alfutova(алгебра и теория чисел). Сборник задач для математических школ м мцнмо, 2002. 264 с Настоящее пособие представляет собой сборник задач по математике

• Название: Сборник задач для математических школ м мцнмо, 2002. 264 с Настоящее пособие представляет собой сборник задач по математике
• Дата: 27.01.2020
• Размер: 2 Mb.
• Имя файла: alfutova(алгебра и теория чисел).pdf
• Тип: Сборник задач; #106051
• страница: 11 из 23

(n > Найдите наибольшее число a, для которого эта последовательность имеет предел. Чему равен этот предел для такого a?
9.88. Последовательность чисел a
1
, a
2
, a
3
, . . . задается условиями a
1
= 1,
a n+1
= a n
+
1
a
2
n
(n > Докажите, что а) эта последовательность неограничена;
б) a
9000
> в) найдите предел lim n
→∞
a n
3
√
n
9.89
*
. Тройки чисел (x n
, y n
, z n
)
(n > 1) строятся по правилу 2
, y
1
= 4
, z
1
=
6 7
,
x n+1
=
2x n
x
2
n
− 1
,
y n+1
=
2y n
y
2
n
− 1
,
z n+1
=
2z n
z
2
n
− 1
(n > 1).

4. Системы линейных уравнений
139
а) Докажите, что указанный процесс построения троек может быть неограниченно продолжен.
б) Может ли на некотором шаге получится тройка чисел (x n
, y n
, z для которой x n
+ y n
+ z n
= 0
?
4. Системы линейных уравнений. Коля Васин гулял после школы пять часов. Сначала он шел по горизонтальной дороге, затем поднялся в гору и, наконец, по старому маршруту возвратился назад в исходный пункт. Его скорость была км/ч на горизонтальном участке пути, 3 км/ч при подъеме в гору и 6 км/ч — при спуске с горы. Какое расстояние прошел Коля
Васин?
Метод Гаусса. Предположим, что имеется система из n линейных уравнений от переменных x
1
, . . . , x n
. Одним из возможных методов решения такой системы является метод Гаусса. Он заключается в том, что с помощью первого уравнения переменная исключается из остальных уравнений. Затем с помощью нового второго уравнения переменная исключается из всех следующих уравнений. Итак далее, пока из последнего уравнения не получится значение последней переменной.
После чего остальные переменные находятся в обратном порядке. Решите системы а − 3y + 2z − t = 3,
2x + 4y − 3z + t = 5,
4x − 2y + z + t = 3,
3x + y + z − 2t = в + 2y + 3z = 2,
x − y + z = 0,
x + 3y − z = −2,
3x + 4y + 3z = б + 2y + 3z − t = 0,
x − y + z + 2t = 4,
x + 5y + 5z − 4t = −4,
x + 8y + 7z − 7t = г + 2y + 3z − t = 0,
x − y + z + 2t = 4,
x + 5y + 5z − 4t = −4,
x + 8y + 7z − 7t = 6.
9.92. На рисунках изображены разбиения прямоугольников на квадраты. Найдите стороны этих квадратов, если в первом случае сторона наименьшего квадрата равна 1, а во втором — 2.
а)
б)

