Комплексные числа. Курсовая работа Комплексные числа. Решение задач по теме Комплексные числа в углубленном курсе алгебры и начал математического анализа

• Название: Решение задач по теме Комплексные числа в углубленном курсе алгебры и начал математического анализа
• Анкор: Комплексные числа
• Дата: 24.05.2021
• Размер: 0.79 Mb.
• Имя файла: Курсовая работа Комплексные числа.docx
• Тип: Курсовая; #209412
• страница: 2 из 7

Комплексные числа

1.1. Основные определения и действия с комплексными числами

Комплексным числом называют выражение вида , где и действительные числа, а формальный символ (буква), для которого по определению выполняется равенство []

Слово «комплексные» происходить от слова «составные» - по виду выражения . Действительные числа и , из которых составляется комплексное число , называются компонентами этого числа. Число называется действительной частью комплексного числа , вторая компонента его мнимой частью. Число называют мнимой единицей.

Например, действительная часть комплексного числа равна 3, мнимая часть равна 1. Запись комплексного числа в виде называют алгебраической формой комплексного числа.

Два комплексных числа и называются равными в том и только том случае, когда и , т. е. когда равны их действительные и мнимые части.

Например, так как ,

Сложение и умножение комплексных чисел.

Операции сложения и умножения двух комплексных чисел определяются следующим образом.

Сложение комплексных чисел и определяется правилом

. (1.1.1)

Умножение комплексных чисел и определяется правилом

. (1.1.2)

Формула (1.1.1) означает, что сложение производится по обычному правилу сложения многочленов с произведением подобных членов.

Формула (1.1.2) означает, что умножение комплексных чисел осуществляется по обычному правилу умножения многочленов, только, считая, что .

Принято считать, что , т.е. комплексное число это действительное число

Число вида обозначают т.е. его называют чисто мнимым числом.

Комплексное число является единственным числом, которое одновременно и действительное, и чисто мнимое.

Комплексное число принято обозначать одной буквой, чаще всего буквой z. Запись обозначает, что комплексное число обозначается буквой

Операции сложения и умножения комплексных чисел обладают такими же свойствами, как и операции для действительных чисел.

Основные свойства сложения и умножения комплексных чисел

1. 
   Переместительное свойство
   

2. 
   Сочетательное свойство
   

3. 
   Распределительное свойство
   

Сложения, умножение комплексных чисел фактически связаны с действительными числами-компонентами комплексного числа. Их можно изложить не используя символ . Для этого достаточно писать вместо пару действительных чисел .

Комплексным числом zназывают пару действительных чисел , взятых в определенном порядке.

Тогда изложенные выше правила будут выглядеть следующим образом:

1. = в том и только том случае, если и

2.

3.

4.

Число называют действительной частью комплексного числа и обозначают число называют мнимой частью комплексного числа и обозначают

Комплексные числа при называют мнимыми числами, а числа вида называют чисто мнимыми числами.

Комплексные числа и , отличающиеся знаком мнимой части, называются сопряженными. Если , то



есть положительное действительное число.

Обозначается сопряженное число , т.е.

.

Например,

Отметим, что , поэтому для любого комплексного числа имеет место равенство



Равенство справедливо тогда и только тогда, когда действительное число.

Модулем комплексного числа называется число , т.е.

(1.1.3)

Например,

Из формулы (1.1.3) следует, что для любого комплексного числа , причем тогда и только тогда, когда , т.е. когда и .

Для любого комплексного числа справедливы формулы

, .

Вычитание комплексных чисел.

Комплексное число называется противоположным комплексному числу и обозначается .

Если , то . Например, .

Для любого комплексного числа выполняется равенство



Вычитание комплексных чисел вводится как операция, обратная сложению: для любых комплексных чисел существует, и притом только одно, число , такое что

(1.1.4)

т.е. уравнение (1.1.4) имеет только один корень.

Прибавим к обеим частям равенства (1.1.4) число , противоположное числу :

, откуда .

Число обычно обозначают и называют разностью чисел и .

Если , , то разность имеет следующий вид:

= (1.1.5)

Формула (1.1.5) показывает. Что разность комплексных чисел можно находить по правилам действий с многочленами.

Деление комплексных чисел.

Деление комплексных чисел вводится как операция, обратная умножению: для любых комплексных чисел  существует, и притом только одно, число  , такое, что  т.е. это уравнение относительно z имеет только один корень, который называется частным чисел и   и обозначается  , или  т.е. z= .

Комплексное число нельзя делить на нуль. Итак, частное комплексных чисел и  можно найти по формуле



Каждое комплексное число z, не равное нулю, имеет обратное ему число w, такое, что z Если , , то это равенство принимает вид

или

Из последнего равенства получаем систему



решая которую находим

Таким образом, если , то число, ему обратное, принимает вид



Если , , то по формуле (1.1.6) можно представить в виде



Вместо того чтобы запоминать эту формулу, следует запомнить, что результат для частного получается посредством умножения числителя и знаменателя на число сопряженное со знаменателем.

Например,