Комплексные числа. Курсовая работа Комплексные числа. Решение задач по теме Комплексные числа в углубленном курсе алгебры и начал математического анализа
![]()
|
Комплексные числа1.1. Основные определения и действия с комплексными числамиКомплексным числом называют выражение вида ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Слово «комплексные» происходить от слова «составные» - по виду выражения ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Например, действительная часть комплексного числа ![]() ![]() Два комплексных числа ![]() ![]() ![]() ![]() Например, ![]() ![]() ![]() Сложение и умножение комплексных чисел. Операции сложения и умножения двух комплексных чисел определяются следующим образом. Сложение комплексных чисел ![]() ![]() ![]() ![]() Умножение комплексных чисел ![]() ![]() ![]() ![]() Формула (1.1.1) означает, что сложение производится по обычному правилу сложения многочленов с произведением подобных членов. Формула (1.1.2) означает, что умножение комплексных чисел осуществляется по обычному правилу умножения многочленов, только, считая, что ![]() Принято считать, что ![]() ![]() ![]() Число вида ![]() ![]() ![]() Комплексное число ![]() Комплексное число принято обозначать одной буквой, чаще всего буквой z. Запись ![]() ![]() ![]() Операции сложения и умножения комплексных чисел обладают такими же свойствами, как и операции для действительных чисел. Основные свойства сложения и умножения комплексных чисел Переместительное свойство ![]() Сочетательное свойство ![]() Распределительное свойство ![]() Сложения, умножение комплексных чисел фактически связаны с действительными числами-компонентами комплексного числа. Их можно изложить не используя символ ![]() ![]() ![]() Комплексным числом zназывают пару ![]() ![]() Тогда изложенные выше правила будут выглядеть следующим образом: 1. ![]() ![]() ![]() ![]() 2. ![]() ![]() 3. ![]() ![]() ![]() 4. ![]() Число ![]() ![]() ![]() ![]() Комплексные числа ![]() ![]() ![]() Комплексные числа ![]() ![]() ![]() ![]() есть положительное действительное число. Обозначается сопряженное число ![]() ![]() Например, ![]() ![]() Отметим, что ![]() ![]() ![]() Равенство ![]() ![]() Модулем комплексного числа ![]() ![]() ![]() Например, ![]() ![]() Из формулы (1.1.3) следует, что ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Для любого комплексного числа ![]() ![]() ![]() Вычитание комплексных чисел. Комплексное число ![]() ![]() ![]() Если ![]() ![]() ![]() Для любого комплексного числа ![]() ![]() Вычитание комплексных чисел вводится как операция, обратная сложению: для любых комплексных чисел ![]() ![]() ![]() т.е. уравнение (1.1.4) имеет только один корень. Прибавим к обеим частям равенства (1.1.4) число ![]() ![]() ![]() ![]() Число ![]() ![]() ![]() ![]() Если ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Формула (1.1.5) показывает. Что разность комплексных чисел можно находить по правилам действий с многочленами. Деление комплексных чисел. Деление комплексных чисел вводится как операция, обратная умножению: для любых комплексных чисел ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Комплексное число нельзя делить на нуль. Итак, частное комплексных чисел ![]() ![]() ![]() Каждое комплексное число z, не равное нулю, имеет обратное ему число w, такое, что z ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Из последнего равенства получаем систему ![]() решая которую находим ![]() ![]() Таким образом, если ![]() ![]() Если ![]() ![]() ![]() Вместо того чтобы запоминать эту формулу, следует запомнить, что результат для частного получается посредством умножения числителя и знаменателя на число сопряженное со знаменателем. Например, ![]() |