Погрешность. ЛЭТИ. СанктПетербургский государственный электротехнический университет
 Скачать 0.7 Mb.
|
|
5. ПРАВИЛА ОФОРМЛЕНИЯ ГРАФИКОВ Диаграммы и графики являются наиболее удобным средством передачи информации о зависимости физических величин друг от друга. Для удобства чтения и восприятия графики оформляются согласно общепринятым единым правилам, основные моменты которых изложены далее. 1. Графики строят на миллиметровой или белой бумаге с применением чертежных инструментов. Миллиметровая бумага бывает трех типов: с рав- номерным масштабом по обеим осям, реже используется бумага с логариф- мическим масштабом по одной оси и равномерным по другой, а также бумага с логарифмическим масштабом по обеим осям. При построении численных зависимостей на белой бумаге необходимо вычерчивание координатной сет- ки. Толщина координатных осей 0.8…1 мм, толщина линий сетки 0.3…0.5 мм. Кривые изображаются линиями толщиной 1 мм. 2. Если график информирует читателя только о качественном характе- ре зависимости физической величины от параметра, то его координатные оси заканчиваются стрелками (рис. 5.1), никаких числовых значений вдоль осей не наносят. Координатная сетка на поле графика не строится. 3. Если при описании зависимости требуется указывать числовые значения величин по осям, то оси изображают без стрелок, а на поле графика вычерчивается координатная сетка. Вдоль координатных осей строятся шкалы, на которых указы- вают цифровые значения величин. Число- вые масштабы шкал выбирают в виде равноотстоящих друг от друга чисел, оканчивающихся на последовательности 0, 1, 2, 3, 4, …; 0, 2, 4, 6, 8, …; 0, 5, 10, 15, 20, …; 0, 25, 50, 75, 100, …. Например, это может быть последовательность 3.72, 3.74, 3.76, 3.78, 3.80, …. Масштабы по разным осям могут быть различны. 4. Вместе со значениями масштаба величины на шкале указывается ее обозначение и единица измерения (рис. 5.2). Числовые значения на шкале должны находиться на достаточно большом расстоянии друг от друга, чтобы не сливаться в одну сплошную линию. Общий порядковый числовой множи- r λ, T λ λ m1 λ m2 λ m3 T 1 > T 2 T 2 > T 3 T 3 0 Рис. 5.1. Зависимость спектральной лучеиспускательной способности от длины волны 55 тель для значений шкалы обычно выносится в обозначение величины либо учитывается при выборе единиц измерения. При выносе числового множите- ля произведение буквенного обозначения величины на множитель 10 ± n оз- начает, что фактическое значение величины будет равно числовому значе- нию на шкалах осей координат, деленному на этот сомножитель. 5. Поле графика должно использоваться максимально полно, поэтому шкалы вдоль координатных осей могут начинаться не с нуля, а с тех значе- ний, для которых строится график (рис. 5.2). Если обе шкалы начинаются с нуля, то в начале координат ставится один общий нуль. Все точки кривых на графике должны находиться напротив оцифрованных участков координат- ных осей и не выходить за пределы поля графика. 6. Экспериментальные точки изображаются на графике в виде круж- ков, крестиков, треугольников и т. п. (рис. 5.3). Экспериментальные значения на оси не выносятся, за исключением, при необходимости, экстремальных и асимптотических значений величин. Зависимости изображаются плавными кривыми, около которых расположены экспериментальные точки. Расшиф- ровка используемых значков располагается под графиком или сбоку от него. Размер значков 1.5…2 мм. 7. Как правило, на одном поле вычерчивается несколько однотипных кривых, отличающихся друг от друга параметрами, условиями эксперимента и т. п. Для пояснения