ГЕОДЕЗИЯ-2005. С. И. Чекалин г е оде з и я москва 2005 ббк 26. 1 Удк геодезия Учебник
 Скачать 37.56 Mb.
|
|
§ 149. Классификация основных способов уравнивания Способы уравнивания результатов измерений в геодезических построениях разделяют на два основных вида строгие способы и нестрогие способы уравнивания. К строгим способам уравнивания относятся коррелатный и параметрический способы. Следует отметить, что оба названных способа дают идентичные результаты. Эти способы позволяют полностью реализовать в той или иной схеме метод наименьших квадратов практически для любых по сложности построений. В некоторых случаях, при уравнивании геодезических построений сравнительно малой точности, применяют упрощенные способы уравнивания, которые относят к нестрогим способам. Например, в любом полигонометрическом ходе число избыточных измерений всегда равно трем. Очевидно, что число избыточных измерений практически намного меньше необходимых. Это приводит к тому, что при уравнивании не будет достигаться заметного повышения точности. Для одиночных полигонометрических ходов и даже для систем полигонометрических ходов с одной или двумя узловыми точками можно рекомендовать способ раздельного уравнивания. В частности, способ раздельного уравнивания был использован выше при обработке разомкнутого или замкнутого теодолитного хода сначала выполнялось уравнивание горизонтальных углов (дирекционных углов, а затем – уравнивание приращений координат (координат. В полигонометрических сетях малой точности, содержащих не более 3-4 узловых пунктов, используют способ эквивалентной замены Если полигонометрическая или нивелирная сеть содержит большое число исходных пунктов, то наиболее эффективно применять способ последовательных приближений Нивелирные сети, состоящие из полигонов, при пониженных требованиях точности уравнивают, как правило, способом полигонов В.В.Попова. О всех указанных здесь способах пойдет речь в последующих параграфах этой главы § 150. Основные геометрические условия, возникающие в построениях Если геодезические построения состоят только из необходимых исходных данных, то такое построение (сеть) называется свободным (свободной) и уравниванию не подлежит. При наличии избыточных измерений построение сеть) называется несвободным несвободной, ив нем (ней) может быть выполнено уравнивание при наличии невязок, определяемых выполнением тех или иных условий в геометрических связях. При уравнивании геодезических построений необходимо правильно определить число и вид т.н. условных уравнений. В связи с этим должны быть составлены только необходимые условия, не больше. В противном случае система уравнений не может быть разрешима. Меньшее же число условий вообще исключает решение задачи уравнивания, поскольку хотя бы одна из невязок будет исключена из рассмотрения. Далее приведем основные геометрические условия, которые могут определять вид того или иного условного уравнения связи в геодезическом построении. 150.1.Условие фигуры В замкнутой фигуре, имеющей n вершин, сумма уравненных значений измеренных углов должна быть равна о (n ± 2), те 2 1 = ± − ′ ′ ′ n n β β β ϕ , (где знак плюс в круглых скобках - для внешних, знак минус - для внутренних углов β' - исправленные (уравненные) углы. В этом случае условное уравнение поправок имеет вид ] 0 ) 2 ( 180 0 2 1 = ± − + + + + n i n β ν ν ν , (где β i - измеренные углы. Поскольку два последних слагаемых образуют т.н. угловую невязку W , те ] β β W n i = ± − ) 2 ( 180 0 , (то выражение (16.14) можно представить в виде ] 0 = + β ν W i (Выражение (16.13) и является геометрическим соотношением (уравнением связи для условия фигуры). Если в той же замкнутой фигуре углы заменить разностями направлений (те. отсчетов по горизонтальному кругу теодолита, то получается условное уравнение поправок для измеренных направлений 1 1 = + − + − β ν ν W i i (В формуле (16.17) точкой стояния является точка Условие горизонта Сумма уравненных значений неперекрывающихся углов, измеренных независимо (те. отдельно друг от друга) вокруг одной вершины (рис. 16.1), должна быть равна 360 0 , те 360 0 2 1 = − ′ + + ′ + ′ n β β β (Рис. 16.1. Условие горизонта 16.2. Условие суммы углов Условное уравнение поправок горизонта имеет вид (16.16), где ] 0 360 − = i W β β (для измеренных углов Для измеренных направлений условие горизонта не возникает, поскольку в этом случае всегда сумма углов, вычисленных по разностям направлений, будет равна 360 0 (зависимые измерения. Если же в измеренные углы ввести поправки, то и для направлений может возникнуть и условие горизонта. Поэтому условные уравнения поправок со свободным членом, равным нулю, необходимо включать в уравнивание. 