alfutova(алгебра и теория чисел). Сборник задач для математических школ м мцнмо, 2002. 264 с Настоящее пособие представляет собой сборник задач по математике

• Название: Сборник задач для математических школ м мцнмо, 2002. 264 с Настоящее пособие представляет собой сборник задач по математике
• Дата: 27.01.2020
• Размер: 2 Mb.
• Имя файла: alfutova(алгебра и теория чисел).pdf
• Тип: Сборник задач; #106051
• страница: 9 из 23

sin Что будет, если в многочлены Чебышёва подставить число x = sin α?
7.48. Пусть a, b — натуральные числа и (a, b) = 1. Докажите, что величина (
√
a + i
√
b)
n не может быть действительным числом за исключением случаев (a; b) = ( ± 1; ± 1), ( ± 1; ± 3), ( ± 3; ± 1).

1. Комплексная плоскость
107
Основная теорема алгебры. Всякий многочлен степени n (n > с действительными или комплексными коэффициентами имеет ровно с учетом кратности) комплексных корней. (См. [
20
], [
217
].)
7.49. Пусть многочлен с действительными коэффициентами имеет корень a+ib. Докажите, что число a−ib также будет корнем См. также. Докажите, что произвольный многочлен с действительными коэффициентами можно разложить в произведение многочленов первой и второй степени, которые также будут иметь действительные коэффициенты. Формула Эйлера. Пусть a и b — действительные числа.
Определим показательную функцию на множестве комплексных чисел равенством e
a+ib
=
lim n
→∞

1 +
a + ib Докажите формулу Эйлера a+ib
= e a
(
cos b + i sin Докажите также, что функции sin x и cos x допускают следующие представления через комплексную экспоненту x =
e ix
+ e
−ix
2
,
sin x =
e ix
− См. также
5.35
,
11.73
и
12.12
.)
7.52. Докажите, что для любых комплексных чисел z
1
, справедливо равенство e z
1
e z
2
= e z
1
+z
2
. (См. также. Перепишите формулы Муавра, используя вместо тригонометрических функций комплексную экспоненту. Как определить функцию ln z для комплексного аргумента z?
7.55. Как на комплексной плоскости определить показательную функцию a z
? (См. также. Придайте смысл равенству i
√
−1 = (−1)
1/i
≈ 23 1
7 7.57. Пусть z = e
2πi/n
=
cos
2π
n
+ i sin
2π
n
. Для произвольного целого вычислите суммы а) 1 + z a
+ z
2a
+ . . . + б) 1 + 2z a
+ 3z
2a
+ . . . + nz
(n−1)a
7.58. а) Докажите равенство ϕ + . . . + cos nϕ =
sin(nϕ/2) cos((n + 1)ϕ/2)
sin(ϕ/2)
;

108 7. Комплексные числа б) Вычислите сумму ϕ + . . . + sin См. также. Докажите равенство α + sin 3α + . . . + sin(2n − 1)α
cos α + cos 3α + . . . + cos(2n − 1)α
=
tg nα.
7.60. Вычислите суммы:
а) cos
2
x +
cos
2 2x + . . . +
cos
2 б) sin
2
x +
sin
2 2x + . . . +
sin
2 2nx
7.61. Используя разложение (1 + i)
n по формуле бинома Ньютона,
найдите суммы:
а) C
0 100
− C
2 100
+ C
4 100
− . . . + C
100 б) C
1 99
− C
3 99
+ C
5 99
− . . . − C
99 99 7.62. а) Докажите равенство C
2
n
+ C
4
n
− . . . = 2
n/2
cos б) Вычислите сумму C
3
n
+ C
5
n
− . . .
7.63. а) Докажите равенство + C
3
n
+ C
6
n
+ . . . =
1 3

