alfutova(алгебра и теория чисел). Сборник задач для математических школ м мцнмо, 2002. 264 с Настоящее пособие представляет собой сборник задач по математике

• Название: Сборник задач для математических школ м мцнмо, 2002. 264 с Настоящее пособие представляет собой сборник задач по математике
• Дата: 27.01.2020
• Размер: 2 Mb.
• Имя файла: alfutova(алгебра и теория чисел).pdf
• Тип: Сборник задач; #106051
• страница: 6 из 23

Сколько получится дробей со знаменателем d, если d — некоторый делитель числа n?
4.149. Тождество Гаусса. Докажите равенство) = где знак означает, что суммирование идет по всем делителям числа См. также. Вписанные ломаные. Окружность разделена n точками на n равных частей. Сколько можно составить различных замкнутых ломаных из n равных звеньев с вершинами в этих точках. Докажите равенства:
а) ϕ(m) ϕ(n) = ϕ((m, n)) ϕ([m, б) ϕ(mn) ϕ((m, n)) = ϕ(m) ϕ(n) (m, Следующая теорема является обобщением малой теоремы Ферма.
Теорема Эйлера. Пусть m > 1 и (a, m) = 1. Тогда имеет место сравнение a
ϕ(m)
≡ 1
(

mod См. также. Существует ли степень тройки, заканчивающаяся на 0001?
4.153. Докажите теорему Эйлера с помощью малой теоремы Ферма а) в случае, когда m = p б) в общем случае. Докажите, что 7 51
− делится на 103.
4.155. Пусть p > 2 — простое число. Докажите, что 5
p
− 2 ... 6p.
4.156. При помощи теоремы Эйлера найдите число x, удовлетворяющее сравнению ax + b ≡ 0 (mod m), где (a, m) = 1.
4.157. Докажите, что при любом целом a:
a) a
5
− a ... в) a
11
− a ... б) a
17
− a ... г) a
73
− a ... 2
· 3 · 5 · 7 · 13 · 19 · 37 · 73.
4.158. Докажите, что для любого нечетного числа m существует такое натуральное число n, что 2
n
− 1 ... m
4.159. Докажите, что при любом нечетном n число 2
n!
− делится на n.

5. Признаки делимости 4.160. Числа Кармайкла. Докажите, что для составного числа
561
справедлив аналог малой теоремы Ферма если (a, 561) = 1, то выполняется сравнение a
560
≡ 1 (mod Числа, обладающие этим свойством, называются числами Кармайк- ла.
4.161. Найдите все такие целые числа a, для которых число a
10
+ делится на 10.
4.162. Усиление теоремы Эйлера. m = p
α
1 1
. . . p
α
s s
— разложение натурального числа m на простые множители. Обозначим через наименьшее общее кратное чисел ϕ(p
α
1 1
)
, . . . , ϕ(p
α
s s
)
:
λ(m) = [ϕ(p
α
1 1
), . . . , ϕ(p
α
s Докажите, что для любого целого числа a такого, что (a, m) = 1, будет выполняться сравнение a
λ(m)
≡ 1
(
mod m).
5. Признаки делимости. Признаки делимости на 3, 9 и 11. Число N записано в десятичной системе счисления = a n
a n−1
. . . Докажите следующие признаки делимости:
а) N ... 3
⇐⇒ a n
+ a n−1
+ . . . + a
1
+ a
0
... б) N ... 9
⇐⇒ a n
+ a n−1
+ . . . + a
1
+ a
0
... в) N ... 11
⇐⇒ ±a n
∓ a n−1
± . . . − a
1
+ a
0
... 11 4.164. Может ли число, записываемое при помощи 100 нулей, единиц и 100 двоек, быть полным квадратом. Признаки делимости на 2, 4, 8, 5 и 25. Сформулируйте и докажите признаки делимости на числа 2, 4, 8, 5 и 25.
4.166. Найдите все числа вида xy9z, которые делились бы на 132.
4.167. Найдите все числа вида 13xy45z, которые делились бы на 792.
4.168. Цифровой корень числа. Рассмотрим число N, записанное в десятичной системе счисления. Найдем сумму цифр этого числа,
потом сложим цифры, которыми записана сумма и т. д. Будем продолжать этот процесс, пока в конце концов не получим однозначное число,
которое называют цифровым корнем числа N. Докажите, что цифровой корень сравним с N по модулю 9.

