Конспект лекций по физике.Часть 2. Протокол 1 от 14. 09. 2012 г. Утверждено учебноиздательским советом Доннту. Протокол 4 от 04. 10. 2012 г. 2014
 Скачать 1.36 Mb.
|
|
§8 Общие сведения о волнах Кроме механических колебаний отдельных тел в природе широко распро- странены колебания сплошных твердых, жидких и газообразных сред. Эти ко- лебания не остаются на том месте, где они возникли, а распространяются в про- странстве. Волна – это процесс распространения колебаний в пространстве. 8.1 Классификация волн В зависимости от физической природы источника колебаний волны делят на: – механические (звуковые, ударные, сейсмические и т.д.); – волны на поверхности жидкости; – электромагнитные (шкала электромагнитных волн в интервале от радио- волн до гамма-излучения). Механическими волнами называются механические возмущения, возни- кающие в упругой среде, поэтому механические волны имеют второе название – упругие волны. Поверхностные волны распространяются вдоль свободной поверхности жидкости или вдоль поверхности двух жидкостей, которые не смачиваются. В поверхностных волнах частицы жидкости одновременно совершают попереч- ные и продольные колебания, описывая эллиптические или более сложные тра- ектории. В зависимости от взаимной ориентации направления колебаний и направления распространения волн различают: – поперечные волны – продольные волны. Волна называется поперечной, если направление колебаний частиц среды перпендикулярно направлению распространения волны (рис. 8.1 а). Волна называется продольной, если направление колебаний частиц среды происхо- дит вдоль направления распространения волны (рис. 8.1 б). Поперечные волны возникают только в твердых средах. Продольные волны возникают в твердых, жидких и газообразных средах. Распространяясь от источника колебаний, волновой процесс охватывает все новые обла- сти пространства. Область пространства, в ко- торой существует волновой процесс, называет- ся волновым полем. Фронт волны поверхность, которая отделяет часть про- странства, уже вовлеченную в волновой процесс, от области, в которой колеба- ния еще не возникли. В зависимости от геометрии фронта волны делят на: – плоские (рис 8.2а); – сферические (рис 8.2б). v v а) б) Рисунок 8.1 Волны 29 Стрелки на рисунке указывают направление распространения волны. Плоские волны возникают от плоского или удаленного источника. Их волновые фронты представляют собой плоскости. Сферические волны возни- кают от точечного источника в пространстве. Их волновые фронты представ- ляют собой сферы. 8.2 Характеристики волн Гармоническая волна это бесконечная синусоидальная волна, в которой все изменения состояния происходят по закону синуса или косинуса. Такие волны могли бы распространяться в однородной среде без искажения формы. На рис. 8.3 дан профиль поперечной волны в фиксированный момент времени t. Основными характеристиками волны являются: Длина волны ( ) – расстояние между ближайшими точками, колеблющи- мися в одинаковой фазе (рис. 8.3). Период колебаний (T) – время, в течение которого совершается один полный цикл колебаний. Амплитуда (A) – максимальное отклонение фи- зической величины от положения равновесия. Длина волны и период связаны соотношением: T v , (8.1) где v – скорость распространения волны. Данная формула справедлива для волн любой природы. Используя соотношение (8.1), можно дать другое определение длины волны. Длина волны – это расстояние, на которое распространяется фронт волны за время, равное периоду колебаний. Частота ( ) – число колебаний за единицу времени. T 1 Из (8.1) получим v . (8.2) Период измеряется в секундах, частота – в герцах. фронт волны фронт волны а) б) Рисунок 8.2 Рисунок 8.3 Волны 30 §9 Плоская монохроматическая волна Гармоническая волна называется монохроматической , если ее частота и амплитуда А с течением времени не меняются. Если фронт волны представля- ет собой плоскость, то волна называется плоской 9.1 Уравнение плоской монохроматической волны Уравнением волны называется выражение, которое определяет, как сме- щение колеблющейся частицы