Погрешность. ЛЭТИ. СанктПетербургский государственный электротехнический университет
 Скачать 0.7 Mb.
|
|
2.6. Выборочные дисперсия и среднеквадратичное отклонение В реальном эксперименте имеет место выборка конечного объема , а не генеральная совокупность , подчиняющаяся нормальному закону Поэтому чтобы воспользоваться формулой (2.12) для определения случайной довери - тельной погрешности результата измерения , необходимо найти оценку пара - метра x σ и новые коэффициенты t P, N ( которые в этом случае будут зависеть от количества измерений N), соответствующие выборке конечного объема Таким наилучшим приближением , или оценкой стандартного отклоне - ния x σ , согласно (2.3) является величина ( ) 2 1 ( ) 1 N x i i S x x N = = − − ∑ , (2.13) называемая выборочным среднеквадратичным отклонением ( СКО x) резуль - тата наблюдения от среднего Квадрат СКО 2 x S называют выборочной дис - персией результата наблюдения . 19 Для нахождения оценки параметра x σ рассмотрим случайную величи - ну Z, представляющую собой сумму случайных величин X и У Тогда среднее значение Z имеет вид 1 1 1 1 ( ) , N N i i i i i z z x y x y N N = = = = + = + ∑ ∑ а выборочная дисперсия 2 2 2 1 1 1 1 ( ) [( ) ( )] 1 1 N N z i i i i i S z z x x y y N N = = = − = − + − − − ∑ ∑ может быть представлена в виде 2 2 2 1 1 1 1 ( ) ( ) 2 ( )( ) . 1 N N N z i i i i i i i S x x y y x x y y N = = = = − + − + − − − ∑ ∑ ∑ Если X и Y независимы друг от друга, то их отклонения от средних значений ( ) i x x − и ( ) i y y − также независимы. Учитывая, что среднее значе- ние произведения независимых случайных величин равно произведению средних значений сомножителей, получим, что последняя сумма равна нулю, и S z 2 = S x 2 + S y 2 , т. е. дисперсии независимых случайных величин складыва- ются линейно, а выборочные среднеквадратичные отклонения складываются квадратично. Если Z = аХ + bY, то, повторив рассуждения, получим S z 2 = aS x 2 + bS y 2 В случае суммы более двух случайных величин Z = a 1 X 1 +a 2 X 2 +…+a N X N = 1 N i i i a x = ∑ , 2 2 2 1 N z i xi i S a S = = ∑ (2.14) Для нахождения погрешности результата измерения представляет ин- терес не СКО результата отдельного наблюдения x S , а СКО среднего значе- ния x S . Взаимосвязь между параметрами x S и x S можно найти, если учесть, что среднее значение есть сумма N независимых случайных величин, диспер- сии которых одинаковы 1 2 1 1 1 1 i N x x x x x N N N N = = + + + ∑ 20 Тогда, используя формулу (2.14), в которой а i = 1/N, с учетом 2 2 xi x S S = получим для дисперсии параметра x : 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ( ) N x x x x x x NS S S S S S N N N = + + + = = Отсюда следует, что СКО x ( ) 2 1 ( ) 1 N i x i x x x S S N N N = − = = − ∑ (2.15) Параметр x S , называемый выборочным среднеквадратичным отклонением среднего ( СКО x ), является наилучшим приближением к параметру x x N σ = σ Если СКО x найдено согласно (2.15), то , как было впервые предсказа - но английским математиком В С Госсетом , писавшим свои работы под псевдонимом Стьюдент , и впоследствии доказано Р А Фишером , новая стандартизованная переменная ( ) 0 x u x x S = − имеет функцию плотности распределения вероятности ( , ) f u N , зависящую от объема выборки N. Веро - ятность того , что величина u попадет в заданный интервал ( , , ; P N P N t t − ), бу - дет , , , , ( ) ( , ) P N P N t P N P N t P t u t f u N du − − < < = ∫ , откуда случайную доверительную погрешность результата измерения необ - ходимо рассчитывать по формуле , P N x x t S ∆ = , с вероятностью P, где , P N t – коэффициенты Стьюдента , зависящие от доверительной вероятно - сти P и объема выборки N, по которой рассчитываются x и x S . При больших значениях N → ∞ ( на практике при N ≥ 20) параметры x и x S , рассчитывае - мые по выборке конечного объема , переходят в параметры 0 x и x σ нормаль - ного распределения , а коэффициенты Стьюдента t P, N – в коэффициенты t P для нормального закона 21 Для проверочной оценки случайной доверительной погрешности ре - зультата измерения её расчет можно также производить по формуле ∆ x = β P, N R, где R = x max – x min – размах выборки Значения коэффициентов