отличий кривых указываются значения различающихся параметров кривых. Эти значения следует располагать вдоль одной линии. В Рис. 5.2. Температурная зависимость параметра α α 10 5 − ⋅ 11 10 9 0 200 400 T , 0 C 12 t , ºС 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0 2 4 6 8 10 12 14 16 1.8 1.3 α = 1.1 I , мA U , B Рис. 5.3. Вольт-амперные характеристики диодов: ◊ – германий, □ – легированный кремний, ○ – арсенид галлия 56 местах расположения указанных значений, значков и других надписей коор- динатная сетка разрывается. Вокруг надписи оставляется небольшое свобод- ное пространство для облегчения чтения. По возможности следует избегать надписей на поле графика. Если же этого сделать не удается, то надписи должны быть максимально краткими (рис. 5.3). 8. Иногда на одном графике необходимо изобразить зависимости для двух разнородных величин, шкалы которых различны. Эти шкалы строятся по разные стороны координатных осей или по разные стороны поля графика (рис. 5.4). В местах расположения числовых значений шкалы, находящейся справа от оси ординат или выше оси абсцисс, линии координатной сетки прерываются. 9. При необходимости отображения погрешностей на графике через экспериментальную точку проводят один или два отрезка, параллельные осям абсцисс и ординат. Центры отрезков приходятся на экспериментальную точку, а их длины равны удвоенным погрешностям величин, откладываемым по параллельным осям (рис. 5.5). 10. Каждый рисунок нумеруют, дают ему название, отражающее со- держание построенной зависимости. Для сокращения обозначений на рисун- ке используют цифры или латинские буквы, а пояснения к ним выносят в подрисуночную подпись. Рис. 5.5. Зависимость степени поляризации света от длины волны Рис. 5.4. Зависимость мощности и КПД от сопротивления нагрузки j 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 λ нм , 450 500 550 600 P λ, нм 0 5 10 15 20 25 30 35 40 0 2 4 6 8 10 12 14 16 η 0.3 0.2 0.1 P , Вт Р η 0 0 R e , Ом 57 6. КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ 6.1. Прямые измерения Найдите результат измерения по следующим выборкам объема N = 5 (табл. 6.1). Таблица 6.1 № 1 2 3 4 5 θ x 1 1.343 1.355 1.337 1.342 1.353 0.004 2 2.675 2.681 2.671 2.687 2.670 0.005 3 34.83 34.86 34.88 34.89 34.89 0.05 4 5.270 5.276 5.271 5.258 5.266 0.008 5 2.831 2.833 2.823 2.836 2.839 0.006 6 10.292 10.284 10.269 10.352 10.160 0.08 7 1.516 1.515 1.518 1.514 1.524 0.005 8 3.685 3.667 3.669 3.663 3.661 0.05 9 4.257 4.244 4.251 4.246 4.255 0.006 10 6.726 6.731 6.722 6.734 6.732 0.005 11 7.135 7.148 7.142 7.144 7.141 0.008 12 26.0 25.6 25.7 25.9 25.8 0.5 13 15.8 15.7 15.9 16.0 16.1 0.2 14 6.9 6.8 7.0 6.9 7.2 0.2 15 10.3 11.1 11.8 10.7 10.8 0.5 16 78.5 78.2 78.9 78.0 78.4 0.4 17 25.3 25.4 25.7 25.1 25.5 0.6 18 13.1 12.8 11.9 12.4 13.5 0.5 19 924 912 916 922 918 2 20 305.1 306.9 305.2 304.6 305.3 0.5 21 73.2 73.1 72.9 73.5 73.4 0.5 22 6.23 6.31 6.20 6.22 6.26 0.05 23 12.26 12.27 12.32 12.24 12.34 0.05 24 2.55 2.56 2.62 2.52 2.60 0.04 25 68.80 68.84 68.78 68.79 68.88 0.04 26 123.20 123.59 123.27 123.00 123.83 0.5 27 8.22 8.16 8.17 8.18 8.23 0.05 28 32.6 32.0 32.2 32.9 32.4 0.4 29 4.78 4.83 4.80 4.85 4.79 0.06 30 7.66 7.62 7.61 7.58 7.59 0.05 58 6.2. Косвенные измерения Найдите результат косвенных измерений по следующим выборкам объема N = 5 (табл. 6.2). Таблица 6.2 № x , y 1 2 3 4 5 θ x , θ y f (x, y) 1 x y 4.384 1.273 4.382 1.271 4.385 1.275 4.383 1.272 4.381 1.276 0.002 0.001 2 7 3 x y 2 x y 0.10 25.55 0.20 9.04 0.30 4.91 0.40 3.19 0.50 2.29 0.01 0.02 3 2 8x y 3 x y 1.732 6.282 1.729 