140 9. Уравнения и системы. За круглым столом сидят 4 гнома. Перед каждым стоит кружка с молоком. Один из гномов переливает 1/4 своего молока соседу справа. Затем сосед справа делает тоже самое. Затем тоже самое делает следующий сосед справа и, наконец, четвертый гном 1/4 оказавшегося у него молока наливает первому. Во всех кружках вместе молока л. Сколько молока было первоначально в кружках, если а) в конце у всех гномов молока оказалось поровну?
б) в конце у всех гномов оказалось молока столько, сколько было вначале. Решите системы уравнений. Для каждой из них выясните, при каких значениях параметров система не имеет решений, а при каких имеет бесконечно много решений.
а)
ax + y = a
2
,
x + ay = д + y = a
3
,
x + ay = б + ay = a
2
,
x + ay = е − ay = ab,
2ax − y = в + 1)x + 8y = 4a,
ax + (a + 3)y = 3a − ж + by = a,
bx + ay = г + (2 − a)y = 4 + a
2
,
ax + (2a − 1)y = a
5
− з − y = 1,
x +
|a|y = a.
9.95. Может ли система линейных уравнений с действительными коэффициентами иметь в точности два различных решения. Составьте систему, состоящую из двух линейных уравнений,
для которой строки (1, 1, 1, 1) и (1, 2, 2, 1) служат решениями. Имеется система уравнений + ∗y + ∗z = 0,
∗x + ∗y + ∗z = 0,
∗x + ∗y + ∗z = Два человека вписывают по очереди вместо звездочек числа. Докажите,
что начинающий всегда может добиться того, чтобы система имела ненулевое решение. Исследуйте системы уравнений

4. Системы линейных уравнений
141
а)



2x + 3y = 5,
x − y = 2,
x + 4y = г + ay + a
2
z = a
3
,
x + by + b
2
z = b
3
,
x + cy + c
2
z = б + ay = 1,
2x + 4y = 2,
bx + 4y = д + y + z = 1,
ax + by + cz = d,
a
2
x + b
2
y + c
2
z = в + by = a,
(a − 2)x + y = 3,
x + y = е + by + cz = a + b + c,
bx + cy + az = a + b + c,
cx + ay + bz = a + b + c.
9.99. Решите системы уравнений:
а)











x
1
+ x
2
+ x
3
= 0,
x
2
+ x
3
+ x
4
= 0,
x
99
+ x
100
+ x
1
= 0,
x
100
+ x
1
+ x
2
= в+ x
2
+ x
3
+ x
4
= 2a
1
,
x
1
+ x
2
− x
3
− x
4
= 2a
2
,
x
1
− x
2
+ x
3
− x
4
= 2a
3
,
x
1
− x
2
− x
3
+ x
4
= б + y + z = a,
x + y + t = b,
x + z + t = c,
y + z + t = г+ 2x
2
+ 3x
3
+ . . . + nx n
= a
1
,
nx
1
+ x
2
+ 2x
3
+ . . . + (n − 1)x n
= a
2
,
2x
1
+ 3x
2
+ 4x
3
+ . . . + x n
= a n
9.100. Имеются 13 гирь. Известно, что любые 12 из них можно так разложить на две чашки весов, по шесть на каждую, что наступит равновесие. Докажите, что все гири имеют одну и туже массу, если известно, что а) масса каждой гири равна целому числу граммов б) масса каждой гири равна рациональному числу граммов в)
∗
масса каждой гири может быть равна любому действительному (неотрицательному)
числу.
9.101. Известно, что 4a
2
+ 3a
3
> 0,
a
2
− 4a
3
+ 3a
4
> 0,
a
99
− 4a
100
+ 3a
1
> 0,
a
100
− 4a
1
+ 3a
2
> Пусть a
1
= 1
; чему равны тогда числа a
2
, . . . , a
100
?

Глава 10
Неравенства
В этой главе все величины, входящие в неравенства (за исключением специально оговоренных случаев, будут считаться положительными. Различные неравенства
В задачах
10.1
–
10.37
докажите неравенства. x + 1/x > 2.
10.2. Неравенство между средним квадратическим и средним арифметическим a
2
+ b
2 2
>
a + b
2 10.3. (a + b + c + d)
2 6 4(a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
)
10.4.
p(a + c)(b + d) >
√
ab +
√
cd
10.5.
4
√
ab
3 6
a + 3b
4 10.6. ab
2
c
3
d
4 6

a + 2b + 3c + 4d
10

10 10.7. x
2
+ y
2
+ z
2
> xy + yz + xz.
10.8. x
2
+ y
2
+ 1
> xy + x + y.
10.9. x
2 1
+ x
2 2
+ x
2 3
+ x
2 4
+ x
2 5
> x
1
(x
2
+ x
3
+ x
4
+ x
5
)
10.10. x
4
+ y
4
+ 8
> 8xy.
10.11.
3 1/a + 1/b + 1/c
6
a + b + c
3 10.12. (ab + bc + ac)
2
> 3abc(a + b + c).
10.13. 2 12
√
x
+ 2 4
√
x
> 2 · 2 6
√
x
10.14. ab + bc + ac 6 0 при a + b + c = 0.
10.15.
x + y
1 + xy
< 1
, при, |y| < 1.

