Комплексные числа. Курсовая работа Комплексные числа. Решение задач по теме Комплексные числа в углубленном курсе алгебры и начал математического анализа
![]()
|
2.3. Действия с комплексными числами в тригонометрической формеЗадача 1. Представьте комплексные числа в тригонометрической форме: а) ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Решение: Комплексное число в тригонометрической форме представляет в следующей форме ![]() а) Так как ![]() ![]() ![]() Тогда ![]() ![]() Таким образом, ![]() б) ![]() ![]() ![]() в) ![]() ![]() ![]() г) ![]() ![]() ![]() д) ![]() ![]() ![]() е) Так как cos функция четная, то ![]() ж) Модуль комплексного числа равен ![]() ![]() ![]() Таким образом, ![]() Ответ: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Задача 2. Представьте комплексное число в тригонометрической форме ![]() Решение: Предположим что ![]() ![]() Тогда ![]() ![]() ![]() Поскольку ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Таким образом, ![]() ![]() ![]() Ответ: ![]() ![]() Задача 3. Используя тригонометрическую форму комплексного числа, произведите указанные действия: ![]() Решение:. Предположим, что ![]() ![]() 1) ![]() ![]() ![]() Находим значение главного аргумента ![]() ![]() Представим ![]() ![]() 2) ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Представим ![]() ![]() 3) Найдем частное ![]() ![]() Далее, применяя формулу для извлечения корня степени 3, получим: ![]() Так как корень степени 3, то в результате будет три значения искомого корня. Полагая k=0, 1, 2, получим: Если ![]() ![]() если ![]() ![]() если ![]() ![]() Ответ: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Статистические методы – мощный инструмент исследования во многих отраслях знаний. В географии, особенно в метеорологии и климатологии, статистика используется с начала регулярных метеорологических наблюдений [7]. Перепады температуры и атмосферного давления, распределение осадков, паводки рек, всё это и многое другое описывается математическим аппаратом теории экстремальных статистик. Одна из задач, которую решает данная теория, состоит в исследовании наблюдаемых максимальных и минимальных значений рассматриваемых величин. В данной работе предельные распределения описаны для независимых одинаково распределенных случайных величин. Таким образом, для применения предельных теорем необходимо, чтобы статистические данные удовлетворяли следующим условиям:независимость;одинаковое распределение;большой набор статистики. Применение теории экстремальных статистик непосредственно к исследованию максимальных и минимальных суточных значений температуры воздуха не является корректным, так как данные величины являются зависимыми. Поэтому для проведения анализа была взята величина скачка суточных максимальных температур воздуха в городе Курск за летний период с 1912 по 2017 год. Первым этапом исследования является проверка на независимость статистических данных с помощью линейного параметрического коэффициента парной корреляции, который вычисляется по следующей формуле ![]() где ![]() Коэффициент корреляции используется при наличии линейной связи между признаками. Если ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Для вычисления коэффициента корреляции в Excel был разработан макрос, с помощью которого посчитан коэффициент ![]() Следующим этапом исследования является подбор теоретической функции распределения к ряду наблюдений ![]() ![]() ![]() где k – общее количество интервалов, s – число параметров предполагаемого вероятностного закона исследуемых случайных величин, ![]() Для применения предельной теоремы выполнены все необходимые условия. Тогда согласно теории экстремальных статистик наибольшие годовые скачки максимальных суточных температур должны подчиняться двойному экспоненциальному закону распределения с центрирующей и нормирующей константами, вычисляемыми по следующим формулам ![]() ![]() В связи с тем, что предельные теоремы справедливы в случае, когда ![]() ![]() ![]() ![]() Оценка соответствия эмпирического распределения двойному экспоненциальному подтвердила, что во всех случаях отклонения фактических частот можно считать случайными и при уровне значимости ![]() Рис.3.3.1. Гистограмма эмпирических частот. Таким образом, для моделирования независимых нормальных экстремальных климатических характеристик можно использовать двойное экспоненциальное распределение. Построение таких моделей важно не только для анализа природных явлений в настоящее время, но и для прогноза их развития в будущем. Тема изменения климатических условий стала очень популярной в последние десятилетия [7]. С развитием компьютерных технологий появились новые возможности обработки и анализа статистических данных, в том числе и в области метеорологии. Различные методы математической статистики позволяют не только вычислять разные климатические характеристики, но и моделировать метеорологические показатели [1]. Построение таких моделей важно не только для анализа природных явлений в настоящее время, но и для прогноза их развития в будущем. Цель данного исследования заключается в проведении анализа среднемесячных значений экстремальных суточных температур воздуха по городу Курск за март месяц с 1912 по 2017 года. Климатическая изменчивость среднемесячных значений максимальных и минимальных суточных температур воздуха за март месяц в городе Курск показана на Рис. 3.3.1. Рис.3.2.1 Климатическая изменчивость среднемесячных значений экстремальных суточных температур марта месяца в городе Курск 1912 – 2017г. Наблюдаемые и расчётные оценки параметров метеорологических процессов являются случайными величинами. Их вероятностное поведение описывается с помощью функции распределения, подбор которой осуществляется с учетом моментных характеристик. Наиболее значимыми среди них являются среднее значение, среднеквадратическое отклонение, асимметрия и эксцесс. Распределения метеорологических элементов, не имеющих легко достижимых физических пределов и асимметрия которых не очень велика (температура воздуха и почвы, атмосферное давление и т.