150.3.Условие суммы углов Для измеренных водной вершине углов β 1 , β 2 , ирис) должно соблюдаться следующее геометрическое условие 1 ' + β 2 ' + β 3 ' – β 4 ' = 0 (В этом случае условное уравнение поправок будет иметь вид 4 3 2 1 = + − + + β ν ν ν ν W , (где W β – свободный член уравнения, определяемый суммой 3 2 1 β β β β β − + + = W (Условие дирекционных углов Для решения геодезического построения (при определении координат его точек) необходимо знать исходный дирекционный угол одной из его сторон. Если же в сети известны дирекционные углы других сторон, то каждый из них образует одно условие. Например, если в сети (рис. 16.3) известны дирекционные углы α 1 , и α 3 , то геометрическое условие дирекционных углов запишется в виде: Рис. 16.3. Условие дирекционных углов 4 3 6 5 0 3 2 4 3 2 1 0 1 180 3 180 или 180 3 ) ( 0 180 4 ) ( 4 3 6 5 0 2 3 4 3 2 1 0 2 Условные уравнения поправок в этом случае определяются выражениями, (где 3 ) ( 180 4 3 2 0 4 3 6 5 2 1 2 0 4 3 2 1 1 α α β β β β α α β β β β − − ⋅ ± + + + = − − ⋅ ± + + + = W W (В выражениях (16.23) … (16.25) принимается во внимание, что и все дирекционные углы были измерены (они могут быть и вычислены по значениям координат, имеющих известные погрешности, те. содержат погрешности и подлежат уравниванию. Чаще всего дирекционные углы принимают исходными, те. содержащими погрешности весьма малые по сравнению с погрешностями измеренных углов. В этом случае выражения (16.25) запишутся в виде 1 4 3 2 1 = + + + + W ν ν ν ν 0 2 4 3 6 5 = + + + + W ν ν ν ν , (где ) ( 180 3 ) ( 180 4 03 02 0 4 3 6 5 2 01 02 0 4 3 2 1 1 α α β β β β α α β β β β − − ⋅ ± + + + = − − ⋅ ± + + + = W W (16.28) (α 0 – исходные дирекционные углы. Условие сторон Предположим, что в фигуре (рис. 16.4) измерены все углы β и стороны s 1 и s 2 . Между сторонами, из решения треугольников, существует следующее соотношение 3 4 1 1 2 sin sin sin sin β β β β s s (Это равенство можно представить в виде нелинейной функции sin sin sin ( 2 5 3 4 1 1 = ′ − ′ ′ ′ ′ ′ s s β β β β ϕ (Рис. 16.4. Условие сторон Приведем нелинейную функцию (16.30) к линейному виду, разложив ее вряд Тейлора и ограничиваясь только первыми членами разложения. Получим 1 0 4 1 2 0 2 1 0 1 = + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ∑ i i i s s s s s s β ϕ ν β ϕ ν ϕ ν ϕ β (Найдем частные производные 3 4 1 1 1 2 1 0 2 5 3 4 1 0 1 sin sin sin cos ;..... 1 ;..... sin sin sin sin β β β β β ϕ ϕ β β β β ϕ s s s s s , (16.32) где s 2 0 – вычисленное по формуле (16.29) значение s 2 по измеренным аргументам s 1 , β 1 , β 3 , β 4 , β 5 . С учетом (16.32) 1 0 2 0 1 β β ϕ ctg s = ∂ ∂ . (Аналогично можно записать выражения для β 3 , и β 5 : 5 0 2 0 5 4 0 2 0 4 3 0 2 0 3 ; ; β β ϕ β β ϕ β β ϕ ctg s ctg s ctg s − = ∂ ∂ = ∂ ∂ − = ∂ ∂ . (16.34) 393 Введем следующие обозначения 0 2 2 5 3 4 1 1 2 1 sin sin sin sin ) , , ( β β β β β ϕ . (Умножим выражение (16.31) на 1 /s 2 0 и подставим в него значения частных производных (16.32), (16.33), (16.34). Уравнение поправок будет иметь вид 5 5 4 4 3 3 1 1 2 2 1 1 = + − + − + − s s s W ctg ctg ctg ctg s s β ν β ν β ν β ν ρ ν ρ ν β β β β (или 5 5 4 4 3 3 1 1 2 2 1 1 = + − + − + − s s s W s s δ ν δ ν δ ν δ ν ρ ν ρ ν β β β β , (где ρ 0 2 2 0 2 s s s W s − = - относительная погрешность стороны s; i i ctg β δ = ; ρ- угловая мера радиана. Если стороны s 1 и s 2 являются базисами (исходными, то поправки для них будут равны нулю. В этом случае условное уравнение поправок исходных сторон (базисов) упрощается 5 5 4 4 3 3 1 1 = + − + − s W δ ν δ ν δ ν δ ν β β β β , (где − − = 02 0 2 02 0 2 ; базис. Условие полюса Условие полюса возникает в такой фигуре (рис. 16.5), в которой можно образовать замкнутый ряд треугольников, начинающихся и заканчивающихся на одной и той же стороне (например, центральная система, геодезический четырехугольник, веер. Если эту сторону принять за исходную (базис, то из решения треугольников можно получить эту сторону вторично. Например, для центральной системы рис. 16.5 можно записать, что sin sin sin sin sin sin sin sin sin 10 8 6 4 2 9 7 5 3 1 = − ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ = s s β β β β β β β β β β ϕ (Условное уравнение поправок данного полюса с учетом введенных выше обозначений (16.37) имеет вид 10 10 8 8 6 6 4 4 2 2 9 9 7 7 5 5 3 3 1 1 = − + + + + + − + + + + ρ δ ν δ ν δ ν δ ν δ ν δ ν δ ν δ ν δ ν δ ν s s s (16.40) 394 Рис. 16.5. Условие полюса 150.7.