Конспект лекций по физике.Часть 2. Протокол 1 от 14. 09. 2012 г. Утверждено учебноиздательским советом Доннту. Протокол 4 от 04. 10. 2012 г. 2014
 Скачать 1.36 Mb.
|
|
§ 2 Гармонические колебания Гармонические колебания – колебания, при которых колеблющаяся ве- личина изменяется по закону косинуса или синуса: 0 0 max cos t t (2.1) или 0 0 max sin t t (2.1а) Оба представления равноправны. В дальнейшем мы будем считать, что колеблющаяся величина изменяется по закону косинуса. Амплитуда колебаний и начальная фаза определяются начальными усло- виями, а частота и период – свойствами колебательной системы. Если хотя бы один из этих параметров изменяется во времени, то колебания не будут гармо- ническими. 2.1 Скорость и ускорение при гармонических колебаниях Скорость колеблющейся точки: 2 cos sin sin 0 0 max 0 0 max 0 0 0 t t t A dt d v v v , (2.2) где v max = A ω 0 – максимальное (амплитудное) значение скорости. Ускорение колеблющейся точки Колебания 10 0 0 max 0 0 max 0 0 2 0 2 2 cos cos cos t a t a t A dt d a , (2.3) где 2 0 max A a – максимальное (амплитудное) значение ускорения. Гармонические колебания мож- но представить графически. Для слу- чая φ 0 =0 они имеют вид, показанный на рис. 2.1. Из формул (2.2) и (2.3) и сравнения графиков можно сделать следующие выводы: t и а(t) колеблются в противофа- зе, то есть а(t) опережает t по фазе на π; v (t) опережает t по фазе на π/2. 2.2 Дифференциальное уравнение гармонических колебаний Согласно уравнению (2.3) 0 0 2 0 2 2 cos t A dt d Сравнив данное выражение с формулой (2.1), можно сделать вывод, что 2 0 2 2 dt d , или: 0 2 0 2 2 dt d (2.4) Согласно обозначениям, принятым Ньютоном, производные по времени обозначаются следующим образом: dt d , 2 2 dt d . (2.5) Тогда дифференциальное уравнение гармонических колебаний можно за- писать в виде: 0 2 0 . (2.6) Уравнение (2.4) называется дифференциальным уравнением гармониче- ских колебаний. Оно представляет собой линейное однородное дифференци- альное уравнение второго порядка. Дифференцирование ведется по времени t. Рисунок 2.1 Колебания 11 Если при анализе физических процессов той или иной природы, сделан- ных на основе законов и приближений, возникает уравнение подобного вида, то это означает, что рассмотренная система может совершать гармонические ко- лебания. Частота колебаний будет определяться свойствами самой системы. §3 Примеры систем, совершающих гармонические колебания 3.1 Пружинный маятник Пружинный маятник – тело массой m, колеблющееся на пружине жест- костью k (рис. 3.1). Если сместить шарик от положения равновесия на расстоя- ние, равное х, то возникшая сила упругости ( kx F упр ) стремится вернуть ша- рик в положение равновесия. Применив второй закон Ньютона, можно полу- чить следующее уравнение 0 2 2 x m k dt x d (3.1) где 2 2 dt x d a – ускорение, полученное шариком. Введем обозначение: 2 0 m k (3.2) где ω 0 – это физический параметр, характеризующий колебательные свойства системы и называемый собственной частотой колебаний. Тогда с учетом (3.2) уравнение (3.1) можно переписать в виде: 0 2 0 x x , (3.3) Уравнение (3.3) называется дифференциальным уравнением гармонических ко- лебаний. Общее решение этого уравнения имеет вид: 0 0 cos t A t x (3.4) Период колебаний пружинного маятника: k m T 2 2 0 (3.5) В рассмотренном примере сила по своей природе упругая. Сила иного происхождения может обнаруживать такую же закономерность, то есть оказываться равной kx, где k – постоянная положительная величина. Си- лы такого вида, независимо от их природы, называются квазиупругими. 