Погрешность. ЛЭТИ. СанктПетербургский государственный электротехнический университет
 Скачать 0.7 Mb.
|
|
4.3. Нахождение коэффициентов в уравнении прямой у = ax + b Нахождение наилучших значений коэффициентов a и b в зависимости у = ax + b производится согласно описанному методу наименьших квадратов. В случае линейной зависимости (4.4) приводит к системе из двух уравнений относительно двух неизвестных a и b : 2 ; i i i i i i i i i i i a x b x x y a x bN y + = + = ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ (4.6) Решение системы (4.6) дает нам выражения для наилучших оценок значений параметров Обозначив эти оценки a и b , получим ( )( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 ; , i i i i i i i i i i i x x y y x y N x y a x N x x x y x x x y b y a x x N x − − − = = − − − = = − − ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ (4.7) где 1 1 , i i i i x x y y N N = = ∑ ∑ Последнее выражение для b говорит о том , что линия регрессии про - ходит через точку с координатами ( x , y ). Используя дополнительную точку с координатами (b , 0) можно по двум точкам построить искомую аппрокси - мирующую прямую Для нахождения дисперсий коэффициентов a и b воспользуемся соот - ношениями (4.7). С учетом формулы (2.14) дисперсии суммы случайных не - коррелированных величин 1 , ... , N y y с одинаковой дисперсией , получим в предположении , что x i не содержат случайных погрешностей : 2 2 2 2 y a i S S x N x = − ∑ , ( ) 2 2 2 2 2 y i b i S x S N x N x = − ∑ ∑ , (4.8) 48 где остаточная дисперсия 2 y S рассчитывается согласно (4.5) и может быть приведена к виду ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 2 2 y i i i i i i i i i i i S y a x y b y y y a x x N N = − − = − − − − − ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ Выражения для дисперсий (4.8) после подстановки остаточной диспер - сии 2 y S и значений x , y принимают вид ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 i i a i i y y S a N x x − = − − − ∑ ∑ , ( ) 2 2 2 2 1 i b a i S S x x x N = + − ∑ . (4.9) Тогда случайные погрешности коэффициентов будут иметь вид , 1 P N a a t S − ∆ = , , 1 P N b b t S − ∆ = , где 2 a a S S = , 2 b b S S = – СКО a и b соответственно ; , 1 P N t − – коэффици - ент Стьюдента с ν = N – 2 степенями свободы Приборные погрешности ко - эффициентов a и b могут быть найдены на основе (4.7) по формуле (3.10) косвенных измерений , что дает 1 1 0 N a x y i i i a a N x y = ∂ ∂ θ = θ + θ = ∂ ∂ ∑ , b x y a θ = θ + θ (4.10) Равенство нулю приборной погрешности в определении коэффициента наклона a прямой означает , что он не зависит от одновременного смещения всех координат x i или y i на величины θ x или θ y соответственно Если x и y являются косвенно измеряемыми величинами , полученными , например , при замене переменных в процессе линеаризации , приборные по - грешности θ x и θ y необходимо вычислить согласно стандартным приемам об - работки данных косвенных измерений Определив полные погрешности a a ∆ = ∆ и b b b ∆ = ∆ + θ , уравнение регрессионной прямой можно записать в виде ( ) ( ) y a a x b b = ± ∆ + ± ∆ , с вероятностью 0 P P = (4.11) 49 4.4. Нахождение коэффициента в уравнении прямой у = ax Если уравнение аппроксимирующей прямой имеет вид у = a х , то нахо - ждение коэффициента a в уравнении наилучшей прямой сводится к нахож - дению минимума остаточной дисперсии (4.5), где количество