Условие координат В геодезическом построении каждый избыточный исходный пункт обусловливает два условных уравнения координат – абсцисс (хи ординат (у). Предположим, что измерения выполнены в цепочке треугольников триангуляции (рис. 16.6), заканчивающейся на избыточном пункте 5. Наметим ходовую линию, проходящую через вершины промежуточных углов η i : 1–3–4–5. В этом случае координатные условные уравнения (абсцисс и ординат) будут иметь вид sin sin 0 cos cos cos 5 3 3 2 2 1 1 1 5 3 3 2 2 1 1 1 = − + + + = = − + + + = y s s s y x s c s s x y x α α α ϕ α α α ϕ (Рис. 16.6. Условие координат При решении треугольников триангуляции стороны и дирекционные углы определяют от исходных сторон s 0 (базиса) и исходного дирекционного угла α 0 : 395 ; sin sin sin sin sin sin ; sin sin sin sin ; sin sin 3 2 1 3 2 1 0 3 2 1 2 1 0 2 1 1 0 1 β β β γ γ γ β β γ γ β γ s s s s s s = = = 3 2 1 0 0 3 2 1 0 0 2 1 0 0 1 180 3 180 2 180 η η η α α η η α α η α α + − + ∗ ± = − + ∗ ± = + ± = (Представим уравнения (16.41) через поправки в углы в линейной форме 0 0 0 0 0 0 0 = + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ y i i y i i y i i y x i i x i i x i i x W W η β γ η β γ ν η ϕ ν β ϕ ν γ ϕ ν η ϕ ν β ϕ ν γ ϕ (Свободными членами ив уравнениях (16.43) являются приближенные значения искомых функций (16.41), вычисленные по измеренным горизонтальным углам с использованием равенств (Из уравнений (16.41) найдем частные производные (коэффициенты условных уравнений поправок) и подставим их в уравнения (16.43). При этом поправки углов выражаются в секундах, свободные члены – в дециметрах, а разности координат – в километрах. Получим условные уравнения поправок- для координат х (при уравнивании углов 206 , 20 206 , 20 = + ± − − − − − ∑ ∑ ∑ x i i n i i i n i i i n W y y ctg x x ctg x x η β γ ν ν β ν γ (16.44) - для координату (при уравнивании углов 206 , 20 206 , 20 = + ± − + − − − ∑ ∑ ∑ y i i n i i i n i i i n W x x ctg y y ctg y y η β γ ν ν β ν γ (Здесь x n и y n - координаты последнего пункта (для рис. 16.6 x n = x 5 , y n = y 5 ); x i и y i - координаты текущего пункта i ходовой линии, проходящей через вершины промежуточных углов η i ; ν βi и ν γi - поправки связующих углов β и γ (угол γ лежит против исходной стороны треугольника ν ηi - поправки промежуточных углов η i (записываются со знаком плюс для левых походу углов, со знаком минус - для правых походу углов 151. Методы решения систем линейных нормальных уравнений 151.1.Способ последовательной подстановки Рассмотрим решение системы линейных уравнений способом последовательной подстановки наследующем примере. Имеется система линейных уравнений с четырьмя неизвестными х 1 , х 2 , х, х : 1. х – х + х – х – 1 = 0 2. - х+ х – х + х – 6 = 0 (16.46) 3. х – х+ х – х + 8 = 0 4. - х + х х + х + 4 = Шаг 1. Выразим в уравнении 1 (16.46) х через остальные неизвестные, х 1 = 0,5 х – 0,75 х + 0,5 хи подставим его значение в уравнения 2, 3 и 4. Получим новую систему уравнений стремя неизвестными. 4 х – 0,5 х – 6,5 = 0 3. – 0,5 х + 0,75 х – 2,5 х + 8,75 = 0 (16.48) 4. – 2,5 х + х + 3,5 = Шаг 2. выразим в уравнении 2 (16.48) х через остальные неизвестные (в данном случае – через х 3 ), х 2 = 0,125 хи подставим его в уравнения 3 и 4 (16.48). Получим систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными. 0,6875 х – 2,5 х + 7,9375 = 0 4. – 2,5 х + х + 3,5 = 0 (Шаг 3. Выразим в уравнении 4 (16.50) х через х х = 0,4 хи подставим его значение в уравнение 3 (16.50). Получим- 2,225 х + 8,9 = 0, (откуда х = - 8,9 / - 2,225 = + Из уравнениях х 4 + 1,4 = + Из уравнениях х 3 + 1,625 = + Из уравнениях х 2 – 0,75 х 3 + 0,5 х 4 + 0,25 = + Для контроля полученные значениях необходимо подставить в исходные уравнения (16.46) и проверить выполнение указанных условий. В данном примере указанные условия подтверждены абсолютно. 151.2.Способ матричных преобразований Рассмотрим пример, приведенный в Для решения системы линейных уравнений матричным способом необходимо переписать их в виде. х – х + х – х = +1 2. - х+ х – х + х = + 6 (16.53) 3. х – х+ х – х = - 8 4. - х + х х + хи составить матрицу коэффициентов при х , правых частей и контрольного столбца, равного суммам коэффициентов и правой части каждого уравнения по соответствующй строке матрицы − − + − + − − − − + − + + + + − + − + + − + − + 7 4 2 4 1 2 8 8 4 3 2 3 8 6 1 2 5 2 4 1 2 3 2 Составление контрольного столбца является обязательным После математических действий с полной строкой, включая и контрольный столбец, всегда следует выполнять проверку сумм коэффициентов уравнений правой и левой частей с полученным новым значением контрольного столбца Они должны совпадать в пределах округлений результатов. Если этого не делать, то погрешность в вычислениях выявится только после решения систем уравнений. А процесс этот довольно трудоемкий, и без постоянного контроля вся работа может оказаться напрасной. Из математики известно, что результат решения не изменится, если- любую строку матрицы поменять местами с другой строкой- любую строку матрицы умножить или разделить на одно и тоже постоянное число. Решение матрицы сводится к образованию т.