alfutova(алгебра и теория чисел). Сборник задач для математических школ м мцнмо, 2002. 264 с Настоящее пособие представляет собой сборник задач по математике
 Скачать 2 Mb.
|
|
− 17x + на x + 2 6.45. При каком значении a многочлен P(x) = делится на x + 1? 6.46. Найдите остаток отделения многочлена) = x 81 + x 27 + x 9 + x 3 + x наб. Докажите, что многочлен P(x) = (x + 1) 6 − x 6 − 2x − делится на x(x + 1)(2x + 1). 6.48. Многочлен P(x) дает остаток 2 при делении на x−1, и остаток при делении на x−2. Какой остаток дает P(x) при делении на многочлен − 1)(x − 2) ? 88 6. Многочлены. Найдите необходимое и достаточное условие для того, чтобы выражение x 3 + y 3 + z 3 + k xyz делилось на x + y + z. 6.50. При каких n многочлен 1 + x 2 + x 4 + . . . + делится на + x + x 2 + . . . + x Определение. Пусть m(x) — неравный тождественно нулю многочлен. Два многочлена a(x) и b(x) называются сравнимыми по модулю m(x) , если их разность делится на m(x). Как и для чисел, соотношение сравнимости для двух многочленов записывается в виде a(x) ≡ b(x) ( mod m(x)). 6.51. Китайская теорема об остатках для многочленов. Пусть m 1 (x) , . . . , m попарно взаимно простые многочлены, то есть (m i (x), m j (x)) = при i 6= j, a 1 (x) , . . . , a n (x) — произвольные многочлены. Докажите, что тогда существует ровно один многочлен такой, что a 1 (x) ( mod m 1 (x)), p(x) ≡ a n (x) ( mod m и deg p(x) < deg m 1 (x) + . . . + deg m n (x) . (См. также 6.131 и 6.140 .) 6.52. Пусть P(x) = (2x 2 − 2x + 1) 17 (3x 2 − 3x + 1) 17 . Найдите a) сумму коэффициентов этого многочлена; б) суммы коэффициентов при четных и нечетных степенях x. 6.53. При каких a и b многочлен P(x) = (a + b)x 5 + abx 2 + делится на x 2 − 3x + 2 ? 6.54. Кубическое и квадратное уравнения с рациональными коэффициентами имеют общее решение. Докажите, что у кубического уравнения есть рациональный корень. Найдите остаток R(x) отделения многочлена x n + x + на x 2 − 1 6.56. Один из корней уравнения x 3 −6x 2 +ax−6 = равен 3. Решите уравнение. При каких значениях параметра a многочлен P(x) = x n +ax n−2 (n > 2) делится на x − 2? 6.58. При каких действительных p и q двучлен x 4 + делится на x 2 + px + q ? 2. Алгоритм Евклида для многочленов и теорема Безу 89 6.59. При каких a многочлен) = a 3 x 5 + (1 − a)x 4 + (1 + a 3 )x 2 + (1 − 3a)x − делится на x − 1? 6.60. Найдите все многочлены, которые удовлетворяют тождеству x P(x − 1) = (x − 26) P(x). 6.61. Дано уравнение x n − a n−1 x n−1 − . . . − a 1 x − a 0 = 0 , где a n−1 , . . . . . . , a 1 , a 0 > 0. Докажите, что это уравнение не может иметь двух положительных корней. Правило знаков Декарта. Докажите, что количество положительных корней многочлена f(x) = a n x n + . . . + a 1 x + не превосходит числа перемен знака в последовательности a n , . . . . . . , a 1 , a 0 6.63. Как правило знаков Декарта применить к оценке числа отрицательных корней многочлена f(x) = a n x n + . . . + a 1 x + a 0 ? 6.64. Докажите, что многочлен a 3 (b 2 − c 2 ) + b 3 (c 2 − a 2 ) + c 3 (a 2 − делится на (b − c)(c − a)(a − Определение. Наибольшим общим делителем двух или нескольких многочленов называется многочлен максимальной степени, на который делится каждый из данных. Как и для чисел, наибольший общий делитель многочленов P 1 (x) , . . . . . . , обозначается (P 1 (x), . . . , P k (x)) 6.65. Докажите, что из равенства P(x) = Q(x) T (x) + R(x) следует соотношение (P(x), Q(x)) = (Q(x), R(x)). 