ГЕОДЕЗИЯ-2005. С. И. Чекалин г е оде з и я москва 2005 ббк 26. 1 Удк геодезия Учебник

• Название: С. И. Чекалин г е оде з и я москва 2005 ббк 26. 1 Удк геодезия Учебник
• Анкор: ГЕОДЕЗИЯ-2005.pdf
• Дата: 17.02.2018
• Размер: 37.56 Mb.
• Имя файла: ГЕОДЕЗИЯ-2005.pdf
• Тип: Учебник; #15627
• страница: 37 из 40

§ 157. Способ эквивалентной замены
На риса приведена схема нивелирных ходов стремя узловыми точками А, В и Си двумя исходными реперами Р и Р. В кружочках на схеме отмечены секции нивелирных линий, указаны номера превышений и длин линий в соответствующих секциях. Значения превышений указаны в мм в соответствии с направлением движения, длины линий даны в км, высоты исходных реперов – в метрах. В трех замкнутых ходах (1), (2), (3) и одном разомкнутом ходе (4), например, от Р через т. А на Р, определить невязки в превышениях = +4264 + 1205 – 1652 – 3802 = + 15 мм = - 2074 – 1205 + 3287 = + 8 мм = + 1652 + 2074 – 3732 = - 6 мм = + 4264 + 3287 – (83786 – 76248) = + 13 мм. Вычислить измеренные значения высот узловых точек Аи С.
Высоты точек определим дважды т. А – походами т. С – походами. Результаты вычислений следует заносить в последовательности расчетов в ведомость уравнивания (табл. 16.64). Запись в таблице сравнительно сложная, поэтому внимательно посмотрите по приведенному примеру последовательность занесения в нее исходных и получаемых в расчетах величин

Рис. 16.17. Уравнивание нивелирных ходов способом эквивалентной замены
а) схема нивелирных ходов б) эквивалентная схема
Таблица 16.64
Ход
Номер исходного пункта и Измеренное превышение, мм
Длина хода
S
i
, км
Вычисленная высота узловой точки, м
Вес
P
i
= Уравненное значение высоты узловой Поправка, мм

его высотам точки, м
Точка АР Р 3
83,786
+1205 1,76 Точка С Р 2,03 80,0500 0,985
+3,7 Р 3,26 80,0540 0,614
-0,3
(80,0515)
(2,7)
(1,25)
1,599
+2,2 4
+1652 1,81 Точка ВАС Р 2,21 81,7120 0,905
-3,0 2,202
;
5120
,
80 2640
,
4 2480
,
76 1
1
)
1
(
=
+
=
+
=
h
H
H
P
A
;
4990
,
80 287
,
3 786
,
83 51 2
)
5
(
=
−
=
−
=
h
H
H
P
A
;
0500
,
80 802
,
3 2480
,
76 2
1
)
2
(
=
+
=
+
=
h
H
H
P
C
;
0540
,
80
)
732
,
3
(
786
,
83 7
2
)
7
(
=
+
−
=
−
=
h
H
H
P
C
3. Определить веса ходов (1), (2), (5) и (7) по формуле, (где s – длина хода С – единица веса (для данных примера принято С = км. Вычислить предварительные значения высот т. Аи т. С как среднее весовое полученных в п. 2 значений с учетом весов каждого ходам 485
,
1 758
,
0 4990
,
80 727
,
0 5120
,
80
)
5
(
)
1
(
)
5
(
)
5
(
)
1
(
)
1
(
=
⋅
+
⋅
=
+
+
=
м
p
p
p
H
p
H
H
С
С
С
0515
,
80 599
,
1 614
,
0 0540
,
80 985
,
0 0500
,
80
)
5
(
)
1
(
)
7
(
)
7
(
)
2
(
)
2
(
=
⋅
+
⋅
=
+
+
=
5. Заменить систему одиночных ходов к точкам Аи Сот реперов Р и Родним ходом (1) + (5) → (1,5); (2) + (7) → (2,7) – рис. 16. б. Ходы (1,5) и (2,7) называются эквивалентными (очевидно, что недруг другу, а преобразованным первоначальным ходам).
В результате произведенной замены система нивелирных ходов существенно упростится и будет представлять собой систему нивелирных ходов с одной узловой точкой В.
Веса полученных ходов будут равны суммам весов, составляющих ход 758
,
0 727
,
0
)
5
(
)
1
(
)
5
,
1
(
=
+
=
+
=
p
p
p
;
599
,
1 614
,
0 Длины эквивалентных ходов определятся как отношение единицы веса к весу эквивалентного хода