н. треугольной матрицы вида 4 4 3 3 4 3 2 2 4 3 2 1 1 4 3 2 1 0 0 0 0 0 Таким образом получается система линейных уравнений + a 2 k 2 + a 3 k 3 + a 4 k 4 = m 1 b 2 k 2 + b 3 k 3 + b 4 k 4 = m 2 (16.56) c 3 k 3 + c 4 k 4 = m 3 d 4 k 4 = для, например, четырех линейных уравнений. Из последней строки находят значение k 4 : 4 4 4 d m k = (16.57) 398 и последовательной подстановкой в уравнения (16.56) решают задачу. Контроль решения осуществляется подстановкой полученных значений k в исходные уравнения (Проследим решение на приведенном примере. Шаг 1. Образовать й нулевой столбец в строках 2, 3 и 4 матрицы (16.54). Для этого умножим ю и ю строки на (+2), а ю строку – на (-4/3). Получим 4 8 4 8 2 4 3/ 3 2 3/ 3 2 1 6 4 3/ 8 4 1 6 1 2 2 4 1 0 4 4 1 2 3 2 Затем последовательно сложим ю, ю и ю строки (16.58) с первой строкой этой матрицы 0 7 2 5 0 0.. 3/ 4 4 3/ 3 5 1 6 1 3/ 2 0.. 2 0 1 3 0 1 8 0.. 4 1 2 3 2 Шаг 2. Образовать й нулевой столбец в строках 3 и 4 (16.59). При этом в примере для строки 4 нет необходимости в преобразованиях, поскольку в ней на второй позиции уже имеется ноль. В связи с этим достаточно преобразовать только ю строку. Для этого умножим ее на (-12) − − + − − − − + − + + − + + + − + − + 1 0 7 2 5 0 0 1 7 6 1 4 0 4 0 1 2 8 0 2 0 1 3 0 1 8 0 4 1 2 3 2 4 (16.60) 399 и сложим полученную строку со й строкой той же матрицы 0 7 2 5 0 0 1 5 6 1 2 7 4 0 1 1 0 0 2 0 1 3 0 1 8 0 4 1 2 3 Шаг 3. Образовать нулевой й столбец (16.61) в строке 4, для чего требуется умножить его на (+2,2) − − + − − − − + + + − + + + − + − + 2 2 4, 1 5 4, 4 1 1 0 0 1 5 6 1 2 7 4 0 1 1 0 0 2 0 1 3 0. 1 8 0 4 1 2 3 и сложить со строкой 3 этой же матрицы (16.62): − − − − − − + + + − + + + − + − + 1 7 8 4, 1 4 2 6, 3 5 0 0 0 1 5 6 1 2 7 4 0 1 1 0 0 2 0 1 3 0. 1 8 0 4 1 2 3 В результате система линейных уравнений (16.53) преобразуется к виду. +4k 1 – 2 k 2 + 3 k 3 - 2 k 4 = + 1 2. +8 k 2 - k 3 = + 13 3. +11 k 3 - 40 k 4 = - 127 (16.64) 4. – 35,6 k 4 = - Из уравнения 4 (16.64) находим k 4 = +4. Из уравнения 3 подстановкой в него значения k 4 находим k 3 = +3. Из уравнения 2 подстановкой k 3 (коэффициент при k 4 равен нулю) находим k 2 = +2. Из уравнения 1, после подстановки 400 значений k 2 , k 3 и k 4 , находим k 1 = +1. Тете же значения, что и при решении способом последовательной подстановки, рассмотренном в 151.1. В качестве замечаний к решению систем линейных уравнений необходимо указать следующее. При уравнивании значения коэффициентов и свободных членов системы линейных уравнений часто являются нецелыми числами, а дробными. В связи с этим рекомендуется величины весов и обратных весов округлять до 0,01 – 0,001 ед, значения коэффициентов при неизвестных округлять до ед, получаемые значения неизвестных округлять до 0,001 – 0,0001 ед. При этом, как указывалось выше, поправки в углы часто округляют до 0,1" – 0,01" , в расстояния (приращения координат) – до 1 мм, в превышения – до 0,1 – 1,0 мм. Решение систем линейных уравнений по алгоритму Гаусса В основе алгоритма Гаусса лежит метод последовательного исключения неизвестных, рассмотренный выше. Алгоритм весьма прост вследствие простых однотипных действий на каждом последующем шаге вычислений. При этом обеспечивается надежный контроль промежуточных результатов. Кроме того, алгоритм Гаусса упрощает решение систем линейных уравнений при введении в них дополнительных граф, необходимых для вычисления весов уравненных элементов или их функций (об этом будет сказано позже). Алгоритм Гаусса рассмотрим на примере системы четырех линейных уравнений вида 1 4 14 3 13 2 12 1 11 = + + + + L z N z N z N z N 0 2 4 24 3 23 2 22 1 21 = + + + + L z N z N z N z N (16.65) 0 3 4 34 3 33 2 32 1 31 = + + + + L z N z N z N z N 0 4 4 44 3 43 2 42 Укажем, что в этой системе линейных уравнений, составленных при решении задачи уравнивания, коэффициенты с одинаковыми двойными индексами являются квадратичными (диагональными. Диагональные коэффициенты по условию их получения при составлении условных линейных уравнений всегда положительные. Коэффициенты, имеющие обратные индексы, равны между собой. В связи с симметрией коэффициентов относительно диагональных таблицу коэффициентов обычно записывают сокращенно в таком виде 34 33 24 23 22 14 13 12 11 N N N N N N N N N N , (имея ввиду наличие и симметричных коэффициентов на незаполненных местах. Составим т.