ГЕОДЕЗИЯ-2005. С. И. Чекалин г е оде з и я москва 2005 ббк 26. 1 Удк геодезия Учебник

• Название: С. И. Чекалин г е оде з и я москва 2005 ббк 26. 1 Удк геодезия Учебник
• Анкор: ГЕОДЕЗИЯ-2005.pdf
• Дата: 17.02.2018
• Размер: 37.56 Mb.
• Имя файла: ГЕОДЕЗИЯ-2005.pdf
• Тип: Учебник; #15627
• страница: 31 из 40

9592,241
7556,706
C
о
100°58'49,3"
D
Присвоим номера измеренным величинам (табл. Таблица Обозначение 2
3 4
5 6
7
β
1
β
2
β
3
β
4
s
1
s
2
s
3
p
i
1 1
1 1
1,221 2,041 1,778
q
i
1 1
1 1
0,819 0,490 Шаг 1. Общее число измерений n =
7
. Число необходимых измерений
k =
4
(например, 1, 2, 5 и 6 – табл. 16.12). Число избыточных измерений r = Шаг 2. Составим r = 3 условных уравнения- условие дирекционных углов 180 0
=
−
−
′
+
∑
CD
АВ
n
α
β
α
(16.103)
- условие координат (для абсцисс и ординат (Шаг 3. Приведем условные уравнения к линейному виду, для чего продифференцируем данные функции попеременными (последние – зависящие от β
i
).
422

Рассмотрим здесь несколько подробнее процесс получения условных уравнений поправок.
После дифференцирования получим условные уравнения поправок- для дирекционных углов (где
4 3
2 1
β
β
β
β
β
ν
ν
ν
ν
ν
+
+
+
=
∑
i
; невязка W
β
или свободный член уравнения –
CD
CD
CD
AB
i
n
W
α
α
α
α
β
β
−
=
−
−
+
=
∑
0 здесь α
CD
0
– вычисленное значение ди- рекционного угла из табл. 16.11 в предварительной обработке полигонометрического хода- для абсцисс cos
0 0
=
+
−
∑
x
i
i
i
i
si
W
s
α
ν
α
ν
α
(где невязка
C
C
C
B
i
i
x
x
x
x
x
s
W
−
=
−
+
=
∑
0 здесь х
С
0
– вычисленное значение координаты точки Сиз предварительной обработки полигонометрического хода, табл. 16.11);
- для ординат sin
0 0
=
+
+
∑
y
i
i
i
i
si
W
s
α
ν
α
ν
α
(где невязка
C
C
C
B
i
i
y
y
y
y
y
s
W
−
=
−
+
=
∑
0 0
sin
α
(здесь y
C
0
– вычисленное значение координаты точки Сиз предварительной обработки полигонометрического хода, табл. Вычислим свободные члены уравнений, пользуясь исходными данными и результатами предварительной обработки полигонометрического ходам - 2,7 см = W
y
= 7556,706 – 7556,681 = + 0,025 м = + 2,5 см.
Поправка v
αi
в текущее значение дирекционного угла равна сумме поправок углов β, использующихся для его вычисления, те (С учетом этого, а также предыдущих выражений, запишем окончательные условные уравнения поправок в общем виде 0
cos
1 0
0 0
0 0
0 0
=
+
+
−
=
+
+
−
−
=
+
∑
∑
∑
∑
∑
y
i
si
i
i
C
x
i
si
i
i
C
i
W
x
x
W
y
y
W
α
ν
ν
ρ
α
ν
ν
ρ
ν
β
β
β
β
(где ρ – угловая мера радиана.
В уравнениях (16.108) для удобства значения
1
/ ρ увеличивают враз, а разности координат уменьшают в тоже число раз, те. выражают в километрах.
В развернутом виде уравнения (16.108) для рассматриваемого в примере полигонометрического хода имеют вид