6.284 1.735 6.281 1.731 6.280 1.733 6.283 0.004 0.002 5 sin 2 y x 4 x y 2.93 1.55 2.91 1.53 2.95 1.57 2.90 1.54 2.92 1.56 0.02 0.01 2 3 3 4 x y + 5 x y 4.42 3.26 4.39 3.28 4.37 3.225 4.40 3.24 4.41 3.27 0.04 0.02 2 2 2 5 x y + 6 x y 7.39 2.63 7.35 2.65 7.37 2.59 7.36 2.61 7.38 2.64 0.01 0.02 2 2 3 4 x y − 7 x y 5.20 0.47 5.60 0.52 6.00 0.56 6.40 0.60 6.80 0.63 0.02 0.01 5 3 6 x y 8 x y 2.20 22.30 2.60 8.67 3.00 6.05 3.40 4.85 3.80 4.23 0.02 0.04 ( ) 4 x y xy + 9 x y 1.434 0.375 1.432 0.373 1.435 0.371 1.438 0.376 1.433 0.372 0.002 0.002 ( ) ( ) sin 2 sin 2 x y x + 10 x y 1.20 0.852 1.60 0.738 2.00 0.670 2.40 0.637 2.80 0.609 0.04 0.002 3xy x y + 11 x y 0.722 0.345 0.725 0.347 0.721 0.348 0.726 0.344 0.723 0.345 0.002 0.004 2 sin sin x y 12 x y 0.60 0.215 1.00 0.359 1.40 0.502 1.80 0.646 2.20 0.789 0.02 0.002 2 1 x y + 13 x y 3.42 2.27 3.45 2.31 3.41 2.29 3.44 2.26 3.34 2.28 0.01 0.02 2 2 2 x y y + 14 x y 1.40 2.884 1.80 2.644 2.20 2.296 2.60 2.289 2.80 2.347 0.04 0.002 3 2 y x − 15 x y 1.43 2.63 1.42 2.61 1.41 2.65 1.42 2.62 1.44 2.64 0.01 0.02 2 3 y x e − 16 x y 3.624 0.58 3.632 0.55 3.628 0.53 3.625 0.56 3.630 0.54 0.005 0.02 2 sin 4 x e y − 59 Окончание табл. 6.2 № x, y 1 2 3 4 5 θ x , θ y f (x, y) 17 x y 7.84 2.23 7.79 2.25 7.82 2.27 7.80 2.24 7.85 2.26 0.02 0.02 2 2 1 x y + 18 x y 1.178 4.33 1.184 4.35 1.179 4.31 1.182 4.36 1.180 4.34 0.004 0.02 3ln 4 ln x y + 19 x y 10.21 2.55 10.24 2.51 10.19 2.53 10.20 2.52 10.23 2.54 0.04 0.04 2 3 x y y x + 20 x y 2.00 3.70 2.20 3.35 2.40 3.10 2.60 2.95 2.80 2.60 0.02 0.04 ( ) 3ln xy 21 x y 4.20 2.40 4.60 2.70 5.00 2.90 5.40 3.10 5.80 3.35 0.05 0.04 2 2 2 2 x y x y − + 22 x y 1.54 2.845 1.53 2.852 1.52 2.848 1.55 2.854 1.56 2.847 0.02 0.005 2 2 2 sin x x y + 23 x y 3.27 2.43 3.30 2.46 3.32 2.41 3.29 2.47 3.35 2.42 0.02 0.02 2 2 2xy x y + 24 x y 2.58 1.32 2.61 1.35 2.63 1.30 2.60 1.34 2.59 1.31 0.02 0.04 3 sin x xy y 25 x y 3.171 2.95 3.168 2.92 3.165 2.96 3.172 2.97 3.166 2.93 0.002 0.04 2sin 3cos x y y x + 26 x y 0.536 8.57 0.539 8.60 0.540 8.55 0.538 8.54 0.541 8.59 0.005 0.02 2 2 sin 3 x xy 27 x y 5.27 2.215 5.30 2.213 5.33 2.216 5.29 2.214 5.31 2.217 0.02 0.005 3 ln x xy y 28 x y 1.62 2.73 1.65 2.71 1.63 2.75 1.66 2.76 1.64 2.74 0.02 0.02 2 ln 6 5 ln 4 x y 29 x y 2.84 0.541 2.88 0.539 2.87 0.544 2.83 0.542 2.85 0.540 0.04 0.005 2 2 4 cos 2 xy x y 30 x y 5.54 1.38 5.56 1.34 5.58 1.36 5.55 1.35 5.53 1.33 0.02 0.02 ( ) 2 1 y x e − − 60 6.3. Совместные измерения Найдите по МНК коэффициент a в уравнении у = ax и коэффициенты а и b в уравнении y = ax + b по известным значениям координат (x i , y i ) . Значения координаты x i приведены в первой строке таблицы и предполагаются для всех наборов y одинаковыми. Первая строка у i в каждом варианте описывает- ся уравнением у = aх, вторая – уравнением у = ax + b. Приборные погрешно- сти θ x = 0.05, θ y = 0.005. Постройте экспериментальные точки и рассчитанную регрессионную прямую на одном графике. Таблица 6.3 № x i 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 Уравнение Приближенный ответ 1 y i 3.45 7.03 10.48 13.75 17.52 у = aх у = 3.5х 2 y i 5.53 8.04 10.47 13.04 15.49 у = aх + b у = 2.5х + 3 3 y i 4.97 9.95 14.98 20.06 25.02 у = aх y = 5x 4 y i 6.94 9.03 10.96 12.95 15.04 у = aх + b y = 2x + 5 5 y i 3.96 8.02 12.10 15.97 19.95 у = aх y = 4x 6 y i 5.95 11.04 15.96 21.10 26.03 у = aх + b y = 5x + 1 7 y i –2.05 –3.97 –6.03 –7.96 –10.08 у = aх y = –2x 8 y i 9.91 13.08 16.05 18.92 22.05 у = aх + b y = 3x + 7 9 y i 5.93 12.05 18.08 23.90 30.07 у = aх y = 6x 10 y i 6.58 10.03 13.46 17.10 