Погрешность. ЛЭТИ. СанктПетербургский государственный электротехнический университет
 Скачать 0.7 Mb.
|
|
2.9. Сложение случайной и систематической погрешностей. Полная погрешность измерения Пусть результаты наблюдений наряду со случайной содержат и систе - матическую приборную погрешность θ , которую можно считать постоянной в течение времени проведения измерения , так как характеристики прибора за это время не успевают заметно измениться Наблюдаемые в опыте результа - ты наблюдений будут при этом равны x i ′ = x i + θ Наличие постоянной по - грешности , вносимой прибором в результаты наблюдений , приводит к сме - щению выборочного среднего ( ) 1 1 1 i i i i i x x x x N N N ′ = + θ = + θ = + θ ∑ ∑ ∑ , однако совершенно не влияет на случайную погрешность результата измере- ния , P N x x t S ∆ = , или ∆ x = β P, N R , так как разности, на основе которых рас- считываются СКО x : ( ) ( ) i i i x x x x x x ′ ′ − = + θ − + θ = − , а также размах выбор- ки max min max min R x x x x ′ ′ = − = − не зависят от θ Смещение среднего значения и доверительного интервала может при- вести к тому, что истинное значение x 0 измеряемой величины окажется за пределами найденного доверительного интервала ( ) , x x x x ′ ′ − ∆ + ∆ , как это по- казано на рис. 2.4. Чтобы этого не произошло, необходимо расширить дове- рительный интервал на величину верхней границы возможных значений по- грешностей прибора x θ . В этом случае x x x ′ = ± θ и результат измерения можно записать в виде ( ) x x x x x x x x ′ ′ = ± ∆ = ± θ + ∆ = ± ∆ , где x x x ∆ = ∆ + θ назовём полной погрешностью результата измерения. Новый доверитель- ный интервал ( ) , x x x x ′ ′ − ∆ + ∆ обязательно накроет истинное значение x 0 , так как θ x ≥ | θ | (рис. 2.4). Отметим, что доверительная вероятность, соответ- Рис. 2.4. К определению полной погрешности измерения – – 26 ствующая найденному таким образом доверительному интервалу, будет пре- вышать доверительную вероятность, используемую для нахождения случай- ной составляющей погрешности измерения. Указанный способ суммирования погрешностей дает максимальную верхнюю границу полной погрешности результата измерения. Однако мало- вероятно, что в данном эксперименте полная погрешность примет своё мак- симальное значение. Учитывая, что, как правило, на практике приборная по- грешность как отдельного прибора (погрешности квантования и шкалы при- бора), так и в серии приборов изменяется нерегулярным образом, оставаясь в границах ± θ x , полная погрешность результата измерения с учетом неизвест- ности величины и знака θ x лежит в пределах x x x x x ∆ − θ ≤ ∆ ≤ ∆ + θ Сопоставляя приведенное выражение с неравенством треугольника 2 2 x x x x x x ∆ − θ ≤ ∆ + θ ≤ ∆ + θ , можно заключить, что в качестве разумной оценки полной погрешности результата измерения можно выбрать величину 2 2 x x x ∆ = ∆ + θ (2.16) Строгое рассмотрение суммирования случайной и приборной погреш- ностей основано на построении совместной функции плотности распределе- ния вероятности ( ) f x Σ . Будем считать, что в интервале (– θ x , θ x ) все возмож- ные значения приборной погрешности равновероятны, т. е. приборная по- грешность распределена равномерно. Тогда совместная функция распределе- ния ( ) f x Σ представляет собой свертку нормального ( ) f x (или распределе- ния Стьюдента для конечного числа наблюдений N) и равномерного ( ) g θ за- конов распределения: ( ) ( ) 2 2 2 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 2 x f x g f x d e d ∞ θ −θ σ Σ −∞ −θ = θ − θ θ = θ θ σ π ∫ ∫ Проводя вывод аналогично разд. 2.5, можно построить доверительный интервал для совместной функции распределения случайной и приборной погрешностей. Полученное выражение для полной погрешности результата измерения хорошо (с точностью до 5 %) аппроксимируется формулой (2.16). В ГОСТ 16263–76 для определения границы доверительного интервала предложена формула 27 ( ) , при 0.8; , при 0.8 8; , при 8, x x x x x x x x k x x x ∆ θ ∆ < ∆ = ∆ + θ ≤ θ ∆ ≤ θ θ ∆ > (2.17) где k зависит от доверительной вероятности и числа наблюдений в выборке ( для Р = 95 % 0.7 ≤ k ≤ 0.8). Выражение (2.17) приводит