2
n
+ 2
cos б) Вычислите суммы+ C
4
n
+ C
7
n
+ . . . ;
C
2
n
+ C
5
n
+ C
8
n
+ . . .
7.64. Докажите равенство 3
C
3
n
+
1 9
C
5
n
− . . . =
2
n
3
(n−1)/2
sin nπ
6 7.65. Вычислите суммы:
а) 1 + a cos ϕ + . . . + a k
cos kϕ + . . . (
|a| < б) a sin ϕ + . . . + a k
sin kϕ + . . . (
|a| < в) cos ϕ + C
1
n cos 2ϕ + . . . + C
n n
cos(n + г) sin ϕ + C
1
n sin 2ϕ + . . . + C
n n
sin(n + 1)ϕ.
7.66. Найдите предел lim k
→∞

1 +
1 2
cos x + . . . +
1 2
k cos kx

7.67. Пусть z
1
, . . . , z n
— отличные от нуля комплексные числа, лежащие в полуплоскости α < arg z < α + π. Докажите, что

1. Комплексная плоскость
109
а) z
1
+ . . . + z n
6= б) z
−1 1
+ . . . + z
−1
n
6= 0.
7.68. Пусть z
1
, z
2
, . . . , z n
— вершины выпуклого многоугольника.
Найдите геометрическое место точек z = λ
1
z
1
+ λ
2
z
2
+ . . . + λ
n где λ
1
, λ
2
, . . . , λ
n
— действительные положительные числа такие, что+ λ
2
+ . . . + λ
n
= 1 7.69. Докажите, что корни уравнения − a
+
1
z − b
+
1
z − c
= где a, b, c — попарно различные комплексные числа, лежат внутри треугольника с вершинами в точках a, b, c, или на его сторонах (в случае вырожденного треугольника. Пусть f(x) = (x − a)(x − b)(x − c) — многочлен третьей степени с комплексными корнями a, b, c. Докажите, что корни производной этого многочлена лежат внутри треугольника с вершинами в точках a, b, c.
7.71. Теорема Гаусса – Люка. Пусть f(x) — многочлен степени n с корнями α
1
, . . . , α
n
. Определим многоугольник M как выпуклую оболочку точек α
1
, . . . , α
n на комплексной плоскости. Докажите, что корни производной этого многочлена лежат внутри многоугольника M.
7.72. При каких n а) многочлен x
2n
+ x n
+ делится наб) многочлен x
2n
− x n
+ делится на x
2
− x + 1
?
7.73. Докажите, что при любых целых a и натуральном n выражение+ делится на a
2
+ a + 1 7.74. При каких n многочлен (x + 1)
n
+ x n
+ делится на:
а) x
2
+ x + б) (x
2
+ x + в) (x
2
+ x + 1)
3
?
7.75. При каких n многочлен (x + 1)
n
− x n
− делится на:
а) x
2
+ x + б) (x
2
+ x + в) (x
2
+ x + 1)
3
?
7.76. Пусть (x − 1)
| P(x n
)
. Докажите, что (x n
− 1)
| P(x n
)
7.77. Найдите остаток отделения многочлена) = x
6n
+ x
5n
+ x
4n
+ x
3n
+ x
2n
+ x n
+ на) = x
6
+ x
5
+ x
4
+ x
3
+ x
2
+ x + если известно, что n кратно 7.

110 7. Комплексные числа. Найдите все корни уравнения (z − 1)
n
= (z + 1)
n
. Чему равна сумма квадратов корней этого уравнения. Докажите, что все корни уравнения a(z − b)
n
= c(z − где a, b, c, d — заданные комплексные числа, расположены на одной окружности или прямой. (См. также. Докажите, что при нечетном n > 1 справедливо равенство n−1
X
m=1 1
sin
2
(πm/n)
=
n
2
− 1 3
7.81
*
. Ряд обратных квадратов. а) Докажите, что при нечетном n > справедливо равенство 1
m
2
=
π
2 6
−
π
2 2n
θ
(0 < θ < б) Докажите тождество 1
m
2
=
π
2 6
7.82
*
. Положительные многочлены. Многочлен P(x) при всех действительных x принимает только положительные значения. Докажите, что найдутся такие многочлены a(x) и b(x), для которых P(x) =
= a
2
(x) + b
2
(x)
2. Преобразования комплексной плоскости
Будем пользоваться обозначениями параллельный перенос на вектор a;
S
l
— симметрия относительно прямой l (осевая симметрия с осью l);
R
α
A
— поворот вокруг точки A на угол α против часовой стрелки гомотетия с центром в точке A и коэффициентом k.
7.83. Во что перейдет треугольник с вершинами в точках 0, 1 − i,
1 + i в результате преобразования w =