н. элинимационное уравнение, которое в алгоритме Гаусса обозначают буквой Е. Это уравнение представляет собой выражение первого неизвестного z 1 через остальные (уравнение Е 1 4 11 14 3 11 13 2 11 12 1 N L z N N z N N z N N z − − − − = (16.67) 401 Как выполнялось в методе подстановки, получим новую систему линейных уравнений без неизвестного z 1 : 0 ) ( ) ( ) ( ) ( 11 1 12 2 4 11 14 12 24 3 11 13 12 23 2 11 12 12 22 = − + − + − + − N L N L z N N N N z N N N N z N N N N 0 ) ( ) ( ) ( ) ( 11 1 13 3 4 11 14 13 34 3 11 13 13 33 2 11 13 12 23 = − + − + − + − N L N L z N N N N z N N N N z N N N N (16.68) 0 ) ( ) ( ) ( ) ( 11 1 14 2 4 11 14 14 44 3 11 14 13 34 2 11 14 12 Введем следующие обозначения 12 12 22 ) 1 ( 22 N N N N N − = ; ) ( 11 13 12 23 ) 1 ( 23 N N N N N − = ; ) ( 11 14 12 24 ) 1 ( 24 N N N N N − = ) ( 11 13 13 33 ) 1 ( 33 N N N N N − = ; ) ( 11 14 13 34 ) 1 ( 34 N N N N N − = ; ) ( 11 14 14 44 ) 1 ( 44 N N N N N − = ) ( 11 1 12 2 ) 1 ( 2 N L N L L − = ; ) ( 11 1 13 3 ) 1 ( 3 N L N L L − = ; ) ( 11 1 14 Для полученных коэффициентов сохраняются все особенности системы линейных уравнений с диагональными коэффициентами, имеющими одинаковые двойные индексы (22, 33, 44 и т.д., если уравнений более х. Таким образом, можно записать преобразованную систему линейных уравнений 4 ) 1 ( 24 3 ) 1 ( 23 2 ) 1 ( 22 = + + + L z N z N z N 0 ) 1 ( 3 4 ) 1 ( 34 3 ) 1 ( 33 2 ) 1 ( 32 = + + + L z N z N z N (16.69) 0 ) 1 ( 4 4 ) 1 ( 44 3 ) 1 ( 43 Составим второе элинимационное уравнение Е : ) 1 ( 22 ) 1 ( 2 4 ) 1 ( 22 ) 1 ( 24 3 ) 1 ( 22 ) 1 ( 23 2 N L z N N z N N z − − − = (Подставим значение z 2 в уравнения (16.69): 0 ) ( ) ( ) ( ) 1 ( 22 ) 1 ( 2 ) 1 ( 23 ) 1 ( 3 4 ) 1 ( 22 ) 1 ( 24 ) 1 ( 23 ) 1 ( 34 3 ) 1 ( 22 ) 1 ( 23 ) 1 ( 23 ) 1 ( 33 = − + − + − N L N L z N N N N z N N N N 0 ) ( ) ( ) ( ) 1 ( 22 ) 1 ( 2 ) 1 ( 24 ) 1 ( 4 4 ) 1 ( 22 ) 1 ( 24 ) 1 ( 24 ) 1 ( 44 3 ) 1 ( 22 ) 1 ( 24 ) 1 ( 23 ) 1 ( 34 = − + − + − N L N L z N N N N z N N N N (Снова введем обозначения ; ) ( ) 1 ( 22 ) 1 ( 24 ) 1 ( 23 ) 1 ( 34 ) 2 ( 34 N N N N N − = ; ) ( ) 1 ( 22 ) 1 ( 24 ) 1 ( 24 ) 1 ( 44 ) 2 ( 44 N N N N N − = ; ) ( ) 1 ( 22 ) 1 ( 2 ) 1 ( 23 ) 1 ( 3 ) 2 ( 3 N L N L L − = ; В результате получим систему линейных уравнений с двумя неизвестными (Третье элинимационное уравнение (Ев этом случае имеет вид 4 ) 2 ( 33 ) 2 ( 34 3 N L z N N z − − = (15.73) 402 Подставим значение z 3 в уравнения (16.72), получим 4 ) 2 ( 33 ) 2 ( 34 ) 2 ( 34 ) 2 ( 44 = − + − N L N L z N N N N (Введя в уравнение (16.74) соответствующие обозначения, как ив предыдущих случаях, получим окончательное уравнение с одним неизвестным в обозначениях Гаусса 4 ) 3 ( 44 = + L z N (Из уравнения (16.75) найдем 4 N L z − = (Затем, для определения остальных неизвестных, воспользуемся последовательно элинимационными уравнениями ЕЕ и Ев результате чего получим значения z 3 , z 2 и Обратим внимание на то, что для определения неизвестных нужны только элинимационные уравнения. Остальные уравнения не используются. Представим схему решения системы четырех линейных уравнений в виде таблицы Гаусса (табл. 16.1 Запись коэффициентов N в строке (3), (7), (12) сокращенная, только вправо от диагональных коэффициентов. Но контрольная сумма этой строки учитывает все коэффициенты, стоящие слева от диагонального. Впервой строке записываются все коэффициенты. После заполнения с вычислениями и контролем строки, что не требует пояснений, заполняют строку (5). Коэффициенты в этой строке равны сумме (3) и (4) строк по столбцам. По аналогии со строкой (2) получают коэффициенты второго элинимационного уравнения Е. В строку (7) заносят в сокращенном виде коэффициенты и свободный(ые) члены третьего нормального уравнения. После вычисления строки) по суммам в столбцах строки) получают коэффициенты строки (10). Все дальнейшие действия аналогичны приведенным выше до вычисления коэффициентов в данном случае последнего элинимационного уравнения Е 4 Коэффициент N 55 представляет собой указанную в строке (18) сумму произведений весов на квадраты свободных членов. При суммировании