СРО-12. Решение задач динамики мкэ 2 2 Приближенные методы в динамике сооружений 4

• Название: Решение задач динамики мкэ 2 2 Приближенные методы в динамике сооружений 4
• Дата: 10.04.2022
• Размер: 0.6 Mb.
• Имя файла: СРО-12.doc
• Тип: Решение; #459042
• страница: 1 из 5

Содержание

1.	Специальные методики расчета конструкций и оснований сооружений МКЭ	2
1.1	Решение задач динамики МКЭ	2
1.2	Приближенные методы в динамике сооружений	4
1.3	Метод приведенных масс	5
1.4	Формула Донкерлея	5
2.	Применение энергетических методов в динамических расчетах зданий и сооружений	7
2.1	Метод Релея	7
2.2	Метод Релея-Ритца	8
2.3	Метод постоянного ускорения	9
	Список использованной литературы	11

1. 
   Специальные методики расчета конструкций и оснований сооружений МКЭ.
   

   1. Решение задач динамики МКЭ

В настоящее время широкое распространение получил метод конечных элементов (МКЭ) в форме метода перемещений. Модель сооружения в виде системы конечных элемен- тов (КЭ) применима к расчету сооружений любого типа: рамных конструкций (из одномерных элементов), систем типа плит и оболочек (из двумерных элементов) и трехмерных тел.

На первом этапе динамического расчета МКЭ любое сооружение представляется в виде системы конечных элементов, объединенных в узлах. Размеры элементов могут быть произ- вольными. Перемещения узлов принимаются в качестве обобщенных координат. Перемеще- ния внутренних точек КЭ выражаются через эти обобщенные координаты с помощью интер- поляционных функций. С учетом граничных условий КЭ в его узлах определяются функции формы, связывающие перемещения внутренних точек с узловыми перемещениями. В итоге характеристики всего сооружения определяются через характеристики отдельных конечных элементов (матриц жесткостей, масс и др.).

Преимущество такого подхода:

• 
  любое сооружение может быть разбито на произвольное число КЭ;
  
• 
  уравнения МКЭ получаются мало связанными между собой, поэтому вычислитель- ный процесс упрощается.
  

В курсе строительной механики все эти этапы были изучены; в нем рассматривались вопросы получения матриц жесткостей конечных элементов (КЭ фермы, плоского изгибного стержневого элемента, треугольного и четырехугольного элементов), переход из местной си- стемы координат в общую, объединение конечных элементов в единый ансамбль, учет гра- ничных условий, получение разрешающего уравнения МКЭ в форме метода перемещений

(3.68)

где r - матрица жесткости, y и P - вектора перемещений и нагрузки.

При решении задач динамики уравнение вынужденных колебаний системы с n степе- нями свободы в матричной записи имеет вид:

(3.69)

где m - матрица масс, у и P = P(t) - вектора ускорений и нагрузки.

Матрица масс в МКЭ может быть двух видов:

• 
  как матрица сосредоточенных масс,
  
• 
  как матрица распределенных масс.
  

С первым видом мы знакомы: это диагональная матрица, элементами которой являются величины сосредоточенных масс.

Получение матрицы распределенных масс аналогично построению матрицы жестко- сти. Для этого используются интерполяционные функции, проводится переход из местной си- стемы координат в общую, затем из матриц масс КЭ формируется матрица масс всей системы. Матрица распределенных масс точнее учитывает инерционные характеристики динамической системы. Однако, ее получение и решение уравнения (3.69) требует более сложных и объем- ных вычислений чем для системы с сосредоточенными массами.

Вектор нагрузки P = P(t) также может быть получен двумя методами: 1) статическим методом, 2) методом приведения.

Статический метод основан на определении узловых нагрузок, статически эквивалент- ных заданной нагрузке.

В методе приведения нагрузка определяется из условия равенства работ внешних и внутренних сил на возможных перемещениях заданной и приведенной систем.

Уравнение (3.69) не учитывает диссипацию (рассеяние энергии) при колебаниях. Од- нако, в реальных конструкциях это явление всегда присутствует и при прекращении действия внешней нагрузки из-за диссипации происходит быстрое затухание колебаний.

Для учета затухания колебаний часто используется гипотеза Фойгта (гипотеза линейно- вязкого трения), по которой сила внутреннего трения пропорциональна скорости деформации (2.21):



где c - коэффициент демпфирования. В этом случае уравнение вынужденных колебаний си- стемы с nстепенями свободы с учетом диссипации приводится к виду

(3.70)

где с - диагональная матрица демпфирования, характеризующая процесс затухания колебаний. Эту матрицу можно получить через матрицы затухания отдельных КЭ.

Напомним, что гипотеза вязкого трения приводит к тому, что затухание зависит от ча- стоты колебания. Но многочисленные эксперименты этого не подтверждают. Поэтому на ^{практике коэффициенты демпфирования принимают пропорциональными массам системы m}i^:

где α- коэффициент затухания, определяемый из эксперимента.

Тогда уравнение (3.70) запишется так:

(3.71)

Уравнение свободных колебаний получается из (3.71) и при P=0 имеет вид, совпадаю- щий с (3.37)

(3.72)

В разделе 3.4 было установлено, что в обычных сооружениях при α <ω демпфирование мало влияет на частоту и период свободных колебаний. Поэтому при динамическом расчете сооружений МКЭ решение уравнения (3.71) определяется методом разложения решения по формам собственных колебаний.

Кратко рассмотрим схему такого решения:

1. 
   Из уравнения
   

(3.73)

определяется сокращенная матрица форм из первых s собственных форм и вектор частот из первых sчастот спектра собственных колебаний

2. 
   Подставляя в (3.72)
   

после некоторых преобразований определяются sнесвязанных уравнений



^{где P}i^{(t)= a}i^{P(t) - обобщенная нагрузка.}

3. 
   Из этих уравнений определяются обобщенные координаты z_i.
   
4. 
   Вычисляется вектор перемещений
   

5. 
   Определяются упругие силы от динамической нагрузки, возникающие в узлах ко- нечно-элементной модели:
   

   (3.74)

6. 
   По упругим узловым силам определяются внутренние усилия, напряжения, дефор- мации, перемещения, т. е. НДС системы.