1
√
2
+
i
√
2

z?
7.84. Во что перейдет угол α с вершиной вначале координат в результате преобразования w = z
3
?

2. Преобразования комплексной плоскости 7.85. Каким геометрическим преобразованиям плоскости соответствуют следующие отображения:

а) w = z + б) w = в) w = z(cos ϕ + i sin г) w = z?
7.86. Как представить в виде w = f(z) симметрию относительно прямой l проходящей через начало координат под углом ϕ коси. Выразите в виде w = f(z) следующие геометрические преоб- разования:
а) H
2
O
◦ в) д) H
2 1
◦ б) T
3+4i
◦ г) е) R
π/4
i
◦ R
π/4
−1
◦ R
π/4
−i
◦ R
π/4 Здесь точка O = (0; 0) — начало координат. Композиция преобразований делается справа налево (f ◦ g)(z) = f(g(z)).
7.88. Представьте гомотетию H
2
i в виде композиции параллельного переноса и гомотетии с центром в точке O.
7.89. Теорема о трех центрах подобия. Докажите при помощи комплексных чисел, что композицией двух гомотетий является гомотетия или параллельный перенос H
k
1
A
1
=

T
a
,
k
1
k
2
= 1,
H
k
A
,
k
1
k
2 6= причем в первом случае вектор a параллелен прямой A
1
A
2
, а во втором случае центр результирующей гомотетии A лежит на прямой и k = k
1
· k
2 7.90. Постройте образ квадрата с вершинами A(0; 0), B(0; 2), C(2; 2),
D(2; при следующих преобразованиях:
а) w = б) w = 2iz − в) w = г) w = z
−1 7.91. Куда переходит полоса 2 < Re z < 3 при отображениях:
а) w = б) w = (z − в) w = (z − 5/2)
−1
?
7.92. Найдите а) образ окружности =
√
a
2
+ при отображении w = б) образ окружности − a| = R при отображении w =
2aR
z
2
− a
2
+ R
2 7.93
*
. Правильный угольник вписан в единичную окружность.
Докажите, что а) сумма квадратов всех сторон и всех диагоналей равна б) сумма всех сторон и всех диагоналей равна n в) произведение всех сторон и всех диагоналей равно n n/2

112 7. Комплексные числа
Определение. Дробно-линейными отображениями комплексной плоскости называются преобразования, записываемые формулами w =
az + b cz + d
,
(7.1)
w =
az + b cz + где δ = ad − bc 6= 0.
7.94. Как действуют отображения (
7.1
) ив случае, когда δ =
= ad − bc = Определение. Расширенной комплексной плоскостью C называется комплексная плоскость C, к которой добавлена бесконечно удаленная точка =
1 0
, то есть C = C ∪ {∞}.
7.95. Докажите, что дробно-линейные отображения являются взаимно однозначными отображениями расширенной комплексной плоскости. Докажите, что произвольное дробно-линейное отображение вида (
7.1
) может быть получено композицией параллельных переносов и отображения вида w = R/z.