35
,
1 485
,
1 км ;
25
,
1 599
,
1 2
)
7
,
2
(
)
7
,
2
(
=
=
=
p
C
s
км
Под характеристиками ходов (1,5) ив таблицу заносим характеристики ходов (3) и (4) от эквивалентных ходов к узловой точке В. Трижды вычислим предварительное значение высоты узловой точки В по сложным ходами и простому ходу (6) от репера Р- походу мВ 205
,
1 5054
,
80 3
1
=
+
=
−
=
- походу
м
h
H
H
С
В
7035
,
81
)
652
,
1
(
0515
,
80 4
11
=
−
−
=
−
=
- походу
м
h
H
H
Р
В
7120
,
81 074
,
2 786
,
83 6
2 111
=
−
=
+
=
7. Вычислить характеристики сложных ходов- длины ходов
[
]
;
11
,
3 76
,
1 35
,
1 км 81
,
1 25
,
1 км- веса ходов
[
]
[
]
;
643
,
0 11
,
3 2
3
)
5
,
1
(
3
)
5
,
1
(
=
=
=
+
+
s
C
p
[
]
[
]
;
654
,
0 06
,
3 2
4
)
7
,
2
(
4
)
7
,
2
(
=
=
=
+
+
s
C
p
8. Определить окончательное уравненное значение высоты узловой точки В с учетом веса ходов, по которым были получены предварительные высоты этой точки (см. шаг 6):
[
]
[
]
[
]
[
]
7090
,
81
)
6
(
4
)
7
,
2
(
3
)
5
,
1
(
)
6
(
111 4
7
,
2
(
11 3
)
5
,
1
(
1 м. Вычислить поправки походами) по формуле : (16.220)
[
]
;
4
,
1 0014
,
0 7104
,
81 7090
,
81 3
)
5
,
1
(
мм
м
−
=
−
=
−
=
+
ν
[
]
;
5
,
5 0055
,
0 7035
,
81 7090
,
81 4
)
7
,
2
(
мм
м
+
=
+
=
−
=
+
ν
0
,
3 0030
,
0 7120
,
81 7090
,
81
)
6
(
мм
м
−
=
−
=
−
=
ν
Поправки в составляющие ходы находят в весовом отношении к длинам ходов 11
,
3 35
,
1 4
,
1 мм 11
,
3 76
,
1 4
,
1 мм 06
,
3 25
,
1 5
,
5 мм 06
,
3 81
,
1 5
,
5 мм. Определить окончательные уравненные значения высот узловых точек Аи С.
Для этого к их предварительным значениям необходимо прибавить полученные по соответствующим ходам поправки 6
,
0 м 2
,
2 0515
,
80
)
7
,
2
(
0
м
H
H
С
С
=
+
=
+
=
ν
11. Определить поправки походам Величины поправок походами) получаются как разность между уравненным значением высоты узловой точки Аи ее высотами, полученными по соответствующим ходам:
мм
м
H
H
A
A
2
,
7 0072
,
0 5120
,
80 5048
,
80
)
1
(
0
)
1
(
−
=
−
=
−
=
−
=
ν
мм
м
H
H
A
A
8
,
5 0058
,
0 4990
,
80 Аналогично для ходов (2) и (7) через узловую точку С:
мм
м
H
H
С
С
7
,
3 0037
,
0 0500
,
80 0537
,
80
)
2
(
0
)
2
(
+
=
+
=
−
=
−
=
ν
мм
м
H
H
С
С
3
,
0 0003
,
0 0540
,
80 0537
,
80
)
7
(
0
)
7
(
−
=
−
=
−
=
−
=
ν
12. Выполнить контроль уравнивания по формуле ]
j
j
i
W
−
=
ν
(по каждому из замкнутых полигонов и разомкнутому ходу. Для этого занесем на схему нивелирных ходов значения полученных поправок. Знак поправки на схеме устанавливают в соответствии с направлением движения мм мм мм мм 158. Способ полигонов В.В.Попова
В этом примере используем схему нивелирных ходов, рассмотренную в
§ 157.
1. В крупном масштабе привести указанную схему нивелирных ходов рис. 16.18), на которой следует отметить и пронумеровать независимые полигоны. Число полигонов должно быть равно, (16.222 где N – число замкнутых неперекрывающихся полигонов (N
= 3
); q – число исходных пунктов (q
= 2
). Те. r =
4 2. На схеме указать длины ходов, направление обхода полигонов (для всех либо почасовой стрелке, либо против часовой стрелки. Внутри полигонов (под номером полигона) построить таблички невязок, в которые будут заноситься величины невязок в приближениях. С внешней стороны каждого хода разместить таблички поправок в измеренные превышения данного хода (для смежных полигонов вычерчиваются для одного итого же хода две таблички поправок – с двух сторон хода