зависит от координаты x и времени t: t x , . Ось 0 x совместим с направлением распространения волны. Волновые поверхности плоской волны будут перпендику- лярны оси x (рис. 9.1). Колебания точек, лежащих в плоскости x =0, то есть колебания источника, имеют вид: t A t cos , 0 Чтобы колебания распространились от плоскости x =0 до плоскости с произвольной координатой x , нужно время v x , где v – скорость перемещения фронта волны. Это значит, что колебания частиц, лежащих в плоскости x, будут отста- вать по времени на . Их уравнение имеет вид: v x t A t x cos , (9.1) Уравнению (9.1) можно придать другой вид. Для этого введем величину 2 k , (9.2) которая называется волновым числом. Волновое число показывает, сколько длин волн укладывается на расстоянии 6,28 м. С учетом (9.2), а также того, что T 2 , а T v , получим: x T t A t x 2 2 cos , , или x k t A t x cos , (9.3) Уравнения (9.1), (9.3) называют уравнениями плоской бегущей волны. Фронт волны представляет собой плоскость постоянной фазы. Зафикси- руем какое-либо значение фазы в уравнении (9.3), положив, что x x x 0 v = = 0 волновой фронт Рисунок 9.1 Волны 31 const x k t Продифференцируем это выражение по времени и преобразуем его. Получим: k dt dx . Значение v dt dx дает скорость, с которой перемещается фазовая плоскость: k v . (9.4) Таким образом, скорость распространения гармонической волны – это скорость перемещения фазовой плоскости, поэтому ее называют фазовой ско- ростью ( фаз v v ). Волны распространяются с конечной скоростью, зависящей от природы волны и свойств среды. а) в твердых телах: Скорость распространения продольной волны: E v , (9.5) где E – модуль Юнга, – плотность среды. Скорость распространения поперечной волны: G v , (9.6) где G – модуль сдвига. б) в газах: Скорость распространения продольной волны (звука): M RT v , (9.7) где – показатель адиабаты газа, M – молярная масса газа, R – молярная газовая постоянная, T – термодинамическая температура. 9.2 Волновое уравнение Уравнение любой волны является решением дифференциального уравне- ния, называемого волновым. Для плоской монохроматической волны, распро- страняющейся вдоль оси 0х, оно имеет следующий вид: 2 2 2 2 2 1 t x v (9.10) Волны 32 Если при анализе физических процессов той или иной природы вытекает уравнение подобного вида, то это означает, что в данной среде возможно воз- никновение волновых процессов. В трехмерном пространстве волновое уравнение (9.10) примет вид: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 t z y x v (9.11) 9.3 Перенос энергии волной. Вектор Умова Частицы среды, в которой распространяется волна, не перемещаются по- ступательно, а совершают колебания около своих положений равновесия. За счет этих колебаний среда, в которой распространяется волна, обладает допол- нительным запасом энергии. Эта энергия доставляется от источника колебаний в различные точки среды волной, следовательно, волна переносит энергию. Переносимую энергию характеризуют потоком энергии. Поток энергии (Ф) – скалярная физическая величина, численно равная количеству энергии, переносимому волной через некоторую поверхность за единицу времени: t d dW (9.19) Вт с Дж Для характеристики течения энергии в различных точках пространства вводится величина, называемая плотностью потока энергии. Плотность потока энергии ( j ) – векторная физическая величина, чис- ленно равная энергии, переносимой за единицу времени через единичную пло- щадку, расположенную перпендикулярно направлению распространения вол- ны: dt dS dW j (9.20) 2 2 м Вт м с Дж j Направление вектора плотности потока энергии совпадает с направлени- ем скорости распространения волны: v v v v j j dt dS dW (9.21) Вектор плотности потока энергии впервые был введен Н.