как к более громозд - ким расчетным соотношениям , так и к большим ошибкам при определении погрешностей ( до 15 %). Учитывая это , рекомендуется оценивать границы доверительного интервала по формуле (2.16). Итоговая запись результата измерения будет иметь вид x x x ′ = ± ∆ с вероятностью 0 P P = , где P 0 – вероятность определения случайной составляющей погрешности из - мерения 2.10. Запись и округление результата измерения Погрешность результата рассчитывается по случайной выборке , и сама содержит погрешность Новое измерение ( новая выборка ) даст новую по - грешность , отличную от первой Можно считать , что объективную информа - цию о величине погрешности несут лишь одна – две значащие цифры в её численном выражении Остальные значащие цифры можно считать случай - ными Результат измерения также содержит лишь ограниченное число зна - чащих цифр , несущих информацию о величине этого результата В связи с этим числовые значения результата и погрешности должны быть округлены При округлении используют следующие правила : 1. Предварительно результат и погрешность записывают в нормальном виде : общий показатель степени выносят за скобку или заменяют соответст - вующей приставкой : микро , милли , кило , мега и др Например , x = 0.22 ± 0.03 м = (22 ± 3)·10 –2 м = 22 ± 3 см Запрещены записи вида x = 22·10 –2 ± 30·10 –3 м или x = 0.22 ± 3·10 –2 м Показатель 10 1 не выносится 2. Если результат будет в дальнейшем использован в вычислениях , то во избежание накопления погрешностей за счет округлений погрешность ок - ругляют до двух значащих цифр при любой первой При промежуточных вы - числениях величин 2 x S и 2 x S ( из которых впоследствии будет извлекаться 28 квадратный корень для нахождения x S и x S ) следует сохранять не менее че - тырех значащих цифр 3. Если результат измерения является окончательным и не будет ис - пользован в вычислениях других величин , то доверительную погрешность ∆ x округляют до первой значащей цифры , если она равна или больше 2, или до двух значащих цифр , если первая равна 1. 4. Среднее значение x округляют до того разряда , которым оканчивает - ся округленная погрешность ∆ x : Неокругленный результат Округленный результат 1237.2 ±32 (12.4 ± 0.3)·10 2 (7.854 ± 0.0476) ·10 –3 (7.85 ± 0.05) ·10 –3 83.2637 ± 0.0126 83.264 ± 0.013 2.48 ± 0.931 2.5 ± 0.9 2.48 ± 0.96 2.5 ± 1.0 Если погрешность округляется до двух значащих цифр , но вторая из них равна нулю , то этот нуль сохраняется , а в соответствующем ему разряде результата записывается получающаяся там значащая цифра : x = 3.48 ± 0.10. 2.11. Алгоритм обработки данных прямых измерений по выборке 1. Устранить из выборки очевидные промахи ( описки ). 2. Из результатов измерений исключить известные систематические погрешности 3. Упорядочить выборку в порядке возрастания ее элементов 4. Провести проверку выборки на наличие грубых погрешностей и ее связность по размаху выборки : x i+1 – x i < U P, N R , i= 1 …N– 1 или только на на - личие грубых погрешностей по отклонению наиболее отстоящего результата наблюдения x 1 от среднего значения x : | x 1 – x | > v P, N S x , где 2 ( ) ( 1) x i S x N = ∆ − ∑ 5. Вычислить выборочное среднее x . 6. Вычислить выборочное СКО среднего : x x S S N = 7. Задаться доверительной вероятностью P в диапазоне 0.9…0.99. Как правило , для технических приложений ( в том числе в данном курсе ) принято выбирать P = 0.95. 8. Определить случайную погрешность ∆ x = t P, N S x , где t P, N – коэф - фициент Стьюдента Значения t 95 %, N для некоторых N приведены в прило - жении 29 9. Определить оценочное значение случайной погрешности по размаху выборки ∆ x = β P, N R. Значения случайных погрешностей , рассчитанные раз - ными способами , должны примерно совпадать 10. Определить верхнюю границу погрешности прибора x θ 11. Рассчитать полную погрешность результата измерения : 2 2 x x x ∆ = ∆ + θ 12. Вычислить относительную погрешность δ x = ( ∆ x/ x ) ⋅ 100 %. 