искомых пара - метров К = 1. Тогда из (4.4) 2 i i i i i i i i a x y x x y = = α ∑ ∑ ∑ , где 2 1 i i x α = ∑ (4.12) Из полученного выражения для коэффициента a находим его дисперсию 2 2 2 2 2 2 y i y i a i i S S x S x = α = ∑ ∑ , где остаточная дисперсия с учетом (4.5) может быть вычислена по формуле 2 2 2 2 1 1 y i i i i S y a x N = − − ∑ ∑ Зная СКО 2 a a S S = , найдем случайную погрешность коэффициента a : , P N a a t S ∆ = Отметим , что , в отличие от случая построения прямой вида y = ax + b, в случае регрессионной зависимости вида y = ax одновременное смещение всех координат x i или y i вследствие приборной погрешности аргументов оказывает существенное влияние на угловой коэффициент , так как принадлежащая этой прямой точка (x, y) = (0,0) фиксирована Используя формулу (4.12), найдем его приборную погрешность Имеем ( ) 2 i i a x y i i x a x θ = θ + θ ∑ ∑ Определив полную погрешность a a a ∆ = ∆ + θ коэффициента a , полу - чим уравнение регрессионной прямой в виде ( ) y a a x = ± ∆ , с вероятностью 0 P P = Прямая МНК y ax = строится по двум точкам с координатами (x, у ) = = (0, 0) и (x 0 , 0 ax ), где x 0 – произвольное значение аргумента х Отметим , что коэффициент a = у / x можно рассматривать как функцию двух переменных у и х , и его значение может быть найдено методами обработки данных косвен - ных измерений 50 4.5. Алгоритм обработки данных по МНК для уравнения y = ax + b на примере определения параметров равноускоренного движения Рассмотрим эксперимент по определению скорости тела v = at + v 0 при равноускоренном движении , по результатам которого надо найти ускорение тела а и его начальную скорость v 0 . Пусть приборные погрешности опреде - ления времени и скорости равны , соответственно , θ t = 1 с и θ v = 0.2 м / с Ре - зультаты обработки эксперимента согласно МНК сведены в табл . 4.2. Таблица 4.2 № x i =t i y i =v i i i x x x ∆ = − ( ) 2 i x ∆ i i y y y ∆ = − ( ) 2 i y ∆ i i x y ∆ ∆ 1 0 10.1 –12.5 156.25 –12.517 156.675 156.463 2 5 15.3 –7.5 56.25 –7.317 53.538 54.877 3 10 19.8 –2.5 6.25 –2.817 7.935 7.043 4 15 24.6 2.5 6.25 1.983 3.932 4.958 5 20 30.4 7.5 56.25 7.783 60.575 58.373 6 25 35.5 12.5 156.25 12.883 165.972 161.037 ∑ i x = ∑ = 75 i y = ∑ = 135.7 i x ∆ = ∑ = 0 2 i x ∆ = ∑ = 437.5 i y ∆ = ∑ = –0.002 2 i y ∆ = ∑ = 448.628 i i x y ∆ ∆ = ∑ = 442.751 1. Средние значения x и у : 12.5 i x x N = = ∑ с , i y y N = = ∑ 22.617 м / с 2 2. Средние значения a и b : ( ) ( ) 2 1.012 i i i i i x y a x ∆ ∆ = = ∆ ∑ ∑ м / с 2 , 9.967 b y a x = − = м / с 3. Дисперсия и СКО a : 2 2 2 2 1 2 i a i y S a N x ∆ = − = − ∆ ∑ ∑ 3.229 · 10 –4 , 2 2 1.797 10 a a S S − = = ⋅ м / с 2 4. Дисперсия и СКО b : 2 2 2 2 1 i b a S S x x N = + ∆ = ∑ 0.028, 2 0.167 b b S S = = м / с 51 5. Случайные погрешности а и b. Коэффициент Стьюдента для Р = 95 % и N – 1 = 5 равен t P, N–1 = 2.78, , 1 P N a a t S − ∆ = = 0.04996 м / с 2 , , 1 P N b b t S − ∆ = = 0.464 м / с 6. Приборная погрешность коэффициента b: b x y a θ = θ + θ = 1.212 м / с , где учтено , что θ x = 1 с и θ y = 0.2 м / с. 7. Полные погрешности а и b: a a ∆ = ∆ = 0.04996 м / с 2 и b b b ∆ = ∆ + θ = 1.676 м / с 2 8. Результат : ( ) ( ) 1.012 0.04996 9.967 1.676 y x = ± + ± 9. Окончательный результат в округленной форме : ( ) ( ) 1.01 0.05 10.0 1.7 y x = ± + ± , с вероятностью 95 % P = 4.6. Алгоритм обработки данных по МНК для уравнения y = ax на примере определения ускорения свободного падения Рассмотрим эксперимент по определению ускорения свободного паде - ния g по совместным измерениям периода колебания математического маят - ника Т и его длины l, значения которых даются в табл . 