А. Умовым и, поэтому, называется вектором Умова Объемная плотность энергии ( w) – скалярная физическая величина, численно равная энергии, заключенной в единице объема. Волны 33 dV dW w Среднее значение объемной плотности энергии в каждой точке равно: 2 2 2 A w (9.18) где – плотность среды Плотность потока энергии связана с объемной плотностью энергии соот- ношением: v w j (9.22) В векторном виде v w j , (9.23) где v – вектор, модуль которого равен фазовой скорости, а направление совпа- дает с направлением распространения волны (и переноса энергии). Скалярная величина I , равная модулю среднего значения вектора Умова, называется интенсивностью волны . Для звуковой волны – интенсивностью звука или силой звука. v w v 2 2 2 A j I . (9.24) Распространение упругих волн в среде не связано с переносом массы При колебательном движении частиц происходит перенос энергии за счет пе- редачи ее от одной частицы к другой. §10 Звуковые волны 10.1 Характеристики звука Звуковыми волнами называются упругие волны с частотами от 16 Гц до 20000 Гц, воспринимаемые органами слуха человека. Эти волны являются про- дольными. Они распространяются в твердых телах, жидкостях и газах. Волны с частотами, меньшими 16 Гц, называют инфразвуком ; волны с частотами, превышающими 20000 Гц, называют ультразвуком . Воспринимаемые звуки можно различать по громкости, высоте и тембру. Каждой из этих физиологических характеристик соответствует определенная физическая характеристика звуковой волны (табл. 10.1). Таблица 10.1. Характеристики звуковой волны Физиологические Физические громкость сила звука высота частота звука тембр спектральный состав Волны 34 Громкость (сила звука) зависит исключительно от амплитуды колебания. Высота звука определяется частотой его колебаний. Чтобы вызвать ощущение звука волна должна обладать некоторой мини- мальной интенсивностью, которая называется порогом слышимости . Порог слышимости зависит от частоты звука и различен для разных людей. Наиболее чувствительно ухо к частотам от 1000 до 4000 Гц. Интенсивность звука при этом порядка 10 12 Вт/м 2 (рис. 10.1). При интенсивностях 1 10 Вт/м 2 волна перестает восприниматься как звук, вызывая в ухе ощущение боли и давления. Это значение интенсивности называется порогом болевого ощу- щения . Порог болевого ощущения также зависит от частоты (рис. 10.1). Уровень громкости ( L ) опре- деляется как логарифм отношения интенсивности I данного звука к ин- тенсивности I 0 , на пороге слышимо- сти ( I 0 10 12 Вт/м 2 при стандартной частоте 1000 Гц): 0 lg I I L (10.1) Б L (бел*) Обычно пользуются в 10 раз мень- шими единицами – децибелами (дБ). Весь диапазон интенсивностей, при которых волна вызывает в ухе звуко- вое ощущение (от 10 12 до 10 Вт/м 2 ), соответствует уровням громкости от 0 до 130 дБ (см. правую ось на рис. 10.1). Интенсивность звука является его объективной характеристикой, не за- висящей от звукового ощущения. Уровень громкости является субъективной характеристикой, так он как зависит еще и от интенсивности I 0 , которая в свою очередь зависит от частоты . Объясняется это тем, что ухо человека обладает разной чувствительностью к звукам разной частоты. 10.2 Ультразвук Ультразвуком называются упругие волны с частотами от 2·10 4 до 10 13 Гц. Ультразвуковые волны с частотами порядка 10 9 Гц и выше называют гиперзвуковыми . Для генерирования ультразвуков применяют механические и электромеханические излучатели. Примером механического излучателя низко- частотных звуков ( =20÷200 кГц) большой интенсивности является сирена Основным свойством ультразвука является то, что он подобно свету мо- жет излучаться в виде узких направленных лучей, так как обладает малой дли- ной волны. Отражение и преломление ультразвуковых пучков на границе раз- дела двух сред происходит по законам геометрической оптики. Ультразвуки 120 100 80 60 40 20 0 10 10 10 10 10 10 -12 -10 -8 -6 -4 -2 1 I,B T M / 2 L, ДБ 20 200 2000 20000 Гц Порог болевого ощущения Порог слышимости Рисунок 10.1 Волны 35 сильно поглощаются газами и во много раз слабее – жидкостями. Например, коэффициент поглощения ультразвука в воздухе примерно в 1000 раз больше, чем в воде. Амплитуды скорости и ускорения колебательного движения частиц сре- ды, а также амплитуда звукового давления в ультразвуковых волнах во много раз больше соответствующих величин для слышимых звуков. Благодаря боль- шой амплитуде звукового давления, создаваемого мощными ультразвуковыми излучателями, в жидкостях возникает явление кавитации – в ней непрерывно образуются и исчезают внутренние разрывы сплошности. Исчезновение этих разрывов, имеющих вид мельчайших пузырьков, сопровождается кратковре- менным возрастанием давления до сотен и даже тысяч атмосфер. Поэтому уль- тразвуки обладают дробящим действием – они разрушают находящиеся в жид- кости твердые тела, живые организмы, крупные молекулы и т.