Рис. 16.18. Уравнивание способом полигонов (В.В.Попова)
3. Распределить невязки W входах пропорционально длинам ходов по формуле (16.223 Веса превышений
∑
=
)
( j
i
i
s
s
р
записываются в табличке поправок в верхней полукруглой графе (с округлее- нием до 0,01). Сумма весов для полигона должна быть равна 1.
491

Уравнивание целесообразно начинать с полигона, имеющего большую невязку. В этом случае количество приближений сокращается. В примере уравнивание следует начинать с полигона (Полигон (1). Невязка
+ 15 мм
мм
v
0
,
5 33
,
0 15 1
+
=
⋅
+
=
; мм 24
,
0 15 мм 21
,
0 15 3
+
=
⋅
+
=
; мм 22
,
0 15 Полигон (2). В этот полигон входит поправка хода (3), равная
+3,2 мм
Поэтому перед распределением поправкок значение невязки полигона (2) следует исправить
+8,0 +3,2 = +11,2 мм
мм
v
0
,
3 27
,
0 2
,
11 3
+
=
⋅
+
=
; мм 40
,
0 2
,
11 5
+
=
⋅
+
=
; мм 33
,
0 2
,
11 Полигон (Невязка в полигоне исправляется на величины уже известных поправок
-6,0 + 3,3 + 3,7 = +1,0 мм
мм
v
2
,
0 25
,
0 0
,
1 мм 30
,
0 0
,
1 мм 45
,
0 0
,
1 Полигон (Невязка в полигоне исправляется на величины уже известных поправок
+13,0 + 5,0 + 4,5 = + 22,5 мм
мм
v
5
,
11 51
,
0 5
,
22 мм 49
,
0 5
,
22 5
+
=
⋅
+
=
4. Далее вся процедура уравнивания повторяется, начиная последовательность действияй с полигона (Следует иметь ввиду, что в последующем во всех полигонах невязка будет образована суммой поправок, находящихся в табличках внутри полигона.
Полигон (1). Невязка
- 1,8 + 3,0 + 0,2 = +1,4 мм = + 0,5 мм ; v
1
= + 0,5 мм ; v
1
= + 0,5 мм ; v
1
= + 0,5 мм.
Полигон (2). Невязка
+0,3 – 1,7 + 0,3 = - 1,1 мм = - 0,3 мм ; v
5
= - 0,4 мм ; v
6
= - 0,4 мм Полигон (3). Невязка
+ 0,3 – 0,4 = - мм = 0,0 мм (округлена) ; v
6
= 0,0 мм (округлена) ; v
7
= - 0,1 мм Полигон (4). Невязка
+ 0,5 – 0,4 = + мм = 0,0 мм ; v
1
= + мм .
5. Под двойной чертой во всех табличках поправок получить их алгебраическую сумму. Вычислить значения поправок по ходам.
Правило вычисления поправок следующее.
Для хода, принадлежащего двум смежным полигонам, поправка равна алгебраической сумме чисел внутренней и внешней табличек. При этом сумма поправок внешней таблички берется с обратным знаком- ход (1), полигон (1):
- 1,7 + (-5,5) = - 7,2 мм- ход (1), полгон (4):
+ 5,5 + 1,7 = + 7,2 мм- ход (5), полигон (2):
- 1,7 – 4,1 = - 5,8 мм- ход (5), полигон (4):
+ 4,1 + 1,7 = + 5,8 мм- ход (6), полигон (2):
- 3,3 + 0,0 = - 3,3 мм- ход (6), полигон (3):
+ 3,3 + 0,0 = + 3,3 мм- ход (4), полигон (1):
+ 0,2 + (-3,6) = - 3,4 мм- ход (4), полигон (4):
+ 3,6 + (-0,2) = +3,4 мм

Для свободного хода поправка соответствует вычисленной под двойной чертой таблички ход (2):
- 3,9 мм ход (7):
- 0,3 мм
В данном случае окончательные значения поправок можно округлить до
1 мм. В особо ответственных случаях, например, в нивелирных сетях при измерениях деформаций сооружений, часто поправки округляют до 0,1 мм. Вычислить уравненные превышения и высоты узловых точек (табл. Если направление хода при вычислении высот совпадает с направлением хода по полигону, которому принадлежит этот ход, то поправка в измеренное превышение вводится стем же знаком, с которым она получена из уравнивания. Если не совпадает, то знак поправки берется обратным.
Как следует из таблицы 16.65 , значения уравненных высот отличаются не более, чем на 1 мм, что связано с округлением поправок.
Таблица 16.65
№ хода точек
Высота исходного реперам Измеренное превышение, мм
Поправка, мм
Уравненное превышение, мм
Уравненная высотам Точка АР 76,248
+4264
-7
+4258 80,506 РТ очка ВАР Точка С
2
Р1 76,248
+3802
+4
+3806 80,054 Р 83,786
-3732 0
-3732 80,054 В 80,054
80,054
§ 159. Способ последовательных приближений
Для иилюстрации способа последовательных приближений рассмотрим схему нивелирных ходов примера § 157 (способ эквивалентной замены. В ведомость уравнивания (табл. 16.66 , столбцы 1-6) выписать исходные данные со схемы нивелирной сети (рис. 16.17) для каждой узловой точки (А, В С, а также из табл. 16.64 – значения весов превышений. е приближение. Точка А.
Вычислить высоту узловой точки В по результатам измерений. По формуле) получить среднее весовое значение высоты точки А походами НА =
80,5054 м
Таблица Ход Точки
Исх.
высота,
Превы- шение, Длина хода,
Вес
Значения высот в приближениях, м