4.3. Таблица 4.3 Параметр № наблюдения θ 1 2 3 4 5 l i , м 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 5·10 –4 Т i , с 1.415 1.563 1.670 1.791 1.910 10 –4 Дальнейшая обработка данных осуществляется в следующей последо - вательности 1. Линеаризуем зависимость 2 T l g = π , положив у = Т , x l = , 2 a g = π В новых переменных она будет иметь вид у = a х 2. Заполняем табл . 4.4 обработки данных по МНК для уравнения y = ax, представив исходные данные в новых переменных (x i , y i ) = ( i l , Т i ). 52 Таблица 4.4 № i i x l = y i = T i x i 2 y i 2 x i y i 1 2 3 4 5 0.7071 0.7746 0.8367 0.8944 0.9487 1.415 1.563 1.670 1.791 1.910 0.500 0.600 0.700 0.800 0.900 2.0022 2.4430 2.7889 3.2077 3.6481 1.0005 1.2107 1.3973 1.6019 1.8120 ∑ ∑ x i = 4.1615 ∑ y i = 8.349 ∑ x i 2 = 3.500 ∑ y i 2 = 14.0899 ∑ x i y i = 7.0224 3. Среднее значение a : 2 2.0064 i i i i i a x y x = = ∑ ∑ 4. Дисперсия и СКО a : 2 2 2 5 2 1 1.12 10 1 i a i y S a N x − = − = ⋅ − ∑ ∑ , 2 3 3.35 10 a a S S − = = ⋅ 5. Случайная погрешность коэффициента a для Р = 95 % и N = 5, с учетом того , что коэффициент Стьюдента t P, N = 2.78, имеет вид 3 , 9.31 10 P N a a t S − ∆ = = ⋅ 6. Приборная погрешность измеряемой прямым образом величины у = Т равна 4 10 c y T − θ = θ = , а приборная погрешность косвенно измеряемой величины x l = имеет вид 1 1 1 1 2 2 i i l l x l l i l l i i i i i x N N l N N x l = ∂ θ θ θ = θ = θ = = ∂ ∑ ∑ ∑ ∑ Используя данные табл . 4.3, 4.4 , получим 1 1 1.215 i i N x = ∑ , 4 3.036 10 x − θ = ⋅ Тогда приборная погрешность коэффициента a будет ( ) 2 4 8.432 10 a i i x y i i x x a − θ = θ + θ = ⋅ ∑ ∑ 7. Полная погрешность коэффициента a: 2 1.015 10 a a a − ∆ = ∆ + θ = ⋅ 8. Результат измерения в округленной форме : 53 2.0064 0.0010 a a a = ± ∆ = ± с вероятностью P = 95 %. По коэффициенту 2 a g = π может быть найдено ускорение сво - бодного падения 2 2 4 g a = π по стандартной схеме обработки данных кос - венных измерений методом переноса погрешностей 9. Среднее значение : 2 2 4 g a = π = 9.8107 м / с 2 10. Случайная погрешность : 2 3 8 g g a a a a ∂ π ∆ = ∆ = ∆ ∂ = 0.0088 м/с 2 11. Приборная погрешность: 2 3 8 g a a g c c ∂ π θ = θ = θ ∂ = 0.0083 м/с 2 12. Полная погрешность: g g g ∆ = ∆ + θ = 0.0172 м/с 2 13. Окончательный результат в округленной форме: 9.811 0.017 g g g = ± ∆ = ± м/с 2 , с Р = 95 %. 4.7. Контрольные вопросы 1. Какие измерения называются совместными? 2. Линеаризуйте следующие зависимости, перейдя от переменных (х, у) к новым переменным (X, У): у = а x n ; у = a ln x + b; ln у = a sin x + b; tg y = a cos x + c; у = а еxp x + с; у = ax 2 + bx + с. 3. Сформулируйте критерий наименьших квадратов. 4. Как строятся по двум точкам прямые МНК вида у = aх и y = аx + b? 5. Можно ли константу a в уравнении у = aх найти методами кос- венных измерений? Ответ обосновать. 6. Выведите формулы для приборных погрешностей θ a и θ b (4.10) коэф- фициентов a и b в уравнении прямой у = ax + b. 7. Какой вид будут иметь формулы приборных погрешностей коэффи- циентов а и b, если x и у являются косвенно измеряемыми величинами: x = m sin u, у = n v 3 , где m и п – константы, а u и v – прямо измеряемые N раз величины? |