6.66. Алгоритм Евклида для многочленов. Пусть P(x) и Q(x) многочлены, причем Q(x) неравен нулю тождественно и Q(x) - Докажите, что при некотором s > 1 существуют многочлены A 0 (x) , 90 6. Многочлены, . . . , и R 1 (x) , . . . , такие, что deg Q(x) > deg R 1 (x) > deg R 2 (x) > . . . > deg R s (x) > 0, P(x) = Q(x) · A 0 (x) + R 1 (x), Q(x) = R 1 (x) · A 1 (x) + R 2 (x), R 1 (x) = R 2 (x) · A 2 (x) + R 3 (x), R s−2 (x) = R s−1 (x) · A s−1 (x) + R s (x), R s−1 (x) = R s (x) · и (P(x), Q(x)) = R s (x) . (Сравните с задачей. Пусть (P(x), Q(x)) = D(x). Докажите, что существуют многочлены) и V(x) такие, что deg U(x) < deg Q(x), deg V(x) < deg P(x), и) U(x) + Q(x) V(x) = Сравните с задачей. Найдите наибольший общий делитель многочленов P(x), и представьте его в виде P(x) U(x) + Q(x) а) P(x) = x 4 + x 3 − 3x 2 − 4x − 1 , Q(x) = x 3 + x 2 − x − б) P(x) = 3x 4 − 5x 3 + 4x 2 − 2x + 1 , Q(x) = 3x 3 − 2x 2 + x − 1. 6.69. Найдите (x n − 1, x m − 1) 6.70. Последовательность a 0 , a 1 , a 2 , . . . задана условиями a 0 = 0, a n+1 = P(a n ) (n > где P(x) — многочлен с целыми коэффициентами, P(x) > 0 при x > Докажите, что для любых натуральных m и k (a m , a k ) = a (m,k) 6.71. Решите систему x 6 − x 5 + x 4 − x 3 + 5x 2 = 5, x 6 − 2x 5 + 3x 4 − 4x 3 + 2x = 0. 6.72. При каком положительном значении p уравнения 3x 2 −4px+9 = = и x 2 − 2px + 5 = имеют общий корень. Найдите многочлены P(x) и Q(x) такие, что + 1) P(x) + (x 4 + 1) Q(x) = 1. 6.74. При помощи метода неопределенных коэффициентов (смотрите раздел, с) найдите такие линейные функции P(x) и Q(x), чтобы выполнялось равенство 3x + 2) + Q(x)(x 2 + x + 1) = 21. 2. Алгоритм Евклида для многочленов и теорема Безу 91 6.75. Найдите такие линейные функции P(x) и Q(x), чтобы выполнялось равенство 7x 2 + 7x − 2) + Q(x)(2x 3 + x 2 + x − 1) = 2x − 1. 6.76. Сколько представлений допускает дробь + 1 n(n + в виде суммы двух положительных дробей со знаменателями n и n + 1? 6.77. Схема Горнера. Значение многочлена) = a n x n + a n−1 x n−1 + . . . + a 1 x + a 0 (a n 6= в точке x = c можно вычислить, используя ровно n умножений. Для этого нужно представить многочлен в виде) = (. . . (a n x + a n−1 )x + . . . + a 1 )x + См. также 5.63 .) Пусть b n , b n−1 , . . . , b 0 — это значения выражений, которые получаются в процессе вычисления P n (c) , то есть b n = a n , b k = c · b k+1 + a k (k = n − 1, . . . , Докажите, что при делении многочлена нас остатком, у многочлена в частном коэффициенты будут совпадать с числами b n−1 , . . . , b 1 , а остатком будет число b 0 . Таким образом, будет справедливо равенство) = (x − c)(b n x n−1 + . . . + b 2 x + b 1 ) + b 0 6.78. Формулы сокращенного умножения. Докажите следующие равенства n+1 − b n+1 = (a − b)(a n + a n−1 b + . . . + b n ); a 2n+1 + b 2n+1 = (a + b)(a 2n − a 2n−1 b + a 2n−2 b 2 − . . . + b 2n ). 6.78 0 . Докажите, что при n > 2 n n−1 − 1 ... (n − 1) 2 6.79. Формула Тейлора для многочлена. Докажите, что любой многочлен можно единственным образом разложить по степеням − c) : P n (x) = n X k=0 c k · (x − c) k , 92 6. Многочлены причем коэффициенты c могут быть найдены по формуле c k = P (k) (x) k! x=c (0 6 k 6 См. также. Пользуясь схемой Горнера, разложите x 4 + 2x 3 − 3x 2 − 4x + по степеням x + 1. 