64 4. Арифметика остатков. Делится ли на 9 число 1234 . . . 500? (В записи этого числа подряд выписаны числа от 1 до 500.)
4.170. Докажите, что число 192021 . . . 7980 делится на 1980.
4.171. Докажите, что число abcd делится на 99 тогда и только тогда,
когда число ab + cd делится на 99.
4.172. Последовательность n
} устроена следующим образом x
1
=
= 3 2001
, а каждый следующий член равен сумме цифр предыдущего.
Найдите x
5 4.173. Найдите наименьшее число, запись которого состоит лишь из нулей и единиц, делящееся без остатка на 225.
4.174. Какие цифровые корни бывают у полных квадратов и полных кубов. Два числа a и b получаются друг из друга перестановкой цифр. Чему равен цифровой корень числа a − b?
4.176. Докажите, что если n > 6 — четное совершенное число, то его цифровой корень равен 1.
4.177. На доске написано число 8
n
. У него вычисляется сумма цифру полученного числа вновь вычисляется сумма цифр, итак далее, до тех пор, пока не получится однозначное число. Что это за число, если n = 2001
?
4.178. Докажите ошибочность следующих записей:
а) 4237 · 27925 = в) 1965 2
= б) 42971064 : 8264 = г = 23 4.179. Коля Васин выписал примерна умножение, а затем заменил все цифры буквами одинаковые цифры одинаковыми буквами, а разные — разными. Получилось равенство ab · cd = effe. Не ошибся ли
Коля?
4.180. Докажите, что в записи числа 2 есть по крайней мере две одинаковые цифры, не вычисляя его. Существует ли число, которое является степенью 2 такое, что перестановкой его цифр можно получить другую степень 2?
4.182. Признак делимости на 19. Существует следующий способ проверить делится ли данное число N на 19:
1) отбрасываем последнюю цифру у числа N;
2) прибавляем к полученному числу произведение отброшенной цифры нас полученным числом проделываем операции 1) и 2) до тех пор,
пока не останется число, меньшее или равное 19.

5. Признаки делимости 4) если остается 19, тов противном случае 19 - Докажите справедливость этого признака делимости. Аналогичные признаки делимости существуют и для всех чисел вида 10n ± 1 и их делителей. Например, существует признак делимости на 21, из которого получается и признак делимости на Как устроен признак делимости на 21?
4.184. При каких x и y число xxyy является квадратом натурального числа. Найдите все такие трехзначные числа, которые враз больше суммы своих цифр. Докажите, что если числа N и 5N имеют одинаковую сумму цифр, то N делится на 9.
4.187. Двое пишут а) 30-значное; б) 20-значное число, употребляя только цифры 1, 2, 3, 4, 5. Первую цифру пишет первый, вторую второй, третью — первый и т. д. Может ли второй добиться того, чтобы полученное число разделилось на 9, если первый стремится ему помешать. Рассматриваются всевозможные семизначные числа с цифрами, записанными в произвольном порядке. Докажите,
что ни одно из них не делится ни на какое другое. Признак делимости Паскаля. Пусть запись числа N в десятичной системе счисления имеет вид N = a n
a n−1
. . . a
1
a
0
, r i
— остаток отделения числа 10
i на m (i = 0, . . . , n). Докажите, что число делится на m тогда и только тогда, когда число M = a n
r n
+ a n−1
+ . . .
. . . + a
1
r
1
+ делится на m.
4.190. С помощью признака делимости Паскаля установите признаки делимости на числа 3, 9, 6, 8, 12, 15, 11, 7, 27, Иногда в качестве r удобнее брать не остаток, а недостаток, то есть такое наибольшее неположительное число, что 10
i
≡ r i
(
mod m).
4.191. Опишите все системы счисления, в которых число делится на 2 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 2. Решите задачу, заменив модуль 2 произвольным натуральным числом m > 1.
4.192. Найдите наименьшее основание системы счисления, в которой одновременно имеют место следующие признаки делимости) число делится на 5 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 5;
2) число делится на 7 тогда и только тогда, когда число, составленное из двух его последних цифр, делится на 7.