мм км
1-е
2-е
3-е
4-е
5-е
6-е
1 2
3 4
5 6
7 8
9 10 11 12
Точка
А
1
Р1 76,248
+4264 2,75 0,727 80,5120 80,5120 80,5120 80,5120 80,5120 80,5120 В 1,76 1,136 80,5061 80,5046 80,5042 80,5041 80,5040 Р 83,786
-3287 2,64 0,758 80,4990 80,4990 80,4990 80,4990 80,4990 80,4990 2,6212 80,5054 80,5057 80,5050 80,5049 80,5048 80,5048
Точка
В
4
С
+1652 1,81 1,105 81,7066 81,7060 81,7059 81,7058 81,7058 АР 81,7090 81,7090
Точка
С
2
Р1 76,248
+3802 2,03 0,985 80,0500 80,0500 80,0500 80,0500 80,0500 80,0500 В 1,81 1,105 80,0591 80,0576 80,0572 80,0571 80,0570 80,0570 Ре приближение. Точка В.
Вычислить среднее весовое значение высоты точки В походами, используя входе) среднее весовое значение высоты точки А:Н
В(1)
=
81,7111 м
1-е приближение. Точка С.
Вычислить среднее весовое значение высоты точки С походами, а также походу, используя среднее весовое значение точки В НС =
=
80,0546 м. Во втором приближении используются средние весовые значения высот точек А, В и С, полученные в м приближении. В третьем приближении
– средние весовые значения высот, полученные во втором приближении и т.д. Высоты исходных реперов остаются одинаковыми во всех приближе- ниях.
Второе, третье и последующие приближения выполняются по схеме, приведенной в п. Вычисления (приближения) прекращаются до повторения высот точек в двух соседних шагах, те. при первом повторении результатов средних весовых значений высот узловых точек. Вычислить поправки в измеренные превышения по формуле
i
i
H
H
v
−
=
0
, (16.224 где H
0
– уравненное значение высоты узловой точки H
i
– значение высоты узловой точки по i-му ходу.
Получим значения поправок в превышения по последнему приближе- нию:
мм
v
2
,
7 5120
,
80 5048
,
80 мм 0500
,
80 0538
,
80 мм 5040
,
80 0548
,
80 мм 7098
,
81 7090
,
81 знак зависит от направления движения);
мм
v
2
,
3 7058
,
81 7090
,
81 мм 0570
,
80 0538
,
80 знак зависит от направления движения);
мм
v
8
,
5 4990
,
80 5048
,
80 мм 7120
,
81 7090
,
81 6
−
=
−
=
;
494

мм 0540
,
80 0538
,
80 Как видим, полученные значения поправок совпадают с поправками, полученными в способе эквивалентной замены, и совпадают в пределах округлений с поправками, полученными в способе полигонов В.В.Попова.
§ 160. Оценка точности уравненных элементов и их функций. Общие положения
Оценка точности уравненных элементов и их функций заключается в определении средних квадратических погрешностей результатов измерений и функций измеренных величин после выполнения процедуры уравнивания.
Среднюю квадратическую погрешность любой величины можно определить по формуле, (где
µ
- средняя квадратическая погрешность единицы веса p – вес определяемой величины.
Обе величины, входящие в правую часть формулы (16.225) обычно неизвестны, поэтому по материалам уравнивания находят как значение средней квадратической погрешности единицы веса, таки вес оцениваемой (уравниваемой) величины. Здесь следует иметь ввиду, что вес измеренной и вес той же, но уравненной величины – не одно и тоже. Тем более и веса функций уравненных величин, зависящих от входящих в нее аргументов со своими весами. Отношение весов Р уравненных значений измеренных величин к весам р измеренных величин примерно равно отношению общего числа измерений n к числу необходимых измерений k, те (При определении погрешности единицы веса можно использовать формулу) из теории погрешностей, в которую вместо истинных погрешностей или уклонений от среднего значения подставляют значения полученных невязок W:
[
]
n
pW
2
=
µ
, (где n – число невязок однородной величины, равных числу условных уравнений. Часто для оценки
µ
используют все возникающие условные уравнения
(N > Пользуясь материалами уравнивания, погрешность единицы веса легко можно найти по формуле ]
k
n
p
−
=
2
ν
µ
, (где v – значения поправок к измеренным величинам, имеющим вес p
i
; n – число использованных поправок, те. число измеренных однородных величин
495

