alfutova(алгебра и теория чисел). Сборник задач для математических школ м мцнмо, 2002. 264 с Настоящее пособие представляет собой сборник задач по математике
 Скачать 2 Mb.
|
|
Сколько кирпичей нужно свалить, чтобы от набора (n, 0, . . . , из n чисел перейти к набору (1, 1, . . . , 1)? 10.75. Докажите следующие неравенства непосредственно и при помощи неравенства Мюрхеда: а) x 4 y 2 z + y 4 x 2 z + y 4 z 2 x + z 4 y 2 x + x 4 z 2 y + z 4 x 2 y > 2(x 3 y 2 z 2 + x 2 y 3 z 2 + + б) x 5 + y 5 + z 5 > x 2 y 2 z + x 2 yz 2 + в) x 3 + y 3 + z 3 + t 3 > xyz + xyt + xzt + yxt. 10.76. Докажите неравенства из задачи 10.36 при помощи неравенства Мюрхеда. Как будут выглядеть диаграммы Юнга для соответствующих функций Глава Последовательности и ряды. Конечные разности Определение. Пусть задана последовательность чисел n } = b 1 , b 2 , . . . , b n , . . Будем обозначать n } последовательность, состоящую из разностей соседних членов последовательности n }: ∆b n = b n+1 − b n (n = 1, 2, . . . Считается, что b 0 = 0 .) ∆ называется разностным оператором ∗) или оператором конечной разности. Найдите а) б) ∆n(n − в) ∆n г) ∆C k n 11.2. Пусть даны последовательности чисел n } и {b n }, связанные соотношением ∆b n = a n , (n = 1, 2, . . . ). Как связаны частичные суммы последовательности n } S n = a 1 + a 2 + . . . + a с последовательностью n }? 11.3. Найдите последовательность n } такую, что ∆a n = n 2 . Используя результат предыдущей задачи, получите формулу для суммы 2 + 2 2 + 3 2 + . . . + n 2 11.4. Выведите формулу для суммы 1 3 + 2 3 + 3 3 + . . . + n 3 11.5. Докажите тождество n X k=0 1 F 2 k = 3 − F 2 n −1 F 2 n (n > Оператор — это отображение, действующее на множестве функций, последовательностей или других отображений 152 11. Последовательности и ряды Определение. Для функции f(x) выражение f(x + 1) − f(x) будем обозначать ∆f(x) и называть конечной разностью первого порядка. Конечные разности более высокого порядка определяются индуктивно: ∆ n f(x) = ∆(∆ n−1 f(x)) (n > считается, что ∆ 0 f(x) = f(x) ). 11.6. Докажите, что если Q(x) — многочлен степени m + 1, то) = ∆Q(x) — многочлен степени m. 11.7. Докажите, что для любого многочлена P(n) степени m существует единственный многочлен Q(n) степени m + 1 такой, что выполнены два условия ∆Q(n) = P(n) и Q(0) = 0. 11.8. Докажите формулу f(x) = n X k=0 C k n (−1) n−k f(x + k). 11.9. Докажите равенство f(x + n) = n X k=0 C k n ∆ k f(x). 11.10. Пусть f(x) — многочлен степени m. Докажите, что если m < n , то ∆ n f(x) = 0 . Чему равна величина ∆ m f(x) = 0 ? 11.11. Вычислите сумму n X k=0 C k n (−1) k 1 − k n n 11.12. Докажите, что для всех m в промежутке 1 6 m < n выполняется равенство k m C k n = См. также. Пусть числа y 0 , y 1 , . . . , y таковы, что для любого многочлена) степени m < n справедливо равенство k = Докажите, что y k = λ(−1) k C k n , где λ — некоторое фиксированное число 1. Конечные разности 11.14. Докажите следующие свойства оператора конечной разности, подобные свойствам оператора дифференцирования: а) ∆ 1 b n = − ∆b n b n b б) ∆ a n b n = b n ∆a n − a n ∆b n b n b n+1 11.15. Найдите представление для ∆(a n ·b через ∆a и ∆b n . Сравните полученную формулу с формулой для производной произведения двух функций 0 . Разностный аналог формулы Лейбница. Для ой производной произведения двух функций существует формула Лейбница f(x)g(x) (n) = n X k=0 C k Докажите её разностный аналог f(x)g(x) = n X k=0 C k n ∆ k f(x)∆ (n−k) g(x). ( ∗) 11.16. Экспонентой y = e называется такая функция, для которой выполнены условия y 0 (x) = и y(0) = 1. Какая последовательность будет обладать аналогичными свойствами, если производную заменить на разностный оператор ∆? 