3.2 Физический маятник Физический маятник – твердое тело, способное совершать колебания относительно неподвижной горизонтальной оси, не проходящей через центр масс. x x x F упр Рисунок 3.1 Колебания 12 Отклоним маятник на угол от положения равновесия (рис. 3.2). При этом возникает вращающий момент, который стремится вернуть маятник в по- ложение равновесия: sin mgl M , m – масса маятника, l – расстояние между точкой подвеса О и центром масс С. Знак “ ” означает, что момент силы тяжести стремится уменьшить угол откло- нения маятника. Будем считать, что угол отклонения мал (до 3 5), при этом sin ( должен быть выражен в радианах). Применив основной закон динамики враща- тельного движения, получим 0 2 2 J mgl dt d (3.6) где J момент инерции маятника относительно оси колебаний. 2 2 dt d угловое ускорение маятника, Введем обозначение: J mgl 2 0 (3.7) Тогда дифференциальное уравнение гармонических колебаний запишется в ви- де: 0 2 0 (3.8) Решение уравнений (3.6) и (3.8) имеет вид: 0 0 max cos t t , (3.9) где max A – амплитуда колебаний, то есть наибольший угол, на который отклоняется маятник. Следовательно, малые колебания физического маятника являются гармоническими Период гармонических колебаний физического маятника mgl J T 2 2 0 (3.10) 3.3 Математический маятник Математический маятник – это материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити и совершающая колебания в вертикальной плоскости под действием силы тяжести. Хорошим приближением к математическому маятнику служит неболь- шой шарик массой m, подвешенный на длинной нити длиной l (рис. 3.3). Мате- O O ’ C d mg l Рисунок 3.2 Колебания 13 матический маятник можно рассматривать как предельный случай физического маятника, масса которого сосредоточена в одной точке. Движение физического маятника описывается уравнением (3.6). 0 2 2 J mgl dt d Если нить длинная, то шарик можно считать материальной точкой. Момент инерции J шарика от- носительно оси колебаний в этом случае равен: 2 ml J Период колебаний математического маятника g l mql ml T 2 2 2 (3.17) Из сопоставления формул (3.16) и (3.17) получается, что математический маятник с длиной ml J l пр (3.18) будет иметь такой же период колебаний, как и данный физический маятник. Величину (3.18) называют приведенной длиной физического маятника. Таким образом, приведенная длина физического маятника – это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом колебаний данного физического маятника. 3.4 Колебательный контур Колебательный контур – цепь, содержащая катушку индуктивностью L и конденсатор емкостью С (рис. 3.4). Колебания в контуре можно вызвать, сообщив об- кладкам конденсатора некоторый начальный заряд. За- мкнем ключ К в положение 1 (рис. 3.5). На обкладках возникнут два разноименных заряда +q и q. Между ними возникнет электрическое поле, энергия которого C q W 2 2 эл (3.19) Если затем отключить источник напряжения и за- мкнуть конденсатор на индуктивность (ключ К – в поло- жении 2), то конденсатор начнет разряжаться, в контуре потечет ток. В результате этого энергия электрического поля будет уменьшаться, зато возникнет магнитное поле с энергией L C 1 2 K Рисунок 3.5 L C Рисунок 3.4 mg l Рисунок 3.3 Колебания 14 2 2 м LI W , (3.20) которая возрастает. Активное сопротивление R=0, поэтому полная энергия не расходуется на нагревание проводов и остается величиной постоянной const м эл W W или const 2 2 2 2 LI C q (3.21) Продифференцируем функцию (3.21) по времени, произведем сокраще- ния и, разделив каждый член уравнения на L, получим: 0 1 dt dq q LC dt dI I (3.22) Так как по определению I dt dq , то 2 2 dt q d dt dI На основании этого можно записать: 0 1 2 2 q LC dt q d (3.24) Введем обозначение 2 0 1 LC (3.25) и приведем уравнение (3.24) к виду: 0 2 0 q q (3.26) Решением этого уравнения является функция 0 0 max cos t q q , (3.27) где q max максимальное (амплитудное) значение