1. Различные неравенства 10.16. x
α
y
β
6 αx + βy, при условии, что α + β = 1 (α, β > 0).
10.17. a
2
b
2
+ b
2
c
2
+ a
2
c
2
> abc(a + b + c).
10.18. (a + 1)(b + 1)(a + c)(b + c) > 16abc.
10.19. (a + b + c + d + 1)
2
> 4(a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
)
, при a, b, c, d ∈ [0; 1].
10.20. x
4
+ y
4
+ z
2
+ 1
> 2x(xy
2
− x + z + 1)
10.21. (
√
x +
√
y)
8
> 64xy(x + y)
2
(x, y > 0).
10.22. (a + b)(b + c)(a + c) > 8abc.
10.23. (a + b + c)(a
2
+ b
2
+ c
2
)
> 9abc.
10.24. a
2
(1 + b
4
) + b
2
(1 + a
4
)
6 (1 + a
4
)(1 + b
4
)
10.25. a
4
+ b
4
+ c
4
> abc(a + b + c).
10.26. a
3
b + b
3
c + c
3
a
> abc(a + b + c).
10.27. 2(a
3
+ b
3
+ c
3
)
> ab(a + b) + ac(a + c) + bc(b + c).
10.28. min
16k6n a
k b
k
6
a
1
+ . . . + a n
b
1
+ . . . + b n
6 max
16k6n a
k b
k
10.29.

1 +
x y

1 +
y z

1 +
z x

> 8.
10.30.
a b
+
b c
+
c a
> 3.
10.31.
a b + c
+
b a + c
+
c a + b
>
3 2
10.32.
1
b + c
+
1
a + c
+
1
a + b
>
9 2(a + b + c)
10.33. 3(a
1
b
1
+ a
2
b
2
+ a
3
b
3
)
> (a
1
+ a
2
+ a
3
)(b
1
+ b
2
+ при a
1
> a
2
> a
3
, b
1
> b
2
> b
3 10.34. Докажите, что если a
1
> a
2
> . . . > a n
,
b
1
> b
2
> . . . > b то наибольшая из сумм вида a
1
b k
1
+ a
2
b k
2
+ . . . + a n
b k
n
(k
1
, k
2
, . . . , k n
— перестановка чисел 1, 2, . . . , n), это сумма a
1
b
1
+ a
2
b
2
+ . . . + a n
b а наименьшая — сумма a
1
b n
+ a
2
b n−1
+ . . . + a n
b
1

144 10. Неравенства. Неравенство Чебышёва. Докажите, что a
1
b
1
+ a
2
b
2
+ . . . + a n
b n
n
>
a
1
+ a
2
+ . . . + a n
n
·
b
1
+ b
2
+ . . . + b n
n
10.36. Докажите неравенства + b + c
6
a
2
+ b
2 2c
+
a
2
+ c
2 2b
+
b
2
+ c
2 2a
6
a
3
bc
+
b
3
ac
+
c
3
ab
10.37. Неравенство Коробова. Докажите, что при a
1
> a
2
> . . . > a n
> выполняется неравенство a
2 1
+ a
2 2
+ . . . + a
2
n
6