6.81. Разложите P(x + 3) по степеням x, где P(x) = x 4 − x 3 + 1 3. Разложение на множители Метод неопределенных коэффициентов. В задачах о разложении многочленов на множители часто оказывается полезным подход, который называется методом неопределенных коэффициентов. Сначала записывается предполагаемое разложение с неизвестными (неопределенными) коэффициентами. После раскрытия скобок получается выражение, которое должно совпадать с исходным. Равенство коэффициентов при соответствующих одночленах дает систему уравнений, из которой находятся неопределенные коэффициенты, а, тем самыми разложение на множители. Соотношения на неопределенные коэффициенты можно также получать, подставляя в предполагаемое равенство конкретные значения переменных. Разложите на множители с действительными коэффициентами многочлены: а) x 4 + ж) (a + b + c) 3 − a 3 − b 3 − б) 2x 3 + x 2 + x − з) (x − y) 5 + (y − z) 5 + (z − в) x 10 + x 5 + и) a 8 + a 6 b 2 + a 4 b 4 + a 2 b 6 + г) a 3 + b 3 + c 3 − к) (x 2 + x + 1) 2 + 3x(x 2 + x + 1) + д) x 3 + 3xy + y 3 − л) a 4 + b 4 + c 4 − 2a 2 b 2 − 2a 2 c 2 − ем+ См. также. Можно ли разлложить на множители с целыми коэффициентами многочлен x 4 + x 3 + x 2 + x + 12 ? 6.84. Докажите, что многочлен x 4 +px 2 +q всегда можно разложить в произведение двух многочленов второй степени. Упростите выражение + b + c) 5 − a 5 − b 5 − c 5 (a + b + c) 3 − a 3 − b 3 − c 3 4. Многочлены с кратными корнями 6.86. Докажите, что при нечетном m выражение + y + z) m − x m − y m − z делится на + y + z) 3 − x 3 − y 3 − z 3 6.87. Пусть a, b, c — попарно различные числа. Докажите, что выражение неравно нулю. Докажите, что если три действительных числа a, b, c связаны соотношением + b + то обязательно какие-либо два из этих чисел в сумме дают ноль. Докажите, что если a + b + c = 0, то+ b 5 + c 5 ) = 5abc(a 2 + b 2 + c 2 ). 6.90. Теорема о рациональных корнях многочлена. Докажите, что если (p, q) = 1 и p/q — рациональный корень многочлена) = a n x n + . . . + a 1 x + с целыми коэффициентами, то а) a 0 ... б) a n ... Эти соотношения позволяют перечислить все рациональные числа, которые могут быть корнями данного многочлена. (См. также. Докажите при помощи предыдущей задачи, что иррациональное число. Докажите, что cos 20 ◦ — число иррациональное. Найдите рациональные корни многочленов: а) x 5 − 2x 4 − 4x 3 + 4x 2 − 5x + б) x 5 + x 4 − 6x 3 − 14x 2 − 11x − 3 6.94. Решите уравнения: а) x 4 + x 3 − 3a 2 x 2 − 2a 2 x + 2a 4 = б) x 3 − 3x = a 3 + a −3 4. Многочлены с кратными корнями Определение. Пусть P(x) = (x − a) k Q(x) , k > 1 и Q(a) 6= 0. Тогда число a называется корнем многочлена P(x) кратности k. Если a — 94 6. Многочлены корень кратности 1, то он называется простым корнем, если кратность больше 1, то число a называется кратным корнем. Докажите, что корень a имеет кратность больше 1 тогда и только тогда, когда P(a) = 0 и P 0 (a) = 0 6.96. Для данного многочлена P(x) опишем способ, который позволяет построить многочлен R(x), имеющий те же корни, что и P(x), но все кратности Положим Q(x) = (P(x), и R(x) = P(x) Q −1 (x) . Докажите, что а) все корни многочлена P(x) будут корнями б) многочлен R(x) не имеет кратных корней. Постройте многочлен R(x) из предыдущей задачи, если: а) P(x) = x 6 − 6x 4 − 4x 3 + 9x 2 + 12x + б) P(x) = x 5 + x 4 − 2x 3 − 2x 2 + x + 1 6.98. Докажите, что многочлен) = 1 + x + x 2 2! + . . . + x не имеет кратных корней. При каких A и B многочлен Ax n+1 + Bx n + имеет число x = не менее чем двукратным корнем. Докажите, что многочлен x 2n − nx n+1 + nx n−1 − при n > имеет трехкратный корень x = 1. 