д. Дробящее действие ультразвуков используют для создания эмульсий и суспензий, снятия пленок окислов и обезжиривания поверхностей деталей, сте- рилизации жидкостей, размельчения зерен фотоэмульсий и т.д. Разрушающее действие ультразвуковых волн в жидкости на поверхности твердого тела замет- но увеличивается при введении в жидкость мелких абразивных частиц. Это яв- ление используется для ультразвукового шлифования и полирования, а также «сверления» отверстий различной формы в стекле, керамике, сверхтвердых сплавах и кристаллах. Ультразвуки ускоряют протекание процессов диффузии, растворения и химических реакций. Их применяют для контрольно-измерительных целей (гидролокация, дефектоскопия, измерение толщины трубопроводов и слоя накипи и т.д.), а также для осуществления и ускорения технологических про- цессов. 10.3 Инфразвук Инфразвук – это упругие волны с частотами ниже области слышимых че- ловеком частот. Обычно за верхнюю границу инфразвука принимают частоты 16÷25 Гц, нижняя граница не определена. Инфразвуки содержатся в шуме ат- мосферы, в шуме леса и моря. Источником инфразвуковых колебаний являются грозовые разряды (гром), а также взрывы и орудийные выстрелы. В земной ко- ре наблюдаются сотрясения и вибрации инфразвуковых частот от самых разно- образных источников, в том числе от обвалов, взрывов, движения транспорта. Инфразвук мало поглощается в среде, поэтому инфразвуковые волны в воздухе, воде и земной коре могут распространяться на очень далекие расстоя- ния. Это явление находит практическое применение в звукометрии, при опре- делении места сильных взрывов, дает возможность предсказать стихийное бед- ствие – цунами. Звуки взрывов, содержащие большое количество инфразвуко- вых частот, применяются для исследования верхних слоев атмосферы, для ис- следования свойств водной среды. Волны 36 §11 Интерференция волн. Стоячие волны 11.1 Принцип суперпозиции волн. Интерференция волн Когерентность – согласованное протекание во времени и пространстве нескольких волновых процессов. Когерентные волны – волны, разность фаз которых остается постоянной во времени. Когерентными могут быть только волны, имеющие одинаковую частоту. Наложение когерентных волн, в результате которого колебания в одних точках усиливают, а в других ослабляют друг друга, называется явлением интер- ференции . Волны накладываются одна на другую, не возмущая друг друга. Ре- зультирующее смещение равно геометрической сумме смещений , которые по- лучают частицы, участвующие в каждом из слагающих волновых процессов. Это утверждение называется принципом суперпозиции волн 11.2 Стоячие волны Стоячие волны – это колебательный процесс, возникающий в результате сложения (интерференции) двух встречных бегущих волн с одинаковой ампли- тудой и частотой. На практике стоячие волны возникают при отражении от преград. Пада- ющая на преграду волна и бегущая ей навстречу отраженная волна, накладыва- ясь друг на друга, дают стоячую волну. Уравнение стоячей волны получают сложением следующих уравнений: x k t A t x cos , 1 падающая волна; x k t A t x cos , 2 отраженная волна. Преобразуем результат по формуле косинуса суммы: t kx A kx t A kx t A t x t x t x cos cos 2 cos cos , , , 2 1 t kx A t x cos cos 2 , . (11.1) Уравнение (11.1) называется уравнением стоячей волны . Величина x A kx A cos 2 (11.2) называется амплитудой стоячей волны. Заменив в (11.2) волновое число k согласно формуле (9.2), получим: x A x A 2 cos 2 . (11.3) 1. Если 1 2 cos x , т.