11.17. Преобразование Абеля. Для подсчета интегралов используется формула интегрирования по частям. Докажите следующие две формулы, которые являются дискретным аналогом интегрирования по частями называются преобразованием Абеля: n−1 X x=0 f(x)g(x) = f(n) n−1 X x=0 g(x) − n−1 X x=0 ∆f(x) x X z=0 g(z), n−1 X x=0 f(x)∆g(x) = f(n)g(n) − f(0)g(0) − n−1 X x=0 g(x + 1)∆f(x). 11.18. Найдите последовательность n } такую, что ∆a n = Вспомните как вычисляют x dx .) 11.19. Найдите 154 11. Последовательности и ряды ад б 1 k 2 − е − в 1 k(k + 1)(k + ж k г − 1) 2 k k(k + 1) ; 11.20. При помощи преобразования Абеля вычислите следующие суммы: а) n P k=1 k 2 q б sin в Определение. В дальнейшем под символом C n будем понимать многочлен x = x(x − 1) . . . (x − n + определенный для всех действительных x. При целых x > n его значения будут совпадать с обычными биномиальными коэффициентами. Интерполяционная формула Ньютона. а) Докажите, что для любого многочлена f(x) степени n существует единственное представление его в виде f(x) = d 0 C 0 x + d 1 C 1 x + . . . + d n C n Здесь и далее биномиальный коэффициент C k интерпретируется как многочлен от переменной x. В частности, нижний индексу биномиального коэффициента может быть любым действительным числом. (См. также 6.79 .) б) Докажите, что коэффициенты d 0 , d 1 , . . . , d в этом представлении вычисляются по формуле d k = ∆ k f(0) (0 6 k 6 n). 11.22. Целозначные многочлены. Пусть многочлен f(x) степени принимает целые значения в точках x = 0, 1, . . . , n. Докажите, что f(x) = d 0 C 0 x + d 1 C 1 x + . . . + d n C n где d 0 , d 1 , . . . , d n — некоторые целые числа. Для многочлена f(x) = x 3 − x найдите ∆ 2 f(x) . Объясните, не применяя соображения делимости, почему f(x) ... 6 при всех целых x. 11.24. Докажите, что многочлен f(x) степени n принимает целые значения в точках x = 0, 1, . . . , n, то он принимает целые значения для любого целого x. 2. Рекуррентные последовательности 11.25. а) Пусть q — натуральное число и функция f(x) = cq x + a n x n + . . . + a 1 x + принимает целые значения при x = 0, 1, 2, . . . , n + 1. Докажите, что при любом целом x > 0 число f(x) также будет целым. б) Пусть выполняются условия пункта аи) делится на некоторое m > 1 при x = 0, 1, 2, . . . , n + 1. Докажите, что f(x) делится на m при всех целых x > 0. 11.26. Докажите, что при всех натуральных n число f(n) = 2 2n−1 − − 9n 2 + 21n − делится на 27. 11.27 * . Для каких натуральных n в выражении 2 ± 2 2 ± 3 2 ± . . . ± можно так расставить знаки + и −, что в результате получится Определение. Пусть функция f(x, y) задана во всех точках плоскости с целыми координатами. Назовем функцию f(x, y) гармонической, если ее значение в каждой точке равно среднему арифметическому значений функции в четырех соседних точках, то есть f(x, y) = 1 4 (f(x + 1, y) + f(x − 1, y) + f(x, y + 1) + f(x, y − 1)). 