Реферат Применение критерия устойчивости Найквиста. мотс реферат. Реферат по теме Применение критерия устойчивости Найквиста
![]()
|
Министерство науки и высшего образования Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Южно-Уральский государственный университет (национальный исследовательский университет)» Высшая школа электроники и компьютерных наук Кафедра «Автоматика и управление» Дисциплина «Математические основы теории систем» РЕФЕРАТ по теме «Применение критерия устойчивости Найквиста» Выполнил студент группы КЭ-218 ______________ Чевтаева А.А. «___»_______________2019 г. Проверил _____________ Барбасова Т.А. «___»_______________2019 г. Челябинск 2019 АННОТАЦИЯ Чевтаева,А.А. Применение критерия устойчивости Найквиста – Челябинск: ЮУрГУ, КЭ-218, 27 с., 12 илл., библиогр. список – 10 наим. В состав данной работы входит рассмотрение понятия устойчивости, основных особенностей критерия устойчивости Найквиста и его применение. ОглавлениеВведение 4 1 Понятие об устойчивости систем регулирования 6 2 Критерий устойчивости Найквиста 16 3 Применение критерия Найквиста к системам с неустойчивыми звеньями 23 4 Применение критерия Найквиста к системам с нейтральными звеньями 25 Заключение 27 Библиографический список 28 Введение Важным показателем автоматических систем регулирования является устойчивость, поскольку основное ее назначение заключается в поддержании заданного постоянного значения регулируемого параметра или изменение его по определенному закону. Если система в результате этого воздействия возвращается в исходное состояние или переходит в другое равновесное состояние, то такая система называется устойчивой. В настоящее время известно несколько критериев, различающихся больше по форме, чем по содержанию. В основе большинства из этих критериев лежит критерий устойчивости решений дифференциального уравнения, описывающего исследуемую цепь. Критерии устойчивости позволяют характеризовать устойчивость системы, если все ее параметры фиксированы. Но часто приходится решать задачу, когда часть параметров системы не фиксирована и их (варьируемые параметры) нужно выбрать так, чтобы система была устойчива и выполнялись какие-либо дополнительные требования к ней. В этих случаях возникает необходимость определения множества всех тех значений варьируемых параметров, при которых система устойчива. Это множество называют областью устойчивости в пространстве параметров, т. е. во множестве различных значений варьируемых параметров. Область устойчивости – это множество всех значений варьируемых параметров, при которых система устойчива. Задачу выделения области устойчивости в простейших случаях можно решить, используя критерии устойчивости. Критерии устойчивости – это правила, которые позволяют определить устойчивость системы без определения корней. Существуют множества критерии устойчивости, например: 1) корневой критерий, 2) критерий Стодолы, 3) критерий Гурвица, 4) критерий Найквиста, 5) критерий Михайлова и др. В данной работе рассмотрен критерий устойчивости Найквиста и его применение. Критерий Найквиста предназначен для исследования только замкнутых систем. Он позволяет по виду амплитудно-фазовой частотной характеристики разомкнутой системы судить об устойчивости замкнутой системы. АФЧХ разомкнутой системы – это кривая, которую описывает конец вектора частотной передаточной функции ![]() Частотными критериями называются критерии устойчивости, основанные на, построении частотных характеристик и кривой Михайлова. 1 Понятие об устойчивости систем регулированияПонятие устойчивости системы регулирования связано со способностью возвращаться в состояние равновесия после исчезновения внешних сил, которые вывели ее из этого состояния. Наглядно устойчивость равновесия иллюстрируется на рисунке 1, а, на котором изображен шар, лежащий в некотором углублении. При всяком отклонении его от положения равновесия он будет стремиться возвратиться к нему точно (при отсутствии сил трения) или к некоторой конечной области, окружающей предшествующее положение равновесия (при наличии сил трения). Такое положение шара будет устойчивым. На рисунке1, б изображен другой случай, когда положение шара оказывается неустойчивым. Рисунок 1, в соответствует случаю безразличного положения равновесия. ![]() Рисунок 1. Можно ввести понятия о невозмущенном состоянии равновесия, соответствующем точке на рисунке 1, а, и возмущенном состоянии равновесия (точка ![]() ![]() ![]() Понятие устойчивости можно распространить и на случай движения некоторой системы. Пусть ее состояние определяется независимыми координатами ![]() ![]() Аналогично случаю равновесия положения заданное движение можно назвать невозмущенным движением. Приложение внешних сил к рассматриваемой системе вызовет отклонение действительного движения от заданного: ![]() Заданное невозмущенное движение будет устойчивым, если в результате приложения внешних сил, которые затем снимаются, возмущенное движение по истечении некоторого времени войдет в заданную область: ![]() Рассмотрим вопрос устойчивости более подробно. Пусть система регулирования описывается нелинейными дифференциальными уравнениями в форме Коши ![]() Если при ![]() ![]() ![]() ![]() Пусть установившиеся процессы в системе характеризуются координатами ![]() ![]() ![]() где ![]() ![]() ![]() Начальные значения отклонений ![]() ![]() А. М. Ляпунов дал следующее определение устойчивости. Невозмущенное движение (при ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() возмущенное движение (2) будет для времени ![]() ![]() Здесь ![]() ![]() Геометрическая интерпретация этого условия заключается в следующем. В пространстве координат ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Если с течением времени изображающая точка стремится к началу координат, т. е. ![]() Перейдем теперь к вопросу устойчивости линейных, а точнее, линеаризованных систем регулирования. Рассмотрим дифференциальное уравнение движения линеаризованной системы автоматического регулирования, записанное для регулируемой величины y(t) при наличии управляющего воздействия g(t) и при равенстве нулю возмущающих воздействий: ![]() Коэффициенты ![]() ![]() Дифференциальное уравнение движения системы регулирования можно записать и для возмущающего воздействия. В этом случае левая часть (5) останется без изменения, а правая часть будет иметь иной вид. В общем виде дифференциальное уравнение, определяющее изменение регулируемой величины, может быть записано так, что в правой его части будет находиться некоторая функция времени f(t). Характер переходных процессов в системе определяется видом левой части дифференциального уравнения (5). Поэтому для определения качественной картины переходных процессов является практически безразличным, записать ли исходное дифференциальное уравнение для управляющего или возмущающего воздействия. Уравнение (5) может с равным успехом быть записано для ошибки регулирования ![]() Процесс регулирования определяется решением дифференциального уравнения как сумма двух решений — частного решения неоднородного уравнения (5) с правой частью и общего решения уравнения (5) без правой части, т. е. с правой частью, равной нулю: ![]() В случае ![]() ![]() ![]() ![]() Система будет называться устойчивой, если с течением времени при ![]() ![]() ![]() Общее решение ищется в виде ![]() Дифференцируя это выражение n раз и подставляя в (7), получаем после сокращения на общий множитель ![]() ![]() Полученное алгебраическое уравнение называется характеристическим. Корни его ![]() Нетрудно заметить, что по своему виду левая часть (8) полностью совпадает с левой частью (5). Поэтому характеристическое уравнение получается приравниванием левой части (5) нулю: ![]() Однако здесь буква ![]() Так как в решении характеристического уравнения содержится ![]() ![]() где ![]() ![]() Корни характеристического уравнения определяются только видом левой части уравнения (5). Постоянные интегрирования определяются также и видом правой его части. Поэтому быстрота затухания и форма переходного процесса определяются как левой, так и правой частями исходного дифференциального уравнения. [6] Однако поскольку в понятие устойчивости системы входит только факт наличия или отсутствия затухания переходного процесса (независимо от быстроты затухания и формы переходного процесса), то устойчивость линейной системы не зависит от вида правой части дифференциального уравнения (5) и определяется только характеристическим уравнением (9). ![]() Рисунок 2. Чтобы определить, устойчива система или нет, нет необходимости решать характеристическое уравнение и определять его корни. Выясним, какие свойства корней необходимы и достаточны для того, чтобы система была устойчивой. Корни могут быть вещественными, комплексными и чисто мнимыми. Рассмотрим эти случаи. [2] 1. Вещественный корень. Пусть один из корней, например ![]() ![]() ![]() ![]() При ![]() 2. Комплексные корни. Комплексные корни бывают попарно сопряженными. При отрицательной вещественной части два корня, например ![]() ![]() ![]() где ![]() Нетрудно видеть, что в этом случае получаются затухающие колебания, причем мнимая часть корня ![]() ![]() При положительной вещественной части ![]() 3. Чисто мнимые корни. В этом случае ![]() ![]() ![]() Такой процесс изображен на рис. 62, г. Следовательно, для затухания переходного процесса необходимо, чтобы вещественные части корней были отрицательными. Это относится как к вещественным, так и к комплексным корням. Если [хотя бы один корень характеристического уравнения будет иметь положительную вещественную часть, то переходный процесс в целом будет расходиться, т. е. система окажется неустойчивой. Корни характеристического уравнения можно представить в виде точек на комплексной плоскости величины р (рис. 3). ![]() Рисунок 3 – Корни характеристического уравнения Для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы все корни лежали слева от мнимой оси плоскости корней. Если хотя бы один корень окажется справа от мнимой оси, то система будет неустойчивой. Таким образом, мнимая ось представляет собой граничную линию в плоскости корней, за которую не должны переходить корни характеристического уравнения. Вся левая полуплоскость представляет собой при этом область устойчивости. Превращение устойчивой системы в неустойчивую произойдет в том случае, если хотя бы один вещественный или пара комплексных корней перейдет из левой полуплоскости в правую. Границей перехода будет так называемая граница устойчивости системы. Система будет находиться на границе