t P, N и β P, N для данных значений дове - рительной вероятности ( по договоренности в технике берут значение Р = 95 %) и числа N наблюдений в выборке приведены в приложении В ма - тематических справочниках , как правило , коэффициенты Стьюдента приво - дят в таблицах в виде , P t ν , где ν = N – 1 называется числом степеней свобо - ды выборки объема N. Необходимо отметить , что при расчетах доверительной погрешности по Стьюденту результаты наблюдений должны принадлежать генеральной совокупности , распределенной по нормальному закону , что может быть про - верено с помощью специальных статистических критериев Для выполнимо - сти этой процедуры выборка должна быть достаточно представительной ( от 50 наблюдений и больше ). Выборки малых объёмов (N << 15), которые име - ют место в работах лабораторного физического практикума , на принадлеж - ность нормальному распределению не проверяют 2.7. Выявление грубых погрешностей Среди результатов наблюдений в выборке значений измеряемой вели - чины могут оказаться такие , которые сильно отличаются от остальных : это либо промахи , либо результаты , содержащие грубые погрешности Промахи ( описки и т п .) устраняют из таблицы наблюдений , не прибе - гая к каким - либо процедурам проверки , руководствуясь лишь здравым смыс - лом Для выявления результатов , содержащих грубые погрешности , сущест - вуют различные статистические методы ( критерии ), в основе которых , как правило , лежит предположение о том , что результаты наблюдений принад - лежат генеральной совокупности , элементы которой распределены по нор - мальному закону 1. Рассмотрим сначала критерий , позволяющий по относительному расстоянию между крайним и ближайшим к нему соседним элементом упо - рядоченной выборки (x 1 = x min ≤ x 2 ≤ … ≤ x N = x max ) заключить , содержит ли крайний элемент выборки грубую погрешность или нет Критерий основыва - ется на анализе отношения 1 i i i u x x R + = − , где величина R = x max – x min – 22 размах выборки Если u i > u P, N при i = 1 или i = N – 1, где u P, N – коэф - фициент , зависящий от доверительной вероятности Р и числа наблюдений N в выборке ( см приложение ), то x min или x max представляет собой элемент вы - борки , содержащий грубую погрешность , и должен быть удален из таблицы результатов наблюдений Если x N = x max или x 1 = x min не содержит грубой погрешности , то про - верку на наличие в выборке элементов , содержащих грубую погрешность , прекращают В противном случае проверку повторяют , сопоставляя элемент x N–1 с x N–2 и , если нужно , x 2 с x 3 , и т д В некоторых случаях выборка распадается на две или более отдельно отстоящие друг от друга подвыборки , т е не является связной Такая ситуа - ция может возникнуть , когда в процессе эксперимента скачкообразно изме - нились его условия , была сбита настройка аппаратуры , были выключены и повторно включены некоторые приборы и т п Критерий сопоставления со - седних элементов упорядоченной выборки друг с другом можно использо - вать для проверки выборки на связность , проверяя условия u i > u P, N при i = 2, …, N – 2. Если выборка не является связной , эксперимент нужно повторить 2. Другой критерий основывается на анализе отклонения наиболее от - стоящего результата наблюдения x 1 от среднего значения x . Так , если v = |x 1 – x |/S x > v P, N , где S x – СКО результата измерения ; v P, N – коэффициен - ты , приведенные в приложении , то считается , что x 1 содержит грубую по - грешность и его необходимо исключить из выборки 2.8. Систематическая погрешность. Класс точности прибора. Расчет границы полосы погрешностей До сих пор в рассмотрении предполагалось , что результаты наблюде - ний не содержат систематических погрешностей Тем не менее , этот вид пог - решностей всегда присутствует в эксперименте Инструментальными ( приборными , аппаратурными ) погрешностями средств измерений называют такие , которые принадлежат данному средству измерений ( СИ ), определены при его испытаниях и занесены в его паспорт Теоретически погрешность СИ есть разница между значением ве - личины , полученным при помощи этого средства , и истинным значением 23 Вместо