11.28. Пусть f(x, y) и g(x, y) — гармонические функции. Докажите, что для любых a и b функция af(x, y) + bg(x, y) также будет гармонической. Пусть f(x, y) — гармоническая функция. Докажите, что функции ∆ x f(x, y) = f(x+1, y)−f(x, и ∆ y f(x, y) = f(x, y+1)−f(x, также будут гармоническими. Дискретная теорема Лиувилля. Пусть f(x, y) — ограниченная гармоническая функция, то есть существует положительная константа M такая, что, y) ∈ Z 2 |f(x, y)| 6 Докажите, что функция f(x, y) равна константе. Рекуррентные последовательности Определение. Последовательность чисел a 0 , a 1 , . . . , a n , . . . , которая удовлетворяет с заданными p и q соотношению a n+2 = pa n+1 + qa n (n = 0, 1, 2, . . . ) (11.2) 156 11. Последовательности и ряды называется линейной рекуррентной (возвратной) последовательностью второго порядка. Уравнение x 2 − px − q = называется характеристическим уравнением последовательности n }. 11.31. Докажите, что если числа a 0 , фиксированы, то все остальные члены последовательности n } определяются однозначно. Докажите, что геометрическая прогрессия n } = bx удовлетворяет соотношению ( 11.2 ) тогда и только тогда, когда x 0 — корень характеристического уравнения ( 11.3 ) последовательности n }. 11.33. Пусть характеристическое уравнение ( 11.3 ) последовательности имеет два различных корня и x 2 . Докажите, что при фиксированных a 0 , существует ровно одна пара чисел c 1 , c 2 такая, что a n = c 1 x n 1 + c 2 x n 2 (n > 0). 11.34. Пусть характеристическое уравнение ( 11.3 ) последовательности имеет корень кратности 2. Докажите, что при фиксированных, существует ровно одна пара чисел c 1 , такая, что a n = (c 1 + c 2 n)x n 0 (n > 0). 11.35. Найдите формулу го члена для последовательностей, заданных условиями (n > 0): a) a 0 = 0 , a 1 = 1 , a n+2 = 5a n+1 − 6a б) a 0 = 1 , a 1 = 1 , a n+2 = 3a n+1 − 2a в) a 0 = 1 , a 1 = 1 , a n+2 = a n+1 + a г) a 0 = 1 , a 1 = 2 , a n+2 = 2a n+1 − a д) a 0 = 0 , a 1 = 1 , a n+2 = 2a n+1 + a n 11.36. При возведении числа 1 +в различные степени, можно обнаружить некоторые закономерности + √ 2) 1 = 1 + √ 2 = √ 2 + √ 1, (1 + √ 2) 2 = 3 + 2 √ 2 = √ 9 + √ 8, (1 + √ 2) 3 = 7 + 5 √ 2 = √ 50 + √ 49, (1 + √ 2) 4 = 17 + 12 √ 2 = √ 289 +Для их изучения определим числа a и b при помощи равенства + √ 2) n = a n + b n √ 2 , (n > 0). (См. также 2. Рекуррентные последовательности 157 а) Выразите через a и b число (1 − √ 2) n б) Докажите равенство a 2 n − 2b 2 n = в) Каким рекуррентным уравнениям удовлетворяют последовательности и {b г) Пользуясь пунктом а, найдите формулы го члена для последовательностей и {b д) Найдите связь между числами a n , b и подходящими дробями к числу 11.37. Рассмотрим равенства + √ 3 = √ 4 + √ 3, (2 + √ 3) 2 = √ 49 + √ 48, (2 + √ 3) 3 = √ 676 + √ 675, (2 + √ 3) 4 = √ 9409 +Обобщите результат наблюдения и докажите возникшие у вас догадки. Докажите, что уравнение + y √ 5) 4 + (z + t √ 5) 4 = 2 +не имеет решений в рациональных числах x, y, z, t. 11.39. Найдите все целочисленные решения уравнения a 2 n − 3b 2 n = 1 11.40. Докажите, что произвольная последовательность Q n , заданная условиями α, Q 1 = β, Q n+2 = Q n+1 + Q n (n > может быть выражена через числа Фибоначчи F n и числа Люка Определение. Многочлены Фибоначчи F n (x) (n > 0) задаются при помощи начальных условий F 0 (x) = 0 , F 1 (x) = и рекуррентного соотношения Аналогично, многочлены Люка определяются равенствами) = 2, L 1 (x) = x, L n+1 (x) = x L n (x) + L n−1 (x) (n > 1). 