п.) в большинстве случаев описываются нормальной функцией распределения [3]. Для исследования период наблюдений был разбит на два промежутка 1912-1971г. и 1972-2017г. С использованием непараметрического критерия Пирсона ![]() Гипотеза о согласованности статистических данных с нормальным распределением с параметрами, приведенными в таблице 1, по критерию хи-квадрат подтвердилась для обоих периодов. Далее была выполнена проверка на однородность анализируемых выборок. Гипотеза о равенстве дисперсий проверялась по F-критерию, статистика которого вычисляется по формуле: ![]() F-распределение определяется двумя параметрами: числом степеней свободы, зависящих от объемов выборок, ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Если ![]() ![]() С помощью данного критерия было установлено, что разница между значениями дисперсий анализируемых периодов статистически незначима и для минимальных и для максимальных температур. Для определения однородности по средним значениям двух выборок использовался критерий Стьюдента (t-критерий), статистика которого вычисляется по формуле ![]() Параметры данного распределения - число степеней свободы ![]() ![]() ![]() ![]() Если ![]() ![]() Результаты, полученные с использование данного критерия, подтверждают, что разница между средними значениями за оба периода является значительной и для минимальных и для максимальных температур. Таким образом, проведенный анализ эмпирических оценок параметров распределения выявил статистическую неоднородность среднемесячных значений экстремальных суточных температур за март месяц в городе Курск по указанным периодам, основанную на смещении средних значений величин в положительном направлении. Геометрические иллюстрации кривых плотностей, построенных по параметрам, приведенным в таблице 1, представлены на Рис.3.3.2 и Рис.3.3.3. Аналогичное исследование проводилось для среднемесячных значений среднесуточных температур [4]. Следует отметить, что во всех случаях кривые, построенные по наблюдениям за последний период, сместились вправо примерно на одну и ту же величину, а именно 2,4 C. Таким образом, ещё раз подтверждается факт, что в городе Курск имеется устойчивая тенденция к потеплению климата [4]. Тема изменения климатических условий стала очень популярной в последние десятилетия. С развитием компьютерных технологий появились новые возможности обработки и анализа статистических данных, в том числе и в области метеорологии. Различные методы математической статистики позволяют не только вычислять разные метеорологические характеристики, но и моделировать их изменения. Большинство методов статистического анализа оперируют с усредненными значениями выборки. Более того, в некоторых случаях крайние члены вариационного ряда вообще исключаются из рассмотрения или их влияние максимально нивелируется. Применение таких методов не позволяет проводить исследования закономерностей возникновения экстремальных метеорологических проявлений. В связи с этим целью настоящей статьи является разработка методики статистического анализа данных метеонаблюдений, позволяющей прогнозировать частоту появления экстремальных значений. Максимальные величины перепадов температуры и атмосферного давления, уровня осадков, паводков рек и других метеорологических показателей представляют особый интерес в различных сферах деятельности. Вероятности появления наибольших и наименьших значений в произвольной выборке описываются математическим аппаратом теории экстремальных статистик. Основные результаты теории экстремальных значений сформулированы для классической модели (схемы максимума независимых одинаково распределенных случайных величин при линейной нормировке) [Галамбош 1984]. Однако обобщения данной теории на неклассические случаи расширяют спектр ее приложений [Галамбош 1994, Лебедев 2005]. В проведенном исследовании в качестве статистических данных были взяты выборки, составленные из величин перепадов наибольших суточных температур воздуха в городе Курске в летние периоды за 102 года (с 1912 года), то есть ![]() где ![]() Наблюдаемые и расчётные оценки параметров метеорологических процессов являются случайными величинами. Их вероятностное поведение описывается с помощью функции распределения. Распределения метеорологических элементов, не имеющих легко достижимых физических пределов и асимметрия которых не очень велика (температура воздуха и почвы, атмосферное давление и т.