Глава Алгебра + геометрия. Геометрия помогает алгебре. Докажите, что сумма векторов, направленных из центра правильного угольника в его вершины, равна нулю. Докажите равенства) cos
π
5
−
cos
2π
5
=
1 2
;
б)
1
sin(π/7)
=
1
sin(2π/7)
+
1
sin(3π/7)
;
в) sin 9
◦
+
sin 49
◦
+
sin 89
◦
+ . . . +
sin 329
◦
= См. также. Вычислите а) б) cos
π
7
+
cos
3π
7
+
cos
5π
7 8.4. Найдите cos и cos 72
◦
8.5. а) Используя геометрические соображения, докажите, что основание и боковая сторона равнобедренного треугольника с углом при вершине несоизмеримы (те. их отношение иррационально).
б) Придумайте геометрическое доказательство иррациональности. Решите уравнения при 0
◦
< x < 90
◦
:
a)
√
13 − 12
cos x +
p
7 − 4
√
3
sin x = б − 2
cos x +
√
10 − 6
cos x =
√
10 − 6
cos в − 4
cos x +
√
13 − 12
sin x =
√
10 8.7. Докажите равенство 1 + arctg
1 2
+
arctg
1 3
=
π
2 8.8. Докажите равенство 30
◦
+
ctg 75
◦
= 2.

114 8. Алгебра + геометрия. Пусть x, y, z — положительные числа и xyz(x + y + z) = Найдите наименьшее значение выражения (x + y)(x + z).
8.10. Неотрицательные числа x, y, z удовлетворяют неравенствам 6 x, y, z 6 8. Какое наибольшее и наименьшее значение может принимать величина = 2x
2
y
2
+ 2x
2
z
2
+ 2y
2
z
2
− x
4
− y
4
− z
4
?
8.11. Найдите все корни x уравнения cos x + cos 2x + cos 3x +
1 2
= Какому алгебраическому уравнению удовлетворяют числа 2 cos x k
? (См.
также
7.58
,
8.88
.)
8.12. Решите систему + bx = c,
cx + az = b,
bz + cy = Какой геометрический смысл она имеет (См. также. Положительные числа a, b, c, x, y, z таковы, что x
2
+ xy + y
2
= a
2
,
y
2
+ yz + z
2
= b
2
,
x
2
+ xz + z
2
= Выразите величину xy + yz + xz через a, b и c. (См. также. Комплексные числа и геометрия
В задачах этого пункта точки на комплексной плоскости отождествляются с числами. Поэтому с точками можно будет проделывать различные арифметические операции. Например, под суммой двух точек и будем понимать точку плоскости, соответствующую числу z
1
+ z
2 8.14. Пусть и z
2
— фиксированные точки комплексной плоскости.
Дайте геометрическое описание множеств всех точек z, удовлетворяющих соотношениям:
а) arg z − z
1
z − z
2
= б) arg z
1
− z z − z
2
= Определение. Комплексное число, z
1
, z
0
) =
z
2
− z
0
z
1
− z
0

2. Комплексные числа и геометрия
115
называется отношением трех точек (трех комплексных чисел) z
2
,
z
1
, z
0 8.15. Докажите, что угол между прямыми, пересекающимися в точке и проходящими через точки и z
2
, равен аргументу отношения, z
1
, точек z
2
, z
1
, z
0 8.16. Докажите, что три точки z
2
, z
1
, лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда V(z
2
, z
1
, z
0
)
— вещественное число, или z
0
− z
2
z
1
− z
2
=
¯
z
0
− ¯
z
2
¯
z
1
− ¯
z
2 8.17. Докажите, что прямая, проходящая через точки и z
2
— это геометрическое место точек z, для которых z − z
2
z
1
− z
2
=
z − ¯
z
2
¯
z
1
− ¯
z
2 8.18. Докажите, что уравнение прямой на комплексной плоскости всегда может быть записано в виде − Bz + C = где C — чисто мнимое число. Докажите, что условием того, что четыре точки z
0
, z
1
, лежат на одной окружности (или прямой) является вещественность числа, z
1
, z
2
)
V(z
0
, z
1
, z
3
)
=
z
0
− z
2
z
1
− z
2
:
z
0
− z
3
z
1
− Определение. Комплексное число, z
1
, z
2
, z
3
) =
V(z
0
, z
1
, z
2
)
V(z
0
, z
1
, называется двойным отношением четырех точек (четырех комплексных чисел) z
0
, z
1
, z
2
, z
3 8.20. Инвариантность двойного отношения. Пусть z
0 1
, z
0 2
, z
0 3
,
z
0 4
— четыре точки плоскости, в которые дробно-линейное отображение) переводит данные четыре точки z
1
, z
2
, z
3
, z
4
. Докажите, что 1
, z
0 2
, z
0 3
, z
0 4
) = W(z
1
, z
2
, z
3
, z
4
).
8.21. Как изменяется двойное отношение W(z
1
, z
2
, z
3
, при действии отображения (
7.2
)?