(
)
(
)
(
)
[
]
(
)
;
0
cos cos cos
1 2
;
0 1
0 2
3 0
12 2
0 1
1 3
0 2
0 2
0 1
0 1
0 0
4 3
2 1
=
+
+
+
+
+
−
+
−
+
−
−
=
+
+
+
+
x
C
s
s
B
s
C
C
B
C
W
y
y
y
y
y
y
W
α
ν
α
ν
α
ν
ν
ν
ν
ρ
ν
ν
ν
ν
β
β
β
β
β
β
β
β
(16.109)
(
)
(
)
(
)
[
]
(
)
0
sin sin sin
1 3
0 2
3 0
12 2
0 1
1 3
0 2
0 2
0 1
0 1
0 0
=
+
+
+
+
+
−
+
−
+
−
y
C
s
s
B
s
C
C
B
C
W
x
x
x
x
x
x
α
ν
α
ν
α
ν
ν
ν
ν
ρ
β
β
β
(Составим таблицу (табл) значений разностей координат и тригонометрических функций дирекционных углов поданным табл. 16.11, необходимую для вычисления коэффициентов Таблица 16.13
№№ точек
Значения sin и cos дирекционных углов
Значения разностей координат, км α
Sin α
x
C
0
– x
i
0
y
C
0
– y
i
0
B
+1,2269 (В)
+2,3161(В)
+0,3447
+0,9387
+0,7975 (1)
+1,1468 (1)
1
- 0,2228
+0,9749
+1,0120 (2)
+0,2080 (2)
2
+0,9795
+0,2013
C
C учетом приведенных в табл. 16.13 значений коэффициентов и значений свободных членов получим окончательный вид условных уравнений поправок, соответствующих выражениям (16.109):
0 5
,
2 2013
,
0 9749
,
0 9387
,
0 4906
,
0 3866
,
0 5948
,
0 3
0 7
,
2 9795
,
0 2228
,
0 3447
,
0 1008
,
0 5560
,
0 1229
,
1 2
0 5
,
3 1
3 2
1 3
2 1
3 2
1 3
2 1
4 3
2 Составим матрицу коэффициентов a
ij
и обратных весов q
i
(табл. Таблица 16.14
i→
j ↓
1 2
3 4
5 6
7 1
+1
+1
+1
+1 0
0 0
2
+1,1229
-0,5560
-0,1008
+0,3447
-0,2228
+0,9795 3
+0,5948
+0,3866
+0,4906
+0,9387
+0,9749
+0,2013
q
i
1 1
1 1
0,819 0,490 Шаг 4. По правилами схеме, приведенным выше, вычислим коэффициенты нормальных уравнений коррелат. Сначала представим указанные уравнения коррелат в общем для приводимого примера виде. (q
1
a
11
2
+ q
2
a
21
2
+ q
3
a
31
2
+ q
4
a
41
2
)k
1
+ (q
1
a
11
a
12
+ q
2
a
21
a
22
+q
3
a
31
a
32
)k
2
+ +(q
1
a
11
a
13
+ q
2
a
21
a
23
+ q
3
a
31
a
33
)k
3
+ W
1
= 0;
424