6.101. Докажите, что многочлен P(x) делится на свою производную тогда и только тогда, когда он имеет вид P(x) = a n (x − x 0 ) n 6.102. Докажите, что при n > 0 многочлен nx n+1 − (n + 1)x n + делится на (x − 1) 2 6.103. Докажите, что при n > 0 многочлен n 2 x n+2 − (2n 2 + 2n − 1)x n+1 + (n + 1) 2 x n − x − делится на (x − 1) 3 6.104. Докажите, что при n > 0 многочлен x 2n+1 − (2n + 1)x n+1 + (2n + 1)x n − делится на (x − 1) 3 6.105. Докажите, что многочлен) = a 0 + a 1 x + . . . + a n x n 5. Теорема Виета 95 имеет число −1 корнем кратности m тогда и только тогда, когда выполнены условия a 1 + a 2 − a 3 + . . . + (−1) n a n = 0, − a 1 + 2a 2 − 3a 3 + . . . + (−1) n na n = 0, − a 1 + 2 m a 2 − 3 m a 3 + . . . + (−1) n n m a n = См. также. Докажите, что многочлен) = (x n+1 − 1)(x n+2 − 1) . . . (x n+m − без остатка делится на) = (x 1 − 1)(x 2 − 1) . . . (x m − См. также. Теорема Виета Теорема Виета. Пусть x 1 , x 2 ,. . . , x n — корни многочлена a n x n + a n−1 x n−1 + a n−2 x n−2 + . . . + a 1 x + a 0 (a n 6= 0). Тогда справедливы равенства+ x 2 + . . . + x n = −a n−1 /a n , x 1 x 2 + x 2 x 3 + . . . + x n−1 x n = a n−2 /a n , x 1 x 2 . . . x n = (−1) n a 0 /a Определение. Многочлен, не изменяющийся при любых перестановках своих переменных, называется симметрическим. Многочлены σ 1 (x 1 , x 2 , . . . , x n ) = x 1 + x 2 + . . . + x n , σ 2 (x 1 , x 2 , . . . , x n ) = x 1 x 2 + x 2 x 3 + . . . + x n−1 x n , σ n (x 1 , x 2 , . . . , x n ) = x 1 x 2 . . . x называются элементарными симметрическими. Теорема. Всякий симметрический многочлен F(x 1 , . . . , x представим в виде многочлена от элементарных симметрических многочленов, и единственным образом (См. [ 23 ].) 96 6. Многочлены При этом коэффициенты G получаются из коэффициентов F только при помощи операций сложения, вычитания и умножения, то есть, если все коэффициенты F были целыми числами, то и коэффициенты также будут целыми числами. Задачи о выражении симметрических многочленов через элементарные симметрические могут быть решены при помощи метода неопределенных коэффициентов (см. с. Для нахождения искомого представления многочлена F(x 1 , . . . , x степени m достаточно рассмотреть сумму с неопределенными коэффициентами одночленов вида σ a 1 1 . . . σ a суммарная степень (a 1 + 2a 2 + . . . + na n ) каждого из которых равна m. 6.107. Выразите через элементарные симметрические многочлены следующие выражения: а) (x + y)(y + z)(x + г) (x 2 + y 2 )(y 2 + z 2 )(x 2 + б) x 3 + y 3 + z 3 − две. Известно, что a+b+c = 0, a 2 +b 2 +c 2 = 1 . Найдите a 4 +b 4 +c 4 6.109. Числа x, y, z удовлетворяют системе + y + z = Докажите, что хотя бы одно из этих чисел равно a. 6.110. Решите систему + y + z = a, x 2 + y 2 + z 2 = a 2 , x 3 + y 3 + z 3 = a 3 6.111. Найдите все значения параметра a, для каждого из которых корни x 1 , x 2 , многочлена x 3 − 6x 2 + ax + a удовлетворяют равенству 3) 3 + (x 2 − 3) 3 + (x 3 − 3) 3 = 0. 