Погрешность. ЛЭТИ. СанктПетербургский государственный электротехнический университет
 Скачать 0.7 Mb.
|
|
Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет Морозов В. В., Соботковский Б. Е., Шейнман И. Л. Методы обработки результатов физического эксперимента Санкт-Петербург 2004 3 Практически все отрасли человеческой деятельности в той или иной степени связаны с измерениями, а для значительной категории научных со- трудников и инженеров измерения составляют основное содержание их ра- боты. Настоящее пособие посвящено изложению основных правил и приемов обработки данных, получаемых при измерениях. Рассматриваемые вопросы требуют знания основ теории вероятностей и математической статистики. Пособие же ориентировано на студентов младших курсов вузов, которые на- чинают изучение вопросов, связанных с измерениями, на занятиях в физиче- ской лаборатории (в первом или втором семестре), обладая в это время зна- ниями по физике и математике в объёме школьного курса. В связи с этим, а также учитывая ограниченность времени, отводимого на изучение статисти- ческой обработки результатов эксперимента, в пособии рассмотрены лишь самые основные понятия и приёмы обработки данных, а изложение ведется на уровне, доступном студентам, начинающим обучение в вузе. При изложе- нии материала рассмотрены некоторые основные понятия теории вероятнос- тей и математической статистики, широко используемые в теории из- мерений. 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ. ТЕРМИНЫ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ 1.1. Измерение. Классификация измерений Измерение – это нахождение значения физической величины опытным путем с помощью специальных технических средств и выражение получен- ного результата в принятых единицах. Прямым называется измерение, при котором значение измеряемой ве- личины непосредственно считывается со шкалы прибора, проградуированно- го в соответствующих единицах измерения. Уравнение прямого измерения имеет вид у = сx, где у – значение измеряемой величины; с – цена деления шкалы прибора в единицах измеряемой величины; x – отсчет по индикатор- ному устройству в делениях шкалы. Примерами прямых измерений являются: измерение длины предмета с помощью штангенциркуля или микрометра, измерение силы тока ампермет- ром, напряжения – вольтметром, температуры – термометром и др. 4 Косвенным называется измерение, результат которого определяют на основании прямых измерений величин, связанных с измеряемой величиной известной зависимостью. Уравнение косвенного измерения имеет вид у = f(x 1 , x 2 , …, x n ), где у – искомая величина, являющаяся функцией величин x 1 , x 2 , …, x n , изме- ряемых прямым методом. Можно сказать, что косвенное измерение – это из- мерение, результат которого рассчитывается по формуле. Примерами косвенных измерений являются: определение радиуса шара R = D/2, площади его поверхности S = π D 2 или объёма V = π D 3 /6 по прямо измеренной величине – диаметру шара D. Совместными называют производимые одновременно измерения двух или нескольких неодноименных величин для нахождения зависимости между ними. Уравнение совместных измерений имеет вид y i = f (x 1i , x 2i , …, x ni ; a, b, c, ...), i = 1, 2, ..., N, где y i , x 1i , x 2i , ..., x ni – значения величин, измеренных одновременно (прямо или косвенно) в i-й измерительной операции; а, b, с, ... – неизвестные иско- мые величины. Если число уравнений превышает число неизвестных, то эти уравнения в отличие от обычной системы уравнений называют условными. Для решения полученной системы используют метод наименьших квадра- тов. Примером совместных измерений может служить нахождение зави- симости периода Т колебаний математического маятника от его длины l: Т = al n , где а и n – неизвестные параметры, определяемые методом наимень- ших квадратов по прямым измерениям l и Т. Совокупными называют такие одновременно проводимые измерения нескольких одноименных величин, при которых значения искомых величин находят решением системы уравнений, получаемых при измерениях различ- ных сочетаний этих величин. Пример совокупных измерений – нахождение ёмкости двух кон- денсаторов по результатам измерений ёмкости каждого из них в отдельности, а также при последовательном и параллельном соединениях. Каждое из этих измерений выполняется с одним наблюдением, но в итоге для двух неизвест- ных будем иметь четыре уравнения: С 1 = x 1 , С 2 = x 2 , С 1 +С 2 = x 3 , C 1 C 2 /(C 1 + С 2 ) = x 4 5 1.2. Классификация погрешностей измерения Воздействие помех на процесс измерения приводит к тому, что резуль- таты измерения всегда отличаются от истинного значения измеряемой вели- чины и по этим результатам определить истинное значение нельзя. Разность между результатом измерения и истинным значением называется истинной погрешностью измерения. В силу того что истинное значение неизвестно, неизвестной является и истинная погрешность. Учитывая, что ни истинное значение физической величины, ни истин- ную погрешность в опыте определить невозможно, задачу нахождения ис- тинного значения формулируют как задачу нахождения некоторого прибли- женного к истинному значения с указанием диапазона возможных отклоне- ний этого приближенного значения от истинного. Найденное в эксперименте значение измеряемой величины, приближенное к истинному, называется оценкой физической величины. Оценка с указанием ее возможного интервала отклонения от истинного значения называется результатом измерения. Погрешность измерения включает в себя множество различных состав- ляющих, которые можно классифицировать по различным признакам. В на- стоящее время классификация погрешностей содержит около 30 видов. Из- мерения можно разделить по виду влияния на результаты – на систематиче- ские и случайные; по характеру изменения во времени – на статические и динамические; по источникам возникновения – на методические, инстру- ментальные, погрешности оператора, которые, в свою очередь, могут быть как случайными, так и систематическими; по возможности выявления и ис- ключения из результатов измерения – на выявленные и невыявленные, устра- нимые и неустранимые, исключенные и неисключенные; по характеру при- надлежности (близости) результатов наблюдений к основной совокупности выделяют грубые погрешности и промахи. Невыявленная погрешность всегда неустранима. Выявленная пог- решность может быть как устранимой, так и неустранимой. Так, случайная погрешность, а также систематическая погрешность известной величины, но неизвестного знака, имеют определенные числовые значения, т. е. относятся к разряду выявленных. Тем не менее, они не могут быть устранены (исклю- чены из результатов), т. е. являются неустранимыми. Далее приведены определения основных видов погрешностей. 6 Систематическая погрешность – это составляющая погрешности из- мерения, которая остаётся постоянной или закономерно изменяется при по- вторных измерениях. Одной из основных задач обработки результатов эксперимента являет- ся выявление, оценка величины и, по возможности, устранение всех система- тических погрешностей. Изменяющиеся систематические погрешности вы- являются легче постоянных. Для выявления постоянной систематической по- грешности необходимо выполнить измерения хотя бы двумя различными способами или методами. Обнаруженные и оцененные систематические по- грешности исключаются из результатов путем введения поправок. В зависимости от причин возникновения систематические погрешно- сти подразделяют на следующие виды: 1. Погрешности метода или модели, которые обычно называют ме- тодическими погрешностями, например: определение плотности вещества без учета имеющихся в нем примесей, использование формул, не совсем точ- но описывающих явление, и др. 2. Погрешности воздействия внешних факторов: внешних тепловых, радиационных, гравитационных, электрических и магнитных полей. 3. Погрешности, возникающие из-за неточности действий или личных качеств оператора (экспериментатора), называемые личностными погрешно- стями. 4. Инструментальные (приборные, аппаратурные) погрешности, обу- словленные схемными, конструктивными и технологическими несовершен- ствами средств измерения, их состоянием в процессе эксплуатации. Напри- мер, смещение начала отсчета, неточность градуировки шкалы прибора, ис- пользование прибора вне допустимых пределов его эксплуатации, непра- вильное положение прибора и т. п. За исключением смещения начала отсче- та, приборные погрешности относятся к разряду неустранимых погрешно- стей. В общем случае систематическая погрешность обусловлена сум- марным воздействием перечисленных факторов, многие из которых невоз- можно рассчитать, подавить или выявить в данном эксперименте. Самым простым способом выявления суммарной систематической погрешности бы- ло бы сопоставление