е. n x 2 , где n =0, 1, 2, …, то амплитуда колеба- ний достигает максимального значения A x A 2 max Волны 37 Точки, в которых амплитуда колебаний максимальна, называются пучно- стями (рис. 11.1 б). Координаты пучностей: 2 пучн n x (11.4) 2. Если 0 2 cos x , т.е. 1 2 2 2 n x , где n=0, 1, 2, …то А=0. Точки, в которых амплитуда колебаний равна нулю, называются узлами (рис. 11.1 б). Координаты узлов: 4 1 2 узл n x (11.5) Точки, находящиеся в узлах, колебаний не совершают. Узлы и пучности представляет собой не одну точку, а плоскости, точки которых имеют значения координат, определяемые формулами (11.4) и (11.5). Из формул (11.4) и (11.5) следует, что расстояние между соседними пуч- ностями, так же как и расстояние между соседними узлами, равно /2. Расстоя- ние между ближайшими узлом и пучностью – /4. Рассмотренный случай описывает образование стоячей волны, отражен- ной от менее плотной среды. График такой стоячей волны представлен на рис. 11.1 a. Примером является волна, возникающая в металлическом стержне с незакрепленными концами. Если отражение происходит от более плотной среды, то отраженная вол- на меняет фазу на . В этом случае формула (11.4) даст координату узла, а формула (11.5) – координату пучно- сти, т.е. узлы и пучности меняются местами. График волны представ- лен на рис. 11.1 б. Такая волна воз- никает, например, в закрепленной струне. Для сравнения на рис. 11.2 дан график бегущей волны. В упругой стоячей волне энергия периодически мигрирует от узлов стоячей x x пучности узлы а) б) Рисунок 11.1 x t t 1 t 1 2 = + t Рисунок 11.2 Волны 38 волны к пучностям и обратно. Однако в самих узлах и пучностях плотность потока энергии тождественно равна нулю. Среднее за период значение плотности потока энергии равно ну- лю в любой точке стоячей волны, так как две бегущие волны, образующие стоячую, перено- сят за период равные количества энергии в прямо противоположных направлениях. Поэтому стоячие волны и получили свое название. 11.3 Сложные волны. Групповая скорость Понятие фазовой скорости применимо только к строго монохроматиче- ским волнам. Такие волны реально не осуществимы, так как они должны суще- ствовать неограниченно долго во времени, и быть бесконечно протяженными в пространстве. На практике приходится иметь дело с более или менее сложным волновым импульсом, ограниченным во времени и в пространстве, и не являю- щимся синусоидой. Основываясь на принципе суперпозиции, можно любую сложную (не синусоидальную) волну разложить на некоторую систему синусо- идальных волн, т.е. представить ее в виде группы волн, которую также называ- ют волновым пакетом. Группа волн (волновой пакет) совокупность большого числа синусоид с частотами, которые мало отличаются друг от друга. Совокупность частот этих синусоидальных волн называется спектром частот рассматриваемого волно- вого пакета. При отсутствии дисперсии (см. §9) все плоские волны, из которых скла- дывается волновой пакет, распространяются с одинаковыми фазовыми скоро- стями и, поэтому, не смещаются друг относительно друга. В этом случае ско- рость распространения волнового пакета совпадает с фазовой скоростью v , а сам пакет сохраняет форму. При наличии дисперсии составляющие волнового пакета имеют разные волновые числа k и распространяются с разными фазовыми скоростями. В ре- зультате составляющие пакета будут смещаться друг относительно друга, а сам пакет в процессе распространения будет менять свою форму. Таким образом, скорость распространения реальной сложной волны в диспергирующей среде не совпадает с фазовой скоростью. В этом случае вол- новому пакету приписывают скорость u, под которой понимается скорость пе- ремещения точки с максимальной энергией. Эту скорость называют групповой. Энергия пропорциональна квадрату амплитуды, поэтому точка с максимальной энергией имеет максимальную амплитуду. Групповая скорость – это скорость перемещения точки с максимальной амплитудой. Таким образом, групповая скорость характеризует скорость, с ко- торой волновой пакет (группа волн) переносит энергию. Получим формулу для расчета групповой скорости. Предположим, что волновой пакет (рис. 11.3 а) состоит из двух плоских волн