6.112. Постройте кубический многочлен, корни которого равны квадратам корней многочлена x 3 + x 2 − 2x − 1 = 0 6.113. Известно, что x 1 , x 2 , x 3 — корни уравнения x 3 − 2x 2 + x + 1 = Составьте кубической уравнение, корнями которого были бы числа y 1 = x 2 x 3 , y 2 = x 1 x 3 , y 3 = x 1 x 2 5. Теорема Виета 97 6.114. Выразите свободный член c кубического уравнения x 3 + ax 2 + bx + c = через коэффициенты a и b, зная, что корни этого уравнения образуют арифметическую прогрессию. Пусть известно, что все корни уравнения x 3 + px 2 + qx + r = положительны. Какому дополнительному условию должны удовлетворять его коэффициенты p, q и r для того, чтобы из отрезков, длины которых равны этим корням, можно было составить треугольника) Известно, что x + y = u + v, x 2 + y 2 = u 2 + Докажите, что при любом натуральном n выполняется равенство x n + y n = u n + v б) Известно, что x + y + z = u + v + t, x 2 + y 2 + z 2 = u 2 + v 2 + t 2 , x 3 + y 3 + z 3 = u 3 + v 3 + Докажите, что при любом натуральном n выполняется равенство x n + y n + z n = u n + v n + y n 6.117. Решите системы: а) x + y + z = 6, 1 x + 1 y + 1 z = 11 6 , xy + yz + xz = г 2 , 1 y + 1 x = 1 б + z) = 2, y(z + x) = 2, z(x + y) = д + y + z = 1, xy + xz + yz = −4, x 3 + y 3 + z 3 = в+ y 2 + x + y = 32, 12(x + y) = е+ y 2 = 12, x + y + xy = 9. 6.118. Числа a, b, c являются тремя из четырех корней многочлена x 4 − ax 3 − bx + c. 98 6. Многочлены Найдите все такие многочлены. Известно, что целые числа a, b, c удовлетворяют равенству a + b + c = 0 . Докажите, что 2a 4 + 2b 4 + 2c 4 — квадрат целого числа. Найдите зависимость между коэффициентами кубического уравнения ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 , если известно, что сумма двух его корней равна произведению этих корней. При каких a и b уравнение x 3 + ax + b = имеет три различных решения, составляющих арифметическую прогрессию. Путь a, b, c — стороны треугольника, p — его полупериметр, а r и R — радиусы вписанной и описанной окружностей соответственно. Составьте уравнение с коэффициентами, зависящими от p, r, R, корнями которого являются числа a, b, c. Докажите равенство 2rR 6.123. Решите в натуральных числах систему x + y = uv, u + v = xy. 6.124. В каком из двух уравнений сумма квадратов корней больше а) 4x 3 − 18x 2 + 24x = 8 , 4x 3 − 18x 2 + 24x = б) 4x 3 − 18x 2 + 24x = 11 , 4x 3 − 18x 2 + 24x = 12 ? 6. Интерполяционный многочлен Лагранжа. Решите уравнение c (x − a)(x − b) (c − a)(c − b) + b (x − a)(x − c) (b − a)(b − c) + a (x − b)(x − c) (a − b)(a − c) = x. 6.126. Докажите тождество c 2 (x − a)(x − b) (c − a)(c − b) + b 2 (x − a)(x − c) (b − a)(b − c) + a 2 (x − b)(x − c) (a − b)(a − c) = x 2 6.127. Пусть x 1 < x 2 < . . . < x n — действительные числа. Постройте многочлены f 1 (x) , f 2 (x) , . . . , f степени n−1, которые удовлетворяют условиями при i 6= j (i, j = 1, 2, . . . , n). 6.128. Опишите явный вид многочлена f(x) = f 1 (x) + f 2 (x) + . . . + f n (x), 6. Интерполяционный многочлен Лагранжа 99 где f i (x) — многочлены из предыдущей задачи. Пусть x 1 < x 2 < . . . < x n — действительные числа. Докажите, что для любых y 1 , y 2 , . . . , y существует единственнный многочлен степени не выше n − 1 такой, что f(x 1 ) = y 1 , . . . , f(x n ) = y n 6.130. Пусть A, B и C — остатки отделения многочлена P(x) на x − a , x − b и x − c. Найдите остаток отделения того же многочлена на произведение (x − a)(x − b)(x − Определение. Многочлен степени не выше n−1, значения которого в данных точках x 1 , . . . , x узлах интерполяции) совпадают с заданными числами y 1 , . . . , y n , называется интерполяционным многочленом Лагранжа. 