заряда. Таким образом, заряд на обкладках конденсатора изменяется по гар- моническому закону . Период колебаний колебательного контура определяется по формуле, которая называется формулой Томсона: LC T 2 2 0 (3.28) Напряжение на конденсаторе: 0 0 max 0 0 max cos cos t U t C q C q U , (3.29) где U max =q max /C – амплитудное значение напряжения. Колебания 15 Продифференцировав функцию (3.27) по времени, получим выражение для силы тока: 2 cos sin 0 0 max 0 0 max 0 t I t q I , (3.30) где I max =ω 0 q max – амплитудное значение силы тока. Таким образом, сила тока опережает по фазе напряжение на конденсаторе на π/2. §4 Энергия колебаний Колебания пружинного маятника совершаются под действием упругой силы. Потенциальная энергия гармонического колебания 0 0 2 2 2 п cos 2 2 t A k kx W (4.1) Кинетическая энергия гармонического колебания 0 0 2 2 0 2 2 к sin 2 2 t A m m W v (4.2) Полная механическая энергия гармонического колебания: п к W W W , 2 cos sin 2 cos 2 sin 2 2 0 0 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 2 kA t t kA t kA t mA W , (4.3) так как согласно (3.5) 2 0 m k (см. §3, п.3.1). Таким образом, полная энергия гармонического колеба- ния остается величиной по- стоянной 2 2 kA W (4.4) Графики зависимости кинетической и потенциальной энергии от времени представлены на рис. 4.1. Частота из- менения энергии в 2 раза превышает частоту колебаний. В моменты наибольшего смещения х потенци- альная энергия W п достигает макси- мума. При прохождении системой положении равновесия (х=0) потенциальная энер- гия равна нулю, а кинетическая энергия максимальна. Наибольшие значения кинети- ческой и потенциальной энергии равны между собой. t t W ,W n k x W n W k Рисунок 4.1 Колебания 16 §5 Сложение гармонических колебаний Любая колебательная система в общем случае может совершать одновре- менно несколько колебаний. Сложение нескольких колебаний значительно об- легчается и становится наглядным, если изображать колебания графически в виде векторов на плоскости. 5.1 Графическое изображение гармонических колебаний. Векторная диаграмма Из произвольной точки 0, взятой на оси х, отложим вектор длиной А, об- разующий с осью 0x угол φ 0 , равный начальной фазе (рис. 5.1). Если привести этот вектор во вращение с постоянной угловой скоростью ω 0 , то проекция конца вектора будет перемещаться по оси х в пределах от А до +А. С течением времени угол будет изменяться по закону 0 0 t , Соответственно, проекция вектора A на ось х изменяется по закону 0 0 cos t A x , то есть совершает гармонические колебания. Из сказанного следует, что гармониче- ское колебание может быть задано с по- мощью вектора, длина которого равна ам- плитуде колебания, а направление вектора образует с осью х угол, равный фазе колеба- ния . Полученная схема называется векторной диаграммой 5.2 Сложение одинаково направленных гармонических колебаний а). Сложение колебаний одинаковой частоты : 0 2 1 . Смещение х колеблющейся точки будет равно сумме смещений х 1 и х 2 , которые описыва- ются уравнениями: 02 0 2 2 01 0 1 1 cos cos t A x t A x (5.1) Оба колебания представим в виде векторов 1 A и 2 A и сложим их по пра- вилу параллелограмма (рис. 5.2). Проекция вектора A на ось х равна сумме проекций слагаемых векторов: х=х 1 +х 2 0 0 0 0 A x x x Рисунок 5.1 Колебания 17 Следовательно, вектор A представляет собой результирующее колебание. Этот вектор вращается с той же угловой скоростью ω 0 , как и векторы 1 A и 2 A , так что результирующее движение будет гармоническим колебанием с той же ча- стотой ω 0 , амплитудой А и начальной фа- зой φ 0 : 0 0 cos t A x (5.2) Амплитуда и начальная фаза результиру- ющего колебания определяются соотно- шениями; 01 02 2 1 2 2 2 1 cos 2 A A A A A .