углов, расстояний, превышений, пролетов и т.п); k – число необходимых измерений (n – k = r – число избыточных измерений).
При уравнивании коррелатным способом величину
[ р можно получить несколькими методами- по значениям поправок, полученных по результатам уравнивания (т.н. способ при помощи таблиц коэффициентов- по формуле ]
[ р , (где W – невязки k – значения коррелат;
- по схеме решения нормальных уравнений к нормальным уравнениям коррелат (16.89) добавляют еще одно уравнение 1
2 2
1 1
1 1
=
+
+
+
+
W
k
a
qa
k
a
qa
k
a
qa
r
r
…………………………………………
0
]
[
]
[
]
[
2 2
1 1
=
+
+
+
+
j
r
r
j
j
j
W
k
a
qa
k
a
qa
k
a
qa
, (16.230)
………………………………………….
0
]
[
]
[
]
[
2 2
1 1
=
+
+
+
+
r
r
r
r
r
r
W
k
a
qa
k
a
qa
k
a
qa
[ ]
0 2
2 2
1 в котором значение
[ р играет роль неизвестного. Те. получается система из (r+
1
) уравнения стем же числом (r+
1
) неизвестных. Такие уравнения решают совместно по разработанному алгоритму (приемы решения таких уравнений будут пояснены далее).
При уравнивании параметрическим способом значение
[ р тоже можно определить несколькими путями- по значениям поправок (с использованием таблицы коэффициентов- по формуле ]
[
]
[
]
[
]
[ ]
pll
l
pa
l
pa
l
pa
p
k
k
+
+
+
+
=
τ
τ
τ
ν
2 2
1 1
2
; (16.231)
- в схеме решения нормальных уравнений, присоединив уравнение
(16.231) к системе нормальных уравнений (16.172):
[
]
[
]
[
]
[
]
0 1
1 2
2 1
1 1
1
=
+
+
+
+
l
pa
a
pa
a
pa
a
pa
k
k
τ
τ
τ
……………………………………………
[
]
[
]
[
]
[
]
0 2
2 1
1
=
+
+
+
+
l
pa
a
pa
a
pa
a
pa
i
k
k
i
i
i
τ
τ
τ
(16.232)
……………………………………………
[
]
[
]
[
]
[
]
0 2
2 1
1
=
+
+
+
+
l
pa
a
pa
a
pa
a
pa
n
k
k
n
n
n
τ
τ
τ
[
]
[
]
[
]
[ ]
[ ]
0 2
2 2
1 1
=
−
+
+
+
+
ν
τ
τ
τ
р
pll
l
pa
l
pa
l
pa
k
k
Данная система имеет (k+
1
) уравнение со столькими же неизвестными, те. решается исключением полученных значений поправок τ
j
к параметрам
t
j
. Уравнения решают по разработанному алгоритму (пример решения таких уравнений представлен далее. Оценка точности при уравнивании коррелатным способом
Чтобы выполнить оценку точности любой величины, последнюю необходимо представить в виде функции результатов измерений Фа после этого можно применить формулу теории погрешностей измерений для определения обратного веса функции:














∂
∂
=
=
р
х
Ф
P
P
Ф
F
1 1
1 2
, (где
i
х
Ф






∂
∂
- частные производные функции по аргументам x
i
; p
i
– вес аргумента (измеренной величины).
Для решения указанной задачи, те. определения веса функции, систему нормальных уравнений коррелат увеличивают на одно уравнение (либо несколько уравнений, в зависимости от числа оцениваемых параметров, функций) и записывают в виде 1
1 2
2 1
1 1
1
=
+
+
+
+
F
qa
a
qa
a
qa
a
qa
r
r
ρ
ρ
ρ
……………………………………………
[
]
[
]
[
]
[
]
0 2
2 1
1
=
+
+
+
+
F
qa
a
qa
a
qa
a
qa
r
r
r
r
r
r
ρ
ρ
ρ
(16.235)
[
]
[
]
[
]
[
]
F
r
r
P
qFF
F
qa
F
qa
F
qa
1 2
2 где ρ
j
– некоторый неизвестный параметр 1
12 1
1 11 1
1
L
F
a
q
F
a
q
F
qa
=
+
+
=
[
]
2 2
22 2
1 21 2
2
... здесь L – cвободные члены новых уравнений [
] [
]
)
1
(
2 2
2 1
1 1
+
=
+
+
=
r
L
F
F
q
F
F
q
qFF
- свободный член последнего уравнения.
Из решения системы уравнений (16.235), например, по алгоритму Гаусса, получают (Для каждой из функций соответственно получают свое значение
)
(
)
1
)(
1
(
r
r
r
N
+
+
, те. необходимо выполнить столько решений уравнений (16.235), сколько в них содержится определяемых функций Задача упрощается тем, что указанные системы решают сразу совместно по определенному алгоритму, который рассмотрим на примере оценки точности установленных или заданных функций в системе нивелирных ходов, приведенной в § 153, п. 153.2. В данной системе нивелирных ходов уже выполнено уравнивание, поэтому мы воспользуемся результатами этого решения.
Выберем функции, оценку точности которых мы будем выполнять в данном примере 4
1 3
1
h
h
H
H
F
′
+
=
=
1 10 1
2
h
H
H
F
P
′
+
=
=
2 10 2
3
h
H
H
F
P
(16.237)
′
−
=
=
9 20 3
4
h
H
H
F
P
′
−
=
=
8 30 4
5
h
H
H
F
P
497

Последние четыре функции содержат только одно значение h, те. их средние квадратические погрешности равны средней квадратической погрешности соответствующего превышения, поскольку H
P10
, H
P20
и H
P30
– исходные высоты (по условию задачи являются безошибочными).
Составим для обработки результатов измерений табл. 16.67, в которую занесем значения коэффициентов и обратных весов из примера 153.2, а также значения частных производных функций 4
1
+
=




∂
∂
h
F
;
1 7
1
−
=




∂
∂
h
F
;
1 1
2
+
=




∂
∂
h
F
;
1 2
3
+
=




∂
∂
h
F
;
1 9
4
−
=




∂
∂
h
F
;
1 Таблица 16.67
№№ изм.
q
i
a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
F
1
F
2
F
3
F
4
F
5
∑
1 0,42
+1
+1
+1 3
2 0.68
-1
+1 0
3 1,08
+1
-1 0
4 0,39
+1
+1
+1 3
5 1,32
+1
+1 2
6 1,03
+1 1
7 1,51
+1
+1
-1 1
8 1,72
+1
+1
-1 1
9 1,19
-1
-1
-2
(10)
W
-7
+18
-16
+6
+17
(11)
[qa
1
2,18
-1,08 0
0 0,42 0
0,42
-0,68 0
0 1,26
(12)
[qa
2
(1,08)
2,79 1,32 0
0,39 0,39 0
0 0
0 3,81
(13)
[qa
3
(0)
(1,32)
3,86 1,51 0
-1,51 0
0 0
0 5,18
(14)
[qa
4
(0)
(0)
(1,51)
4,42 1,72
-1,51 0
0 1,19
-1,72 7,33
(15)
[qa
5
(0,42) (0,39)
(0)
(1,72) 2,53 0,39 0,42 0
0
-1,72 5,87
(16)
[qF
1,90 0,42 0,68 1,19 В таблице в скобках записаны значения коэффициентов, находящихся слева от диагональных. Строки, не относящиеся к номеру измерения (10 –
16), указаны в скобках.
В столбцах F для значений [qa и [qF вычисления производят по формулам (16.235):
- столбец F
1
:
[
]
0 1
12 2
1 11 1
1 1
=
+
=
F
a
q
F
a
q
F
qa
;
[
]
39
,
0 1
2
=
F
qa
и т.д.;
- столбец F
2
:
[
]
42
,
0 2
1
=
F
qa
;
[
]
0 2
2
=
F
qa
и т.д.
Полученные результаты используем для решения задачи методом краковянов. Для этого составим табл. 16.68 , в которую зенесем значения нижней части таблицы 16.67 В табл. 16.68 заносят диагональные коэффициенты в строки N, ау всех остальных коэффициентов меняют знак на противоположный. На противоположный знак следует изменить и значения Таблица 16.68 498