a
1
√
1 +
√
0
+
a
2
√
2 +
√
1
+ . . . +
a n
√
n +
√
n − 1

2 10.38. Докажите неравенство (1+x
1
) . . . (1+x n
)
> 2
n
, где x
1
. . . x n
= 1 10.39. Докажите, что для любого натурального n справедливо неравенство. Докажите, что для любого натурального n сумма + 1
+
1
n + 2
+ . . . +
1 2n лежит в пределах от 1/2 до 3/4.
10.41
*
. Даны рациональные положительные p, q, причем Докажите, что для положительных a и b выполняется неравенство ab
6
a p
p
+
b q
q
10.42. Найдите наименьшую величину выражения p
x
2 1
+ (1 − x
2
)
2
+
p x
2 2
+ (1 − x
3
)
2
+ . . . +
p x
2 2n
+ (1 − x
1
)
2 10.43. Для натурального n докажите неравенства:
а)
√
n
6
n
√
n!
6
n + 1 б n! в e

n
< n! < n

n e

n

2. Суммы и минимумы 10.44. Докажите, что при x выполняется неравенство <
1
sin
2
x
−
1
x
2
< См. также. Докажите, что для любых натуральных m и n хотя бы одно из чисел m
√
n
,
n
√
m не больше 10.46. Как расставить скобки в выражении 2 2
.2
, чтобы оно было максимальным. Докажите справедливость оценок:
а)
1
n + 1
+
1
n + 2
+ . . . +
1 2n
>
1 2
(n > б 6 1 +
1 2
+ . . . +
1 2
n
− 1 6 n (n > в 15
<
1 2
·
3 4
· . . . ·
99 100
<
1 г 2
·
3 4
· . . . ·
99 100
<
1 12 10.48. Докажите, что уравнение x
y
+
y z
+
z x
= неразрешимо в натуральных числах. Суммы и минимумы. Сумма минимумов и минимум суммы. Предположим,
что имеется набор функций f
1
(x)
, . . . , f n
(x)
, определенных на отрезке b]
. Докажите неравенство x
∈[a;b]
f
1
(x) + . . . +
min x
∈[a;b]
f n
(x)
6 min x
∈[a;b]
(f
1
(x) + . . . + f n
(x)).
10.50. Докажите неравенство 1
a
1
+ . . . +
b
2
n a
n
6
(b
1
+ . . . + b n
)
2
a
1
+ . . . + a n
10.51. Выведите из неравенства предыдущей задачи а) неравенство Коши – Буняковского:
(c
1
d
1
+ . . . + c n
d n
)
2 6 (c
2 1
+ . . . + c
2
n
)(d
2 1
+ . . . + б) неравенство между средним арифметическими средним квадра- тическим:
a
1
+ . . . + a n
n
6
r a
2 1
+ . . . + a
2
n n
;

146 10. Неравенства в) неравенство между средним арифметическими средним гармоническим. Докажите неравенство+ . . . + b n
a
1
+ . . . + a n

b
1
+...+b n
6

b
1
a
1

b
1

b n
a n

b n
10.53. Используя результат предыдущей задачи, докажите неравен- ства:
а)
n
√
a
1
. . . a n
6
a
1
+ . . . + a б+ . . . + b n
n

b
1
+...+b n
6 b b
1 1
. . . b b
n в) c b
1 1
. . . c b
n n
6 c
1
b
1
+ . . . + c n
b где b
1
+ . . . + b n
= 1 10.54. Спортпрогноз. Предположим, что ожидается баскетбольный матч между двумя командами A ив котором возможно только два исхода одна из команд выигрывает. Две букмекерские конторы принимают ставки с разными коэффициентами k
(1)
A
, k
(1)
B
, k
(2)
A
, k
(2)
B
. Например, если игрок сделал ставку N впервой конторе на команду A, и эта команда выиграла, то игрок получает сумму k
(1)
A
· N. Пусть k
(1)
A
= 2, k
(1)
B
=
3 2
, k
(2)
A
=
4 3
, k
(2)
B
= Как, имея капитал N, распорядиться им оптимальным образом, то есть как сделать ставки в двух конторах, чтобы получить максимальный гарантированный выигрыш?
Проанализируйте случай произвольных коэффициентов k
(1)
A
, k
(1)
B
,
k
(2)
A
, и найдите связь между максимальным гарантированным выигрышем и средним гармоническим наибольших коэффициентов. Выпуклость
Определение. Пусть Γ — график дифференцируемой функции заданной на отрезке [a; b]:
Γ =
{(x, y): x ∈ [a; b], y = Функция f(x) называется выпуклой вверх, если для любой точки T ∈ кривая Γ лежит ниже касательной к Γ , проведенной в точке T . Аналогично определяется выпуклость вниз.
Достаточным условием выпуклости функции вниз (вверх) является положительность (отрицательность) второй производной

