Надежность и ТД. Надежность. Регламентированы гост 27. 00289 Надежность в технике. Термины и определения
Скачать 1.7 Mb.
|
НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НАРАБОТКИ ДО ОТКАЗА1. Классическое нормальное распределение Нормальное распределение или распределение Гаусса является наиболее универсальным, удобным и широко применяемым. Считается, что наработка подчинена нормальному распределению (нормально распределена), если плотность распределения отказов (ПРО) описывается выражением:
где a и b – параметры распределения, соответственно, МО и СКО, которые по результатам испытаний принимаются: где 0 , - оценки средней наработки и дисперсии. Графики изменения показателей безотказности при нормальном распределении приведены на рис. 1. Выясним смысл параметров Т0 и S нормального распределения. Из графика f(t) видно, чтоТ0 является центром симметрии распределения, поскольку при изменении знака разности (t - T0) выражение (1) не меняется. При t = Т0 ПРО достигает своего максимума Рис. 1 При сдвиге Т0 влево/вправо по оси абсцисс, кривая f(t) смещается в ту же сторону, не изменяя своей формы. Таким образом, Т0 является центром рассеивания случайной величины T, т. е. МО. Параметр S характеризует форму кривой f(t), т. е. рассеивание случайной величины T. Кривая ПРО f(t) тем выше и острее, чем меньше S. Изменение графиков P(t) и (t) при различных СКО наработок (S1 < S2 < S3) и Т0 = const приведено на рис. 2. Рис. 2 Используя полученные ранее (лекции 3, 4) соотношения между показателями надежности, можно было бы записать выражения для P(t); Q(t) и (t) по известному выражению (1) для f(t). Не надо обладать богатой фантазией, чтобы представить громоздкость этих интегральных выражений, поэтому для практического расчета показателей надежности вычисление интегралов заменим использованием таблиц. С этой целью перейдем от случайной величины T к некоей случайной величине
распределенной нормально с параметрами, соответственно, МО и СКО M{X} = 0 и S{X} = 1 и плотностью распределения
Выражение (3) описывает плотность так называемого нормированного нормального распределения (рис. 3). Рис. 3 Функция распределения случайной величины X запишется
а из симметрии кривой f(x) относительно МО M{X} = 0, следует, что f(-x) = f(x), откуда F(-x) = 1 - F(x) . В справочной литературе приведены расчетные значения функций f(x) и F(x) для различных x = (t - Т0)/S. Показатели безотказности объекта через табличные значения f(x) и F(x) определяются по выражениям:
В практических расчетах часто вместо функции F(x) пользуются функцией Лапласа, представляющей распределение положительных значений случайной величины X в виде:
Очевидно, что F(x) связана с (x) следующим образом:
Как и всякая функция распределения, функция (x) обладает свойствами: (x)(- ) = -0,5; (x)( ) = 0,5; (x)(-x) = - (x) . В литературе могут встретиться и другие выражения для (x), поэтому, какой записью (x) пользоваться – это дело вкуса. Показатели надежности объекта можно определить через (x), используя выражения (5) – (8) и (10):
Чаще всего при оценке надежности объекта приходится решать прямую задачу – при заданных параметрах Т0 и S нормально распределенной наработки до отказа определяется тот или иной показатель безотказности (например, ВБР) к интересующему значению наработки t. Но в ходе проектных работ приходится решать и обратную задачу – определение наработки, требуемой по техническому заданию, ВБР объекта. Для решения подобных задач используют квантили нормированного нормального распределения. Квантиль – значение случайной величины, соответствующее заданной вероятности. Обозначим: tp– значение наработки, соответствующее ВБР P; xp – значение случайной величины X, соответствующее вероятности P. Тогда из уравнения связи x и t: при x = xp ; t = tp, получаем tp= Т0 + xp S. tp, xp – ненормированные и нормированные квантили нормального распределения, соответствующие вероятности P. Значения квантилей xp приводятся в справочной литературе для P 0,5. При заданной вероятности P < 0,5 используется соотношение xp = - x1-p . Например, при P = 0,3 x0,3 = - x1- 0,3 = - x0, 7 Вероятность попадания случайной величины наработки T в заданный интервал [t1, t2] наработки определяется:
где x1 = (t1 - Т0)/S , x2 = (t2 - Т0)/S . Отметим, что наработка до отказа всегда положительна, а кривая ПРО f(t), в общем случае, начинается от t = - и распространяется до t = . Это не является существенным недостатком, если Т0 >> S, поскольку по (14) нетрудно подсчитать, что вероятность попадания случайной величины T в интервал P{Т0 - 3S < T < Т0 + 3S} 1,0 с точностью до 1%. А это означает, что все возможные значения (с погрешностью не выше 1%) нормально распределенной случайной величины с соотношением характеристик Т0 > 3S, находятся на участке Т0 ± 3S. При большем разбросе значений случайной величины T область возможных значений ограничивается слева (0, ) и используется усеченное нормальное распределение. 2. Усеченное нормальное распределение Известно, что корректность использования классического нормального распределения наработки, достигается при Т0 3S. При малых значениях Т0 и большом S, может возникать ситуация, когда ПРО f(t) «покрывает» своей левой ветвью область отрицательных наработок (рис. 4). Рис. 4 Таким образом, нормальное распределение являясь общим случаем распределения случайной величины в диапазоне (- ; ), лишь в частности (при определенных условиях) может быть использовано для моделей надежности. Усеченным нормальным распределением называется распределение, получаемое из классического нормального, при ограничении интервала возможных значений наработки до отказа. В общем случае усечение может быть: левым – (0; ); двусторонним – (t1 , t2). Смысл усеченного нормального распределения (УНР) рассмотрен для случая ограничения случайной величины наработки интервалом (t1 , t2). Плотность УНР (t) = c f(t) , где c – нормирующий множитель, определяемый из условия, что площадь под кривой (t) равна 1, т. е. Откуда где Применяя переход от случайной величины Т = {t} к величине X = {x}: x2 = (t2 – Т0)/S ; x1 = (t1 – Т0)/S , получается поэтому нормирующий множитель c равен: Поскольку [ (x)(x2) - (x)(x1)] < 1, то c > 1, поэтому (t)> f(t). Кривая (t) выше, чем f(t), т. к. площади под кривыми (t) и f(t) одинаковы и равны 1 (рис. 5). Рис. 5 Показатели безотказности для УНР в диапазоне (t1 , t2): УНР для положительной наработки до отказа – диапазон (0; ) имеет ПРО (t) = c0 f(t) , где c0 – нормирующий множитель определяется из условия: и равен (аналогично предыдущему): Показатели безотказности УНР (0; ) Изменение нормирующего множителя c0 в зависимости от отношения Т0 /S приведено на рис. 6. Рис. 6. При Т0 = S, Т0 / S = 1 c0 = max ( 1,2) . При Т0 / S 2,5 c0 = 1,0, т.е.(t)(t) = f(t) . Контрольные вопросы и задачи: Объясните почему распределение Гаусса называется нормальным? Поясните на изменении кривой плотности распределения отказов влияние параметров распределения: матожидания и дисперсии? Приведите расчетные выражения для показателей безотказности, определенные через табличные функции: f(x), F(x) и (x)? При каких условиях корректно использовать классическое нормальное распределение, и в каких случаях целесообразно применять усеченные нормальные распределения? Приведите расчетные выражения показателей безотказности для усеченного «слева» нормального распределения? Наработка до отказа серийно выпускаемой детали распределена нормально с параметрами: Т0 = M(T) = 104 час, S = S (T) = 250 час. Определить: 1) вероятность того, что при монтаже прибора в него будут поставлены детали, наработка до отказа которых будет находиться в интервале [5000, 9000 час]; 2) вероятность того, что при монтаже прибора в него будут поставлены детали, наработка до отказа которых будет находиться в интервале [Т0 - 3S, Т0 + 3S]; 3) вероятность того, что безотказно проработав до момента времени 5000 час, деталь безотказно проработает и до 9000 час? Ответы: 1) 0.00003, 2) 0.9974, 3) 0.99997. Комплектующая деталь, используемая при изготовлении устройства, по данным поставщика этой детали имеет нормальное распределение наработки с параметрами: Т0 = 4 · 103 час, S = 800 час. Определить интересующую конструктора прибора: 1) наработку до отказа, соответствующую 90% надежности детали; 2) вероятность того, что при монтаже деталь имеет наработку, лежащую в интервале [2.5 · 103, 3 · 103]; 3) вероятность того, что при монтаже деталь имеет наработку, большую, чем 2.5 103 час? Ответы: 1) 2974.4, 2) 0.0755, 3) 0.9699. Лекция 7 |