Контр 1,08 0
0
-0,42 7
0
-0,42 0,68 0
0 5,74
N
2
2,79
-1,32 0
-0,39
-18
-0,39 0
0 0
0
-21,81
N
3
3,86
-1,51 0
16 1,51 0
0 0
0 10,82
N
4
4,42
-1,72
-6 1,51 0
0
-1,19 1,72
-11,61
N
5
2,53
-17
-0,39
-0,42 0
0 1,72
-21,15
N
6
1,90 0,42 0,68 1,19 1,72
K
1
1,476 0,732 0
0
-0,285 4,743 0
-0,285 0,461 0
0 3,889 3,890
K
2
1,501
-0,879 0
-0,399
-9,679
-0,260
-0,139 0,225 0
0
-12,634
-12,632
K
3
1,757
-0,859 0,200 13,95 0,989 0,070
-0,113 0
0 12,479 12,479
K
4
1,919
-0,986
-9,371 0,344
-0,031 0,051
-0,620 0,896
-11,636
-11,636
K
5
1,130
-2,177
-0,378
-0,211
-0,260 0,541 Вычисление весов функций производят по формуле 2
3 2
2 2
1 6
)
5
(
6
+
+
+
−
=
=
i
i
i
i
i
F
k
k
k
N
N
P
i
(Погрешность единицы веса определяем по формуле (16.228). При этом значение
[ р находим из расчетов, выполненных в примере 153.2:
[ р =
(2,38∙1,714 2
+ 1,47∙1,457 2
+ … + 0,84∙4,629 2
= 404,11.
7
,
6 9
11
,
404
=
=
µ
мм
Контроль вычисления
[ р выполняют по формуле (Погрешности функций вычисляем по формуле (16.225):
2
,
8 660
,
0 7
,
6 мм :
8
,
12 мм
4
,
11 мм
1
,
8 мм
9
,
10 5
=
F
M
мм.
Важной величиной является погрешность измерения превышений передачи высоты) на 1 км хода. Она вычисляется по той же формуле (16.), но предварительно необходимо определить вес 1 км хода. В выполненных расчетах единицей веса являлся ход длиной 2 км (см. исходные данные примера 153.2). Вес одного километра составит
2 1
2 1
=
=
=
км
км
s
s
P
i
e
км
Тогда км
=
7
,
4 2
7
,
6 1
=
=
км
M
мм
160.3. Оценка точности при уравнивании параметрическим способом
Как ив коррелатном способе, для определения веса функции результатов измерений используется формула (16.). Вообще говоря, приемы определения весов функций как в коррелатном, таки в параметрическом способах, практически стандартные. Здесь в качестве примера будет рассмотрен несколько другой способ определения весов функций, применительно к параметрическому способу уравнивания, на основе решения системы линейных уравнений по методу Гаусса способом Ганзена.
499

Воспользуемся для пояснений принципа отыскания весов функций данными примера § 155, п. В этом примере в качестве параметров t
j были выбраны высоты определяемых пунктов
4 4
3 3
2 2
1 Нормальные уравнения поправок к параметрам t
j
получены в виде
(16.181):
;
0 01
,
37 56
,
2 93
,
0 87
,
5 1
4 2
1
=
+
−
−
τ
τ
τ
;
0 61
,
4 76
,
0 98
,
0 14
,
4 93
,
0 2
4 3
2 1
=
−
−
−
+
−
τ
τ
τ
τ
;
0 64
,
19 66
,
0 48
,
2 98
,
0 3
4 3
2
=
+
−
+
−
τ
τ
τ
0 04
,
52 56
,
4 66
,
0 76
,
0 56
,
2 4
4 3
2 Установим функции, оценку точности которых требуется выполнить в результате расчетов 3
1 3
1
t
t
H
H
F
−
=
−
=
1 1
2
t
H
F
=
=
2 2
3
t
H
F
=
=
(16.240)
3 3
4
t
H
F
=
=
4 Выполним предварительное уравнивание по несколько другой схеме и найдем значения параметров t
j
. Предварительное уравнивание выполним только входе (в таком же направлении движения
∑
−
=
34
h
мм
Распределим полученную невязку поровну в превышения без учета весов превышений
(h
3
) = -744 мм
(h
6
) = +5347 мм ; (h
7
) = -5855 мм (h
4
) = -1252 мм превышение против хода).
Найдем приближенные значения t
j
таким образом, чтобы использовать при вычислениях и значения (h):
81914
)
(
4 8
30 мм 9
20 мм 8
30 мм 0
1 0
4
=
+
=
h
t
t
мм
Выразим измеренные превышения через параметры t
j
:
10 1
1
P
H
t
h
−
=
10 2
2
P
H
t
h
−
=
1 2
3
t
t
h
−
=
1 4
4
t
t
h
−
=
4 2
5
t
t
h
−
=
(16.241)
2 3
6
t
t
h
−
=
3 4
7
t
t
h
−
=
4 30 8
t
H
h
P
−
=
3 20 Вычислим свободные члены уравнений 3586 78336 81914 1
10 0
1 мм 2841 78336 81184 2
10 0
2 мм 81184 3
0 1
0 мм 80662 4
0 1
0 мм 509 80662 81184 5
0 4
0 мм