3. Выпуклость 10.55. Докажите, что если функция f(x) выпукла вверх на отрезке b]
, то для любых различных точек x
1
, из [a; b] и любых положительных, таких, что α
1
+ α
2
= выполняется неравенство (α
1
x
1
+ α
2
x
2
) > α
1
f(x
1
) + α
2
f(x
2
).
10.56. Неравенство Иенсена.
Докажите, что если функция выпукла вверх на отрезке [a; b], то для любых различных точек x
1
, x
2
, . . . , x n
(n > 2) из [a; b] и любых положительных α
1
, α
2
, . . . , α
n таких, что α
1
+ α
2
+ . . . + α
n
= 1
, выполняется неравенство+ . . . + α
n x
n
) > α
1
f(x
1
) + . . . + α
n f(x n
).
10.57. Докажите, что для любых x
1
, . . . , x n
∈ [0; π] справедливо неравенство+ . . . + x n
n

>
sin x
1
+ . . . +
sin x n
n
10.58. Докажите неравенства:
а) n(x
1
+ . . . + x n
)
> (
√
x
1
+ . . . +
√
x б+ . . . + x n
)
2 6
1
x
2 1
+ . . . +в) nx
1
. . . x n
6 x n
1
+ . . . + x г) Неравенство Минковского.
(x
1
+ . . . + x n
)

1
x
1
+ . . . +
1
x n

> n
2 10.59. Докажите, что если x + y + z = 6, то x
2
+ y
2
+ z
2
> 12.
10.60. Неравенство Гёльдера. Пусть p и q — положительные числа, причем 1/p + 1/q = 1. Докажите, что a
1
b
1
+ a
2
b
2
+ . . . + a n
b n
6 (a p
1
+ a p
2
+ . . . + a p
n
)
1/p
(a q
1
+ a q
2
+ . . . + a Определение. Для любого действительного α 6= 0 средним степенным чисел x
1
, . . . , x порядка α называется число) =

x
α
1
+ . . . + x
α
n Частными случаями средних степенных являются среднее гармоническое, среднее арифметическое (α = 1), среднее квадратическое
(α = 2)
. Средним степенным порядка 0 будем считать среднее геометрическое. Неравенства. Докажите, что выполняются классические неравенства между средними степенными S
0
(x)
6 S
1
(x)
6 S
2
(x).
10.62. Докажите, что если α < β и αβ 6= 0, то S
α
(x)
6 S
β
(x).
10.63
*
. Докажите, что если α < 0 < β, то S
0
(x)
6 причем lim
α
→
−0
S
α
(x) =
lim
β
→
+0
S
β
(x) = S
0
(x).
10.64. Докажите, что если α < β, то S
α
6 S
β
, причем равенство возможно только когда x
1
= x
2
= . . . = x n
4. Симметрические неравенства. Докажите неравенства:
а) x
4
+ y
4
+ z
4
> x
2
yz + xy
2
z + б) x
3
+ y
3
+ z
3
> в) x
4
+ y
4
+ z
4
+ t
4
> г) x
5
+ y
5
> x
3
y
2
+ Определение. Пусть имеется несколько неотрицательных переменных для определенности, три переменные x, y и z. Наборы из такого же количества целых неотрицательных чисел, α = (k, j, i), где k > j > будем называть показателями. Через T
α
(x, y, z) = T
(k,j,i)
(x, y, будем обозначать симметрический многочлен, y, z) =
X
{a,b,c}={k,j,i}
x a
y b
z суммирование ведется по всем наборам, b, c} в количестве 3! являющимися перестановками чисел, j, Например неравенства из задачи
10.65
можно переписать в виде:
а) T
(4,0,0)
(x, y, z)
> T
(2,1,1)
(x, y, б) T
(3,0,0)
(x, y, z)
> T
(1,1,1)
(x, y, в) T
(4,0,0,0)
(x, y, z, t)
> T
(1,1,1,1)
(x, y, z, г) T
(5,0)
(x, y)
> T
(3,2)
(x, y)
10.66. Запишите через многочлены вида неравенства а) x
4
y + y
4
x
> x
3
y
2
+ б) x
3
yz + y
3
xz + z
3
xy
> x
2
y
2
z + y
2
z
2
x + z
2
x
2
y