с одинаковыми ам- плитудами, близкими по значению частотами и d , и волновыми чис- лами k и dk k . На рисунке 11.3 б дана «моментальная фотография» этих волн. Одна волна изображена сплошной линией, другая – пунктирной. Интен- Волны 39 сивность волнового пакета будет максимальной в точке А, где фазы обеих волн в данный момент времени совпадают. В точках В и С волны находятся в проти- вофазе, поэтому интенсивность пакета равна нулю. Напишем уравнения волн: kx t A cos 0 1 , (11.6) x dk k t d A cos 0 2 (11.7) В точке с максимальным значением амплитуды (точка А на рис. 11.3 а и 11.3 б) фазы обеих волн совпадают, по- этому в этой точке фазы не должны зависеть от волновых чисел k и dk k . Это означает, что первая производная фазы kx t по волновому числу k должна быть равна нулю: 0 dk d Найдем производную: 0 x dk d t dk d Отсюда: dk d t x Отношение t x представляет собой групповую скорость u, так как оно определя- ет условие, при котором амплитуда максимальна. Тогда групповая скорость бу- дет равна dk d u (11.8) Таким образом, монохроматическая волна характеризуется фазовой ско- ростью k v , которая равна скорости перемещения фазовой плоскости, а вол- новой пакет характеризуется групповой скоростью dk d u , которая равна ско- рости переноса энергии волновым пакетом (группой волн). Выражению (11.8) для групповой скорости можно придать другой вид. d d u v v , (11.9) где – длина волны. С B A С A B x ( ) x,t а) б) Рисунок 11.3 Волны 40 Если фазовая скорость не зависит от длины волны 0 d d v , то u v . Ес- ли фазовая скорость зависит от длины волны 0 d d v , то фазовая и групповая скорости не совпадают, Понятие групповой скорости применимо только при условии, что поглощение энергии волны в данной среде невелико. При значи- тельном затухании волн понятие групповой скорости утрачивает смысл. При гидролокации, радиолокации и т.д. измеряют именно групповую скорость, так как большинство приемных устройств подчиняется принципу суперпозиции, который озна- чает, что результат нескольких одновременных воздействий представляет собой просто сум- му результатов, вызванных каждым воздействием в отдельности. §13 Уравнения Максвелла Уравнения Максвелла представляют собой фундаментальные уравнения классической макроскопической электродинамики, описывающие электромаг- нитные явления в любой среде, в том числе и в вакууме. Они сформулированы в 60-х годах XIX века на основе обобщения экспериментальных законов, уста- навливающих связь между электрическими и магнитными явлениями. Первое уравнение является обобщением закона электромагнитной индук- ции. Максвелл предположил, что переменное магнитное поле всегда (а не только в проводнике) порождает вихревое электрическое поле, которое не зависит от того, есть в нем проводник или нет. Циркуляция вектора напряженности электрического поля (сумма скаляр- ных произведений вектора E в данной точке контура на бесконечно малый от- резок контура dl) определяется скоростью изменения потока вектора магнитной индукции через поверхность, ограниченную данным контуром: S d t B l d E S L (13.1) Здесь знак «–» соответствует правилу Ленца для направления индукционного тока. Второе уравнение Максвелла является обобщением на переменные поля закона Био-Савара-Лапласа, утверждающего, что вокруг проводников с током существует магнитное поле. Максвелл высказал гипотезу, что магнитное поле порождается не только токами, текущими в проводнике, но и переменны- ми электрическими полями в диэлектриках или вакууме. Величина, пропор- циональная скорости изменения электрического поля во времени, была названа Максвеллом током смещения. Он возбуждает магнитное поле по тому же за- кону, что и ток проводимости. Полный ток, равный сумме тока смещения и то- ка проводимости, всегда является замкнутым. Из всех физических свойств, присущих току проводимости, Максвелл приписал току смещения только одно – способность создавать в окружающем пространстве магнитное поле. Волны 41 Циркуляция вектора напряженности магнитного поля (сумма скалярных произведений вектора H в данной точке контура на бесконечно малый отрезок контура dl) определяется полным током через произвольную поверхность S, ограниченную данным контуром. S d t E j l d H S L 0 пров , (13.2) где пров j – плотность тока проводимости, см 0 j t E – плотность тока смеще- ния. Третье уравнение Максвелла отражает опытные данные об отсутствии магнитных зарядов, аналогичных электрическим: 0 S S d B , (13.3) т.