2. (q
1
a
12
a
11
+ q
2
a
22
a
21
+q
3
a
32
a
31
)k
1
+ (q
1
a
12
2
+ q
2
a
22
2
+ q
3
a
32
2
+ q
5
a
52
2
+ q
6
a
62
2
+
q
7
a
72
2
)k
2
+ (q
1
a
12
a
13
+ q
2
a
22
a
23
+ q
3
a
32
a
33
+ q
5
a
52
a
53
+ q
6
a
62
a
63
+ q
7
a
72
a
73
)k
3
+
+ W
2
= 0;
3. (q
1
a
13
a
11
+ q
2
a
23
a
21
+q
3
a
33
a
31
)k
1
+ (q
1
a
13
a
12
+ q
2
a
23
a
22
+ q
3
a
33
a
32
+ q
5
a
53
a
52
+
+q
6
a
63
a
62
+ q
7
a
73
a
72
)k
2
+ (q
1
a
13
2
+ q
2
a
23
2
+ q
3
a
33
2
+ q
5
a
53
2
+ q
6
a
63
2
+ q
7
a
73
2
)k
3
+
+ W
3
= 0.
(После подстановки значений a
ij
, q
i
и W
j
получим. +4 k
1
– 2,6869k
2
+ 1,4720k
3
+ 3,5 = 0;
2. – 2,6869k
1
+ 3,2469 k
2
– 1,1080k
3
– 2,7 = 0;
(16.112)
3. 1,4720 k
1
– 1,1080 k
2
+ 1,9541 k
3
+ 2,5 = Из решения системы нормальных линейных уравнений получим
k
1
=
- 0,4489
; k
2
=
+0,1722
; k
3
=
- Контрольные вычисления по исходным уравнениям (16.112) удовлетворяют указанным условиям.
Шаг 5. Составим и решим условные уравнения поправок, пользуясь формулами (16.88) и табл. 16.14:
1. v
1
= v
β1
= q
1
(k
1
– 1,1229 k
2
+ 0,5948 k
3
) = - 1,14" ≈ - 1,1";
2. v
2
= v
β2
= q
2
(k
1
– 0,5560k
2
+ 0,3866 k
3
) = - 0,87" ≈ - 0,9";
3. v
3
= v
β3
= q
3
(k
1
– 1,1080k
2
+ 0,4906 k
3
)= - 1,05" ≈ - 1,1" ;
4. v
4
= v
β4
= q
4
k
1
= - 0,45" ≈ - 0,4";
5. v
5
= v
s1
= q
5
(+ 0,3447 k
2
+ 0,9387 k
3
) = - 0,60 см = - 6 мм ;
6. v
6
= v
s2
= q
6
(-0,2228 k
2
+ 0,9749 k
3
) = - 0,42 м = - 4 мм ;
7. v
7
= v
s3
= q
7
(+ 0,9795 k
2
+ 0,2013 k
3
) = 0,0 м = 0 мм.
Контроль выполняется подстановкой полученных значений в уравнения поправок (16.110). Отклонения в приводимом примере от условий можно считать незначительными.
Шаг 6. Вычислим уравненные значения измеренных величин, округлив поправки в углы до 0,1" , поправки в длины линий – до 1 мм = 112° 36' 45,4" –1,1" = 112° 36' 44,3"
β'
2
= 213° 02' 16,8" – 0,9" = 213° 02' 15,9"
β'
3
= 88° 44' 26,7" – 1,1" = 88° 44' 25,6"
β'
4
= 269° 22' 04,0" – 0,4" = 269° 22' 03,6"
s'
1
= 1245,638 – 0,006 = 1245,634 мм м
Составим ведомость уравнивания (табл. Как видно, после уравнивания получились остаточные невязки
W
x
= 9592,259 – 9592,268 = - 9 мм у = 7556,681 – 7556,681 = 0 мм. Угловая невязка равна нулю. Это является результатом ощутимой нелинейности исходных условных уравнений, те. ограничение первым членом разложения функций вряд Тейлора оказалось недостаточным. В таких случаях выполняют повторное уравнивание, считая полученные после первого уравнивания невязки исходными (
W
β
= 0; W
x
= - 0,9 см у = 0,0 см, а вычисления в табл. 16.15 – предварительными

Только в качестве примера продолжим уравнивание полигонометрии- ческого хода вторым приближением. Полученные остаточные невязки в первом приближении практически можно считать допустимыми.
По аналогии с табл. 16.13 должна быть составлена другая таблица. Но, поскольку изменения в синусах и косинусах дирекционных углов и коорди-
Таблица 16.15
№№ точек
Гориз.углы
β
Дирекц.углы
α
Рассто- яния
s , м
Приращения координат, м
Координаты, м точек
А
A
137°13'16,4"
В
112°36'44,3"
8365,344 5240,647
B
69°50'00,7"
1245,632
+429,430
+1169,268 1
213°02'15,9"
8794,774 6409,915 1
102°52'16,6"
963,013
-214,522
+938,815 2
88°44'25,6"
8580,252 7348,730 2
11°36'42,2"
1033,151
+1012,007
+207,951
С
269°22'03,6"
9592,259
7556,681
C
100°58'45,8"
D
D
натах после первого уравнивания незначительные, то для составления уравнений поправок (16.109) используем те же коэффициенты, а вместо значений W
j
используем их величины, полученные после первого уравнивания. В результате имеем 2013
,
0 9749
,
0 9387
,
0 4906
,
0 3866
,
0 5948
,
0 3
0 9
,
0 9795
,
0 2228
,
0 3447
,
0 1008
,
0 5560
,
0 1229
,
1 2
0 1
3 2
1 3
2 1
3 2
1 3
2 1
4 3
2 Таблица коэффициентов a
ij
и обратных весов в данном случае имеет тот же вид (табл. 16.14), в связи с чем нормальные уравнения коррелат для второго уравнивания запишем в виде. +4 k
1
– 2,6869k
2
+ 1,4720k
3
= 0;
2. – 2,6869k
1
+ 3,2469 k
2
– 1,1080k
3
– 0,9 = 0;
(16.116)
3. 1,4720 k
1
– 1,1080 k
2
+ 1,9541 k
3
= Из решения полученной системы линейных уравнений
k
1
=
+0,4042
; k
2
=
+0,6307
; k
3
=
+ Контроль подстановкой в уравнения (16.116) показывает правильность вычисления коррелат.
Используя формулы (16.114), получим поправки из второго уравнивания и составим ведомость второго уравнивания (табл. 16.16)
1. v
1
= v
β1
= q
1
(k
1
– 1,1229 k
2
+ 0,5948 k
3
) ≈ - 0,2";
2. v
2
= v
β2
= q
2
(k
1
– 0,5560k
2
+ 0,3866 k
3
) ≈ 0,0";
3. v
3
= v
β3
= q
3
(k
1
– 1,1080k
2
+ 0,4906 k
3
) ≈ - 0,2" ;
4. v
4
= v
β4
= q
4
k
1
≈ +0,4";
5. v
5
= v
s1
= q
5
(+ 0,3447 k
2
+ 0,9387 k
3
) = +2 мм ;
426