66 4. Арифметика остатков. Докажите, что если необходимый и достаточный признак делимости, выражающийся через свойства цифр числа, не зависит от порядка цифр, то это признак делимости на 3 или на 9.
4.193 0
. Установите признаки делимости на а) 2, б) 3, в) 5, для чисел,
записанных в фибоначчевой системе счисления. Китайская теорема об остатках
Китайская теорема об остатках. Пусть целые числа m
1
, . . . , m попарно взаимно просты, то есть (m i
, m j
) = при i 6= j, m = m
1
. . . m и a
1
, . . . , a n
, A — произвольные целые числа. Тогда существует ровно одно целое число x такое, что a
1
(
mod m
1
),
x
≡ a n
(
mod m и A 6 x < A + m. (См. также
6.51
.)
Одним из важнейших применений китайской теоремы об остатках является система счисления в остатках. В ней целое число представляется набором его остатков (или вычетов) по взаимно простым модулям. В такой системе счисления операции с числами сводятся к операциям сих остатками. При каких целых n число a n
= n
2

+ 3n + делится на 55?
4.195. Найдите остатки от деления:
а) 19 наб на в) 17 наг на 100.
4.196. Натуральные числа m
1
, . . . , m попарно взаимно просты.
Докажите, что сравнение a
≡ b
(
mod m
1
· m
2
· . . . · m равносильно системе b
(
mod m
1
),
a
≡ b
(
mod m
2
),
a
≡ b
(
mod m n
).

6. Китайская теорема об остатках 4.197. Натуральные числа m
1
, . . . , m попарно взаимно просты. Докажите, что число x = (m
2
m
3
. . . m является решением системы 1
(
mod m
1
),
x
≡ 0
(
mod m
2
),
x
≡ 0
(
mod m n
).
4.198. Пользуясь результатом предыдущей задачи, укажите в явном виде число x, которое удовлетворяет системе (
4.3
).
4.199. Докажите китайскую теорему об остатках. Укажите все целые числа x, удовлетворяющие системам:
а)
x
≡ 3 (mod 5),
x
≡ 7 (mod б 2 (mod 13),
x
≡ 4 (mod 19).
4.201. Найдите наименьшее натуральное число, дающее приделе- нии на 2, 3, 5, 7 остатки 1, 2, 4, 6 соответственно. На столе лежат книги, которые надо упаковать. Если их связать в одинаковые пачки попоили по 6 книг, то каждый раз останется одна лишняя книга, а если связать по 7 книг в пачку, то лишних книг не останется. Какое наименьшее количество книг может быть на столе. Найдите остаток отделения числа 1000! на 10 250 4.204. Найдите наименьшее четное натуральное число a такое, что a + делится на 3, a + 2 — на 5, a + 3 — на 7, a + 4 — на 11, a + 5 на 13.
4.205. Пусть натуральные числа m
1
, m
2
, . . . , m попарно взаимно просты. Докажите, что если числа x
1
, x
2
, . . . , x пробегают полные системы вычетов по модулям m
1
, m
2
, . . . , m соответственно, то число x = x
1
m
2
. . . m n
+ m
1
x
2
m
3
. . . m n
+ . . . + m
1
m
2
. . . m n−1
x пробегает полную систему вычетов по модулю m
1
m
2
. . . m n
. Выведите отсюда китайскую теорему об остатках. Китайская теорема об остатках и функция Эйлера.
Докажите, что число x является элементом приведенной системы вычетов тогда и только тогда, когда числа a
1
, . . . , a n
, определенные сравнениями) принадлежат приведенным системам вычетов по модулям m
1
, . . . , m соответственно. Выведите отсюда мультипликативность функции Эйлера

68 4. Арифметика остатков. Предположим, что числа m
1
, . . . , m попарно взаимно просты. Докажите, что любую правильную дробь вида c
m
1
. . . m можно представить в виде алгебраической суммы правильных дробей вида n
i
/m i
(y = 1, . . . , n).