е. поток вектора магнитной индукции через произвольную замкнутую по- верхность S равен нулю. Это означает, что магнитное поле порождается элек- трическими токами или движущимися электрическими зарядами. Четвертое уравнение Максвелла является обобщением теоремы Гаусса для электростатического поля на любое электрическое поле, как стационарное так и переменное: N k k S q S d D 1 , (13.4) т.е. поток вектора электрической индукции через произвольную замкнутую по- верхность S определяется электрическим зарядом, находящимся внутри этой поверхности (в объеме V, ограниченном поверхностью S). Уравнения Максвелла (13.1 13.4) дополняют соотношениями, связыва- ющими векторы E и D , B и H , а также j . Для большинства изотропных сред уравнения состояния имеют простую линейную форму: H B 0 , (13.5) E D 0 , (13.6) E j , (13.7) где – диэлектрическая проницаемость среды, – магнитная проницаемость среды, – удельная электропроводность среды. Из уравнений Максвелла следует, что переменное электрическое поле порождает магнитное поле, которое тоже оказывается переменным. Такое пе- ременное магнитное поле в свою очередь порождает электрическое и т.д. От- Волны 42 сюда следует важный вывод о существовании нового физического явления: электромагнитное поле способно существовать самостоятельно – без электрических зарядов и токов . При этом изменение его состояния обяза- тельно имеет волновой характер. Таким образом, если возбудить с помощью колеблющихся зарядов переменное электромагнитное поле, то в окружающем пространстве возникает последовательность взаимных превращений электриче- ского и магнитного полей, распространяющихся от точки к точке. Этот процесс будет периодическим во времени и в пространстве и, следовательно, представ- ляет собой электромагнитную волну (ЭМВ). В случае однородной нейтральной непроводящей среды с постоянными проницаемостями и из уравнений Максвелла получают уравнения вида: 2 2 0 0 2 2 2 2 2 2 t E z E y E x E , (13.8) 2 2 0 0 2 2 2 2 2 2 t H z H y H x H (13.9) Уравнения (13.8) и (13.9) представляют собой типичные волновые урав- нения (см. формулу (9.11)). Всякая функция, удовлетворяющая такому уравне- нию, описывает некоторую волну. Следовательно, уравнения (13.8) и (13.9) указывают на то, что электромагнитные поля могут существовать в виде электромагнитных волн . Сравнение с выражением (9.11) позволяет сделать вывод о том, что фазовая скорость электромагнитных волн равна 0 0 эмв 1 v (13.10) §14 Электромагнитные волны 14.1 Плоская электромагнитная волна Рассмотрим электромагнитную волну, распространяющуюся в нейтраль- ной непроводящей среде с постоянными проницаемостями и ( j 0, const, const). Направим ось 0х перпендикулярно волновым поверхностям. Тогда векторы E и H , а, значит, и их компоненты по координатным осям не будут зависеть от координат y и z. При этом уравнения (13.8) и (13.9) упрощаются и принимают вид: 2 2 0 0 2 2 t E x E y y , (14.1) 2 2 0 0 2 2 t H x H z z (14.2) Волны 43 Индексы y и z при E y и H z подчеркивают то, что векторы E и H направ- лены вдоль взаимно перпендикулярных осей 0y и 0z. В этом случае E x =E z =0, a H x =H y =0. Колебания электрического и магнитного векторов в электромагнит- ной волне происходят с одинаковой фазой. Если считать, что начальные фазы колебаний 1 = 2 =0, то решение уравнений (14.1) и (14.2) будет иметь вид: x k t E E y cos max , (14.3) x k t H H z cos max (14.4) В этих формулах циклическая частота волны, 2 k волновое число, Умножив уравнение (14.3) на единичный вектор оси 0y, а уравнение (14.4) на единичный вектор оси 0z, получим уравнение плоской электромаг- нитной монохроматической волны в векторном виде: x k t E E cos max , (14.5) x k t H H cos max (14.6) На рис. 14.1 показана «моментальная фото- графия» плоской монохроматической волны. Из рисунка видно, что векторы E и H образуют с направлением распространения волны правовинто- вую систему. В фиксированной точке пространства векторы E и H изменяются со временем по гар- моническому закону. 