результатов измерений, полученных с помощью серий- ного (рабочего) и более точного образцового приборов. Разность результатов 7 измерений даст суммарную систематическую погрешность, вносимую се- рийным прибором в результат измерения. Однако такой способ выявления систематической погрешности является слишком дорогим. Поэтому на прак- тике различные составляющие систематической погрешности пытаются уст- ранить с помощью экспериментальных или математических приемов путем введения поправок в результаты наблюдений при условии, что погрешность данного вида по величине и знаку известна. После внесения поправок влия- ние систематической погрешности данного вида на результат и погрешность измерения устраняется полностью. Если же систематическая погрешность неизвестна, но имеет известные границы изменения, то её учитывают в ре- зультате измерения. Случайная погрешность – это составляющая погрешности измерения, проявляющаяся в виде непредсказуемых отклонений от истинного значения физической величины, меняющихся от одного наблюдения к другому. Дан- ная погрешность обусловлена влиянием на результаты измерения множества факторов, воздействие которых на каждое отдельное измерение невозможно учесть или заранее предсказать. Такими причинами могут быть перепады на- пряжения в сети, вибрация установки, изменения атмосферного давления, температуры, электрических, магнитных и радиационных полей, а также ошибки, связанные с действиями самого экспериментатора (неправильное считывание показаний приборов, различная скорость реакции и т. п.). Слу- чайную погрешность нельзя исключить из результатов измерений, однако, пользуясь статистическими методами, можно учесть её влияние на оценку истинного значения измеряемой величины. Грубая погрешность – погрешность измерения, значительно превы- шающая погрешности большинства результатов наблюдений. Такие погреш- ности могут возникать вследствие резкого изменения внешних условий экс- перимента: внезапного изменения температуры, напряжения в сети и т. п. Грубые погрешности обнаруживают статистическими методами и соответст- вующие результаты измерений, как не отражающие закономерностей пове- дения измеряемой величины, исключают из рассмотрения. Промах – это вид грубой погрешности, зависящий от наблюдателя и связанный с неправильным обращением со средствами измерений: неверны- ми отсчетами показаний приборов, описками при записи результатов, невни- мательностью экспериментатора, путаницей номеров образцов и т. п. Прома- 8 хи обнаруживают нестатистическими методами и результаты наблюдений, содержащие промахи, как заведомо неправильные, исключают из рассмотре- ния. Указанные составляющие, как правило, не зависят друг от друга, что допускает их раздельное рассмотрение. Полная погрешность измерения, являющаяся суммой указанных со- ставляющих, может быть представлена в абсолютном, относительном или нормированном виде. Абсолютная погрешность – это погрешность измерения, выраженная в единицах измеряемой величины. Наряду с абсолютной погрешностью часто используется термин абсолютное значение погрешности, под которым по- нимают значение погрешности без учета ее знака. Эти два понятия различны. Относительная погрешность – это погрешность измерения, выра- женная отношением абсолютной погрешности к результату измерения. Приведенная погрешность – это погрешность, выраженная отно- шением абсолютной погрешности средства измерения (приборной пог- решности) к некоторой постоянной величине, называемой нормирующим значением и имеющей размерность измеряемой величины. В качестве норми- рующего множителя может выступать, например, максимальное значение шкалы прибора (верхний предел показаний прибора). Понятие приведенной погрешности относится только к средствам измерений. Относительная и приведенная погрешности являются безразмерными величинами и, как правило, выражаются в процентах. Одни составляющие погрешности могут быть устранены из ре- зультатов измерений, а другие – нет. Все виды неустранимых погрешностей вносят вклад в полную погрешность измерения, и для ее нахождения должны быть просуммированы по определенным правилам, которые будут рассмот- рены в дальнейшем. 2. ОБРАБОТКА ДАННЫХ ПРЯМЫХ ИЗМЕРЕНИЙ 2.1. Случайное событие. Вероятность Пусть при выполнении определенных условий происходит некоторое событие, которое будем называть "событием А". Каждый случай выполнения 9 этих условий принято называть опытом или испытанием. Возможны три си- туации: 1. Событие А происходит всякий раз при осуществлении опыта или ис- пытания. Такое событие называется достоверным. 