116 8. Алгебра + геометрия. Круговое свойство дробно-линейных отображений.
Докажите, что дробно-линейное отображение переводит каждую прямую линию или окружность снова впрямую линию или окружность. Докажите, что уравнение окружности (или прямой) на комплексной плоскости всегда может быть записано в виде + Bz − Bz + C = где A и C — чисто мнимые числа. Докажите, что уравнение (
8.1
) при отображениях w = z + u и w = R/z переходит в уравнение такого же вида. Получите из этого круговое свойство дробно-линейных отображений.
Определение. Инверсией относительно окружности S сцен- тром O и радиусом R называется преобразование плоскости, переводящее произвольную точку A, отличную отв точку A
0
, лежащую на луче OA на расстоянии OA
0
= R
2
/OA
. Образом точки O считается бесконечно удаленная точка, а образом бесконечно удаленной точки,
соответственно, точка Инверсией относительно окружности S будем также называть инверсией с центром O и коэффициентом R
2
, а окружность S — окружностью инверсии. Докажите, что отображение w = 1/z является инверсией относительно единичной окружности. Представьте в виде композиции дробно-линейного отображения и комплексного сопряжения w = z инверсию относительно окружности ас центром i и радиусом R = б) с центром Re и радиусом в) с центром и радиусом R.
8.27. Круговое свойство инверсии. Докажите, что инверсия переводит каждую окружность или прямую линию снова в окружность или прямую линию. Пусть уравнение некоторой прямой или окружности имеет вид (
8.1
). Пусть образ этой линии при отображении (
7.1
) задается уравнением где и также чисто мнимые числа. Выразите A
0
, и через и C.

2. Комплексные числа и геометрия
117
Определение. Степенью точки A относительно окружности радиуса с центром в точке O называется величина R
2 8.29. Докажите, что степень точки w относительно окружности + Bz − Bz + C = равна w w +
B
A
w −
B
A
w +
C
A
8.30. Радикальная ось двух окружностей. Докажите, что геометрическое место точек w, степень которых относительно двух неконцентрических окружностей и одинакова, является прямой.
Такая прямая называется радикальной осью окружностей и S
2 8.31. Радикальный центр трех окружностей. На плоскости даны три окружности S
1
, и S
3
. Докажите, что если две радикальных оси этих окружностей пересекаются в точке Q, то третья радикальная ось также проходит через эту точку.
Точка Q называется радикальным центром окружностей S
1
, и S
3 8.32. Ортоцентр треугольника. Точки a
1
, и расположены на единичной окружности z z = 1. Докажите, что точка h = a
1
+ a
2
+ является ортоцентром треугольника с вершинами в точках a
1
, и a
3 8.33. Окружность Эйлера. Точки a
1
, и расположены на единичной окружности z z = 1. Докажите, что окружность с центром в точке e = h/2 и радиусом 1/2 проходит через середины сторон треугольника, основания высот и середины отрезков, соединяющих вершины a
1
, a
2
, с ортоцентром h.
8.34. Цертр масс треугольника. Докажите, что точка m = (a
1
+
+ a
2
+ является точкой пересечения медиан треугольника a
1
a
2
a
3 8.35. Прямая Эйлера. Докажите, что в произвольном треугольнике точка пересечения медиан, ортоцентр и центр описанной окружности лежат на одной прямой. Прямая Симпсона. Пусть u — точка на единичной окружности и u
1
, u
2
, u
3
— основания перпендикуляров, опущенных из на стороны a
2
a
3
, a
1
a
3
, треугольника а) Докажите, что числа u
1
, u
2
, вычисляются по формулам u
1
= (a
2
+ a
3
+ u − a
2
a
3
/u)/2,
u
2
= (a
1
+ a
3
+ u − a
1
a
3
/u)/2,
u
3
= (a
1
+ a
2
+ u − a
1
a
2
/u)/2.

