Погрешность. ЛЭТИ. СанктПетербургский государственный электротехнический университет
 Скачать 0.7 Mb.
|
|
3.4. Алгоритм обработки данных косвенных измерений выборочным методом Выборочный метод применяется в том случае , если совместно изме - ренные значения аргументов функции x i , y i и z i не образуют выборок , но можно создать выборку значений функции { f i }. 1. По каждому набору совместно измеренных значений аргументов рассчитать значения функции f i = f ( x i , y i , z i ) . 2. Обработать полученную выборку { f i } согласно алгоритму обработки данных прямых измерений , находя среднее значение f и случайную по - грешность f ∆ функции 3. Вывести выражения для частных производных от функции ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) , ( , , ) , ( , , ) x y z df x y z df x y z df x y z a x y z a x y z a x y z dx dy dz = = = или для легко логарифмируемой функции f – от ее логарифма ln ( , , ) ln ( , , ) ln ( , , ) ( , , ) , ( , , ) , ( , , ) x y z d f x y z d f x y z d f x y z b x y z b x y z b x y z dx dy dz = = = 4. По каждому набору совместно измеренных значений аргументов и их приборных погрешностей рассчитать приборную погрешность функции 41 ( , , ) ( , , ) ( , , ) i f x i i i xi y i i i yi z i i i zi a x y z a x y z a x y z θ = θ + θ + θ , предполагается , что приборные погрешности измеряемых величин могут быть разными в разных опытах или , если f имеет удобный для логарифмиро - вания вид , по эквивалентной формуле ( ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) i f i x i i i xi y i i i yi z i i i zi f b x y z b x y z b x y z θ = θ + θ + θ , где i f – соответствующее данному набору аргументов значение функции ( не путать со строкой таблицы упорядоченных по возрастанию значений f ↑ i ). 5. Если приборные погрешности аргументов одинаковы во всех опытах или при нахождении максимальных по всей серии опытов значений прибор - ных погрешностей max x xi θ = θ , max y yi θ = θ , max z zi θ = θ , для определения приборной погрешности величины f можно использовать выражение x y z f x y z a a a θ = θ + θ + θ , где 1 ( , , ) x x i i i a a x y z N = ∑ , 1 ( , , ) y y i i i a a x y z N = ∑ , 1 ( , , ) z z i i i a a x y z N = ∑ 6. Вычислить среднюю приборную погрешность функции 1 1 i N f f i N = θ = θ ∑ 7. Вычислить полную погрешность функции f f f ∆ = ∆ + θ 8. Записать результат измерения и округлить его 9. Свести результаты обработки эксперимента в табл . 3.3. Таблица 3.3 x i θ xi θ x = max θ xi = y i θ yi θ y = max θ yi = f i f = f↑ i R f = f↑ N – f↑ 1 = U fi = f i+1 – f i U fi < U P, N R f = ∆ f i = f i – f Σ∆ f i = 0 (∆ f i ) 2 Σ(∆ f i ) 2 = θ fi ( ) i f f N θ = θ ∑ = 42 Окончание табл. 3.3 2 ( ) ( 1) i f S f N N = ∆ − = ∑ , , P N f f t S ∆ = = , , P N f f R β ∆ = β = , f f β ∆ ≈ ∆ f f f ∆ = ∆ + θ = , , ....%, f f f P N = ± ∆ = = = В качестве примера обработки данных косвенных измерений выборочным методом рассмотрим эксперимент по определению ускорения свободного падения g по совместным измерениям периода колебания мате - матического маятника g l T π = 2 и его длины l. Тогда 2 2 4 T l g π = Результаты расчетов могут быть представлены в виде табл . 3.4. Таблица 3.4 l i , м 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 θ l = max θ l i = 5·10 –4 м Т i , с 1.415 1.563 1.670 1.791 1.910 θ T = max θ T i = 10 –4 c g i 9.859 9.696 9.909 9.846 9.739 g = 9.8098 g↑ i 9.696 9.739 9.846 9.859 9.909 R g = g↑ N – g↑ 1 = 0.213 U fi =g i+1 –g i 0.043 0.107 0.013 0.05 U gi <U P, N R g = 0.136 ∆ g i = g i – g 0.049 0.114 0.099 0.036 0.07 Σ∆ g i = 0 (∆ g i ) 2 2.385× ×10 –3 13.00× ×10 –3 9.819 × ×10 –3 1.309 × × 10 –3 4.945× ×10 –2 Σ(∆ g i ) 2 = 0.003141 θ gi 11.0 × ×10 –3 9.321 × ×10 –3 8.264 × ×10 –3 7.253 × ×10 –3 6.43 × ×10 –3 ( ) i g g N θ = θ ∑ = 0.0085 Для определения приборной погрешности используем метод логариф - мирования функции 2 ln ( , ) ln (4 ) ln 2ln g l T l T = π + − ; ln 1 ln 2 , l T d g d g b b dl l dT T = = = = − ; 2 i l T g i i i g l T θ θ θ = + ; [ ] 2 ( ) ( 1) i g i S g N N = ∆ − = ∑ 0.03963, , P N g g t S ∆ = = 0.11016 , , P N f g R β ∆ = β = 0.109, g g β ∆ ≈ ∆ , g g g ∆ = ∆ + θ = 0.119, 2 9.81 0.12 м / с , 95 %, 5 g P N = ± = = 3.5. Контрольные вопросы 1. В каких случаях при обработке данных косвенных измерений при- меняют метод переноса погрешностей, а в каких – метод выборки? 