Погрешность. ЛЭТИ. СанктПетербургский государственный электротехнический университет
 Скачать 0.7 Mb.
|
|
Замечание 1. Полученное выражение для полной погрешности вели- чины f ∆ (3.6) остается справедливым также в случае различного объема вы- борок величин x , y , z , ..., являющихся аргументами функции f . При этом пол- ные погрешности аргументов x ∆ , y ∆ , z ∆ , входящие в f ∆ , должны быть определены для одной и той же доверительной вероятности P 0 Замечание 2. Если приборные погрешности аргументов функции не являются случайными и независимыми, например, приборная погрешность одного аргумента порождает приборную погрешность другого аргумента, то их необходимо складывать по модулю линейно x y z f f f f θ = θ + θ + θ . В этом случае случайная (3.3) и приборная погрешности функции складывают- ся (объединяются) в полную погрешность функции линейно f f f ∆ = ∆ + θ Однако такая ситуация встречается на практике довольно редко. Она, например, может возникнуть в случае влияния работы одного прибора на по- казания другого. В большинстве же случаев значения аргументов функции измеряются разными приборами, взаимозависимость распределения прибор- ных погрешностей которых ниоткуда не следует. Поэтому верхние границы частных приборных погрешностей аргументов функции будем складывать квадратично. Замечание 3. Если функция f удобна для логарифмирования, т. е. представляет собой произведение нескольких выражений, формулы для на- хождения погрешности могут быть приведены к более удобному виду. Опе- рация логарифмирования, превращает произведение выражений в сумму ло- гарифмов этих выражений, а производная суммы вычисляется значительно проще, чем производная произведения. Например , ln ( ax n / ( y m tg x )) = ln a + n ln x – m ln у – ln tg x. В таком случае, используя тождество ( ) ln f f f ′ ′ = и вводя новые ве- совые множители , , y x z x y z a a a b b b f f f = = = , получим 35 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 x y z f f b x b y b z ∆ = ∆ + ∆ + ∆ , где , , , , , , ln ln ln , , x y z x y z x y z x y z d f d f d f b b b dx dy dz = = = в точке , , x y z . 3.2. Выборочный метод Выборочный метод расчета погрешностей применяется в тех случаях, когда значения каждой из совместно измеренных величин x, y, z, ... не обра- зуют выборок, но значения функции ( ) , , , ... i i i i f f x y z ′ ′ ′ ′ = образуют выборку, т. е. величина f является некоторой физической константой. Штрих у аргу- ментов означает, что они содержат неизвестные постоянные приборные по- грешности: ( ) i i x i x x ′ = + θ , ( ) i i y i y y ′ = + θ , ( ) i i z i z z ′ = + θ . Здесь учтено, что приборные погрешности измеряемых величин могут быть разными в разных опытах, поскольку зависят от отсчетов не образующих выборок величин x, y, z, ... по шкалам приборов. Статистическая обработка полученных значений i f ′ производится так же, как и в анализе данных прямых измерений, которые позволяют найти ее смещенное среднее значение и СКО среднего значения (либо размах выборки max min R f f ′ ′ = − ): 1 1 N i i f f N = ′ ′ = ∑ , ( ) 2 1 ( ) 1 N i f i S f f N N = ′ ′ = − − ∑ , (3.7) а затем вычислить ее случайную погрешность , P N f f t S ∆ = , или , P N f R ∆ = β Для определения приборной погрешности θ f представим i-е смещенное значение величины i f ′ в окрестности точки , , i i i x y z , координаты которой не зависят от приборных погрешностей, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , i i i i i x i i y i i z i f f x y z f x y z ′ ′ ′ ′ = = + θ + θ + θ в виде суммы истинного значения этой величины и малого конечного при- ращения, определяемого выражением (3.1): ( ) ( ) ( ) ( ) i i f i i xi x i yi y i zi z i f f f a a a ′ = + θ = + θ + θ + θ , (3.8) 36 где ( ) , , i i