4. Симметрические неравенства
149
Определение. Диаграммой Юнга, соответствующей показателям, называется лестница из n ступенек, у которой высота й ступеньки равна α
k
, а ширина — единице. Например


















Число s = α
1
+ α
2
+ . . . + α
n называется весом диаграммы Юнга. Напишите многочлены и нарисуйте соответствующие им диаграммы Юнга для следующих наборов а) (3, б) (3, 2, в) (3, 3, 0, г) (4, 1, 1, 0).
10.68. Найдите число всех диаграмм Юнга с весом s, если а) s = б) s = в) s = г) s = Определение. Пусть α = (α
1
, . . . , и β = (β
1
, . . . , β
n
)
— два набора показателей с равной суммой s = α
1
+ . . . + α
n
= β
1
+ . . . + Будем говорить, что α мажорирует β (α  β), если справедлива система неравенств β
1
,
α
1
+ α
2
> β
1
+ β
2
,
α
1
+ . . . + α
n−1
> β
1
+ . . . + β
n−1
,
α
1
+ . . . + α
n
= β
1
+ . . . + В этом случае будем также говорить, что диаграмма Юнга, соответствующая набору α, мажорирует диаграмму Юнга, соответствующую набору Например, (4, 2, 1)  (3, 2, 2), так как 4 > 3, 4 + 2 > 3 + 2, 4 + 2 + 1 =
= 3 + 2 + 2 10.69. Докажите, что α = (α
1
, α
2
, α
3
)
 β = (β
1
, β
2
, тогда и только тогда, когда β можно получить из α проделав несколько (может быть один разили ни одного) операцию, j, i)
−
→





(k − 1, j + 1, i)
(k − 1, j, i + 1)
(k, j − 1, i + Эту операцию можно представлять себе как сбрасывание одного кирпича вниз на диаграмме Юнга

150 10. Неравенства. Нарисуйте все лестницы из s = 4 кирпичей в порядке убывания, начиная с самой крутой (4, 0, 0, 0), и заканчивая самой пологой, 1, 1, а) Проверьте, что диаграммы Юнга (4, 1, 1) и (3, 3, 0) несравнимы ни одна из них не мажорирует другую. Есть ли еще такие несравнимые наборы с суммой б) Найдите все несравнимые пары наборов для s = 7.
10.72. Пусть T
α
(x, y, z)
> T
β
(x, y, для всех неотрицательных x,
y
, z. Докажите, что α  β.
10.73
*
. Неравенство Мюрхеда. Пусть = (α
1
, . . . , и = (β
1
, . . . , β
n
)
— два набора показателей с равной суммой. Докажите, что, если α  то при всех неотрицательных x
1
, . . . , x выполняется неравенство, . . . , x n
)
> T
β
(x
1
, . . . , x n
).
10.74. Выведите из неравенства Мюрхеда неравенство между средним арифметическими средним геометрическим.