14.2 Основные свойства электромагнитных волн 1. Электромагнитные волны – это электромагнитные колебания, распростра- няющиеся в пространстве с конечной скоростью. Из теории Максвелла сле- дует, что электромагнитные колебания распространяются в вакууме со ско- ростью света: 8 0 0 вак эмв 10 3 1 с v (м/с). (14.9) 2. Скорость распространения электромагнитных волн в однородной изотроп- ной среде равна с 0 0 эмв 1 v , (14.10) т.е. она меньше скорости электромагнитных волн в вакууме. 3. Электромагнитная волна – поперечная волна. Это означает, что v E , v H , т.е. направление колебаний векторов E и H перпендикулярно направлению распространения волны. Рисунок 14.1 Волны 44 4. Электромагнитные волны переносят энергию. Объемная плотность энер- гии w электромагнитного поля складывается из объемной плотности энергии электрического поля эл w и объемной плотности энергии магнитного поля м w : 2 2 2 0 2 0 м эл H E w w w (14.11) Из теории электромагнитных волн следует, что в любой момент времени эти величины одинаковы. Следовательно 2 0 0 H 2 E w (14.12) Перенос энергии волной принято характеризовать вектором плотности потока энергии. Для механических волн этот вектор называется вектором Умо- ва. Вектор Умова равен произведению объемной плотности энергии на вектор фазовой скорости волны, т.е. v w j Для электромагнитных волн вводят аналогичный вектор, который назы- вают вектором Пойнтинга. Вектор Пойнтинга S векторная физическая величина, численно рав- ная энергии, переносимой электромагнитной волной за единицу времени через единичную площадку, расположенную перпендикулярно направлению распро- странения волны. Получим формулу, связывающую вектор Пойнтинга с характеристиками электромагнитной волны. Согласно (13.10) 0 0 1 v (14.13) Тогда модуль вектора Пойнтинга будет равен 2 0 0 0 0 2 0 1 E E S wv . (14.14) Учитывая, что 2 0 0 H 2 E , получим выражение для расчета мгновен- ного значения вектора Пойнтинга: kx t H E H E E E S 2 max max 0 0 cos (14.15) Векторы E и H взаимно перпендикулярны, т.е. угол между ними 90 , а 1 90 sin . Следовательно, вектор Пойнтинга можно представить как вектор- ное произведение векторов E и H : Волны 45 H E S (14.16) Направление вектора S совпадает с направлением переноса энергии. Среднее значение вектора Пойнтинга определяет интенсивность электромаг- нитной волны: 2 max max H E S I , (14.17) так как среднее значение kx t 2 cos за период равно 1/2. 5. Электромагнитным волнам, как и любым волнам, присущи интерференция, дифракция, а также поляризация. 6. Электромагнитные волны поглощаются средой, а в диэлектрике, кроме это- го, претерпевают дисперсию. Первые опыты с несветовыми электромагнитными волнами были осуществлены Г. Герцем в 1888 году. Передача сообщения с помощью электромагнитных волн была впер- вые осуществлена в 1896 году А.С. Поповым. 14.3 Шкала электромагнитных волн Электромагнитные волны принято условно классифицировать по длинам волн в вакууме / c или по частоте 2 / . Границы между соседними диапазонами шкалы электромагнитных волн условны. Различные виды элек- тромагнитного излучения отличаются лишь длиной волны (или, что то же са- мое, частотой). В зависимости от длины волны (частоты) меняются свойства волн, их действия, способы получения и названия отдельных участков. Таблица 14.1. Шкала электромагнитных волн Название диапа- зона волн Примерный диапазон длин волн Диапазон частот м Другие единицы Гц Низкочастотные электрические колебания км 0 310 Радиоволны 100 км 1 мм 3 10 310 Инфракрасное излучение 2 7,6 2 мм 760 нм 1,5 10 4,010 Видимое излучение 7,6 3,8 760 380 нм 4,0 10 8,010 Ультрафиолетовое излучение 3,8 3 380 3 нм 8,0 10 10 Рентгеновское излучение 10 нм 1 пм 3 10 310 Гамма-излучение и менее 10 пм и менее 3 10 и выше |