i i f f x y z = , , , i i i xi x y z f a x ′ ′ ′ ∂ = ∂ , , , i i i yi x y z f a y ′ ′ ′ ∂ = ∂ , , , i i i zi x y z f a z ′ ′ ′ ∂ = ∂ Ввиду малости приборных погрешностей ( ) ( ) ( ) , , x i y i z i θ θ θ значения производных в точке , , i i i x y z можно считать совпадающими с их значения- ми в экспериментальной точке , , i i i x y z ′ ′ ′ . Смещенное среднее значение кос- венно определяемой величины с учетом (3.8) будет иметь вид ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 N N N i i f i f i i i f f f f N N N = = = ′ ′ = = + θ = + θ ∑ ∑ ∑ , (3.9) где ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 f f i xi x i yi y i zi z i a a a N N θ = θ = θ + θ + θ ∑ ∑ – приборная погреш- ность функции. Согласно (3.9) несмещенное значение величины будет равно ( ) i i f i f f ′ = − θ , где ввиду неизвестности величин и знаков приборных по- грешностей ( ) x i θ , ( ) y i θ , ( ) z i θ приборная погрешность функции ( ) f θ также неизвестна. Поэтому заменим приборную погрешность функции ( ) f θ ее верхней границей ( ) f f θ ≥ θ . Тогда ( ) 1 1 1 1 i N N f f xi xi yi yi zi zi i i a a a N N = = θ = θ = θ + θ + θ ∑ ∑ , (3.10) где θ xi , θ yi , θ zi – верхние границы приборных погрешностей аргументов. Вы- ражение для верхней границы приборной погрешности функции можно так- же записать в виде, удобном в ряде приложений: x y z f x y z a a a θ = θ + θ + θ , где 1 x xi a a N = ∑ , 1 y yi a a N = ∑ , 1 z zi a a N = ∑ ; max x xi θ = θ , max y yi θ = θ , max z zi θ = θ – наибольшие значения верхних границ приборных погрешно- стей аргументов в серии опытов. Несмещенное среднее значение функции можно найти как f f f ′ = ± θ Тогда результат косвенного измерения с учетом его случайной погрешности можно записать в виде ( ) f f f f f f f f ′ ′ = ± ∆ = ± θ + ∆ = ± ∆ , где f f f ∆ = θ + ∆ представляет собой полную погрешность функции. 37 При практических расчетах штрихи у аргументов функции и самой функции опускают. Замечание 1. Выборочный метод допустимо использовать и в том слу- чае, когда значения аргументов функции образуют выборки. Тем не менее, не рекомендуется применять выборочный метод при нахождении результата косвенного измерения в тех случаях, когда возможно применение метода переноса погрешностей, поскольку в выборочном методе случайная погреш- ность функции зависит от приборных погрешностей ее аргументов, что при- водит к неоправданному дополнительному увеличению погрешности функ- ции. Действительно, случайная погрешность функции в выборочном методе рассчитывается через разности вида ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x y z i i i xi x yi y zi z f f f f f a a a a a a ′ ′ ∆ = − = − + − θ + − θ + − θ , в которых ввиду большого диапазона изменения значений аргументов , , xi x yi y zi z a a a a a a ≠ ≠ ≠ и i i f f f ∆ ≠ − Замечание 2. Если функция f удобна для логарифмирования, формулы для нахождения погрешности могут быть упрощены. Используя тождество ( ) ln f f f ′ ′ = и вводя новые весовые множители i i x x i b a f = , i i y y i b a f = , i i z z i b a f = , получим ( ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) i f i x i i i x y i i i y z i i i z f b x y z b x y z b x y z θ = θ + θ + θ , где i f θ и i f – приборная погрешность и значение косвенно определяемой ве- личины, соответствующие данному набору совместно измеренных значений аргументов, ln ( , , ) ln ( , , ) ln ( , , ) ( , , ) , ( , , ) , ( , , ) x y z d f x y z d f x y z d f x y z b x y z b x y z b x y z dx dy dz = = = Замечание 3. В том случае, когда функция f есть физическая констан- та, значение которой определяется через наборы совместно измеренных зна- чений аргументов функции выборочным методом, ее значение можно найти методом наименьших квадратов (МНК), который будет рассмотрен далее. 