6.131. Какие остатки дает многочлен f(x) из предыдущей задачи на многочлены вида (x − x i ) ? Проинтерпретируйте этот факт при помощи китайской теоремы об остатках для многочленов (см. Постройте многочлены f(x) степени не выше 2, которые удовлетворяют условиям: а) f(0) = 1, f(1) = 3, f(2) = б) f(−1) = −1, f(0) = 2, f(1) = в) f(−1) = 1, f(0) = 0, f(2) = 4. 6.133. Корабль с постоянной скоростью проплывает мимо небольшого острова. Капитан каждый час измеряет расстояние до острова. В и 15 часов расстояния равнялись 7, 5 и 11 километров соответственно. Каким было расстояние до острова в 13 часов Чему оно будет равно в 16 часов? 6.134. Два корабля двигаются с постоянными скоростями. Расстояния между ними, измеренные в 12, 14 и 15 часов равнялись 5, 7 и километра соответственно. Каким было расстояние между кораблями в 13 часов. На плоскости расположено 100 точек. Известно, что через каждые четыре из них проходит график некоторого квадратного трехчлена. Докажите, что все 100 точек лежат на графике одного квадратного трехчлена. Решите систему + ay + a 2 x + a 3 = 0, z + by + b 2 x + b 3 = 0, z + cy + c 2 x + c 3 = 0. 100 6. Многочлены. Пусть a, b и c — три различных числа. Докажите, что из системы + ay + a 2 z = 0, x + by + b 2 z = 0, x + cy + c 2 z = следуют равенства x = y = z = 0. 6.138. Про многочлен f(x) = x 10 + a 9 x 9 + . . . + известно, что f(1) = f(−1), . . . , f(5) = Докажите, что f(x) = f(−x) для любого действительного x. 6.139. Пусть P(x) = a n x n + . . . + a 1 x + a 0 — многочлен с целыми коэффициентами. Докажите, что хотя бы одно из чисел P(n + 1) |, . . . , |3 1 − P(1) |, |1 − не меньше 1. 6.140. Докажите, что если f(x) есть многочлен, степень которого меньше n, то дробь f(x) (x − x 1 )(x − x 2 ) . . . (x − x n ) (x 1 , x 2 , . . . , x n — произвольные попарно различные числа) может быть представлена в виде суммы n простейших дробей − x 1 + A 2 x − x 2 + . . . + A n x − x где A 1 , A 2 , . . . , A n некоторые константы. (См. также. Решите систему b 1 + x 2 a 1 − b 2 + . . . + x n a 1 − b n = 1, x 1 a 2 − b 1 + x 2 a 2 − b 2 + . . . + x n a 2 − b n = 1, x 1 a n − b 1 + x 2 a n − b 2 + . . . + x n a n − b n = 1. Глава Комплексные числа. Комплексная плоскость Определение. Комплексными числами называются числа вида z = = x + iy , где x и y — действительные числа, атак называемая мнимая единица, то есть число, квадрат которого равен −1; x называется действительной или вещественной частью z, а y — мнимой частью (обозначается x = Re z, y = Im z). Числа z с x = 0, y 6= 0 называются чисто мнимыми. Число z = x − iy называется комплексно сопряженным к числу z = x + iy. Множество всех комплексных чисел обозначается. Пусть z = x + iy, z 0 = x 0 + iy 0 . Найдите а) z + б) z · в) z/z 0 7.2. Проверьте равенства: а) z + z 0 = z + в) z/z 0 = б) z · z 0 = z · г) (z)= Определение. Каждому комплексному числу z = x + iy ставится в соответствие точка (x; y) на координатной плоскости Oxy и вектор с теми же координатами. Длина вектора r = √ x 2 + называется модулем числа z (r = |z|). Угол ϕ, отложенный на плоскости Oxy против часовой стрелки от оси Ox до вектора (x; y), называется аргументом числа z (r = arg z). Обычно считается, что функция arg z принимает значения от − π до Если = r, arg z = ϕ, то комплексное число z может быть записано в виде z = r(cos ϕ + i sin ϕ). Такая запись называется тригонометрической формой числа z. Представление z = x + iy называется алгебраической формой числа z. 7.3. Докажите равенства: а) z + z = 2 Re б) z − z = 2i Im в) z · z = |z| 2 7.4. Дайте геометрическую интерпретацию следующих неравенства+ z 2 | 6 |z 1 | + |z 2 |; б) |z 1 − z 2 | > |z 1 | − |z 2 | в − 1| 6 | arg если = 1. 