alfutova(алгебра и теория чисел). Сборник задач для математических школ м мцнмо, 2002. 264 с Настоящее пособие представляет собой сборник задач по математике
 Скачать 2 Mb.
|
|
n имеет период 3π? 8.56. Рассмотрим функцию f(x) = A cos x + B sin x, где A и B некоторые постоянные. Докажите, что если f(x) обращается в ноль при двух значениях аргумента и таких, что x 1 − x 2 6= kπ (k — целое), то функция f(x) равна нулю тождественно 120 8. Алгебра + геометрия. Докажите, что если сумма a 1 cos(α 1 + x) + a 2 cos(α 2 + x) + . . . + a n cos(α n + при x = 0 и x = x 1 6= kπ (k — целое) обращается в ноль, то она равна нулю при всех x. 8.58. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции f(x) = = sin 6 x + cos 6 x 8.59. Решите уравнение sin 4 x + cos 4 x = a 8.60. Решите уравнение sin x + sin 2x + sin 3x = 0. 8.61. Решите уравнение tg x + tg 2x + tg 3x + tg 4x = 0. 8.62. Пусть α и β — различные корни уравнения a cos x + b sin x = Докажите, что cos 2 α − β 2 = c 2 a 2 + b 2 8.63. Решите систему sin α + y sin 2α + z sin 3α = sin 4α, x sin β + y sin 2β + z sin 3β = sin 4β, x sin γ + y sin 2γ + z sin 3γ = sin 4γ. 8.64. Вычислите: а) arccos б) arcsin cos 33π 5 8.65. Докажите, что имеют место следующие соотношения: а) cos arcsin x = √ 1 − д) sin arccos x = √ 1 − б) tg arcctg x е) ctg arctg x в) cos arctg x = 1 √ 1 + ж) sin arctg x = x √ 1 + г) cos arcctg x = x √ 1 + з) sin arcctg x = 1 √ 1 + x 2 8.66. Докажите равенства: а) arctg x + arcctg x б) arcsin x + arccos x = π 2 8.67. Докажите формулы: а) arcsin(−x) = − arcsin б) arccos(−x) = π − arccos x. 8.68. Чему равна сумма arctg x + arctg 1 x ? 8.69. Докажите равенство x + arctg y = arctg x + y 1 − xy + επ, 3. Тригонометрия 121 где ε = 0, если xy < 1, ε = −1 , если xy > 1 и x < 0, ε = +1, если xy > и x > 0. 8.70. Докажите равенство 5 − arctg 1 239 = π 4 8.71. Докажите равенство 3 + arctg 1 5 + arctg 1 7 + arctg 1 8 = π 4 8.72. Найдите сумму x 1 + 1 · 2x 2 + arctg x 1 + 2 · 3x 2 + . . . + arctg x 1 + n · (n + 1)x 2 (x > 0). 8.73. Найдите сумму r 1 + a 1 · a 2 + arctg r 1 + a 2 · a 3 + . . . + arctg r 1 + a n · a если числа a 1 , a 2 , . . . , a образуют арифметическую прогрессию с разностью r (a 1 > 0 , r > 0). 8.74. Докажите, что числа Фибоначчи удовлетворяют соотношению Получите отсюда равенство arcctg 2 + arcctg 5 + arcctg 13 + . . . + arcctg F 2n+1 + . . . = π 4 8.75. Докажите, что при x > 1 выполняется равенство x + arcsin 2x 1 + x 2 = π. 8.76. Решите уравнение arcsin x 2 − 8 8 = 2 arcsin x 4 − π 2 8.77. Докажите формулу x = arcsin √ 1 − если 0 6 x 6 1; π − arcsin √ 1 − если − 1 6 x 6 0. 8.78. Докажите равенство x + arcsin y = η arcsin(x p 1 − y 2 + y √ 1 − x 2 ) + επ, 122 8. Алгебра + геометрия где η = 1, ε = 0, если xy < 0 или x 2 + y 2 6 1; η = −1, ε = −1, если x 2 + y 2 > 1 , x < 0, y < 0; η = −1, ε = 1, если x 2 + y 2 > 1 , x > 0, y > 0. 8.79. Докажите, что если 0 < x < 1 и = 2 arctg 1 + x 1 − x , β = arctg 1 − x 2 1 + то α + β = π. 8.80. Найдите соотношение между функциями arcsin cos arcsin x и sin arccos x. 8.81. Докажите, что при 0 6 ϕ выполняется неравенство cos sin ϕ > sin cos ϕ. 8.82. Вычислите sin 2 arctg 1 5 − arctg 5 12 8.83. Теорема синусов. Докажите, что из равенств a sin α = b sin β = c sin γ , α + β + γ = следует = b cos γ + c cos β, b = c cos α + a cos γ, c = a cos β + b cos См. также. Покажите, что из соотношений ( 8.4 ) и дополнительных условий > 0 следуют равенства ( 8.3 ). 