столбца по значениям строк (18) – (22) получают значение N 55 (4) = Значения неизвестных z i получают с помощью элинимационных уравнений Рассмотрим пример решения системы линейных уравнений по алгоритму Гаусса. Для этого решим систему уравнений (16.53) 1. х – х + х – х – 1 = 0 2. - х+ х – х + х – 6 = 0 403 3. х – х+ х – х + 8 = 0 4. - х + х х + х + 4 = Решение уравнений выполним по приведенному выше алгоритму в табл. В табл. 16.2 приведен только пример вычисления неизвестных х без оценки точности (указанные примеры будут рассмотрены отдельно). Таблица 16.1 №№ п/п Дейст- вия z 1 z 2 z 3 z 4 L ∑ 1 2 3 4 5 6 1 N 1 N 11 N 12 N 13 N 14 L 1 ∑ 1 Е- 1 11 12 N N − 11 13 N N − 11 14 N N − 11 1 N L − ∑ E1 3 N 2 N 22 N 23 N 24 L 2 ∑ 2 4 E 12 N E 12 N 12 E 12 N 13 E 12 N 14 E 12 L 1 E 12 ∑ 1 5 N 2 (1) N 22 (1) N 23 (1) N 24 (1) L 2 (1) ∑ N2 (1) 6 E 2 - 1 ) 1 ( 22 ) 1 ( 23 N N − ) 1 ( 22 ) 1 ( 24 N N − ) 1 ( 22 ) 1 ( 2 N L − ∑ E2 7 N 3 N 33 N 34 L 3 ∑ 3 8 E 13 N E 13 N 13 E 13 N 14 E 13 L 1 E 13 ∑ 1 9 E 23 N (1) E 23 N 23 (1) E 23 N 24 (1) E 23 L 2 (1) E 23 ∑ N2 (1) 10 N 3 (2) N 33 (2) N 34 (2) L 3 (2) ∑ N3 (2) 11 E 3 - 1 ) 2 ( 33 ) 2 ( 34 N N − ) 2 ( 33 ) 2 ( 3 N L − ∑ E3 12 N 4 N 44 L 4 ∑ 4 13 E 14 N E 14 N 14 E 14 L 1 E 14 ∑ 1 14 E 24 N (1) E 24 N 24 (1) E 24 L 2 (1) E 24 ∑ N2 (1) 15 E 34 N (2) E 34 N 34 (2) E 34 L 3 (2) E 34 ∑ N3 (2) 16 N 4 (3) N 44 (3) L 4 (3) ∑ N4 (3) 17 E 4 - 1 ) 3 ( 44 ) 3 ( 4 N L − ∑ E4 18 N 5 [pll] ∑ 5 19 E 15 N E 15 L 1 E 15 ∑ 1 20 E 25 N (1) E 25 L 2 (1) E 25 ∑ N2 (1) 21 E 35 N (2) E 35 L 3 (2) E 35 ∑ N3 (2) 22 E 45 N (3) E 45 L 4 (3) E 45 ∑ N4 (3) 23 N 5 (4) N 55 (4) ≈ Таким образом, значение х = Е = +3,999 ≈ +х = +3,639 * (+3,999) – 11,553 = +2,999 ≈ +3. 404 х = +0,125 * (+2,999) + 0 + 1,625 = +х = +0,5 * (+2) – 0,75 * (+3) + 0,5 * (+4) + 0,25 = +Получены такие же ответы, как и при других способах решения указанного уравнения. Незначительные отклонения от значений вызваны необходимостью округлений промежуточных результатов вычислений. Таблица 16.2 №№ п/п Дейст- вия х 1 х 2 х 3 х 4 L ∑ 1 2 3 4 5 6 1 N 1 +4 -2 +3 -2 -1 +2 Е (-0,5) 3 N 2 +5 -2 +1 -6 -4 4 E 12 N -1 +1,5 -1 -0,5 +1,0 (+1,0) 5 N 2 (1) +4 -0,5 0 -6,5 -3 6 E 2 -1 +0,125 0 +1,625 +0,75 7 N 3 +3 -4 +8 +8 8 E 13 N -2,25 +1,5 +0,75 -1,5 (-1,5) 9 E 23 N (1) -0,063 0 -0,813 -0,375 10 N 3 (2) +0,687 -2,5 +7,937 +6,125(+6,124) 11 E 3 -1 +3,639 -11,553 -8,916 12 N 4 +2 +4 +1 13 E 14 N -1 -0,5 +1 14 E 24 N (1) 0 0 0 15 E 34 N (2) -9,098 +28,883 +22,289(+22,285) 16 N 4 (3) -8,098 +32,383 +24,289(+24,285) 17 E 4 -1 +3,999 +2,999 151.4. Способ краковянов Способ заключается в том, что в расчетах без промежуточных записей получают коэффициенты эквивалентной системы, деленные на корень квадратный из квадратичных (диагональных) коэффициентов этих уравнений. Соответствующие строки Кв таблице расчетов называют краковянами. Приведении расчетов на микрокалькуляторе в последовательности действий используется часто последнее число на его регистре. Часть промежуточных числовых значений заносится в память МК и, при необходимости, вызывается из нее. Все действия по расчету краковянов однотипные и сопровождаются надежным контролем. Приведем общий случай решения четырех линейных уравнений (16.65): 0 1 4 14 3 13 2 12 1 11 = + + + + L z N z N z N z N 0 2 4 24 3 23 2 22 1 21 = + + + + L z N z N z N z N 405 0 3 4 34 3 33 2 32 1 31 = + + + + L z N z N z N z N 0 4 4 44 3 43 2 42 Алгоритм расчетов покажем в виде формул и сопровождения действий записями в таблице (табл. (16.3 ). В строки N таблицы записывают значения коэффициентов, свободных членов и сумм с обратным знаком, кроме диагонального коэффициента однако при составлении сумм принимают во внимание, что и диагональный коэффициент имеет знак минус. Кроме того, при суммировании по строкам N используют все коэффициенты уравнения (они находятся выше по столбцу, в котором записан диагональный коэффициент). Таблица 16.3 Строки z 1 z 2 z 3 z 4 L ∑ Контроль∑ 1 2 3 4 5 6 7 N 1 N 11 -N 12 -N 13 -N 14 -L 1 -∑ 1 N 2 N 22 -N 23 -N 24 -L 2 -∑ 2 N 3 N 33 -N 34 -L 3 -∑ 3 N 4 N 44 L 4 -∑ 4 K 1 11 N (K 11 ) 11 12 K N − (K 12 ) 11 13 K N − (K 13 ) 11 14 K N − (K 14 ) 11 1 K L − (K 15 ) -∑ K1 (K 16 ) 11 1 K ∑ − K 2 ) 1 ( 22 N (K 22 ) 22 ) 1 ( 23 K N − (K 23 ) 22 ) 1 ( 24 K N − (K 24 ) 22 ) 1 ( 2 K L − (K 25 ) -∑ K2 (K 26 ) 22 2 K ∑ − K 3 ) 2 ( 33 N (K 33 ) 33 ) 2 ( 34 K N − (K 34 ) 33 ) 2 ( 3 K L − (K 35 ) -∑ K3 (K 36 ) 33 3 K ∑ − K 4 ) 3 ( 44 N (K 44 ) 44 ) 93 45 K N − (K 45 ) -∑ K4 (K 46 ) 44 Порядок вычислений. Строка