4.208. Какие цифры надо поставить вместо звездочек, чтобы число ∗ делилось на 2, 7 и 9?
4.209. Найдите наименьшее натуральное число, половина которого квадрат, треть — куба пятая часть — пятая степень. Числа-автоморфы. а) Трехзначное число 625 обладает своеобразным свойством самовоспроизводимости, как то 2
= 390 Сколько четырехзначных чисел удовлетворяют уравнению x
2
≡ x
(
mod б) Докажите, что при любом k существует ровно 4 набора из k цифр — 00 . . . 00, 00 . . . 01 и еще два, оканчивающиеся пятеркой и шестеркой обладающие таким свойством если натуральное число оканчивается одним из этих наборов цифр, то его квадрат оканчивается тем же набором цифр. Больное войско. Генерал хочет построить для парада своих солдат в одинаковые квадратные каре, но он не знает сколько солдат (от
1
до 37) находится в лазарете. Докажите, что у генерала может быть такое количество солдат, что он, независимо от заполнения лазарета,
сумеет выполнить свое намерение.
Например, войско из 9 человек можно поставить в виде квадрата 3, а если один человек болен, тов виде двух квадратов 2 × 2.
4.212. Восточный Календарь. В китайской натурфилософии выделяются пять первоэлементов природы — дерево, огонь, металл, вода и земля, которым соответствуют пять цветов — синий (или зеленый),
красный, белый, черный и желтый. В восточном календаре с древних времен используется летний животный цикл так, что каждому из годов в цикле соответствует одно из животных. Кроме того, каждый год проходит под покровительством одной из стихий и окрашивается в один из цветов:
годы, оканчивающиеся на 0 и 1 — годы металла (цвет белый);
годы, оканчивающиеся на 2 и 3 — это годы воды (цвет черный);
годы, оканчивающиеся на 4 и 5 — годы дерева (цвет синий

6. Китайская теорема об остатках
69
годы, оканчивающиеся на 6 и 7 — годы огня (цвет красный);
годы, оканчивающиеся на 8 и 9 — годы земли (цвет желтый).
В летнем календарном цикле каждое животное возникает 5 раз.
С помощью китайской теоремы об остатках объясните, почему оно все
5
раз бывает разного цвета

Глава Числа, дроби, системы счисления. Рациональные и иррациональные числа
Определение. Число α называется рациональным, если оно представимо в виде α = m/n, где m — некоторое целое, а n — натуральное числа. Все остальные действительные числа называются иррациональными. Множество всех рациональных чисел обозначается через Q. Два числа называются несоизмеримыми, если их отношение иррационально.
Определение. Десятичная дробь = 0,a
1
a
2
. . . a k
b
1
b
2
. . . b n
b
1
b
2
. . . b n
b
1
b
2
. . . b n
. . . где b
1
b
2
. . . b n
— наименьший по длине отрезок цифр, повторяющийся начиная с некоторого места, называется периодической десятичной дробью. Притом набор цифр b
1
b
2
. . . b называется периодом, набор a
1
a
2
. . . a k
— предпериодом, n — длиной периода и дробь записывается в виде = 0,a
1
a
2
. . . a k
(b
1
b
2
. . . b n
).
5.1. Представьте следующие рациональные числа в виде десятичных дробей:
а)
1 б в г 17 5.2. Найдите цифры a и b такие, для которых . . . = 0,bbbbb . . .
5.3. Найдите период дроби 49

= 0,0204081632 . . Как можно объяснить тот факт, что после запятой появляются степени числа 2?
5.4. Число Фейнмана. Объясните поведение следующей десятичной дроби и найдите ее период 243
= 0,004115226337448 . . .

1. Рациональные и иррациональные числа 5.5. Представьте следующие числа в виде обычных ив виде десятичных дробей:
а) 0,(12) + б) 0,(3) · в) 0,(9) − 0,(85).
5.6. Докажите, что число рационально тогда и только тогда, когда оно представляется конечной или периодической десятичной дробью. Для каких натуральных n число представляется конечной десятичной дробью. Пусть число α задается десятичной дробью а) α = 0,101001000100001000001 . . . б) α = 0,123456789101112131415 . . Будет ли это число рациональным. Докажите, что в любой бесконечной десятичной дроби можно так переставить цифры, что полученная дробь станет рациональным числом. Коля Васин задумал написать программу, которая дала бы возможность компьютеру печатать одну за другой цифры десятичной записи числа. Докажите, что даже если бы машина не ломалась, то
Колина затея все равно бы не удалась, и рано или поздно компьютер напечатал бы неверную цифру. Найдите все такие натуральные n, для которых и + представляется конечными десятичными дробями. Докажите, что среди чисел [2
k
√
2]
(k = 0, 1, . . . ) бесконечно многосоставных. Докажите иррациональность следующих чисел:
а)
3
√
17
;
г)
3
√
3 ж) sin б +д) cos з) log
2 в +
√
3 +е) tg 10
◦
;
5.14. Метод спуска. Докажите, что уравнения а) 8x
4
+ 4y
4
+ 2z
4
= в) x
2
+ y
2
+ z
2
+ u
2
= б) x
2
+ y
2
+ z
2
= г) 3
n
= x
2
+ не имеют решений в натуральных числах. Докажите, что уравнение x
3
+ x
2
y + y
3
= не имеет рациональных решений кроме (0; 0).