устойчивости при наличии: 1) нулевого корня; 2) пары чисто мнимых корней; 3) бесконечного корня. Во всех трех случаях предполагается, что все остальные корни имеют отрицательные вещественные части. В первом случае вещественный корень попадает на границу устойчивости (ось мнимых) в начале координат, т. е. выполняется условие ![]() ![]() ![]() и система будет устойчивой не относительно регулируемой величины у, а относительно ее скорости изменения ![]() На границе устойчивости второго типа, которая называется колебательной границей устойчивости, два корня попадают на ось мнимых. Система в этом случае будет иметь незатухающие гармонические колебания с постоянной амплитудой (рис. 2, г). Наконец, вещественный корень может попасть из левой полуплоскости в правую, проходя через бесконечность. В этом случае соответствующее слагаемое ![]() ![]() Как было сказано выше, ни одна реальная система автоматического регулирования не является строго линейной. Линейные характеристики звеньев и линейные дифференциальные уравнения получаются путем линеаризации реальных характеристик и уравнений. При разложении в ряд Тейлора удерживались линейные члены и отбрасывались члены высших порядков, которые для малых отклонений считались пренебрежимо малыми. Обоснование законности такой линеаризации содержится в теоремах Ляпунова. 1. Если характеристическое уравнение линеаризованной системы имеет все корни с отрицательными вещественными частями, то реальная система будет также устойчивой, т. е. малые нелинейные члены не могут в этом случае нарушить устойчивость системы. 2. Если характеристическое уравнение линеаризованной системы имеет хотя бы один корень с положительной вещественной частью, то реальная система будет также неустойчивой, т. е. малые нелинейные члены не могут сделать ее устойчивой. 3. При наличии нулевых и чисто мнимых корней поведение реальной системы не всегда даже качественно определяется ее линеаризованными уравнениями. При этом даже малые нелинейные члены могут коренным образом изменить вид переходного процесса, сделав систему устойчивой или неустойчивой. Опираясь в своих линейных расчетах на эти теоремы Ляпунова, необходимо всегда иметь в виду, что они, во-первых, относятся к исследованию устойчивости в малом, т. е. в малой окрестности данного состояния равновесия, когда кривая CB мало отличается от прямой CD (см. рис. 2) и, соответственно, отбрасываемые в формуле члены малы. Во-вторых, все это относится только к описанному выше способу линеаризации уравнений— разложению нелинейных функций в степенные ряды, что геометрически соответствует замене кривой отрезком касательной, а не к какому-либо другому способу линеаризации. К сильно выраженным нелинейностям на больших участках, в том числе и к нелинейностям релейного типа, эти теоремы, вообще говоря, неприменимы. Для исследования устойчивости нелинейных систем общего вида имеются другие теоремы Ляпунова, так называемый прямой метод Ляпунова или, по старой терминологии, «вторая метода» Ляпунова. Далеко не всегда бывает удобно вычислять корни характеристического уравнения. Поэтому желательно иметь такие критерии, с помощью которых можно было бы судить об устойчивости системы непосредственно по коэффициентам характеристического уравнения, без вычисления корней. Эти критерии называются критериями устойчивости. Покажем, что необходимым (но не достаточным) условием устойчивости системы является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения. Это значит, что при положительности всех коэффициентов система может быть устойчивой, но не исключена возможность неустойчивости системы. Если же не все коэффициенты характеристического уравнения положительны, то система наверняка неустойчива и никаких дополнительных исследований устойчивости не требуется. Заметим, что вместо того, чтобы быть положительными, все коэффициенты характеристического уравнения могут быть отрицательными. Умножая все члены характеристического уравнения на минус единицу, можно сделать все коэффициенты положительными, т. е. в этом случае выполнить указанное выше требование. Для доказательства сформулированного необходимого условия устойчивости будем вначале предполагать, что все корни вещественные. Представим левую часть характеристического уравнения (9) в виде произведения ![]() где ![]() ![]() В устойчивой системе все корни должны быть отрицательными, т. е. ![]() ![]() Если теперь раскрыть скобки и вернуться к уравнению вида (9), то все коэффициенты уравнения получатся положительными, так как, перемножая и складывая положительные величины ![]() При наличии в решении характеристического уравнения комплексных корней с отрицательной вещественной частью, например ![]() ![]() Очевидно, что появление такого множителя не может изменить вывод о положительности всех коэффициентов характеристического уравнения. Имея в виду рассмотренное необходимое условие устойчивости, далее будем всегда предполагать, что все коэффициенты характеристического уравнения положительны. Необходимое условие устойчивости становится достаточным только для уравнений первого и второго порядков. В этом случае система будет устойчивой при положительности всех коэффициентов характеристического уравнения, в чем нетрудно убедиться прямым нахождением корней уравнения. |