К. Получение краковянов данной строки затруднений не вызывает. Внимание! Во всех строках К , с целью своевременного выявления погрешностей в расчетах, обязательным является вычисление контрольной суммы краковянов по строке, придавая значениям К знак «минус». Строка К 22 2 12 22 ) 1 ( 22 ;......... N K K N N = − = 22 ) 1 ( 23 23 13 12 23 ) 1 ( 23 ;......... K N K K K N N − = + − = − 22 ) 1 ( 24 24 14 12 24 ) 1 ( 24 ;......... K N K K K N N − = + − = − 406 22 ) 1 ( 2 25 15 12 2 ) 1 ( 2 ;......... K L K K K L L − = + − = − 22 2 26 16 12 2 2 ;......... K K K K K K ∑ ∑ ∑ − = + − = − (Контро ль!) Строка К 33 2 23 2 13 33 ) 2 ( 33 ;......... N K K K N N = − − = 33 ) 2 ( 34 34 24 23 14 13 34 ) 2 ( 34 ;......... K N K K K K K N N − = + + − = − 33 ) 2 ( 3 35 25 23 15 13 3 ) 2 ( 3 ;......... K L K K K K K L L − = + + − = − 33 3 36 26 23 16 13 3 3 ;......... K K K K K K K K ∑ ∑ ∑ − = + + − = − (Контро ль!) Строка К 44 2 34 2 24 2 14 44 ) 3 ( 44 ;......... N K K K K N N = − − − = 44 ) 3 ( 4 45 35 34 25 24 15 14 4 ) 3 ( 4 ;......... K L K K K K K K K L L − = + + + − = − 44 4 46 36 34 26 24 16 14 4 4 ;......... K K K K K K K K K K ∑ ∑ ∑ − = + + + − = − (Контрол ь!) Если бы исходных уравнений было больше, то вычисления продолжались бы по указанному алгоритму. Для четырех же уравнений составление таблицы расчетов закончено. Теперь можно определить значения неизвестных Как видим, дальше производится подстановка z в «элиминационные» уравнения краковянов. Контроль вычисления неизвестных осуществляется подстановкой их значений в исходные уравнения. Для иллюстрации способа краковянов решим систему линейных уравнений вида. 9,16 z 1 – 2,46 z 2 + 0,56 z 3 + 1,77 z 4 + 0,34 = 0 2. -2,46 z 1 + 4,74 z 2 + 0,23 z 3 + 1,40 z 4 + 0,12 = 0 (16.79) 3. 0,56 z 1 + 0,23 z 2 + 5,21 z 3 – 3,46 z 4 – 1,78 = 0 4. 1,77 z 1 + 1,40 z 2 – 3,46 z 3 + 8,07 z 4 + 1,81 = 0 407 Составим таблицу 16.4. 027 , 3 16 , 9 11 = = K 813 , 0 027 , 3 / 46 , 2 12 + = = K и т.д. 020 , 2 079 , 4 ;......... 079 , 4 813 , 0 74 , 4 22 2 ) 1 ( 22 = = = − = K N 188 , 0 020 , 2 / ) 380 , 0 ( ;......... 380 , 0 ) 185 , 0 ( 813 , 0 23 , 0 23 ) 1 ( 23 − = − = − = − + − = − K N 929 , 0 020 , 2 / ) 876 , 1 ( ;......... 876 , 1 ) 585 , 0 ( 813 , 0 40 , 1 24 ) 1 ( 24 − = − = − = − + − = − K N 104 , 0 020 , 2 / ) 211 , 0 ( ;......... 211 , 0 ) 112 , 0 ( 813 , 0 12 , 0 Таблица Строки 1 z 2 z 3 z Контроль 2 3 4 5 6 7 N 1 9,16 +2,46 -0,56 -1,77 -0,34 -9,37 N 2 4,74 -0,23 -1,40 -0,12 -4,03 N 3 5,21 +3,46 +1,78 -0,76 N 4 8,07 -1,81 -9,59 K 1 3,027 +0,813 -0,185 -0,585 -0,112 -3,095 -3,096 K 2 2,020 -0,188 -0,929 -0,104 -3,241 -3,241 K 3 2,267 +1,651 +0,803 +0,186 +0,187 K 4 2,034 -0,158 -2,193 -2,192 z i -0,052 -0,043 +0,297 -0,078 241 , 3 020 , 2 / ) 546 , 6 ( ;......... 546 , 6 ) 095 , 3 ( 813 , 0 03 , 4 26 Контроль - 2,020 – 0,188 – 0,929 – 0,104 = - 3,241. 267 , 2 140 , 5 ;......... 140 , 5 188 , 0 185 , 0 21 , 5 33 2 2 ) 2 ( 33 = = = − − = K N 651 , 1 267 , 2 / 743 , 3 ;..... 743 , 3 ) 929 , 0 )( 188 , 0 ( ) 585 , 0 )( 185 , 0 ( 46 , 3 34 ) 2 ( 34 + = = = − − + − − + = − K N 803 , 0 267 , 2 / 820 , 1 ;.... 820 , 1 ) 104 , 0 )( 188 , 0 ( ) 112 , 0 )( 185 , 0 ( 78 , 1 35 ) 2 ( 3 + = = + = − − + − − + = − K L 186 , 0 267 , 2 / 422 , 0 ; 422 , 0 ) 241 , 3 )( 188 , 0 ( ) 095 , 3 )( 185 , 0 ( 76 , 0 36 Контроль - 2,267 + 1,651 + 0,803 = + 0,187. 034 , 2 139 , 4 ;......... 139 , 4 651 , 1 929 , 0 585 , 0 07 , 8 44 2 2 2 ) 3 ( 44 = = = − − − = K N 321 , 0 ) 803 , 0 )( 651 , 1 ( ) 104 , 0 )( 929 , 0 ( ) 112 , 0 )( 585 , 0 ( 81 , 1 ) 3 ( 4 − = + + + − − + − − + − = − L 158 , 0 034 , 2 / ) 321 , 0 ( 45 − = − = K ∑ − = + + + − − + − − + − = − 397 , 7 ) 186 , 0 )( 651 , 1 ( ) 241 , 3 )( 929 , 0 ( ) 095 , 3 )( 585 , 0 ( 59 , 9 4 K 193 , 2 034 , 2 / 397 , 7 Контроль -2,034 – 0,158 = - Вычисляем значения неизвестных 034 , 2 158 , 0 4 − = − = z 297 , 0 267 , 2 ) 078 , 0 ( 651 , 1 803 , 0 3 + = − + = z 043 , 0 020 , 2 ) 078 , 0 )( 929 , 0 9 ) 297 , 0 )( 188 , 0 ( 104 , 0 2 − = − − + + − + − = z 052 , 0 027 , 3 ) 078 , 0 )( 585 , 0 ( ) 297 , 0 )( 185 , 0 ( ) 043 , 0 ( 813 , 0 112 , 0 1 − = − − + + − + − + − = z 408 Контрольная подстановка полученных значений z в исходные уравнения показала правильность их вычислений (с учетом необходимых округлений промежуточных результатов 152. Коррелатный способ уравнивания Приведенная выше система уравнений (16.8) имеет нелинейный вид. В математике не существует способов решения таких систем нелинейных уравнений. В связи с этим данную систему уравнений раскладывают вряд Тейлора, ограничиваясь только первыми членами разложения с учетом того, что значения поправок v i достаточно малы (на основании выдержанных при измерениях допусков поточности, и вторые их степени будут весьма малыми, так что ими можно будет пренебречь. В результате уравнения (16.8) преобразуются к виду 1 2 0 2 1 1 0 1 1 2 1 1 = ∂ ∂ + + ∂ ∂ + ∂ ∂ + n n n v x v x v x х х х ϕ ϕ ϕ ϕ 0 ) ,..., , ( 0 2 2 0 2 2 1 0 1 2 2 1 2 = ∂ ∂ + + ∂ ∂ + ∂ ∂ + n n n v x v x v x х х х ϕ ϕ ϕ ϕ (16.80) …………………………………………………….. 