20.44 у = aх + b y = 3.5x + 3 11 y i –2.58 –4.89 –7.57 –9.93 –12.05 у = aх y = –2.5x 12 y i 6.54 7.92 9.60 11.08 12.43 у = aх + b y = 1.5x + 5 13 y i –1.03 –1.92 –3.08 –4.05 –4.96 у = aх y = –x 14 y i 4.91 7.04 9.10 11.09 12.92 у = aх + b y = 2x + 3 15 y i 1.55 2.93 4.60 6.07 7.43 у = aх y = 1.5x 16 y i 4.93 8.06 10.89 14.02 16.99 у = aх + b y = 3x + 2 17 y i 0.53 0.92 1.54 2.03 2.46 у = aх y = 0.5x 18 y i 3.94 5.02 6.08 6.92 8.08 у = aх + b y = x + 3 19 y i 0.92 2.05 2.97 4.04 5.09 у = aх y = x 20 y i –2.91 –0.96 1.01 3.06 4.95 у = aх + b y = 2x – 5 21 y i 1.97 4.08 5.93 8.07 9.06 у = aх y = 2x 22 y i 0.94 4.07 6.91 10.06 12.90 у = aх + b y = 3x – 2 23 y i –2.95 –6.03 –8.92 –12.09 –14.92 у = aх y = –3x 24 y i –0.93 3.08 6.95 11.01 14.97 у = aх + b y = 4x – 5 25 y i 2.46 5.09 7.58 9.92 12.54 у = aх y = 2.5x 61 Окончание табл. 6.3 № x i 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 Уравнение Приближенный ответ 26 y i –1.01 –0.04 0.96 2.05 2.93 у = aх + b y = x – 2 27 y i –0.45 –1.04 –1.48 –2.07 –2.46 у = aх y = –0.5x 28 y i –2.03 –0.93 0.05 0.93 2.09 у = aх + b y = x – 3 29 y i –1.54 –2.96 –4.49 –5.98 –7.52 у = aх y = –1.5x 30 y i –2.08 0.04 1.93 3.95 6.09 у = aх + b y = 2x – 4 62 ПРИЛОЖЕНИЕ Значения коэффициентов Стьюдента t P, N в зависимости от числа на- блюдений N при доверительной вероятности Р = 95 %: N 2 3 4 5 6 7 8 9 10 100 t P, N 12.7 4.3 3.2 2.8 2.6 2.5 2.4 2.3 2.3 2.0 Коэффициенты β P, N для расчета доверительной погрешности по разма- ху выборки ∆ x = β P, N R для числа наблюдений N доверительной вероятности Р = 95 %: N 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 β P, N 1.30 0.72 0.51 0.40 0.33 0.29 0.25 0.23 0.21 0.19 Коэффициенты u P, N для проверки результатов наблюдений на наличие грубых погрешностей в зависимости от объема выборки N для доверительной вероятности Р = 95 %: N 3 4 5 7 10 15 20 30 100 u P, N 0.94 0.76 0.64 0.51 0.41 0.34 0.30 0.26 0.20 Коэффициенты v P, N для проверки элементов выборки на наличие гру- бых погрешностей в зависимости от объёма выборки N при доверительной вероятности Р = 95 %: N 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 v P, N 1.15 1.46 1.67 1.82 1.94 2.03 2.11 2.18 2.23 2.29 Производные элементарных функций: Функция Производная Функция Производная x n nx n– 1 tg x 1 / cos 2 x e ax ae ax ctg x –1 / sin 2 x a x a x ln a ( u + v ) ′ u ′ + v ′ ln x 1 / x ( uv ) ′ u ′ v + uv ′ sin x cos x ( u / v ) ′ ( u ′ v – uv ′ ) / v 2 cos x – sin x f = f ( u ( x ) ) f ′ x = f ′ u u ′ x 63 Содержание 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ. ТЕРМИНЫ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ .......................... 3 1.1. Измерение. Классификация измерений ..................................................... 3 1.2. Классификация погрешностей измерения ................................................. 5 2. ОБРАБОТКА ДАННЫХ ПРЯМЫХ ИЗМЕРЕНИЙ ........................................ 8 2.1. Случайное событие. Вероятность .............................................................. 8 2.2. Случайная величина. Генеральная совокупность и выборка ................ 11 2.3. Гистограмма. Эмпирическое распределение результатов наблюдений ................................................................................................................. 12 2.4. Результат измерения. Доверительный интервал ..................................... 15 2.5. Нормальное или гауссовское распределение .......................................... 16 2.6. Выборочные дисперсия и среднеквадратичное отклонение ................ 