6. v
6
= v
s2
= q
6
(-0,2228 k
2
+ 0,9749 k
3
) = мм ;
7. v
7
= v
s3
= q
7
(+ 0,9795 k
2
+ 0,2013 k
3
) = 4 мм.
Остаточные невязки составляют =
0; W
x
= 9592,266 – 9592,268 = = - 2 мм у = 7556,683 – 7556,681 = + 2 мм что является вполне приемлемым.
Таблица 16.16
№№ точек
Гориз.углы
β
Дирекц.углы
α
Рассто- яния
s , м
Приращения координат, м
Координаты, м точек
А
A
137°13'16,4"
В
112°36'44,1"
8365,344 5240,647
B
69°50'00,5"
1245,634
+429,432
+1169,270 1
213°02'15,9"
8794,776 6409,917 1
102°52'16,4"
963,013
-214,521
+938,816 2
88°44'25,4"
8580,255 7348,733 С 7556,683
C
100°58'45,8"
D
D
153.4. Уравнивание системы полигонометрических ходов с двумя узловыми точками
Уравнивание таких систем полигонометрических ходов аналогично уравниванию как одиночного полигонометрического хода, таки системы полигонометрических ходов с одной узловой точкой. В такой системе рис. 16.10) образуется три независимых полигонометрических хода [(1), (2),
(3)], в которых возникает потри условия три условия дирекционных углов и шесть условий координат, те. получается девять условных уравнений. В табл. 16.17, 16.18 и 16.19 приведены необходимые исходные данные для решения задачи уравнивания, заключающейся в определении уравненных значений координат точек 1, 2, 3, M, N, а также уравненного значения дирекционного угла узловой линии MN. (В данном примере узловые точки M и N образуют и узловую линию. Часто между узловыми точками прокладывают полигонометрический ход в две и более линии. Тогда понятие узловой линии не будет иметь места. Ею может быть любая линия с началом в какой-либо узловой точке).
Горизонтальные углы измерены равноточно с погрешностью m
β
=
2,0". Расстояния измерены светодальномером с погрешностью, примерно одинаковой для всех линий (m
s
=
18 мм =
1,8 см. В соответствии с указанной точностью измерения расстояний и углов веса углов принимаем равными единице (p
β
=
1
; q
β
=
1
), а веса расстояний –
427

810
,
0
;
235
,
1 8
,
1 0
,
2 2
2 Таблица Координаты, м
B
C
F
G
Х
7183,652 8137,565 6124,924 7894,521
Y
4380,124 6463,782 4718,048 Рис. 16.10. Система полигонометрических ходов с двумя узловыми точками
Таблица 16.18
α
АВ
71º 08' 14,3"
α
BA
251º 08' 14,3"
α
CD
118º 19' 14,7"
α
DC
298º 19' 14,7"
α
EF
324º 21' 18,0"
α
FE
144º 21' 18,0"
α
GH
159º 58' 14,2"
α
HG
339º 58' Таблица Обозначение угла
Значение угла
Обозначени е расстояния
Значение расстояниям' 58"
s
6
625,329
β
7
280º 34' 07"
s
7
573,421
β
8
84º 46' 52"
s
8
989,716
β
9
337º 03' 44"
β
10
178º 54 26"
428

β
11
78º 21 Выполним предварительные вычисления в полигонометрических ходах
(1), (2) и (3), те. определим координаты точек ходов, используя только измеренные величины (табл. 16.20). Шаг 1. Общее число измерений n =
19
(11 углов и 8 расстояний, число необходимых измерений k =
10
, число избыточных измерений r = Таблица 16.20
№№ точек
Гориз.углы
β
Дирекц.углы
α
Рассто- яния
s , м
Приращения координат, м
Координаты, м точек
Δх
Δу
Х
Y
A

1   ...   27   28   29   30   31   32   33   34   ...   40