Надежность и ТД. Надежность. Регламентированы гост 27. 00289 Надежность в технике. Термины и определения
 Скачать 1.7 Mb.
|
|
Теорема сложения вероятностей. Если А1, А2, …, Аn - несовместные события и А – сумма этих событий, то вероятность события А равна сумме вероятностей событий А1, А2, …, Аn:
Эта теорема непосредственно следует из аксиомы сложения вероятностей (8). В частности, поскольку два противоположных события А и несовместны и образуют полную группу, то сумма их вероятностей
Чтобы сформулировать в общем случае теорему умножения вероятностей, введем понятие условной вероятности. Условная вероятность события А1 при наступлении события А2 – вероятность события А1, вычисленная в предположении, что событие А2 произошло:
II.2.4.2. Теорема умножения вероятностей. Вероятность произведения (совместного появления) двух событий А1 и А2 равна вероятности одного из них, умноженной на условную вероятность другого, в предположении, что первое событие произошло:
Для любого конечного числа событий теорема умножения имеет вид
В случае, если события А1 и А2 независимы, то соответствующие условные вероятности поэтому теорема умножения вероятностей принимает вид
а для конечного числа n независимых событий
Следствием правил сложения и умножения вероятностей является теорема о повторении опытов (схема Бернулли): опыты считаются независимыми, если вероятность того или иного исхода каждого из них не зависит от того, какие исходы имели другие опыты. Пусть в некотором опыте вероятность события А равна P(А) = p, а вероятность того, что оно не произойдет P( ) = q, причем, согласно (13) P(A) + P( ) = p + q = 1 Если проводится n независимых опытов, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью p, то вероятность того, что в данной серии опытов событие А появляется ровно m раз, определяется по выражению
где - биномиальный коэффициент. Например, вероятность однократной ошибки при чтении 32-разрядного слова в формате ЭВМ, представляющего комбинацию 0 и 1, при вероятности ошибки чтения двоичного числа p = 10-3, составляет по (19) где q = 1- p = 0,999; n = 32; m = 1. Вероятность отсутствия ошибки чтения при m = 0, C032 = 1 Часто возникают задачи определения вероятностей того, что некоторое событие А произойдет по меньшей мере m раз или не более m раз. Подобные вероятности определяются сложением вероятностей всех исходов, которые составляют рассматриваемое событие. Расчетные выражения для такого типа ситуаций имеют вид: где Pn(i) определяется по (19). При больших m вычисление биномиальных коэффициентов Cnm и возведение в большие степени p и q связано со значительными трудностями, поэтому целесообразно применять упрощенные способы расчетов. Приближение, называемое теоремой Муавра-Лапласа, используется, если npq>>1, а |m-np|<(npq)0,5, в таком случае выражение (19) записывается:
II.2. 5. Формула полной вероятности и формула Байеса (формула вероятностей гипотез) В практике решения большого числа задач формула полной вероятности (ФПВ) и формула Байеса, являющиеся следствием основных теорем, находят широкое применение. II.2.5.1.Формула полной вероятности. Если по результатам опыта можно сделать n исключающих друг друга предположений (гипотез) H1, H2, … Hn, представляющих полную группу несовместных событий (для которой ), то вероятность события А, которое может появиться только с одной из этих гипотез, определяется:
где P(Hi) – вероятность гипотезы Hi; P(А| Hi) – условная вероятность события А при гипотезе Hi. Поскольку событие А может появиться с одной из гипотез H1, H2, … Hn, то А = АH1 H2 … АHn , но H1, H2, … Hn несовместны, поэтому В виду зависимости события А от появления события (гипотезы) Hi P(AHi) = P(Hi)· P(А| Hi), откуда и следует выражение (21). II.2.5.2. Формула Байеса (формула вероятностей гипотез). Если до опыта вероятности гипотез H1, H2, … Hn были равны P(H1), P(H2), …, P(Hn), а в результате опыта произошло событие А, то новые (условные) вероятности гипотез вычисляются:
Доопытные (первоначальные) вероятности гипотез P(H1), P(H2), …, P(Hn) называются априорными, а послеопытные - P(H1| А), … P(Hn| А) – апостериорными. Формула Байеса позволяет «пересмотреть» возможности гипотез с учетом полученного результата опыта. Доказательство формулы Байеса следует из предшествующего материала. Поскольку P(Hi А) = P(Hi) P(А| Hi) = P(Hi) P(Hi| А): откуда, с учетом (21), получается выражение (22). Если после опыта, давшего событие А, проводится еще один опыт, в результате которого может произойти или нет событие А1, то условная вероятность этого последнего события вычисляется по (21), в которую входят не прежние вероятности гипотез P(Hi), а новые - P(Hi| А):
Выражение (23) называют формулой для вероятностей будущих событий. |