п.) в большинстве случаев описываются нормальной функцией распределения [Исаев 1988]. Гипотеза о согласованности выше указанных статистических данных с нормальным распределением по критерию хи-квадрат подтвердилась. Далее с помощью линейного параметрического коэффициента парной корреляции было установлено, что взаимосвязь между элементами этих выборок является очень слабой и позволяет считать значения выборок независимыми. Таким образом, выборки (1) можно считать реализациями ![]() ![]() Далее была построена выборка из максимумов значений центрированных и нормированных последовательностей (1): ![]() где ![]() ![]() ![]() ![]() связаны с ![]() ![]() Таким образом, выборочные значения (2) представляют статистические данные для исследования и моделирования поведения случайной величины ![]() При этом ![]() где ![]() следовательно, имеется равносильность событий ![]() ![]() ![]() Статистическая согласованность выборки (1) с нормальным распределением позволяет для центрированных и нормированных максимумов перепадов температур (2), использовать предельное двойное экспоненциальное распределение: ![]() с центрирующей и нормирующей константами, вычисляемыми по следующим формулам ![]() ![]() В связи с тем, что предельные теоремы справедливы при условии, что ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Таким образом, по формулам (4), (5) с учетом поправки вычислили значения центрирующей и нормирующей констант: ![]() ![]() Оценка соответствия эмпирического распределения двойному экспоненциальному показала, что во всех случаях отклонения фактических частот можно считать случайными, и при уровне значимости ![]() Таким образом, для моделирования поведения максимальных скачков наибольших суточных температур целесообразно использовать двойное экспоненциальное распределение. Построение моделей на его основе позволяет анализировать данные метеонаблюдений с точки зрения поведения наибольших суточных колебаний. Значения наблюдаемых и теоретических частот, вычисленных с помощью двойного экспоненциального распределения приведены в таблице 1. В таблице 2 представлены вероятности и соответствующие им относительные частоты событий ![]() Используя теоретическое распределение (3) величины ![]() Таким образом, сравнительный анализ полученных теоретических и наблюдаемых частот событий, характеризующих поведение максимальных скачков наибольших суточных температур воздуха в летний сезон в городе Курске за столетний период наглядно иллюстрирует точность построенной модели и подтверждает возможность прогнозирования метеорологических показателей не только в области их усредненных значений, но и в области их экстремумов. Заключение В ходе выполнения курсовой работы, были решены следующие задачи: 1) Изложен основной материал по теме «комплексные числа» для классов с углубленным изучением математики. 2) Представлены решения задач с комплексными числами в алгебраической форме, отработаны основные операции сложения, вычитания, умножения, деления, операции сопряжения для комплексных чисел в алгебраической форме, степень мнимой единицы, модуль комплексного числа. 3) Разобраны задания связанные с геометрической интерпретацией комплексных чисел на координатной плоскости. 4) Рассмотрен и продемонстрирован алгоритм представления комплексных чисел в тригонометрической форме, а также вычисление комплексного числа в степени и извлечение корня. Материал, изложенный в данной курсовой работе, может быть использован при изучении курса алгебры в классах с углубленным изучением математики или на элективных курсах в школе. Список используемой литературыАбрамов А.М., Виленкин Н.Я., Дорофеев Г.В., Егоров А.А., Земляков А.Н., Моркович А.Г. Избранные вопросы математики. 10 класс. Факультативный курс. – М.: Просвещение, 1980. Алгебра: Учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений/ Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. – 7-е изд. – М.: Просвещение, 2000. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В., Шабунин М.Ш. Алгебра и начала анализа. Пробный учебник 9-10 классов средней школы. – М.: Просвещение, 1975. Андронов И.К. Математика действительных и комплексных чисел. – М.: Просвещение, 1975. Беляева Э.С., Потапов А.С. Уравнения и неравенства первой степени с параметром и к ним сводимые. Учебное пособие. – Воронеж: ВГПУ, 2001. Болтянский В.Г., Сидоров Ю.В., Шабунин М.И. Лекции и задачи по элементарной математике. - М.: Наука, 1971. Вавилов В.В, Мельников И.И., Олехник С.Н., Пасиченко П.И. Задачник по математике. Алгебра. Справочное пособие. – М.: Наука, 1987. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 11 класса: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики.– 6-е изд. – М.: Просвещение, 1998. Галицкий М.А., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа. – М.: Просвещение, 1989. Гордиенко Н.А., Беляева Э.С., Фирстов В.Е., Серебрякова И.В. Комплексные числа и их приложения: Учебное пособие. – Воронеж: ВГПУ, 2004. Дадаян А.А., Новик И.А. Алгебра и начала анализа. – М.: Просвещение, 1987. Звавич Л.И. и др. Алгебра и начала анализа. Решение задач письменного экзамена. / Л.И. Звавич, Л.Я. Шляпочник, И.И. Кулагина. – М.: Дрофа, 2000. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики.– М.: Просвещение, 1995. Окунев Л.Я. Высшая алгебра. – М.: Просвещение, 1966. Петраков И.С. Математические кружки в 8 – 10 классах. – М.: Просвещение, 1988. Фадеев Д.К., Никулин М.С., Соколовский И.Ф. Элементы высшей математики для школьников. – М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1987. Цыпкин А.Г., Пинский А.И. Справочник по методам решения задач по математике для средней школы. – М.: Наука, 1989. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике: Решение задач: учебное пособие для 10 классов средней школы. – М.: Просвещение, 1989. Шклярский Д.О., Ченцов Н.Н., Яглом И.М. Избранные задачи и теоремы элементарной математики. Арифметика и алгебра. – М.: Физматлит, Лаборатория Базовых Знаний, 2001. Энциклопедический словарь юного математика. (Составитель Савин А.П.). – М.: Педагогика, 1989. Яглом И.М. Комплексные числа и их приложения в геометрии. Изд. 2-е, стереотипное. – М.: Едиториал УРСС, 2004. |