13. Округлить числовые значения полной погрешности и результата измерения 14. Записать окончательный результат в виде : 0 , , 100 % x x x x P P x x = ± ∆ = δ = ∆ ⋅ 15. Свести результаты расчетов в таблицу x i 15.8 15.7 16.1 16.0 15.9 θ x = 0.2 x↑ i 15.7 15.8 15.9 16.0 16.1 x = 15.9, R = x↑ N –x↑ 1 = 0.4 U i = x i+1 – x i 0.1 0.1 0.1 0.1 U i < U P, N R = 0.64 0.4 = 0.256 ∆ x i = x i – x –0.2 –0.1 0 0.1 0.2 ∑∆ x i = 0 ( ∆ x i ) 2 0.04 0.01 0 0.01 0.04 ∑ ( ∆ x i ) 2 = 0.1000 2 ( ) ( 1) x i S x N N = ∆ − ∑ = 0.0707, , 2.78 0.0707 0.198 P N x x t S ∆ = = ⋅ = , , 0.51 0.4 0.204 P N x R β ∆ = β = ⋅ = , x x β ∆ ≈ ∆ , 2 2 2 2 0.198 0.2 0.2814 x x x ∆ = ∆ + θ = + = , 15.9 0.2814 x x x = ± ∆ = ± , 15.9 0.3, 95 %, 5 x P N = ± = = 2.12. Контрольные вопросы 1. Что такое наблюдение и результат наблюдения ? 2. Что такое выборка и объем выборки ? 3. Что такое генеральная совокупность ? 4. Что понимают под выборочным средним , под результатом измере - ния ? 5. Как рассчитываются среднеквадратичное отклонение результата на - блюдения и СКО среднего ? Что эти величины характеризуют ? 30 6. Какую выборку называют ранжированной ( упорядоченной )? Имеет ли смысл проверять некрайние элементы упорядоченной выборки на прома - хи ? 7. Как рассчитывают приборную погрешность при известном и неиз - вестном классах точности прибора ? Что понимают под классом точности прибора ? 8. Как определяются приборные погрешности , когда на приборе класс точности указан числом , обведенным в кружок ? Как определяются прибор - ные погрешности , когда на приборе класс точности указан просто числом ? 9. Какие величины задаются произвольно экспериментатором в про - цессе расчета случайной погрешности ? 10. Что произойдет с доверительным интервалом при выборе большей доверительной вероятности ? 11. Как складываются друг с другом случайные и приборные погреш - ности ? 3. ПОГРЕШНОСТИ КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ Пусть некоторая величина f зависит от прямо измеряемых величин X, У, Z, ..., причём вид этой зависимости f = f(x, у, z, ...) известен Ввиду того , что величины x, y, z,... измеряются с определенными погрешностями , величина f также обладает погрешностью , которую необходимо определить Существует два метода определения погрешности величины f: метод переноса погрешно - стей , иначе называемый методом средних , и выборочный метод 3.1. Метод переноса погрешностей Метод переноса погрешностей применяется в том случае , когда изме - ренные прямо независимо друг от друга величины x, y, z, ..., являющиеся ар - гументами функции f, образуют выборки {x ′ }, {у ′ }, {z ′ }, ... . Отклонения результатов отдельных наблюдений x ′ i , y ′ i , z ′ i , … от соот - ветствующих истинных значений x 0 , у 0 , z 0 , ... включают в себя как случай - ные , так и систематические составляющие Случайные ∆ x, ∆ y, ∆ z, ... и при - борные θ (x) , θ (y) , θ (z) , ... погрешности аргументов , определенные для одной и той же доверительной вероятности P 0 , могут быть объединены в полные по - 31 грешности x ∆ , y ∆ , z ∆ на основе выражения (2.16). Полная погрешность ве - личины f также состоит из двух компонент – случайной и систематической : f f f ∆ = ∆ + θ Составляющая ∆ f определяется случайными погрешностями аргументов , а θ f – систематическими приборными Пусть в опыте получены выборки значений величин x, y, z, ... одинако - вого объема N. Тогда i- е значение функции f i ′ = f(x ′ i , y ′ i , z ′ i ), вычисленное при смещенных значениях ее аргументов x ′ i = x i + θ ( x) , y ′ i = y i + θ ( y) , …, можно представить в виде ( , ...) ( , ...) ( , ...) i i i i f f x f x x x f x x ′ ′ ′ ′ ′ ′ = = + − = + ∆ , где ( ) x x x ′ = + θ , … – смещенные средние значения аргументов ; , ... i i i x x x x x ′ ′ ∆ = − = − – случайные отклонения аргументов от их средних значений , не зависящие от приборных погрешностей θ ( x) , θ ( y) , θ ( z) Воспользуемся выражением для полного дифференциала функции не - скольких аргументов f f f df dx dy dz x y z ∂ ∂ ∂ = + + + ∂ ∂ ∂ Здесь частные производные функции , , f f f x y z ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ , … могут быть найдены путем дифференцирования функции по выбранному аргументу при условии , что остальные независимые аргументы считаются постоянными Прибли - женно заменяя