102 7. Комплексные числа. Представьте в тригонометрической форме числа: а) 1 + г) sin π 6 + i б) 2 + √ 3 + д ϕ + i sin ϕ cos ϕ − i sin в) 1 + cos ϕ + i sin ϕ; 7.6. Какие множества на комплексной плоскости описываются следующими условиями: а) |z| 6 д) arg z − i z + з − i| + |z + i| = б − i| 6 е) Re(z 2 ) 6 ив ж + 1| = кг. Найдите min |3 + 2i − z| при |z| 6 1. 7.8. Запишите с помощью неравенств следующие множества точек на комплексной плоскости: а) полуплоскость, расположенная строго левее мнимой оси; б) первый квадрант, не включая координатных осей; в) множество точек, отстоящих от мнимой осина расстоянии, меньшем двух; г) полукруг радиуса 1 (без полуокружности) с центром в точке расположенный не выше действительной оси. Изобразите на комплексной плоскости множество точек z, удовлетворяющих условию − 1 − i| = 2|z + 1 − i|. 7.10. Окружность Аполлония. Докажите, что на комплексной плоскости равенством − a| = k|z − b| при k 6= 1 задается окружность и b — действительные числа. Докажите, что для произвольных комплексных чисел и выполняется равенство+ z 2 | 2 + |z 1 − z 2 | 2 = Какой геометрический смысл оно имеет. Докажите, что при любых вещественных a j , b j (1 6 j 6 выполняется неравенство p (a 1 + a 2 + . . . + a n ) 2 + (b 1 + b 2 + . . . + b n ) 2 6 6 p a 2 1 + b 2 1 + p a 2 2 + b 2 2 + . . . + p a 2 n + b 2 n 1. Комплексная плоскость 7.13. Докажите, что если x + iy = (s + it) n , то x 2 + y 2 = (s 2 + t 2 ) n 7.14. Тождество Фибоначчи. Докажите равенство+ b 2 )(u 2 + v 2 ) = (au + bv) 2 + (av − См. также. Докажите, что квадратные корни из комплексного числа z = = a + ib находятся среди чисел w = ± r √ a 2 + b 2 + a 2 ± i r √ a 2 + b 2 − Как нужно выбрать знак пред вторым слагаемым в скобке, чтобы получить два нужных корня, а не сопряженные к ним числа (См. также 5.24 .) 7.16. Вычислите а − в + д − б + г + е − 5i 7.17. Решите в комплексных числах следующие квадратные урав- нения: а) z 2 + z + 1 = г) z 2 − (3 + 2i)z + 6i = б) z 2 + 4z + 29 = две+ 5 + 5i = 0 7.18. Решите в комплексных числах уравнения: а) z 4 − 4z 3 + 6z 2 − 4z − 15 = в) z 4 + (z − 4) 4 = б) z 3 + 3z 2 + 3z + 3 = г − ix 1 + ix = i 7.19. Как выглядит формула для корней биквадратного уравнения x 4 + px 2 + q = 0 , если p 2 − 4q < 0 ? 7.20. Докажите, что если = 1 (z 6= −1), то для некоторого действительного справедливо равенство z = (1 + it)(1 − it) −1 7.21. Постройте график функции y(x) = |x + √ x 2 − 1 | (x — произвольное действительное. Пусть точка z движется по единичной окружности против часовой стрелки. Опишите движение следующих точек а) в) 3z + д) (z − ж) Rz + ρz n (ρ < б) z + г) е) (z − 2) −1 ; 7.23. Точка z против часовой стрелки обходит квадрат с вершинами − i, 2 − i, 2 + 2i, −1 + 2i . Как при этом ведут себя точки 104 7. Комплексные числа a) б) в) z −1 ? 