8.85. Теорема косинусов. Докажите, что соотношения ( 8.4 ) равносильны системе a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos α, b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos β, c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos то есть из равенств ( 8.4 ) вытекают равенства ( 8.5 ) и наоборот. Теорема синусов и первая теорема косинусов для трехгранного угла. Пусть имеется трехгранный угол с плоскими углами, β, γ и противолежащими им двугранными углами A, B, C. Для 3. Тригонометрия 123 него справедлива теорема синусов ( 8.7 ) и две теоремы косинусов ( 8.6 ), ( 8.8 ) (смотрите ниже. После того, как одна из этих теорем доказана, другие могут быть получены путем алгебраических преобразований. Отвлечемся от геометрической природы задачи и предположим, что просто даны равенства cos α = cos β cos γ + sin β sin γ cos A, cos β = cos α cos γ + sin α sin γ cos B, cos γ = cos α cos β + sin α sin β cos и, кроме того, величины α, β, γ и A, B, C заключены между 0 и Докажите, что sin A sin α = sin B sin β = sin C sin γ (8.7) 8.87. Вторая теорема косинусов для трехгранного угла и аналог формулы Герона. Докажите, что из системы ( 8.6 ) следуют равенства cos A = − cos B cos C + sin B sin C cos α, cos B = − cos A cos C + sin A sin C cos β, cos C = − cos A cos B + sin A sin B cos γ, tg A + B + C − π 4 = r tg p 2 tg p − α 2 tg p − β 2 tg p − где 2p = α + β + γ. 8.88. Формулы Рамануджана. Докажите следующие тождества: а) 3 r cos 2π 7 + 3 r cos 4π 7 + 3 r cos 8π 7 = 3 r 5 − 3 3 √ 7 б cos 2π 9 + 3 r cos 4π 9 + 3 r cos 8π 9 = 3 r 3 3 √ 9 − 6 См. также. Пусть u k = sin 2nx · sin(2n − 1)x · . . . · sin(2n − k + 1)x sin kx · sin(k − 1)x · . . . · sin Докажите, что числа u можно представить в виде многочлена от cos См. также. Пусть числа u определены как ив предыдущей задаче. Докажите тождества: а) 1−u 1 +u 2 −. . .+u 2n = 2 n (1− cos x)(1−cos 3x)·. . б) 1 − u 2 1 + u 2 2 − . . . + u 2 2n = (−1) n sin(2n + 2)x · sin(2n + 4)x · . . . · sin 4nx sin 2nx · sin 2(n − 1)x · . . . · sin 2x Глава Уравнения и системы. Уравнения третьей степени. Докажите, что а) при p > 0 график многочлена x 3 + px + q = пересекает каждую горизонтальную прямую ровно водной точке; б) при p < 0 график пересекает некоторые горизонтальные прямые в трех точках; в) при p < 0 график имеет один минимум и один максимум при этом абсциссы точек минимума и максимума противоположны. Докажите, что произвольное уравнение третьей степени z 3 + Az 2 + Bz + C = при помощи линейной замены переменной z = x + β можно привести к виду x 3 + px + q = 0. (9.1) 9.3. Докажите, что график многочлена а) x 3 + px ; б) x 3 + px + q ; в) ax 3 + bx 2 + cx + d имеет центр симметрии. Докажите равенство + √ 5 + 3 p 2 − √ 5 = 1 9.5. Решите уравнение x 3 + x 2 + x = − 1 3 9.6. Докажите, что уравнение x 3 + ax 2 − b = где a и b вещественные и b > 0, имеет один и только один положительный корень. Какими должны быть числа a и b, чтобы выполнялось равенство. Уравнения третьей степени 9.8. Разложите многочлен a 3 + b 3 + c 3 − 3abc натри линейных множителя. (См. также. Выразите через a и b действительный корень уравнения x 3 − a 3 − b 3 − 3abx = Найдите представления для двух комплексных корней этого уравнения. Докажите, что+ b 2 + c 2 − ab − bc − ac)(x 2 + y 2 + z 2 − xy − yz − xz) = = X 2 + Y 2 + Z 2 − XY − YZ − если = ax + cy + bz, Y = cx + by + az, Z = bx + ay + cz. 9.11. Формула Кардано. Получите формулу для корня уравнения x 3 + px + q = 0 : x = 3 s − q 2 + r q 2 4 + p 3 27 + 3 s − q 2 − r q 2 4 + p 3 27 9.12. Решите уравнение x 3 + x − 2 = подбором и по формуле Кардано. 