11.41. Многочлены Фибоначчи и Люка. Вычислите несколько первых многочленов Фибоначчи и Люка. Какие значения эти многочлены принимают при x = Докажите, что многочлены Люка связаны с многочлены Фибоначчи соотношениями (см. также 158 11. Последовательности и ряды а) L n (x) = F n−1 (x) + F n+1 (x) (n > б) F n (x) (x 2 + 4) = L n−1 (x) + L n+1 (x) (n > в) F 2n (x) = L n (x) · F n (x) (n > г) L n (x) 2 + L n+1 (x) 2 = F 2n+1 (x)(x 2 + 4) (n > д) F n+2 (x) + F n−2 (x) = (x 2 + 2)F n (x) (n > 2). 11.42. Разложите функции ив цепные дроби, (См. также. Получите формулу для многочленов Фибоначчи и Люка аналогичную формуле Бине. (См. также 3.126 и 11.75 .) 11.44. Докажите, что многочлены Фибоначчи и Люка связаны с многочленами Чебышёва равенствами n , 2T n x 2 = L n (ix) i n 11.45. Укажите явный вид коэффициентов в многочленах и L n (x) . Решите задачи 3.129 и 3.130 используя многочлены Фибоначчи. Лягушка-путешественница. Лягушка прыгает по вершинам треугольника ABC, перемещаясь каждый разв одну из соседних вершин. Сколькими способами она может попасть изв за n прыжков. Лягушка прыгает по вершинам шестиугольника каждый раз перемещаясь в одну из соседних вершина) Сколькими способами она может попасть изв за n прыжков? б) Тот же вопрос, но при условии, что ей нельзя прыгать в D? в) ∗ Лягушка-сапер. Пусть путь лягушки начинается в вершине а в вершине D находится мина. Каждую секунду она делает очередной прыжок. Какова вероятность того, что она еще будет прыгать через секунд Какова средняя продолжительность жизни таких лягушек. Докажите, что для любого числа p>2 найдется такое число что s 2 + r 2 + . . . + q 2 + p 2 + p | {z } n радикалов β 2 n − β −2 n 11.49. Садовник, привив черенок редкого растения, оставляет его расти два года, а затем ежегодно берет от него по 6 черенков. С каждым новым черенком он поступает аналогично. Сколько будет растений и черенков нам году роста первоначального растения. Найдите у чисел 2. Рекуррентные последовательности 159 а) (6 +б) (6 впервые знаков после запятой. Докажите, что при всех натуральных n выполняется сравнение. Докажите, что последовательность a n = 1 + 17n 2 (n > содержит бесконечно много квадратов целых чисел. Определим последовательности n } и {y n } при помощи условий Найдите выражение для x и y через n и α. 11.54. Пять моряков высадились на остров и к вечеру набрали кучу кокосовых орехов. Дележ отложили наутро. Один из них, проснувшись ночью, угостил одним орехом мартышку, а из остальных орехов взял себе точно 1/5 часть, после чего лег спать и быстро уснул. За ночь также поступили один за другими остальные моряки при этом каждый не знало действиях предшественников. Наутро они поделили оставшиеся орехи поровну, но для мартышки в этот раз лишнего ореха не осталось. Каким могло быть наименьшее число орехов в собранной куче? Определение. Последовательность чисел a 0 , a 1 , . . . , a n , . . . , которая при заданных b 0 , . . . , b удовлетворяет соотношениям a n+k = b k−1 a n+k−1 + . . . + b 0 a n (n = 0, 1, 2, . . . называется линейной рекуррентной (возвратной) последовательностью го порядка. Уравнение x k − b k−1 x k−1 − . . . − b 0 = называется характеристическим уравнением последовательности n }. 