5 5338 81184 86517 6
0 2
0 мм 80662 7
0 3
0 мм 4639 80662 85301 8
0 4
30 мм 83507 9
0 3
20 9
+
=
−
−
−
=
−
−
=
h
t
H
l
P
мм
С учетом частных производных функций (16.241) заполним табл. 16.69 и определим с помощью нее коэффициенты нормальных уравнений поправок τ и свободные члены. Принцип вычислений в таблице такой же, как ив табл.
(16.68). В таблице 16.70 выполним решение систем нормальных уравнений. В примере параметрического способа уравнивания такая задача решена, но здесь приводится другой вид подобной таблицы, с помощью которой решается как задача уравнивания, таки задача оценки точности уравненных элементов.
Таблица 16.69
№№ изм.
P
i
a
1i
a
2i
a
3i
a
4i
l
s
v
1 2,38
+1
-8
-7
-1,700 2
1,47
+1
+7
+8 1,466 3
0,93
-1
+1
+22
+22 10,166 4
2,56
-1
+1
-9
-9
-5,274 5
0,76
+1
-1
+13
+13
-2,560 6
0,98
-1
+1
-5
-5 9,862 7
0,66 0
-1
+1
+8
+8 8,788 8
0,58 0
-1 0
-1
-10,026 9
0,84 0
-1
+14
+13 4,762
(10)
5,87
-0,93 0
-2,56
-16,46
-14,08
(-14,08)
(11)
-0,93 4,14
-0,98
-0,76 45,53 47,00
(47,00)
(12)
0
-0,98 2,48
-0,66
-21,94
-21,10
(-21,10)
(13)
-2,56
-0,76
-0,66 4,56
-27,64
-27,06
(-27,06)
(14)
1241,65 Таблица 16.70
τ
1
τ
2
τ
3
τ
Контр 0
-2,56
-16,46
-1
+1 0
0 Е 0,158 0
0,436 2,804 0,170
-0,170 0
0 0
2,399 2,398
N
2
4,14
-0,98
-0,76 45,53 0
0
+1 0
0 48,00
E
12
N
-0,147 0
-0,404
-2,601
-0,158 0,158 0
0 0
-2,225
N
2
(1)
3,993
-0,98
-1,164 42,929
-0,158 0,158
+1 0
0 45,775 45,778
E
2
-1 0,245 0,292
-10,751 0,040
-0,040
-0,250 0
0
-11,464
-11,464
N
3
2,48
-0,66
-21,94
+1 0
0
+1 0
-19,100
E
13
N
0 0
0 0
0 0
0 0
0
E
23
N
(1)
-0,240
-0,285 10,518
-0,039 0,039 0,245 0
0 11,215
N
3
(2)
2,240
-0,945
-11,422 0,961 0,039 0,245
+1 0
-7,885
-7,882 501

E
3
-1 0,422 5,099
-0,429
-0,017
-0,109
-0,446 0
3,520 3,520
N
4
4,56
-27,64 0
0 0
0
+1
-26,06
E
14
N
-1,116
-7,177
-0,436 0,436 0
0 0
-6,139
E
24
N
(1)
-0,340 12,535
-0,046 0,046 0,292 0
0 13,366
E
34
N
(2)
-0,399
-4,820 0,406 0,016 0,103 0,422 0
-3,327
N
4
(3)
2,705
-27,102
-0,076 0,498 0,395 0,422
+1
-22,160
-22,158
E
4
-1 10,019 0,028
-0,184
-0,146
-0,156
-0,370 8,192 8,191
N
5
1241,65 0
0 0
0 0
0
E
15
N
-46,154
-0,170
-0,170 0
0 0
E
25
N
(1)
-461,530
-0,006
-0,006
-0,250 0
0
E
35
N
(2)
58,241
-0,412
-0,001
-0,027
-0,446 В последней части таблицы значения (EN) получают последовательно по строками элементов l и F таблицы. Например, (
2 17 1
16 5
15 и т.д.
) , (
)
1
(
2 27
)
1
(
1 26
)
1
(
5 и т.д.
) и т.д.
Сумма (N
5
+[EN]) = [pv
2
] =
404,19
, что практически совпадает с таким же значением, полученным в способе коррелат.
Суммы [EN] по столбцам F равны обратному весу соответствующей функции с обратным знаком (сравните результаты вычисления весов функций сданными табл. 16.68 коррелатного способа).
Дальнейшие вычисления аналогичны вычислениям в коррелатном способе погрешность единицы веса погрешности выбранных для оценки функций погрешность нивелирования на 1 км хода.