9.13. Выпишите уравнение, корнем которого будет число = 1 2 3 p 5 √ 2 + 7 − 3 p 5 √ 2 − Запишите число α без помощи радикалов. При всех значениях параметра a найдите число действительных корней уравнения x 3 − x − a = 0. 9.15. Решите уравнение x 3 − x − 2 3 √ 3 = 0 . Сколько действительных корней оно имеет. Докажите, что если x 1 , x 2 , x 3 — корни уравнения x 3 +px+q = то x 2 2 + x 2 x 3 + x 2 3 = x 2 1 + x 1 x 3 + x 2 3 = x 2 1 + x 1 x 2 + x 2 2 = См. также 126 9. Уравнения и системы Определение. Пусть f(x) — некоторый многочлен степени n > и пусть f(x) = a n (x − α 1 ) . . . (x − α n ) — разложение f(x) на линейные множители. Тогда дискриминант D(f) многочлена f(x) определяется так) = a 2n−2 n Y 16j j − Из определения D(f) ясно, что многочлен f(x) в томи только в том случае имеет кратный корень, когда D(f) = 0. 9.17. Дискриминант кубического уравнения. Пусть уравнение x 3 + px + q = имеет корни x 1 , и x 3 . Выразите через p и q дискриминант этого уравнения = (x 1 − x 2 ) 2 (x 2 − x 3 ) 2 (x 3 − x 1 ) 2 9.18. Докажите, что равенство+ 27q 2 = является необходимыми достаточным условием для совпадения по крайней мере двух корней уравнения x 3 + px + q = 0 9.19. Найдите все действительные значения a и b, при которых уравнения x 3 + ax 2 + 18 = 0, x 3 + bx + 12 = имеют два общих корня, и определите эти корни. Определение. Кривая 4p 3 + 27q 2 = на фазовой плоскости Opq называется дискриминантной кривой уравнения x 3 + px + q = Прямые ap + q + a 3 = 0 , соответствующие трехчленам, имеющим корень a, называются корневыми. Каково взаимное расположение на фазовой плоскости Opq дискриминантной кривой и корневых прямых Имеют ли они общие точки, и, если имеют, то сколько (См. также. Изобразите на фазовой плоскости Opq множества точек (p; для которых уравнение x 3 + px + q = имеет а) один корень б) два корня в) три различных корня г) три совпадающих корня. Изобразите на фазовой плоскости Opq множества точек (p; для которых все корни уравнения x 3 + px + q = не превосходят по модулю 1. 9.23. Изобразите на фазовой плоскости Opq множество точек (p; для которых уравнение x 3 + px + q = имеет три различных корня 1. Уравнения третьей степени 127 принадлежащих заданному интервалу (a; b). Рассмотрите, например, случай, когда a = −2, b = 4. 9.24. Метод Виета. Когда 4p 3 + 27q 2 < 0 , уравнение x 3 + px + q = имеет три действительных корня (неприводимый кубического уравнения, но для того, чтобы их найти по формуле Кардано, необходимо использование комплексных чисел. Однако можно указать все три корня в явном виде через тригонометрические функции. а) Докажите, что при p < 0 уравнение 9.1 заменой x = kt сводится к уравнению 3t − r = от переменной б) Докажите, что при 4p 3 + 27q 2 6 0 решениями уравнения (будут числа t 1 = cos ϕ 3 , t 2 = cos ϕ + 2π 3 , t 3 = cos ϕ + где ϕ = arccos r. 9.25. Решите уравнения а) x 3 − 3x − 1 = б) x 3 − 3x − √ 3 = Укажите в явном виде все корни этих уравнений. Докажите, что если корни многочлена f(x) = x 3 + ax 2 + bx + c образуют правильный треугольник на комплексной