11.55 * . Как будет выглядеть формула го члена для рекуррентной последовательности го порядка, если a) характеристическое уравнение имеет простые корни x 1 , . . . , x б) характеристическое уравнение имеет корни x 1 , . . . , x с кратно- стями α 1 , . . . , α m соответственно. Пусть характеристическое уравнение ( 11.3 ) последовательности) имеет комплексные корни x 1,2 = a ± ib = re ±iϕ . Докажите, что для некоторой пары чисел c 1 , будет выполняться равенство a n = r n (c 1 cos nϕ + c 2 sin nϕ). 160 11. Последовательности и ряды. Найдите формулу го члена для последовательностей, заданных условиями (n > 0): a) a 0 = 0, a 1 = 1, a n+2 = 4a n+1 − 5a б) a 0 = 1, a 1 = 2, a n+2 = 2a n+1 − 2a в) a 0 = 1, a 1 = 2, a n+2 + a n+1 + a n = г) a 0 = 1, a 1 = 8, a n+2 = 6a n+1 + 25a n 11.58. Каким рекуррентным соотношениям вида ( 11.4 ) удовлетворяют последовательности a) a n = б) a n = n 3 ? 11.59. Пусть (1 + √ 2 + √ 3) n = p n + q n √ 2 + r n √ 3 + s n √ 6 (n > 0). Найдите: а) lim n →∞ p n q б) lim n →∞ p n r в) lim n →∞ p n s n . (См. также. Производящие функции Определение. Выражения вида) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + . . . + a n x n + . . называются формальными степенными рядами. Формальные степенные ряды можно складывать, вычитать, умножать, делить, дифференцировать и устраивать их композицию, небес- покоясь о сходимости. Определение. Производной формального степенного ряда (называется ряд) = a 1 + 2a 2 x . . . + na n x n−1 + . . . 11.60. Найдите произведения следующих формальных степенных рядов: а) (1 + x + x 2 + x 3 + . . . )(1 − x + x 2 − x 3 + . . . б) (1 + x + x 2 + x 3 + . . . в + x + x 2 2! + . . . + x n n! + . . . 1 − x + x 2 2! − . . . + (−x) n n! + . . . 11.61. Обращение степенного ряда. Докажите, что если a 0 6= то для ряда F(x) существует ряд F −1 (x) = b 0 + b 1 x + . . . + b n x n + . . такой, что F(x)F −1 (x) = 1 11.62. Вычислите: а) (1 + б) (1 − в) (1 − Определение. Пусть n } = a 0 , a 1 , . . . — произвольная числовая последовательность. Формальный степенной ряд) = a 0 + a 1 x + . . . + a n x n + . . . 3. Производящие функции 161 будем называть производящей функцией этой последовательности. Пусть F(x) — производящая функция последовательности Докажите равенство a n = F (n) (x) n! x=0 11.63 0 . Докажите, что для нечётных p выполняется равенство 2 )) например) = F 3n F 3 (p = 3); F n (11) = F 5n F 5 (p = 5); F n (29) = F 7n F 7 (p = 7). 11.64. Вычислите производящие функции следующих последова- тельностей: а) a n = б) a n = в) a n = C n m 11.65. Вычислите суммы: а) C 1 n + 2C 2 n + 3C 3 n + . . . + nC n б) C 1 n + 2 2 C 2 n + 3 2 C 3 n + . . . + n 2 C n n 11.66. Пусть a n — число решений уравнения x 1 + . . . + x k = в целых неотрицательных числах и F(x) — производящая функция последовательности. Докажите равенства: а) F(x) = (1 + x + x 2 + . . . б) F(x) = (1 − x) −k 11.67. Пусть, как и раньше, a n — число решений уравнения (в целых неотрицательных числах. Найдите формулу для a n , пользуясь задачей. (См. также. Докажите тождество + x + x 2 + . . . + x 9 )(1 + x 10 + x 20 + . . . + x 90 ) × ×(1 + x 100 + x 200 + . . . + x 900 ) . . . = 1 1 − См. также. Бином Ньютона для отрицательных показателей. Докажите, что для всех неотрицательных n выполняются равенства а) C k −n = (−1) k C k б) (1 + x) −n = ∞ P k=0 C k −n x k 162 11. Последовательности и ряды. Вычислите производящие функции следующих последова- тельностей: а) a n = C m б) a n = C m n 11.71. Счастливые билеты. Предположим, что