7.24. Формулы Муавра. Докажите две формулы Муавра. Первая из них описывает правило возведения в степень комплексного числа, представленного в тригонометрической форме z = r(cos ϕ + i sin ϕ): z n = r n ( cos nϕ + i sin nϕ) (n > Вторая позволяет вычислять все n корней й степени изданного числа k = r 1/n cos ϕ + 2kπ n + i sin ϕ + 2kπ n (k = 0, . . . , n − См. также. Найдите все значения корней: a) √ i ; б) 4 √ −1 ; в) √ −8i ; г) 3 √ 1 − де i √ 3 − 1 7.26. Докажите, что числа w k (k = 0, . . . , n − 1), являющиеся корнями уравнения w n = z при любом z располагаются в вершинах правильного угольника. (См. также. Докажите, что все корни уравнения z n = могут быть записаны в виде 1, α, α 2 , . . . , α n−1 7.28. Решите уравнения: а) z 4 = г) z 2 + |z| 2 = б) z 2 + |z| = 0; две. Найдите сумму степеней порядка s всех корней уравнения z n = 1 , где s — целое число. Докажите равенства: а) cos nϕ cos n ϕ = 1 − C 2 n tg 2 ϕ + C 4 n tg 2 ϕ − . . б nϕ cos n ϕ = C 1 n tg ϕ − C 3 n tg 3 ϕ + C 5 n tg 5 ϕ − . . . 7.31. Вычислите a) (1 + д) (1 + cos ϕ + i sin б) (1 + е) ( √ 3 + в + i √ 3 1 − ж ϕ + i sin ϕ cos ψ + i sin ψ n г − √ 3 − i 2 20 ; 7.32. Решите уравнение x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 = 0 1. Комплексная плоскость 7.33. Докажите, что многочлен x 44 + x 33 + x 22 + x 11 + 1 = делится на x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 = 0 7.34. Вычислите: а) б) cos 2π 7 · cos 4π 7 · cos 6π 7 7.35. а) Докажите, что многочлен) = ( cos ϕ + x sin ϕ) n − cos nϕ − x sin делится наб) Докажите, что многочлен) = x n sin ϕ − ρ n−1 x sin nϕ + ρ n sin(n − делится на x 2 − 2ρx cos ϕ + ρ 2 7.36. Докажите тождества а) x 2n − 1 = (x 2 − 1) n−1 Q k=1 x 2 − 2x cos kπ n + б) x 2n+1 − 1 = (x − 1) n Q k=1 x 2 − 2x cos 2kπ 2n + 1 + в) x 2n+1 + 1 = (x + 1) n Q k=1 x 2 + 2x cos 2kπ 2n + 1 + г) x 2n + 1 = n−1 Q k=0 x 2 − 2x cos (2k + 1)π 2n + 1 7.37. Используя формулу Муавра, докажите, что cos nx = T n ( cos x), sin nx = sin x U n−1 ( cos где и U n (z) — многочлены степени n. Вычислите эти многочлены в явном виде для n = 0, 1, 2, 3, 4, Определение. Многочлены и называются многочленами Чебышёва первого и второго рода соответственно. Проверьте, что многочлены Чебышёва и удовлетворяют начальным условиями рекуррентным формулам) = 2xT n (x) − T n−1 (x), U n+1 (x) = 2xU n (x) − См. также 106 7. Комплексные числа. Докажите, что у многочлена старший коэффициент равен единице, а все остальные коэффициенты — целые числа. Известно, что cos α ◦ = 1/3 . Является ли α рациональным числом. Пользуясь теоремой о рациональных корнях многочлена (см. 6.90 ), докажите, что если p/q ∈ Q и cos(p/q) ◦ 6= 0, ± 1/2, ± 1, то cos(p/q) ◦ — число иррациональное. Докажите, что cos n x = n X k=0 a k cos kx, sin n x = sin x n−1 X k=0 b k sin где a 0 , . . . , a n , b 0 ,. . . , b n−1 — рациональные числа. Найдите эти представления в явном виде для n = 2, 3, 4, 5. Выразите sin n x при четном n в виде sin n x = n P k=0 c k cos kx, а при нечетном — в виде sin n x = n P k=0 d k sin kx. 7.43. Известно, что sin α = 3/5. Докажите, что sin 25α имеет вид n 5 25 , где n — целое, не делящееся на 5. 7.44. Последовательность многочленов P 0 (x) = 1 , P 1 (x) = x , P 2 (x) = = x 2 − 1 , . . . задается условием) = x P n (x) − Докажите, что уравнение P 100 (x) = имеет 100 различных действительных корней на отрезке [−2; 2]. Что это за корни. Докажите равенство + i tg α 1 − i tg α n = 1 + i tg nα 1 − i tg nα 7.46. Докажите, что если z + z −1 = 2 cos α, то z n + z −n = 2 cos Как выражается z n + z −n через y = z + z −1 ? (См. также. При подстановке в многочлены Чебышёва числа x = cos получаются значения α) = cos nα, U n−1 ( cos α) = sin nα |