7.8)
Подставив это значение частоты в (7.5), получим выражение для резонансной амплитуды:
2 2
0 0
p
2
m
F
A
(7.9)
Из (7.9) следует, что при β= 0 (сил сопротив- ления нет) амплитуда при резонансе обращалась бы в бесконечность. Резонансная частота при этом сов- пала бы с собственной частотой
0
Из (7.8) и (7.9) также следует, что чем меньше β, тем выше и правее ле- жит максимум кривой (рис. 7.3).
Для β<<ω
0
отношение резонансной амплитуды к статической равно доб- ротности системы:
A
A
A
p p
ст
0
Рисунок 7.2 0
A
1 1
2 2
3 3
< <
p
Рисунок 7.3
Колебания
26
QAA
ст р
(7.10)
Добротность, таким образом, характеризует резонансные свойства колебатель- ного контура.
7.2 Вынужденные колебания в колебательном контуре Чтобы вызвать
вынужденные колебания в колеба- тельном контуре, нужно включить последовательно с эле- ментами контура переменную эдс (рис. 7.4):
tt
cos
)
(
0
,
(7.11) где ε
0
– амплитудное значение эдс.
Получим дифференциальное уравнение вынужден- ных колебаний, применив закон сохранения энергии. В ле- вую часть уравнения (6.7) (см. § 6, п. 6.2) добавим элемен- тарную работу, которую совершает источник эдс:
dtIA
(7.12)
Уравнение (6.7) примет вид:
QAWWd
м эл
. (7.13)
Проведя такие же преобразования, как в п. 6.2, получим следующее уравнение:
tLqLCdtdqLRdtqd
cos
1 0
2 2
(7.14) или:
tLqqq
cos
2 0
2 0
(7.15)
Здесь β и ω
0
определяются теми же формулами, что в случае затухающих коле- баний (см. п.6.2).
Уравнение (7.15) является
дифференциальным уравнением вынужден-ных электромагнитных колебаний. Оно имеет тот же вид, что и дифференци- альное уравнение вынужденных механических колебаний (7.3). Следовательно, его решение также представим в виде:
)
(
)
(
)
(
2 1
tqtqtq
, где
0 01 1
cos
)
(
teqtqt общее решение однородного дифференци- ального уравнения;
tqtqcos
0 2
частное решение данного неоднородного уравне- ния.
LC
RРисунок 7.4
Колебания
27
При установившихся вынужденных колебаниях заряд изменяется по гар- моническому закону:
t
q
t
q
cos
0
(7.16)
Амплитудное значение заряда q
0
и сдвиг фаз φ
находятся по формулам, аналогичным для механических колебаний:
2 2
0 2
2 2
2 2
0 0
0 1
4
C
L
R
L
q
,
(7.17)
C
L
R
1 2
tg
2 2
0
(7.18)
В формулах (7.17) и (7.18) произведена замена:
L
R
2
,
LC
1 0
График зависимости заряда q от частоты
совпадает с графиком А =f() для вынужденных механических колебаний (см. рис. 7.3)
Сила тока в колебательном контуре при установившихся колебаниях
2
cos sin
0 0
t
I
t
q
dt
dq
I
,
(7.19) где
0 0
q
I
амплитуда силы тока,
2 0
сдвиг фаз между током и приложенным напряжением.
Графики зависимости силы тока I
0
от
при различных R называются
резонансными
кривыми
(рис. 7.5). Резонансная циклическая частота р
, соответствующая максимуму амплитуды силы тока в контуре, не зависит от активного сопротивления R:
LC
1 0
р
(7.20)
Явление резонанса используют в акустике для усиления звучания музыкальных инструментов, в электротехнике – для измерения часто- ты тока, в радиотехнике – для выделения нужного сигнала из других, отличающихся часто- той, а также в многоканальной телеграфии и телефонии.
Резонанс может быть причиной аварий и катастроф. Периодические толчки от порш- невых машин, силовых валов турбин, пропеллеров передаются на фундаментальные и другие части машин. Поэтому, например, собственная частота вибраций корпуса корабля или крыла самолета должна значительно отличаться от частоты возмущающей силы, обусловленной вращением силовых винтов. Амплитуду опасных резонансных колебаний также уменьшают, увеличив коэффициент затухания (это делается в амортизаторе автомобиля). Явление резо- нанса становится незаметным.
I
0 0
R
R
R
1
=0 2
3
R
2
R
3
<
Рисунок 7.5
Скачать 1.36 Mb.