у нас имеется 000 автобусных билетов с номерами от 000 000 до 999 999. Будем называть билет счастливым, если сумма первых трех цифр его номера равна сумме трех последних. Пусть N — количество счастливых билетов. Докажите равенства: а) (1 + x + . . . + x 9 ) 3 (1 + x −1 + . . . + x −9 ) 3 = x 27 + . . . + a 1 x + N + + a −1 x −1 + . . . + б) (1 + x + . . . + x 9 ) 6 = 1 + . . . + Nx 27 + . . . + x 54 11.72. Найдите число счастливых билетов. Определение. Назовем экспонентой степенной ряд) = 1 + z + z 2 2! + . . . + z n n! + . . . = ∞ X k=0 z k k! 11.73. Докажите следующие свойства экспоненты: а) Exp 0 (z) б) Exp((α + β)z) = Exp(αz) · См. также. Функции a, b и c заданы рядами a = 1 + C 3 n x 3 + C 6 n x 6 + . . . , b = C 1 n x + C 4 n x 4 + C 7 n x 7 + . . . , c = C 2 n x 2 + C 5 n x 5 + C 8 n x 8 + . . . Докажите, что a 3 + b 3 + c 3 − 3abc = (1 + См. также. Докажите, что производящая функцияпоследовательности чисел Фибоначчи) = F 0 + F 1 z + F 2 z 2 + . . . + F n z n + . . может быть записана в виде) = z 1 − z − z 2 = 1 √ 5 1 1 − ϕz − 1 1 где ϕ = 1 + √ 5 2 , b ϕ = 1 − √ 5 2 . Пользуясь результатом задачи 11.63 , получите формулу Бине. (См. также 3.126 и 11.43 .) 3. Производящие функции 11.76. Докажите, что бесконечная сумма + 0,01 + 0,002 + 0,0003 + 0,00005 + 0,000008 + 0,0000013 + . . сходится к рациональному числу. Найдите производящую функцию последовательности чисел Люка L(z) = L 0 + L 1 z + L 2 z 2 + . . . + L n z n + . . . Пользуясь этой функцией, выразите L n в замкнутой форме через ϕ и b ϕ . (См. также. Вычислите суммы а) ∞ P n=0 F n 2 n ; б) ∞ P n=0 L n 2 n 11.79. Производящие функции многочленов Фибоначчи и Люка. Найдите производящие функции последовательности многочленов Фибоначчи, z) = F 0 (x) + F 1 (x)z + F 2 (x)z 2 + . . . + F n (x)z n + . . и последовательности многочленов Люка, z) = L 0 (x) + L 1 (x)z + L 2 (x)z 2 + . . . + L n (x)z n + . . . 11.80. Производящие функции многочленов Чебышёва. Найдите производящие функции последовательностей многочленов Чебы- шва первого и второго рода (см, z) = ∞ X n=0 T n (x)z n , F U (x, z) = ∞ X n=0 U n (x)z n 11.81. Вычислите, используя производящие функции, следующие суммы: а) n−1 P k=0 2 k в б г sin kx. 11.81 0 . Найдите произвольную функцию линейной рекуррентной последовательности второго порядка (11.2) с начальными членами и Определение. Разбиением называется представление натурального числа в виде суммы натуральных слагаемых. Порядок слагаемых 164 11. Последовательности и ряды считается несущественным. Например, разбиения 3 = 1 + 2 и 3 = 2 + не различаются. Пусть p(n) — количество разбиений числа n. Докажите равенства k + x 2k + . . . ) . . . = = (1 − x) −1 (1 − x 2 ) −1 (1 − По определению считается, что p(0) = 1.) 11.83. На доске написано n натуральных чисел. Пусть a k — количество тех из них, которые больше k. Исходные числа стерли и вместо них написали все положительные a k . Докажите, что если с новыми числами сделать тоже самое, тона доске окажется исходный набор чисел. Например, для чисел 5, 3, 3, 2, получается следующая цепочка, 3, 3, 2) → (4, 4, 3, 1, 1) → (5, 3, 3, 2). 11.84. Докажите, что каждое целое положительное число n может быть 2 n−1 − различными способами представлено в виде суммы меньших целых положительных слагаемых, если два представления, отличающихся хотя бы порядком слагаемых, считать различными. Например, лишь 2 4−1 − 1 = следующих сумм имеют значение 4: 1 + 1 + 1 + 1, 1 + 1 + 2, 1 + 2 + 1, 2 + 1 + 1, 2 + 2, 1 + 3, 3 + 1. 