5.16. Может ли а) сумма двух рациональных чисел быть иррациональной?
б) сумма двух иррациональных чисел быть рациональной

72 5. Числа, дроби, системы счисления в) иррациональное число в иррациональной степени быть рациональным. Один из корней уравнения x
2
+ax+b = равен 1+
√
3
. Найдите и b, если известно, что они рациональны. Пусть a, b, c — различные простые числа. Докажите, что числа не могут быть членами одной арифметической прогрессии. Упростите выражение +
q
5 −
p
13 +
√
48.
5.20. Докажите равенство +
r
847 27
+
3
s
6 −
r
847 27
= 3.
5.21. Найдите первые 17 знаков в десятичной записи у чисел:
а)
1
√
1 +
√
2
+
1
√
2 +
√
3
+ . . . +
1
√
99 +б +
p3/2
√
2 +
p
2 +
√
3
+
√
2 −
p3/2
√
2 −
p
2 в − 57
| −
p
40
√
2 + 57 5.22. Вычислите:
а)
3
p
20 +
√
392 +
3
p
20 б + 7 −
3
p
5
√
2 − в x + 6
√
x − 9 +
p x − 6
√
x − 9
(9 6 x 6 18).
5.23. Задача Бхаскары. Упростите выражение q
10 +
√
24 +
√
40 +
√
60.
5.24. Формула сложного радикала. Докажите равенство a
±
√
b =
r a +
√
a
2
− b
2
±
r a −
√
a
2
− См. также. Докажите, что число +
√
3 +
√
5 +
√
7 +
√
11 +
√
13 +иррационально. При каких натуральных a и b число log a
b будет рациональным. Рациональные и иррациональные числа 5.27. Докажите, что sin x и cos x рациональны тогда и только тогда,
когда число tg(x/2) рационально. Дана квадратная сетка на плоскости и треугольник с вершинами в узлах сетки. Докажите, что тангенс любого угла в треугольнике число рациональное. Можно ли нарисовать правильный треугольник с вершинами в узлах квадратной сетки. Дан лист клетчатой бумаги. Докажите, что при n 6= 4 не существует правильного угольника с вершинами в узлах решетки. Докажите, что на окружности с центром в точке (лежит не более одной точки целочисленной решетки. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе:
а)
1 1 +г +
p
2 +ж 3
√
a +
3
√
b +
3
√
c б +
√
b две. При каких натуральных n число (
√
2 + 1)
n
− (
√
2 − 1)
n будет целым. Докажите следующие равенства:
а)
s
2 +
r
2 + . . . +
q
2 +радикалов +
√
3 +
1024
p
2 б +
r
2 + . . . +
q
2 +
√
2
|
{z
}
n радикалов 2
cos
π
2
n+1 5.35. Иррациональность числа e. Число e определяется равенством. Докажите, что а) e = lim n
→∞
(2 + 1/2! + 1/3! + . . . + б) e = 2 + 1/2! + 1/3! + . . . + 1/n! + r n
, где 0 < r n
6 в) e — иррациональное число.
(См. также. Число e и комбинаторика. Дано N точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Каждые две из этих точек соединены отрезком, и каждый отрезок окрашен в один из k цветов

74 5. Числа, дроби, системы счисления
Докажите, что если N > [k! e], то среди данных точек можно выбрать такие три, что все стороны образованного ими треугольника будут окрашены в один цвет. (См. также. Определим последовательности чисел n
} и {d n
} условиями x
1
= 1,
x n+1
= [
p
2x n
(x n
+ 1) ],
d n
= x
2n+1
− 2x
2n−1
(n > Докажите, что число
√
2
в двоичной системе счисления представляется в виде = (d
1
, d
2
d
3
. . . )
2
. (Двоичную запись числа
√
2
можно найти в приложении
В
.)
2. Десятичные дроби
Разложение рациональных чисел в десятичные дроби непосредственно связано со специальными числами, называемыми репьюнитами.
Определение. Репьюнитом порядка n называется число, состоящее из n единиц E
n
= 11 . . . 1
| {z }
n
Репьюниты существуют не только в десятичной системе счисления.
Но в других системах счисления они уже не будут связаны с десятичными дробями. Докажите, что равенство 1
m
= a
1
a
2
. . . a равносильно тому, что десятичное представление дроби 1/m имеет вид = 0, (a
1
a
2
. . . a n
)
5.39. Докажите, что если (m, 10) = 1, то существует репьюнит делящийся на m. Будет ли их бесконечно много. Как связаны между собой десятичные представления чисел и {10
k p/q
}?
5.41. Докажите, что если (m, 10) = 1, то у десятичного представления дроби 1/m нет предпериода.
Определение. Если у десятичной дроби отсутствует предпериод,
то такая дробь называется чисто периодической. Найдите возможные значения знаменателя обычной дроби вида, которая представляется чисто периодической десятичной дробью с двумя цифрами в периоде. Пусть (n, 10) = 1, m < n, (m, n) = 1, и t — наименьшее число такое, что 10
t
− 1 ... n
. Докажите, что t кратно длине периода дроби m/n
. Будет ли это длина периода