118 8. Алгебра + геометрия б) Докажите, что точки u
1
, u
2
, лежат на одной прямой. На плоскости расположены 4 прямые общего положения. Каждым трем прямым поставим в соответствие окружность, проходящую через точки их пересечения. Докажите, что 4 полученных окружности проходят через одну точку. Тригонометрия. Вычислите следующие произведения:
а) sin 20
◦
sin 40
◦
sin 60
◦
sin б) cos 20
◦
cos 40
◦
cos 60
◦
cos 80
◦
8.39. Докажите равенство 2

7 8.40. Упростите выражение a · cos 2a · cos 4a · . . . · cos 2
n−1
a.
8.41. Упростите выражения:
а) sin
π
2n + 1
sin
2π
2n + 1
sin
3π
2n + 1
· . . . · sin nπ
2n + б) sin
π
2n sin
2π
2n sin
3π
2n
· . . . · sin
(n − в) cos
π
2n + 1
cos
2π
2n + 1
cos
3π
2n + 1
· . . . · cos nπ
2n + г) cos
π
2n cos
2π
2n cos
3π
2n
· . . . · cos
(n − 1)π
2n
8.42. Докажите равенство 20
◦
· tg 40
◦
· tg 80
◦
=
√
3.
8.43. Решите уравнение π
x
31
cos 2π
x
31
cos 4π
x
31
cos 8π
x
31
cos 16π
x
31
=
1 32 8.44. Известно, что sin β = 1/5 sin(2α + β). Докажите равенство + β) = 3/2 tg α.
8.45. Пусть α и β — острые и положительные углы, удовлетворяющие равенствам + 2
sin
2
β = 1,
3
sin 2α − 2 sin 2β = 0.

3. Тригонометрия
119
Докажите, что α + 2β = π/2.
8.46. Докажите равенства:
а) sin 15
◦
=
√
6 −
√
2 4
,
cos 15
◦
=
√
6 +
√
2 б) sin 18
◦
=
−1 +
√
5 4
,
cos 18
◦
=
p
10 + 2
√
5 4
8.47. Докажите равенства 6
◦
=
p
30 − 6
√
5 −
p
6 + 2
√
5 8
,
cos 6
◦
=
p
18 + 6
√
5 +
p
10 − 2
√
5 8
8.48. Докажите тождества:
а) sin α + sin β + sin γ − sin(α + β + γ) = 4 sin
α + β
2
sin
β + γ
2
sin
α + б) cos α + cos β + cos γ + cos(α + β + γ) = 4 cos
α + β
2
cos
β + γ
2
cos
α + γ
2 8.49. Докажите тождество α + tg β + tg γ −
sin(α + β + γ)
cos α cos β cos γ
=
tg α tg β tg γ.
8.50. Найдите алгебраическую связь между углами α, β и γ, если известно, что tg α + tg β + tg γ = tg α · tg β · tg γ.
8.51. Докажите, что если α + β + γ = π, то sin α + sin β + sin γ = 4 cos
α
2
cos
β
2
cos
γ
2 8.52. Найдите наибольшее и наименьшее значения функций а) f
1
(x) = a cos x + b sin б) f
2
(x) = a cos
2
x + b cos x sin x + c sin
2
x
8.53. Пусть cos x + cos y = a, sin x + sin y = b. Вычислите cos(x + и sin(x + y).
8.54. Докажите, что функция cos
√
x не является периодической. При каких целых значениях n функция y =
cos nx · sin
5