2. Событие не происходит никогда (ни в одном испытании). Такое со- бытие называется невозможным. 3. В каждом данном испытании событие А может произойти, но может и не произойти, причем точно указать, в каком испытании оно произойдет, а в каком – нет, заранее невозможно. Такое событие называют случайным, ис- ход испытания также является случайным. Предсказание исхода того или иного испытания (произойдёт или не произойдет событие А в данном испытании) основывается на накопленном опыте. Для ситуаций 1 и 2 можно дать точное предсказание исхода будущего испытания. В ситуации 3 предсказание можно сделать лишь грубо ("в сред- нем"), указав, что событие может произойти лишь в такой-то доле от общего числа испытаний. Несмотря на случайность исходов отдельных испытаний, при много- кратном их повторении мы можем наблюдать вполне определенные средние результаты. Тенденция стремления результатов испытаний к некоторому об- щему среднему результату при увеличении числа испытаний получила на- звание статистической устойчивости, существование которой основывает- ся на предшествующем опыте или интуиции. Классическим примером явля- ются опыты с подбрасыванием монеты. Выпадение герба при падении моне- ты в разных сериях испытаний происходит в числе испытаний, близком к по- ловине общего их числа в серии. При увеличении числа испытаний в серии число выпадений герба всё больше приближается к половине общего числа испытаний в серии, т. е. к некоторому неслучайному показателю. Пусть в N испытаниях событие А произошло n(А) раз. Отношение n(А)/N называется относительной частотой или просто частотой появле- ния события А. Если провести несколько серий опытов по N испытаний в ка- ждой, то отношение n(A)/N будет различным для разных серий, но при уве- личении N это отношение будет стремиться к некоторому постоянному чис- лу, называемому вероятностью появления события А: n(A)/N → Р(А) при N →∞ 10 Вероятность является объективной характеристикой и математическим выражением возможности появления случайного события А в каждом от- дельном испытании. Нетрудно видеть, что вероятность принимает значения, лежащие в интервале от нуля до единицы, т. е. 0 ≤ Р(А) ≤ 1, причем для до- стоверного события Р(А) = 1 (n(А) = N), для невозможного события Р(А) = 0 (n(А) = 0). Физическое содержание события А может быть различным. Таким со- бытием может быть выпадение герба при бросании монеты, рождение маль- чика или девочки, превышение температурой воздуха заданного уровня в те- чение выбранных суток и др. В большинстве случаев имеют место не отдельные события, а их ком- бинации, в связи с чем встают вопросы определения вероятностей этих ком- бинаций на основе знания вероятностей отдельных событий или других ком- бинаций этих же событий. Если появление одного из событий делает невозможным появление других в данном испытании, то такие события называются несовместимыми. Если в каждом испытании должно обязательно произойти одно из событий некоторой группы, то эти события образуют полную группу. Если события к тому же несовместимы, то они образуют полную группу несовместимых со- бытий. Пусть события А 1 , ..., A N образуют полную группу и несовместимы. То- гда появление любого из этих событий в данном испытании есть достоверное событие, вероятность которого равна единице, то есть P(A 1 или А 2 , ... или А N ) = 1 ( ) 1 N k k P A = = ∑ Если же вероятности этих событий равны между собой , то 1 ( ) ( ) 1, N k k k P A NP A = = = ∑ откуда ( ) 1/ k P A N = Классическим примером рассмотренной ситуации является выпадение некоторого числа очков при бросании игральной кости , представляющей со - бой кубик с цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6, нанесенными на гранях Выпадение каж - дой грани является случайным событием Если кубик считать идеальным , то вероятности выпадения всех граней одинаковы Выпадение одной из них ис - ключает выпадение других , и события , состоящие в выпадении 1...6 очков , 11 образуют полную группу несовместимых событий Вероятность выпасть лю - бому из указанных чисел равна 1/6. Вероятность получить число очков не менее 3 при одном бросании равна вероятности выпадения чисел 3, 4, 5, 6, т е . (1/6)4 = 2/3. |