2. Десятичные дроби 5.44. Докажите, что если (m, 10) = 1, то частное 9E
n
/m
, записанное как n-значное число (возможно с нулями вначале) состоит из нескольких периодов десятичного представления дроби 1/m. Кроме того, если еще выполнены условия (m, 3) = 1 и E
n
— первый репьюнит, делящийся на m, то число 9E
n
/m будет совпадать с периодом. Докажите, что если (m, 30) = 1, то число, состоящее из цифр периода дроби 1/m делится на 9.
5.46
*
. Эффект девяток. Периодом дроби 1/7 является число N =
= 142857
. Оно обладает следующим свойством сумма двух половин периода — число из одних девяток (142 + 857 = 999). Докажите в общем случае, что для простого q > 5 и натурального p < q период дроби p/q есть 2n-значное число N = такое, что N
1
+ N
2
= 99 . . . 9
| {z }
n
5.47
*
. Загадочное число. Число N = 142857 обладает и рядом других свойств. Например 2 · 142 857 = 285 714, 3 · 142 857 = 428 571 . . . то есть приумножении на 1, 2, 3, . . . , 6 цифры циклически переставляются Аналогичные операции можно проделывать и с другими периодами дробей. Что получается для чисел 1/17, 1/19? Объясните эти факты. Обозначим через L(m) длину периода дроби 1/m. Докажите,
что если (m, 10) = 1, то L(m) является делителем числа ϕ(m).
5.49. Пусть (m, n) = 1. Докажите, что сумма длин периода и пред- периода десятичного представления дробине превосходит ϕ(m).
5.50. Докажите, что если (m
1
, 10) = и (m
2
, 10) = 1
, то справедливо равенство L(m
1
m
2
) = [L(m
1
), L(m
2
)]
. Чему равна длина периода дроби 1/m
1
+ 1/m
2
?
5.51. Найдите все шестизначные числа, которые уменьшаются втрое при перенесении последней цифры на первое место. Найдите все шестизначные числа, которые увеличиваются в целое число раз при перенесении последней цифры в начало. Докажите, что не существует целых чисел, которые от перестановки начальной цифры вконец увеличивались бы вили раз. Пусть число m имеет вид m = 2
a
5
b m
1
, где (10, m
1
) = Положим k = max(a, b). Докажите, что период дроби 1/m начинается с (й позиции после запятой, и имеет такую же длину, как и период дроби 1/m
1 5.55
*
. Найдите последние три цифры периодов дробей 1/107, 1/131,
1/151
. (Это можно сделать, не считая предыдущих цифр

76 5. Числа, дроби, системы счисления. Двоичная и троичная системы счисления. Имеются весы с двумя чашами и по одной гире в 1 грамм,
3
грамма, 9 грамм, 27 грамм и 81 грамм. Как уравновесить груз в
61
грамм, положенный на чашу весов. Дан мешок сахарного песка, чашечные весы и гирька в 1 г.
Можно ли за 10 взвешиваний отмерить 1 кг сахара. Летела стая гусей. На каждом озере садилась половина гусей и еще пол-гуся. Остальные летели дальше. Все гуси сели на n озерах.
Сколько всего гусей было в стае. Имеются 4 гири и двухчашечные весы без стрелки. Сколько всего различных повесу грузов можно точно взвесить этими гирями если а) гири можно класть только на одну чашку весов;
б) гири можно класть на обе чашки весов. Вы имеете право сделать 4 гири любого веса. Какие это должны быть гири, чтобы навесах из предыдущей задачи можно было взвесить грузы от 1 до 40 кг. а) Имеются две веревки. Если любую из них поджечь с одного конца, то она сгорит за час. Веревки горят неравномерно. Например,
нельзя гарантировать, что половина веревки сгорает за 30 минут. Как,