18 2.7. Выявление грубых погрешностей ............................................................ 21 2.8. Систематическая погрешность. Класс точности прибора. Расчет границы полосы погрешностей .................................................................... 22 2.9. Сложение случайной и систематической погрешностей. Полная погрешность измерения ............................................................................... 25 2.10. Запись и округление результата измерения .......................................... 27 2.11. Алгоритм обработки данных прямых измерений по выборке ........... 28 2.12. Контрольные вопросы ............................................................................. 29 3. ПОГРЕШНОСТИ КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ .......................................... 30 3.1. Метод переноса погрешностей ................................................................. 30 3.2. Выборочный метод .................................................................................... 35 3.3. Алгоритм обработки данных косвенных измерений методом переноса погрешностей ............................................................................................. 38 3.4. Алгоритм обработки данных косвенных измерений выборочным методом ................................................................................................ 40 3.5. Контрольные вопросы ............................................................................... 42 4. СОВМЕСТНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ ....................................................................... 43 4.1. Задача регрессии и метод наименьших квадратов ................................. 43 4.2. Случай линейной зависимости двух величин ......................................... 46 4.3. Нахождение коэффициентов в уравнении прямой у = ax + b ................ 47 4.4. Нахождение коэффициента в уравнении прямой у = ax ........................ 49 4.5. Алгоритм обработки данных по МНК для уравнения y = ax + b на примере определения параметров равноускоренного движения ..................... 50 4.6. Алгоритм обработки данных по МНК для уравнения y = ax на примере определения ускорения свободного падения ...................................... 51 4.7. Контрольные вопросы ............................................................................... 53 5. ПРАВИЛА ОФОРМЛЕНИЯ ГРАФИКОВ ..................................................... 54 6. КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ ........................................................................... 57 6.1. Прямые измерения ..................................................................................... 57 6.2. Косвенные измерения ................................................................................ 58 6.3. Совместные измерения .............................................................................. 60 Приложение ........................................................................................................... 62 64 Морозов Вениамин Васильевич Соботковский Борис Евгеньевич Шейнман Илья Львович Обработка результатов эксперимента Учебное пособие Редактор И. Г. Скачек _________________________________________________________________ Подписано в печать Формат 60 × 84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Печ. л. 4.0. Тираж 1550 экз. Заказ _________________________________________________________________ Издательство СПбГЭТУ «ЛЭТИ» 197376, С.-Петербург, ул. Проф. Попова, 5 |