0 ) ,..., , ( 0 2 0 2 1 0 1 2 1 = ∂ ∂ + + ∂ ∂ + ∂ ∂ + n n r r r n r v x v x v x х х х ϕ ϕ ϕ ϕ Введем обозначения (i = 1, 2, …, n; j = 1, 2, …, r) , (где i – номер измеренной величины (х j – номер условного уравнения(или функции С учетом введенных обозначений получим а + a 21 v 2 + … + a n1 v n + W 1 = а + a 22 v 2 + … + a n2 v n + W 2 = 0 (16.82) …………………………………… а + a 2r v 2 + … + a nr v n + W r = В обозначениях гауссовых сумм + W 1 = 0 [a 2 v] + W 2 = 0 (16.83) ……………… [a r v] + W r = Равенства (16.82) и (16.83) называются условными уравнениями поправок. Следует иметь ввиду, что формулы (16.81) не используются, если известно, что система уравнений (16.8) имеет линейный вид, те. коэффициенты известны. Для решения задачи уравнивания способом Лагранжа необходимо составить следующую функцию min ] [ 2 2 1 Ф , (где j λ - неопределенные множители Лагранжа. Обозначим: r r k k k 2 ;...; 2 ; 2 2 2 1 1 − = − = − = λ λ λ , где j k - коррелаты. Тогда функцию (16.84) можно записать со значениями коррелат: min ) ] ([ 2 ) ] ([ 2 ) ] ([ 2 ] [ ) ,..., ( 2 2 2 1 1 1 2 1 = + − − + − + − = r r r n W v a k W v a k W v a k pv v v Ф (16.85) Для определения поправок v i , при которых функция (16.85) достигает минимума, найдем частные производные по аргументами приравняем их нулю 2 1 2 12 1 11 1 1 Ф 2 2 2 22 1 21 2 2 2 = + + + − = ∂ ∂ r к k a k a k a v p v Ф (16.86) ……………………………………….. 0 ) ( 2 2 2 2 1 1 = + + + − = ∂ ∂ r nr n n n n n k a k a k a v p v Ф Из полученной системы уравнений следует, что 2 1 1 + + = (i= 1, 2, …, n) (или 2 1 1 , (где i i p q 1 = - обратный вес измерения с индексом Уравнения (16.87) и (16.88) называют коррелатными уравнениями поправок. Число коррелат всегда равно числу условий. В результате образуется система коррелатных уравнений поправок v i , содержащая n неизвестных поправок и r неизвестных коррелат k j , состоящая из n линейных уравнений. Опуская промежуточные, хотя и важные преобразования (вывод можно посмотреть в [3, 8, 9, 40, и др, основанные на методе наименьших квадратов, приведем т.н. нормальные уравнения коррелат, в которых число неизвестных равно числу уравнений 1 2 2 1 1 1 1 = + + + + W k a qa k a qa k a qa r r 0 ] [ ] [ ] [ 2 2 2 2 2 1 1 2 = + + + + W k a qa k a qa k a qa r r (16.89) 0 ] [ ] [ ] [ 3 3 2 2 3 1 1 3 = + + + + W k a qa k a qa k a qa r r ………………………………………… 0 ] [ ] [ ] [ 2 2 1 1 = + + + + j r r j j j W k a qa k a qa k a qa …………………………………………. 0 ] [ ] [ ] [ 2 2 1 В уравнениях (16.89) неизвестными являются коррелаты k i , а свободными членами – свободные члены уравнений поправок (16.82) и (Как видно, при каждом параметре (неизвестном) k i в уравнениях (16.89) стоит коэффициент в виде гауссовой суммы. Представим указанные коэффициенты в развернутом виде с помощью таблицы коэффициентов уравнений поправок (табл. 16.5). 410 Развернутый вид коэффициентов ] [ ],..., [ ], [ 2 1 1 1 r r a qa a qa a qa , в которых индекс при коэффициентах а – это второй индекс коэффициентов условных уравнений поправок: Таблица 16.5 i j 1 2 3 … i … n 1 a 11 a 21 a 31 … a i1 … a n1 2 a 12 a 22 a 32 … a i2 … a n2 3 a 13 a 23 a 33 … a i3 … a n3 … … … … … … … … j a 1j a 2j a 3j … a jj … a nj … … … … … … … … r a 1r a 2r a 3r … a jr … a nr q i q 1 q 2 q 3 … q i … q n 1 1 31 31 3 21 21 2 11 11 1 11 1 1 ] [ n n n a a q a a q a a q a a q b a qa + + + + = = 2 1 32 31 3 22 21 2 12 11 1 12 2 1 ] [ n n n a a q a a q a a q a a q b a qa + + + + = = 3 1 33 31 3 23 21 2 13 11 1 13 3 1 ] [ n n n a a q a a q a a q a a q b a qa + + + + = = ……………………………………………… (16.90) 1 2 31 32 3 21 22 2 11 12 1 21 1 2 ] [ n n n a a q a a q a a q a a q b a qa + + + + = = 2 2 32 32 3 22 22 2 12 12 1 22 2 2 ] [ n n n a a q a a q a a q a a q b a qa + + + + = = 3 2 33 32 3 23 22 2 13 12 1 23 3 2 ] [ n n n a a q a a q a a q a a q b a qa + + + + = = ……………………………………………… nr nr n r r r r r r rr r r a a q a a q a a q a a q b a qa + + + + = = ] [ 3 3 3 2 2 2 1 Рассмотрим подробнее принцип вычисления коэффициентов b jj при коррелатах k j в нормальных уравнениях коррелат. |