Главная страница
Навигация по странице:

  • 1. Классическое нормальное распределение

  • 2. Усеченное нормальное распределение

  • Усеченным нормальным распределением

  • Контрольные вопросы и задачи

  • Надежность и ТД. Надежность. Регламентированы гост 27. 00289 Надежность в технике. Термины и определения


    Скачать 1.7 Mb.
    НазваниеРегламентированы гост 27. 00289 Надежность в технике. Термины и определения
    АнкорНадежность и ТД
    Дата25.05.2022
    Размер1.7 Mb.
    Формат файлаdoc
    Имя файлаНадежность.doc
    ТипРегламент
    #548236
    страница6 из 17
    1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   17

     НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НАРАБОТКИ ДО ОТКАЗА


    1. Классическое нормальное распределение

     

    Нормальное распределение или распределение Гаусса является наиболее универсальным, удобным и широко применяемым.

    Считается, что наработка подчинена нормальному распределению (нормально распределена), если плотность распределения отказов (ПРО) описывается выражением:

     



    (1)

     

    где a и b – параметры распределения, соответственно, МО и СКО, которые по результатам испытаний принимаются:

     

     

    где 0 , - оценки средней наработки и дисперсии.

    Графики изменения показателей безотказности при нормальном распределении приведены на рис. 1.

    Выясним смысл параметров Т0 и S нормального распределения. Из графика f(t) видно, чтоТ0 является центром симметрии распределения, поскольку при изменении знака разности (t - T0) выражение (1) не меняется. При t = Т0 ПРО достигает своего максимума

     

     

     

    Рис. 1

     

    При сдвиге  Т0  влево/вправо по оси абсцисс, кривая f(t) смещается в ту же сторону, не изменяя своей формы. Таким образом, Т0  является центром рассеивания случайной величины T, т. е. МО.

    Параметр S характеризует форму кривой f(t), т. е. рассеивание случайной величины T. Кривая ПРО f(t) тем выше и острее, чем меньше S.

    Изменение графиков P(t) и (t) при различных СКО наработок (S1 < S2 < S3) и Т0 = const приведено на рис. 2.

     

     

    Рис. 2

     

    Используя полученные ранее (лекции 3, 4) соотношения между показателями надежности, можно было бы записать выражения для P(t); Q(t) и (t) по известному выражению (1) для f(t). Не надо обладать богатой фантазией, чтобы представить громоздкость этих интегральных выражений, поэтому для практического расчета показателей надежности вычисление интегралов заменим использованием таблиц.

    С этой целью перейдем от случайной величины к некоей случайной величине

     



    (2)

     

    распределенной нормально с параметрами, соответственно, МО и СКО M{X} = 0 и  S{X} = 1 и плотностью распределения

     



    (3)

     

    Выражение (3)  описывает плотность так называемого нормированного нормального распределения (рис. 3).

     

     

    Рис. 3

     

    Функция распределения случайной величины X запишется

     



    (4)

     

    а из симметрии кривой f(x) относительно МО M{X} = 0, следует, что   f(-x) = f(x), откуда F(-x) = 1 - F(x) .

    В справочной литературе приведены расчетные значения функций f(x) и F(x)  для различных   x = (t - Т0)/S.

    Показатели безотказности объекта через табличные значения f(x) и F(x)  определяются по выражениям:

     

     

    f(t) = f(x)/S; 

    (5)

     

    Q(t) = F(x);

    (6)

     

    P(t) = 1 - F(x);

    (7)

     

    (t) = f(x)/S(1 - F(x)).

    (8)

                                                                      

    В практических расчетах часто вместо функции F(x) пользуются функцией Лапласа, представляющей распределение положительных значений случайной величины X  в виде:

     



    (9)

     

    Очевидно, что F(x) связана с (x) следующим образом:

     



    (10)

     

    Как и всякая функция распределения, функция (x) обладает свойствами:

     

    (x)(- ) = -0,5; (x)( ) = 0,5; (x)(-x) = - (x) .

     

    В литературе могут встретиться и другие выражения для (x), поэтому, какой записью (x) пользоваться – это дело вкуса.

    Показатели надежности объекта можно определить через (x), используя выражения (5) –  (8) и (10):

     

     

    Q(t) = 0,5 + (x) ;

    (11)

     

    P(t) = 0,5 - (x) ;

    (12)

     

    (t) = f(x)/S(0,5 - (x)) .

    (13)

     

    Чаще всего при оценке надежности объекта приходится решать прямую задачу – при заданных параметрах Т0 и S нормально распределенной наработки до отказа определяется тот или иной показатель безотказности (например, ВБР) к интересующему значению наработки t.

    Но в ходе проектных работ приходится решать и обратную задачу – определение наработки, требуемой по техническому заданию, ВБР объекта.

    Для решения подобных задач используют квантили нормированного нормального распределения.

    Квантиль – значение случайной величины, соответствующее заданной вероятности.

    Обозначим:

    tp– значение наработки, соответствующее ВБР P;

    xp – значение случайной величины X, соответствующее вероятности P.

    Тогда из уравнения связи x и t:

     

     

    при x = xp ; t = tp, получаем

     

    tp= Т0 + xp S.

     

    tp, xp – ненормированные и нормированные квантили нормального распределения, соответствующие вероятности P.

    Значения квантилей xp приводятся в справочной литературе для P 0,5.