(5.4) 02 2 01 1 02 2 01 1 0 cos cos sin sin A A A A tg (5.5) Амплитуда результирующего колебания зависит от разности фаз. Если: 1) m 2 01 02 , где m=0, 1, 2, …, то 2 1 A A A 2) m m ) 1 2 ( 01 02 , где m=0, 1, 2, …, то 2 1 A A A б). Сложение колебаний одного направления с различными, но близкими частотами. В результате получаются негармонические колебания называемые биениями Частота одного колебания ω, частота второго – (ω+Δω). По условию Δω<<ω. Будем считать, что амплитуды обоих колебаний одинаковы и равны А. Начальные фазы обоих колебаний равны нулю Складываемые уравнения будут иметь вид: t A x cos 1 , (5.6) t A x cos 2 (5.7) Результирующее колебание опишется уравнением t t A t t A x x x cos 2 cos 2 cos cos 2 1 (во втором сомножителе пренебрегаем слагаемым Δω/2 по сравнению с ω). Уравнение, описыва- ющее биения, имеет вид: t t A x cos 2 cos 2 . (5.8) График функции (5.8) дан на рис. 5.3. Амплитуда 1 2 2 0 A A A 1 1 2 0 0 0 x x x x Рисунок 5.2 Рисунок 5.3 Колебания 18 биений t A t A 2 cos 2 ) ( . Циклическая частота Δω называется циклической частотой биений. Период биений 2 биен T 5.3 Сложение взаимно перпендикулярных колебаний а). Сложение колебаний одинаковой частоты. Начало отсчета выберем так, чтобы начальная фаза первого колебания была равна нулю. Тогда уравнения колебаний запишутся следующим образом: t A y t A x cos cos 2 1 , (5.10) где 01 02 – разность фаз складываемых колебаний. Эти два уравнения составляют систему, которая задает траекторию движения в параметрической форме. Чтобы получить уравнение траектории в обычной форме, надо исклю- чить из (5.10) параметр t. В результате получим: 2 2 1 2 2 2 2 1 2 sin cos 2 A A xy A y A x . (5.15) Уравнение (5.15) представляет собой уравнение эллипса, оси которого ориентированы относительно координатных осей x и y произвольно. Ориента- ция осей эллипса и его размеры зависят от амплитуд складываемых колебаний и разности фаз. Частные случаи. 1. Разность фаз складываемых колебаний 0 . В этом случае уравнение (5.15) примет вид x A A y 1 2 (5.16) Это уравнение прямой, проходящей через начало координат и лежащей в I и III четвертях (рис. 5.4) 2. Разность фаз складываемых колебаний Уравнение (5.15) примет вид: x A A y 1 2 (5.17) Это уравнение прямой, проходящей начало ко- ординат и лежащей в II и IV четвертях (рис. 5.5): 1 1 2 2 A A A A y x Рисунок 5.4 Рисунок 5.5 A A A A 2 2 1 1 y x Колебания 19 3. Разность фаз складываемых колебаний 2 Уравнение (5.15) переходит в каноническое уравнение эллипса: 1 2 2 2 2 1 2 A y A x , (5.18) Полуоси эллипса равны соответствующим амплитудам. Если R A A 2 1 , то эллипс вырождается в окружность 2 2 2 R y x . (5.19) Случаи =π/2 и =Δφπ/2 отличаются направлением движения по эллипсу или окружности (рис. 5.6). б). Сложение взаимно-перпендикулярных колебаний с кратными частотами (часто- ты относятся как целые числа). Точка в ре- зультате будет двигаться вдоль замкнутой кривой, форма которой зависит от отношения амплитуд 1 2 A A , кратности частот 1 2 и разности начальных фаз . Замкнутые траектории точки, одновременно совершающей гармониче- ские колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях, называются фигурами Лиссажу . Фигуры Лиссажу вписываются в прямоугольник, стороны которого параллельны осям координат 0x и 0y и равны соответственно 2А 1 и 2А 2 . Отношение частот x y равно отношению числа касаний фигуры Лис- сажу с горизонтальными и вертикальными сторонами прямоугольника, в который она вписана. y x x y n n (5.20) Пример : Число касаний фигуры с горизон- тальными сторонами: n x =4, число касаний с вертикальными сторонами: n y =2 (рис. 5.7). Отношение частот 2 2 4 x y A A A A 1 1 2 2 2 2 y x Рисунок 5.6 A A A A 1 1 2 2 * * 2 2 1 y x Рисунок 5.7 |