неизвестного истинного значения на практике обычно используется действительное значение , полученное при помощи более точного СИ По уровню точности СИ делят на рабочие ( серийные ), образцовые и эталонные Для рабочего СИ более точным является образцовое , а для образцового – эталонное Инструментальные погрешности делят на основные и дополнительные Основная погрешность – это погрешность СИ в нормальных условиях его применения , а дополнительная – в условиях , отличных от нормальных Нор - мальные условия ( температура , влажность , частота и напряжение питающей сети , положение прибора и др .) оговариваются в паспорте СИ и в инструкции по эксплуатации Обычно нормальными считаются : температура (293 ± 5) К ; атмосферное давление (100 ± 4) кПа ; влажность (65 ± 15) %; напряжение сети питания 220 В ± 10 %. Приборная погрешность зависит от условий и длительности эксплуата - ции СИ , и её значение в каждом данном измерении неизвестно , поэтому на практике обычно указывают интервал (– θ x , θ x ) возможных значений погреш - ности прибора или полосу погрешностей , которую определяют эксперимен - тально не для данного прибора , а для партии приборов данной серии Грани - цу θ x полосы погрешностей прибора называют нормированным значением приборной погрешности или пределом допускаемой погрешности данного СИ Измерительные приборы делят по точности на классы Точность СИ – характеристика , отражающая близость его погрешности к нулю Чем меньше погрешность , тем точнее СИ Класс точности – характеристика СИ , выраженная пределами его ос - новной и дополнительной погрешностей , а также другими характеристиками , влияющими на точность Класс точности указывается на шкале прибора Его обозначение зависит от способа нормирования основной допускаемой по - грешности прибора и обозначается числом из следующего ряда : 1·10 n ; 1.5·10 n ; 2·10 n ; 2.5·10 n ; 4·10 n ; 5·10 n , где n = 0, ±1, ±2, …. Обозначение имеет вид либо числа , заключенного в кружок , либо просто числа , либо двух чисел , разделенных косой чертой Остановимся на этих случаях 1. Класс точности , указанный в виде числа , заключенного в кружок , обозначает максимальную относительную погрешность результата измере - γ 24 ния , выраженную в процентах ( δθ x = γ ). Абсолютная погрешность в этом слу - чае θ x = γ x/100, где x – отсчет физической величины по шкале прибора 2. Если класс точности γ указан просто числом , то он равен максималь - ной погрешности прибора ( границе погрешности ), выраженной в процентах от максимального показания К шкалы прибора , по которой производится от - счет В этом случае θ x = γК /100, δθ x = θ x /x = γК /x. Если нулевая отметка находится на краю шкалы или выходит за её пределы , то нормирующее значение К принимается равным верхнему преде - лу диапазона измерений Так , если амперметр имеет шкалу от 0 до 60 А или от 30 до 60 А , то К = 60 А Если прибор имеет нулевую отметку не в начале , а в другой точке шкалы , то K равно полной протяженности шкалы , т е сумме модулей отрицательного и положительного пределов измерений Например , для амперметра со шкалой от –30 до +60 А , К = 60 + 30 − = 90 А 3. Класс точности может быть задан в виде γ н / γ к , где γ н и γ к – приведен - ные погрешности прибора в начале и в конце шкалы , выраженные в процен - тах В этом случае δθ x = γ н + γ к ( К /x – 1) , θ x = δθ x x/100, где К – предел измерений ; x – отсчет по шкале прибора 4. Если класс точности аналогового ( стрелочного ) прибора не указан , то его максимальная погрешность θ x принимается равной половине цены де - ления шкалы прибора Обычно цена наименьшего деления такого прибора согласована с погрешностью самого прибора Поэтому попытка считывания со шкалы долей минимального деления нецелесообразна и не приводит к уменьшению приборной погрешности 5. Для цифрового измерительного прибора при неизвестном классе точности или паспортной формуле для расчета погрешности за оценку мак - симальной погрешности θ x принимают единицу наименьшего разряда цифро - вого индикатора при однократном отсчете или единицу последнего стабиль - но горящего ( немигающего ) разряда при непрерывно проводимых измерени - ях |