43 2. Как определить по исходным данным, является ли набор значений выборкой случайной величины или последовательностью, искусственно за- даваемой экспериментатором? 3. Как складываются друг с другом случайные и приборные погрешно- сти аргументов функции, частные приборные погрешности аргументов функции, частные случайные погрешности, приборная и случайная погреш- ности функции в методе переноса погрешностей? 4. Как складываются друг с другом частные приборные погрешности аргументов функции, частные случайные погрешности, приборная и случай- ная погрешности функции в выборочном методе? 5. Сформулируйте алгоритм обработки данных методом переноса по- грешностей. 6. Сформулируйте алгоритм обработки данных выборочным методом. 4. СОВМЕСТНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ 4.1. Задача регрессии и метод наименьших квадратов Задачей обработки совместных измерений является построение анали- тической зависимости по имеющимся совместным измерениям двух (или не- скольких) величин. В общем случае структура зависимости y = f ( x ) заранее неизвестна и определяется исходя из имеющихся экспериментальных дан- ных. В ряде случаев предполагаемый вид функциональной зависимости y = f ( x ) известен заранее на основании каких-либо теоретических соображе- ний и неизвестны лишь параметры этой зависимости. На плоскости x O y каждая пара совместно измеренных значений ( x i , y i ) определяет положение некоторой точки. Величины x i и y i не свободны от по- грешностей, поэтому определяемые ими точки не лежат точно на какой-то кривой, а образуют некоторое облако с нечеткими границами (рис. 4.1). Под- лежащая определению функциональная зависимость y = f ( x ) описывает неко- торую кривую, называемую регрессионной кривой, проходящую через об- ласть, заполненную точками ( x i , y i ). В основу выбора вида кривой y = f ( x ) мо- гут быть положены различные факторы: вид облака точек и имеющаяся ин- формация о связи величин x и y , а также соображения удобства использова- ния полученной кривой в дальнейшем и др. 44 Сопоставление полученных в результате решения этих задач экспери- ментальной зависимости и конкретизированной теоретической кривой по- зволяет сделать вывод о справедливости положений данной теории. Таким образом, просто найти параметры теоретической кривой, наилучшим обра- зом соответствующие эксперименту, не достаточно. Для подтверждения справедливости теории необходимо также, чтобы совпадали основные каче- ственные особенности поведения этих кривых. Так, для случая, показанного на рис. 4.2, аппроксимация экспериментальной зависимости прямой линией (показана штрихами) недопустима и необходимо использование нелинейной функции (показана сплошной линией). Аналитическая зависимость y = f ( x ) обычно содержит ряд параметров a 1 , a 2 , …, a K , не зависящих от х, и выражение подлежащей определению кри- вой можно записать в виде 1 2 ( , , ,..., ) K y f x a a a = (4.1) Изменяя параметры, можно изменять как вид кривой в некоторых пределах, так и ее положение на плоскости x O y В случае совпадения качественных особенностей кривых указанные параметры зависимости должны быть найдены таким образом, чтобы иско- мая теоретическая кривая y = f ( x ) наилучшим образом ложилась бы на экспе- риментальные точки набора совместных наблюдений ( x i , y i ), i = 1, …, N . Под- ставив в качестве аргумента функции (4.1) значение x i , получим 1 2 ( , , , ..., ) i K i y f x a a a y = ≠ . Для наблюдений будут иметь место отклонения 1 2 ( , , , ..., ) i i i K y y f x a a a ∆ = − , (4.2) y x Рис. 4.2. Пример необходимости нелинейной аппроксимации x y 0 Рис. 4.1. Регрессионная кривая y x f ( x ) y i x i ∆ y i x 0 45 которые называются остаточными погрешностями. Существуют различные критерии выбора наилучшего соответствия экспериментальных точек и регрессионной кривой. Одним из наиболее об- щих способов отыскания оценок истинных значений искомых параметров является разработанный Лежандром и Гауссом метод наименьших квадра - тов (МНК). Согласно этому методу оценки параметров a j выбираются так, чтобы минимизировать сумму квадратов остаточных погрешностей ( ) 1 2 2 1 2 , , ..., ( , , ..., ) min K K i a a a i g a a a y = ∆ → ∑ . (4.3) В точке минимума (4.3) частные производные функции 1 2 ( , , ..., ) K g a a a по каждому параметру должны обращаться в нуль, что при- водит к системе уравнений [ ] 1 2 1 2 1 2 ( , , ..., ) ( , , , ..., ) ( , , , ..., ) 0, K i K i i K j j i g a a a f x a a a y f x a a a a a ∂ ∂ = − = ∂ ∂ ∑ (4.4) где 1, 2, ... , j K = , позволяющей определить наилучшие значения парамет- ров согласно условию (4.3). При использовании МНК значения x i обычно задаются эксперимента- тором, поэтому можно считать, что они содержат только приборные погреш- ности и не содержат случайных. Значения y i содержат как приборные, так и случайные погрешности. Для определения случайных погрешностей пара- метров 1 2 , , ..., K a a a предположим, что распределения величин y i взаимно независимы и имеют одно и то же среднеквадратическое отклонение. При выполнении этих условий остаточная дисперсия , представляю- щая собой среднее значение суммы квадратов остаточных погрешностей ве- личины y , также обращается в минимум: [ ] 2 2 1 2 1 2 1 1 ( , , ..., ) ( , , , ..., ) y K i i K i S g a a a y f x a a a N K N K = = − − − ∑ , (4.5) где K – количество искомых параметров; N – K – число степеней свободы уравнения регрессии. Появление множителя ( ) 1 N K − взамен 1 N обосно- вывается в математической статистике. 46 4.2. Случай линейной зависимости двух величин Задача нахождения наилучшей аппроксимирующей кривой в общем случае является достаточно сложной и наиболее просто решается, если функциональная зависимость имеет вид прямой линии у = ax + b . Поэтому на практике, если это возможно, сложные функциональные зависимости сводят к линейным зависимостям. При этом задача нахождения регрессионной кри- вой сводится к решению следующих задач: 1. Линеаризация нелинейных зависимостей, которая осуществляется соответствующей заменой переменных. Примеры такой замены приведены в табл. 4.1. Таблица 4.1 № Исходная функция Замена переменных Новая функция 1 n y Ax = , n X x a A = = y aX = 2 n y Ax = ln , ln , , ln Y y X x a n b A = = = = Y aX b = + 3 ax y Ae = ln , ln Y y b A = = Y ax b = + 4 n y ax b = + n X x = y aX b = + 5 1 n y ax b = + 1 , n Y y X x = = Y aX b = + 6 x y a bx = + 1 , 1 Y y X x = = Y aX b = + 7 n m y ax bx = + , m n m Y yx X x − − = = Y aX b = + 8 sin cos y a x b x = + cos , tg Y y x X x = = Y aX b = + В некоторых случаях различные замены переменных могут приводить одну и ту же функцию к линейному виду несколькими способами. Например, эта ситуация возможна для зависимости y = Ax n , соответствующие замены переменных приведены в строках 1 и 2 табл. 4.1. 2. Нахождение наилучших значений коэффициентов a и b в линейной зависимости у = ax + b или коэффициента a в зависимости у = ax согласно методу наименьших квадратов. 3. Нахождение случайных и приборных погрешностей этих коэффици- ентов. 4. Определение по найденным значениям коэффициентов a и b физи- ческих констант, содержащихся в этих коэффициентах. Последняя задача ре- |