    При заданной вероятности P < 0,5 используется соотношение

     

    xp = - x1-p .

    Например, при  P = 0,3

    x0,3 = - x1- 0,3 = - x0, 7

     

    Вероятность попадания случайной величины наработки T в заданный интервал [t1, t2] наработки определяется:

     



    (14)

     

    где x1 = (t1 - Т0)/S , x2 = (t2 - Т0)/S .

    Отметим, что наработка до отказа всегда положительна, а кривая ПРО f(t), в общем случае, начинается от t = - и распространяется до t =  .

    Это не является существенным недостатком, если Т0 >> S, поскольку по (14) нетрудно подсчитать, что вероятность попадания случайной величины T в интервал P{Т0 - 3S < T < Т0 + 3S} 1,0 с точностью до 1%. А это означает, что все возможные значения (с погрешностью не выше 1%) нормально распределенной случайной величины с соотношением характеристик Т0 > 3S, находятся на участке Т0 ± 3S.

    При большем разбросе значений случайной величины T область возможных значений ограничивается слева (0, ) и используется усеченное нормальное распределение.

     

    2. Усеченное нормальное распределение

     

    Известно, что корректность использования классического нормального распределения наработки, достигается при Т0 3S.

    При малых значениях Т0  и большом S, может возникать ситуация, когда ПРО f(t) «покрывает» своей левой ветвью область отрицательных наработок (рис. 4).

     

     

    Рис. 4

     

    Таким образом, нормальное распределение являясь общим случаем распределения случайной величины в диапазоне (- ; ), лишь в частности (при определенных условиях) может быть использовано для моделей надежности.

    Усеченным нормальным распределением называется распределение, получаемое из классического нормального, при ограничении интервала возможных значений наработки до отказа.

    В общем случае усечение может быть:

    • левым – (0; );

    • двусторонним – (t1 , t2).

    Смысл усеченного нормального распределения (УНР) рассмотрен для случая ограничения случайной величины наработки интервалом (t1 , t2).

    Плотность УНР (t) = c f(t) ,

    где

     

    c – нормирующий множитель, определяемый из условия, что площадь под кривой (t) равна 1, т. е.

     

     

    Откуда

     

    где

     

    Применяя переход от случайной величины Т = {t} к величине  X = {x}:

     

    x2 = (t2Т0)/S ;                    x1 = (t1Т0)/S ,

    получается

     

     

    поэтому нормирующий множитель c равен:

     

     

    Поскольку [ (x)(x2) - (x)(x1)] < 1, то c > 1, поэтому (t)> f(t). Кривая (t) выше, чем f(t), т. к. площади под кривыми (t) и f(t) одинаковы и равны 1 (рис. 5).

     

     

     

    Рис. 5

     

    Показатели безотказности для УНР в диапазоне (t1 , t2):

                                      

     

    УНР для положительной наработки до отказа – диапазон (0; ) имеет ПРО

     

    (t) = c0 f(t) ,

     

    где c0 – нормирующий множитель определяется из условия:

     

     

    и равен (аналогично предыдущему):

     

     

    Показатели безотказности УНР (0; )

     

     

    Изменение нормирующего множителя c0  в зависимости от отношения Т0 /S приведено на рис. 6.

     

                           

     

    Рис. 6.

    При     Т0 = S,            Т0 / S = 1        c0 = max ( 1,2) .

    При     Т0 / S 2,5      c0 = 1,0, т.е.(t)(t) =  f(t) .

     

     

    Контрольные вопросы и задачи:

    1. Объясните почему распределение Гаусса называется нормальным?

    2. Поясните на изменении кривой плотности распределения отказов влияние параметров распределения: матожидания и дисперсии?

    3. Приведите расчетные выражения для показателей безотказности, определенные через табличные функции: f(x), F(x) и   (x)?

    4. При каких условиях корректно использовать классическое нормальное распределение, и в каких случаях целесообразно применять усеченные нормальные распределения?

    5. Приведите расчетные выражения показателей безотказности для усеченного «слева» нормального распределения?

    6. Наработка до отказа серийно выпускаемой детали распределена нормально с параметрами: Т0 = M(T) = 104 час, S = S (T) = 250 час. Определить:

    1) вероятность того, что при монтаже прибора в него будут поставлены детали, наработка до отказа которых будет находиться в интервале [5000, 9000 час];

    2) вероятность того, что при монтаже прибора в него будут поставлены детали, наработка до отказа которых будет находиться в интервале [Т0 - 3S, Т0 + 3S];

    3) вероятность того, что безотказно проработав до момента времени 5000 час, деталь безотказно проработает и до 9000 час?

    Ответы: 1) 0.00003, 2) 0.9974, 3) 0.99997.

    1. Комплектующая деталь, используемая при изготовлении устройства, по данным поставщика этой детали имеет нормальное распределение наработки с параметрами:

    Т0 = 4 · 103 час, S = 800 час. Определить интересующую конструктора прибора:

    1) наработку до отказа, соответствующую 90% надежности детали;

    2) вероятность того, что при монтаже деталь имеет наработку, лежащую в интервале [2.5 · 103, 3 · 103];

    3) вероятность того, что при монтаже деталь имеет наработку, большую, чем 2.5 103 час?

    Ответы: 1) 2974.4, 2) 0.0755, 3) 0.9699.

    Лекция 7
    1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   17


    написать администратору сайта