плоскости, томно- гочлен f 0 (x) = 3x 2 + 2ax + b имеет двукратный корень, расположенный в центре этого треугольника. Докажите, что если уравнения x 3 + px + q = 0, x 3 + p 0 x + q 0 = имеют общий корень, то qp 0 )(p − p 0 ) 2 = (q − q 0 ) 3 9.28. а) Докажите, что при 4p 3 + 27q 2 6 0 уравнение 9.1 заменой x = αy + сводится к уравнению ay 3 − 3by 2 − 3ay + b = от переменной б) Докажите, что при решениями уравнения ( 9.3 ) будут числа y 1 = tg ϕ 3 , y 2 = tg ϕ + 2π 3 , y 1 = tg ϕ + 4π 3 , 128 9. Уравнения и системы где ϕ определяется из условий ϕ = b √ a 2 + b 2 , cos ϕ = a √ a 2 + b 2 9.29. Метод Феррари. Этот метод позволяет решать произвольное уравнение й степени путем сведения его к решению вспомогательного кубического уравнения и двух квадратных уравнений. а) Докажите, что любое уравнение 4 степени можно привести к виду x 4 = Ax 2 + Bx + б) Введем действительный параметр α и перепишем уравнение (в виде x 4 + 2αx 2 + α 2 = (A + 2α)x 2 + Bx + (C + Докажите, что для некоторого α > −A/2 правая часть равенства (превращается в полный квадрат попеременной. Пользуясь равенством, опишите метод нахождения корней уравнения ( 9.4 ). 2. Тригонометрические замены. Решите систему x 2 + y 2 = 1, 4xy(2y 2 − 1) = 1. 9.31. Решите систему = 2x 2 − 1, z = 2y 2 − 1, x = 2z 2 − 1. 9.32. Докажите, что среди семи различных чисел всегда можно выбрать два числа x итак, чтобы выполнялось неравенство < x − y 1 + xy < 1 √ 3 9.33. Среди всех решений системы+ y 2 = 4, z 2 + t 2 = 9, xt + yz = выберете те, для которых величина x + z принимает наибольшее значение. Тригонометрические замены 9.34. Решите уравнения а − x 2 = 4x 3 − в − x = 2x 2 − 1 + 2x √ 1 − б) x + x √ x 2 − 1 = 35 г − |x| 2 = 2x 2 − 1 9.35. Последовательность чисел n } задана условиями 2 , h n+1 = r 1 − p 1 − h 2 n 2 (n > Докажите неравенство k < 1,03 9.36. Сколько корней на отрезке [0; 1] имеет уравнение − 2x 2 )(8x 4 − 8x 2 + 1) = 1? 9.37. Пусть 6 1 и |x 2 | 6 1. Докажите неравенство p 1 − x 2 1 + p 1 − x 2 2 6 2 r 1 − x 1 + x 2 2 2 9.38. Решите уравнение − √ 1 − 4x 2 | = √ 2(8x 2 − 1). 9.39 * . Числа x, y и z удовлетворяют соотношению xy + yz + xz = Докажите, что существуют числа α, β, γ такие, что α + β + γ = π и выполняются равенства x = tg(α/2), y = tg(β/2), z = tg(γ/2). 9.40. Решите системы + 3y = 4y 3 , y + 3z = 4z 3 , z + 3x = в + 1 x = 4 y + 1 y = 5 z + 1 z , xy + yz + xz = б + x 2 y = y, 2y + y 2 z = z, 2z + z 2 x = г − x 2 1 + x 2 = 2y 1 + y 2 · 1 − z 2 1 + z 2 , xy + yz + xz = 1. 9.41. Пусть xy + yz + xz = 1. Докажите равенство − x 2 + y 1 − y 2 + z 1 − z 2 = 4xyz (1 − x 2 )(1 − y 2 )(1 − z 2 ) 9.42. Решите систему 130 9. Уравнения и системы x · tg z = 3, tg y · tg z = 6, x + y + z = π. 9.43. Решите систему = x(4 − x), z = y(4 − y), x = z(4 − z). 9.44. Решите уравнение + 2x √ 1 − x 2 2 + 2x 2 = 1. 3. Итерации Определение. Итерацией называется результат повторного применения какой-либо математической опреации. Так, если y = f(x) = = есть некоторая функция от x, то функции f 2 (x) = f(f 1 (x)) , f 3 (x) = f(f 2 (x)) , . . . , f n (x) = f(f называются соответственно второй, третьей, . . . , й итерациями функции f(x). При отыскании предела последовательности x n = f часто оказывается полезной следующая теорема. Теорема Вейерштрасса. Всякая возрастающая последовательность, ограниченная сверху, имеет предел. Аналогично, всякая убывающая последовательность, ограниченная снизу, также имеет предел. (См. [ 7 ].) 