38 3.3. Алгоритм обработки данных косвенных измерений методом переноса погрешностей Данный метод используется в случае, когда каждая из величин x, y, z , представляющих собой аргументы функции, измеряется независимо от ос - тальных в своей серии опытов, и эти величины образуют выборки (близки друг к другу). Число опытов в сериях, вообще говоря, не обязано быть оди- наковым, требуется только неизменность условий для прямо измеряемой ве- личины в своей серии, неизменность условий для f во всех сериях и взаимная независимость всех опытов. 1. По формулам прямых измерений определить величины x , x ∆ ; y , y ∆ ; z , z ∆ (с учётом приборных погрешностей). 2. Рассчитать значение функции f = f ( x , y , z ). 3. Вычислить частные производные от функции , , x x y z f a x ∂ = ∂ , , , x y z y f a y ∂ = ∂ , , , x y z z f a z ∂ = ∂ или, для легко логарифмируемой функции f, от ее логарифма , , , , , , ln ln ln , , x y z x y z x y z x y z d f d f d f b b b dx dy dz = = = в точке , , x y z . 4. По формуле переноса погрешностей вычислить полную погрешность функции ( ) ( ) ( ) 2 2 2 x y z f a x a y a z ∆ = ∆ + ∆ + ∆ или по эквивалентной формуле для легко логарифмируемой функции: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 x y z f f b x b y b z ∆ = ∆ + ∆ + ∆ 5. Записать результат измерения и округлить его. 6. Свести результаты обработки эксперимента в табл. 3.1. Таблица 3.1 x i θ x = y i θ y = x↑ i x = , R x =x↑ N – x↑ 1 = x i+1 – x i U P, N R x = ∆ x i = x i – x Σ∆ x i = 0 (∆ x i ) 2 Σ(∆ x i ) 2 = 39 Окончание табл. 3.1 2 ( ) ( 1) x i S x N N = ∆ − ∑ = , , = P N x x t S ∆ = , 2 2 + x x x ∆ = ∆ θ = , , %, x x x P N = ± ∆ = = = y↑ i y = , R y =y↑ N – y↑ 1 = y i+1 – y i U P, N R y = ∆ y i = y i – y Σ∆ y i =0 (∆ y i ) 2 Σ(∆ y i ) 2 = 2 ( ) ( 1) y i S y N N = ∆ − ∑ = , , = P N y y t S ∆ = , 2 2 + y y y ∆ = ∆ θ = , , %, y y y P N = ± ∆ = = = ( , ) f f x y = = , ( ) ( ) ( ) 2 2 2 x y z f a x a y a z ∆ = ∆ + ∆ + ∆ = f f f = ± ∆ = , %, P N = = В качестве примера обработки данных косвенных измерений методом переноса погрешностей рассмотрим эксперимент по определению ускорения свободного падения g по 5 измерениям периода колебания математического маятника 2 T l g = π и его длины l. Выражая g через период колебаний и длину , получим : 2 2 4 g l T = π Результаты расчетов будут иметь вид табл . 3.2. Таблица 3.2 l i , м 0.782 0.810 0.795 0.801 0.787 θ l = 5 10 –4 м Т i , с 1.776 1.798 1.789 1.794 1.780 θ T = 10 –4 c l↑ i 0.782 0.787 0.795 0.801 0.810 R l = l↑ N – l↑ 1 = 0.028, l = 0.795 l i+1 –l i 0.005 0.008 0.006 0.009 U P, N R l = = 0.64 0.028 = 0.018 ∆ l i = l i – l –0.013 0.015 0 0.006 –0.008 Σ∆ l i = 0 (∆ l i ) 2 169·10 –6 225·10 –6 0 36·10 –6 64·10 –6 Σ(∆ l i ) 2 = 494·10 –6 2 ( ) ( 1) i l S l N N = ∆ − ∑ = 0.00497, , = P N l l t S ∆ = 0.013915 , 2 2 + l l l ∆ = ∆ θ = 0.013925, l l l = ± ∆ = 0.795 ± 0.014 м , 95 %, 5 P N = = T↑ i 1.776 1.780 1.789 1.794 1.798 R T =T↑ N –T↑ 1 =0.022, T =1.7874 T i+1 –T i 0.004 0.009 0.005 0.004 U P, N R T =0.0141 40 Окончание табл. 3.2 ∆ T i = T i –T –0.0114 0.0106 0.0016 0.0066 –0.0074 Σ∆ T i =0 (∆ T i ) 2 1.300·10 –4 1.124·10 –4 2.56·10 –6 4.356·10 –5 5.476·10 –5 Σ(∆ T i ) 2 =3.432·10 –4 2 ( ) ( 1) i T S T N N = ∆ − ∑ = 0.004142, , = P N T T t S ∆ = 0.011516, 2 2 + T T T ∆ = ∆ θ = 0.011517, T T T = ± ∆ = 1.787 ± 0.012 c , 95 %, 5 P N = = ( , ) g g l T = 2 2 4 T l π = = 9.82388. Для определения погрешности используем метод полного дифференциала. 2 2 4 l dg a dl T π = = , 2 3 4 2 T dg l a dT T π = = − ; ( ) ( ) 2 2 l T g a l a T ∆ = ∆ + ∆ = 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 4 8 4 2 l l l T l T l T T T T π π π ∆ ∆ ∆ + ∆ = + = 0.2136, 2 9.8 0.2 м / с , 95 %, 5 g P N = ± = = |