11.85. Каждое положительное число n можно представить в виде суммы различных слагаемых, причем это можно сделать столькими же способами, сколькими способами это же число представимо в виде суммы различных слагаемых. Например, всевозможные представления числа 6 посредством различных слагаемых будут + 5, 2 + 4, 1 + 2 + посредством нечетных + 5, 3 + 3, 1 + 1 + 1 + 3, 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + Для доказательства этого факта обозначим через d(n) количество разбиений числа n на различные слагаемые, а через l(n) — на нечетные. Установите равенства: а) d(0) + d(1)x + d(2)x 2 + . . . = (1 + x)(1 + x 2 )(1 + x 3 ) . . б) l(0) + l(1)x + l(2)x 2 + . . . = (1 − x) −1 (1 − x 3 ) −1 (1 − в) d(n) = l(n) (n = 0, 1, 2, . . . Считается по определению, что d(0) = l(0) = 1.) 3. Производящие функции 11.86 * . Придумайте какое-либо взаимно однозначное соответствие между разбиениями натурального числа на различные и на нечетные слагаемые. В этом могут помочь диаграммы Юнга, уже упоминавшиеся в разделе, с 11.87. Определите коэффициент a в разложении) . . . = a 0 +a 1 x+a 2 x 2 +a 3 x 3 +. . См. также. Каков знак го члена в разложении произведения − a)(1 − b)(1 − c)(1 − d) . . . = = 1 − a − b + ab − c + ac + bc − abc − d + . . . (n = 0, 1, 2, . . . См. также. Найдите общую формулу для коэффициентов ряда − 4x) − 1 2 = 1 + 2x + 6x 2 + 20x 3 + . . . + a n x n + . . . 11.90. Переменные x и y связаны равенством x = y + y 2 + y 3 + . . . + y n + . . Разложите y по степеням x. 11.91. Переменные x и y связаны равенством x = y + y 2 2! + y 3 3! + . . . + y n n! + . . Разложите y по степеням x. 11.92. Пусть C(z) = ∞ P n=0 C n z n — производящая функция последовательности чисел Каталана {C n }. Докажите, что она удовлетворяет равенству) = zC 2 (z) + и получите явный вид функции C(z). (См. также 2.116 .) 11.93. Выведите формулы для чисел Каталана из задачи 2.115 , воспользовавшись результатом предыдущей задачи и равенством − где − 1) . . . (1/2 − n + 1) n! — обобщенные биномиальные коэффициенты (смотрите определение нас. Последовательности и ряды. Многочлены Гаусса Определение. Для целых неотрицательных k и l определим функции равенством g k,l (x) = (1 − x l+1 )(1 − x l+2 ) . . . (1 − x l+k ) (1 − x)(1 − x 2 ) . . . (1 − x k ) 11.94. Вычислите функции g при 0 6 k + l 6 4 и покажите, что все они являются многочленами. Докажите следующие свойства функций g а) g k,l (x) = h k+l (x) h k (x) · h где h m (x) = (1 − x)(1 − x 2 ) . . . (1 − x m ) (h 0 (x) = б) g k,l (x) = g в) g k,l (x) = g k−1,l (x) + x k g k,l−1 (x) = g k,l−1 (x) + x l g г) g k,l+1 (x) = g 0,l (x) + xg 1,l (x) + . . . + x k g д) g k,l (x) — многочлен относительно x степени Многочлены g называются многочленами Гаусса. Их свойства во многом аналогичны свойствам биномиальных коэффициентов. В частности, среди многочленов они играют туже роль, что и биномиальные коэффициенты среди чисел. Определение функций g не позволяет вычислять их значения при x = 1. Но, поскольку функции g являются многочленами, они определены и при x = 1. Докажите равенство g k,l (1) = C k k+l . Какие свойства биномиальных коэффициентов получаются, если в свойства б) – г) из задачи 11.95 |