бесконечно малые приращения ( дифференциалы ) функции и ее аргументов малыми конечными приращениями , получим f f f f x y z x y z ∂ ∂ ∂ ∆ = ∆ + ∆ + ∆ + ∂ ∂ ∂ (3.1) Тогда i- е значение величины f i ′ в окрестности точки ( ) , , x y z ′ ′ ′ можно записать в виде i i x i y i z i f f f f a x a y a z ′ ′ ′ = + ∆ = + ∆ + ∆ + ∆ , (3.2) где ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , x y z f f x y z f x y z ′ ′ ′ ′ = = + θ + θ + θ – среднее значение функ- ции, вычисленное при смещенных значениях ее аргументов при условии, что ( ) x θ , ( ) y θ , ( ) z θ не меняются в процессе измерения, i f ∆ – ее случайное при- 32 ращение, , , x x y z f a x ′ ′ ′ ∂ = ∂ , , , y x y z f a y ′ ′ ′ ∂ = ∂ , , , z x y z f a z ′ ′ ′ ∂ = ∂ …– частные произ- водные функции, вычисленные в точке ( ) , , x y z ′ ′ ′ Рассмотрим вычисление случайной погрешности косвенно определяе- мой величины f. Для этого вычислим дисперсию ее среднего значения. С уче- том (3.2) получим 2 2 2 1 1 ( ) ( 1) ( 1) i x i y i z i f S f a x a y a z N N N N = ∆ = ∆ + ∆ + ∆ − − ∑ ∑ , или ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 2 ( 1) x i y i z i x y i i f S a x a y a z a a x y N N = ∆ + ∆ + ∆ + ∆ ∆ + − ∑ ∑ ∑ ∑ Если аргументы функции случайны и независимы, то их отклонения от средних значений i x ∆ , i y ∆ , … также независимы. Учитывая, что среднее значение произведения независимых случайных величин равно произведе- нию средних значений сомножителей, получаем, что суммы вида i i x y ∆ ∆ ∑ равны нулю. Тогда 2 2 2 2 2 2 2 x x y y z z f S a S a S a S = + + , (3.3) где 2 2 2 , , x y z S S S – дисперсии средних значений аргументов функции. Умножив обе части (3.3) на квадрат коэффициента Стьюдента 2 , P N t , где N – объем вы- борок, по которым рассчитываются , , x y z ′ ′ ′ и 2 2 2 , , x y z S S S , получим для слу- чайной погрешности функции 2 2 2 x y z f f f f ∆ = ∆ + ∆ + ∆ , (3.4) где x x f a x ∆ = ∆ , y y f a y ∆ = ∆ , z z f a z ∆ = ∆ – частные случайные погрешности функции Смещенное среднее значение функции в (3.2), используя выражение (3.1), можно выразить через ее истинное среднее значение ( ) ( ) ( ) ( ) f x x y y z z f f f a a a ′ = + θ = + θ + θ + θ , (3.5) где ( ) , , f f x y z = – истинное среднее значение функции; ( ) f θ – приборная погрешность функции. Из (3.5) следует, что истинное среднее значение кос- 33 венно измеряемой величины будет равно ( ) f f f ′ = − θ = ( ) ( ) ( ) x x y y z z f a a a ′ = − θ − θ − θ , где ни величина, ни знак постоянных прибор- ных погрешностей θ ( x) , θ ( y) , θ ( z) аргументов, а значит и ( ) f θ , неизвестны. Приборные погрешности θ ( x) , θ ( y) , θ ( z) представляют собой независимые слу- чайные величины. Поэтому, как и в случае нахождения случайной погрешно- сти, для приборной составляющей погрешности получим ( ) ( ) ( ) 2 2 2 ( ) x y z f f f f θ = θ + θ + θ , где ( ) ( ) ( ) , , x y z f f f θ θ θ – частные приборные погрешности косвенно измеряе- мой величины, откуда для верхней границы приборной погрешности величи- ны f получим 2 2 2 x y z f f f f θ = θ + θ + θ , где x f x x a θ = θ , y f y y a θ = θ , z f z z a θ = θ представляют собой верхние границы частных приборных по - грешностей косвенно измеряемой величины, а θ x ≥ | θ ( x) |, θ y ≥ | θ ( y) |, θ z ≥ | θ ( z) | – верхние границы аргументов функции. Коэффициенты , , x y z a a a имеют смысл весовых множителей, показывающих, с каким весом случайные , , x y z ∆ ∆ ∆ или приборные , , x y z θ θ θ погрешности аргументов функции вхо- дят, соответственно, в случайную и приборную погрешности функции. Про- изводя суммирование случайной и систематической приборной погрешно- стей согласно (2.16) получим: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 x y z f x f y f z f f f f f f ∆ = ∆ + θ = ∆ + θ + ∆ + θ + ∆ + θ , откуда полная погрешность величины f будет определяться как 2 2 2 2 2 2 x y z f a x a y a z ∆ = ∆ + ∆ + ∆ , (3.6) где 2 2 2 2 2 2 , , x y z x x y y z z ∆ = ∆ + θ ∆ = ∆ + θ ∆ = ∆ + θ – полные погрешности аргументов. Результат косвенного измерения с учетом погрешности следует запи- сать в виде f f f = ± ∆ с вероятностью 0 P P = , f f f δ = ∆ , |