9.45. Имеются два сосуда. В них разлили 1 л. воды. Из первого сосуда переливают половину воды во второй, затем из второго переливают половину оказавшейся в нем воды в первый, затем из первого сосуда переливают половину оказавшейся в нем воды во второй и т. д. Докажите, что независимо оттого, сколько воды было сначала в каждом из сосудов, после 100 переливаний в них будет 2/3 лил. с точностью до 1 миллилитра. Вавилонский алгоритм вычисления. Последовательность чисел n } задана условиями 1, x n+1 = 1 2 x n + 2 x n (n > Докажите, что lim n →∞ x n = √ 2 . (См. также 3. Итерации 9.47. К чему будет стремиться последовательность из предыдущей задачи, если в качестве начального условия выбрать x 0 = −1 ? 9.48. Итерационная формула Герона. Докажите, что последовательность чисел n }, заданная условиями x 0 = 1, x n+1 = 1 2 x n + k x n , (n > сходится. Найдите предел этой последовательности. Пусть a и k > 0 произвольные числа. Определим последовательность равенствами a 0 = a, a n+1 = 1 2 a n + k a n (n > Докажите, что при любом неотрицательном n выполняется равенство a n − √ k a n + √ k = a − √ k a + √ k 2 n 9.50. Зафиксируем числа и a 1 . Построим последовательность в которой a n+1 = a n + a n−1 2 (n > Выразите a через a 0 , и n. 9.51. Старый калькулятора) Предположим, что мы хотим найти > 0) на калькуляторе, который кроме четырех обычных арифметических действий умеет находить. Рассмотрим следующий алгоритм. Строится последовательность чисел n }, в которой y 0 — произвольное положительное число, например, y 0 = p√x, а остальные элементы определяются соотношением y n+1 = q √ xy n (n > Докажите, чтоб) Постройте аналогичный алгоритм для вычисления корня пятой степени. Старый калькулятор II. Производная функции ln x при x = равна 1. Отсюда lim x → 0 ln(1 + x) x = lim x → 0 ln(1 + x) − ln 1 (1 + x) − 1 = 1. 132 9. Уравнения и системы Воспользуйтесь этим фактом для приближенного вычисления натурального логарифма числа N. Как ив задаче, разрешается использовать стандартные арифметические действия и операцию извлечения квадратного корня. Метод итераций. Для того, чтобы приближенно решить уравнение, допускающее запись f(x) = x, применяется метод итераций. Сначала выбирается некоторое число x 0 , а затем строится последовательность по правилу x n+1 = f(x n ) (n > 0). Докажите, что если эта последовательность имеет предел x ∗ = lim n →∞ x n , и функция f(x) непрерывна, то этот предел является корнем исходного уравнения f(x ∗ ) = Определение. Геометрической интерпретацией итерационного процесса служит итерационная ломаная. Для ее построения на плоскости рисуется график функции f(x) и проводится биссектриса координатного угла — прямая y = x. Затем на графике функции отмечаются точки A 0 (x 0 , f(x 0 )) , A 1 (x 1 , f(x 1 )) , . . . , A n (x n , f(x n )) , . . . , а на биссектрисе координатного угла — точки B 0 (x 0 , x 0 ) , B 1 (x 1 , x 1 ) , . . . . . . , B n (x n , x n ) , . . . Ломаная B 0 A 0 B 1 A 1 . . . B n A n называется итерационной. Постройте итерационные ломаные для следующих данных: а) f(x) = 1 + x 2 , x 0 = 0 , x 0 = б) f(x) = 1 x , x 0 = в) f(x) = 2x − 1, x 0 = 0 , x 0 = где ж) f(x) = x 3 3 − 5x 2 2 + 25x 6 + 3 , x 0 = 3 9.55. Последовательность чисел n } задана условиями a 1 = 1, a n+1 = a n + 1 a 2 n (n > Верно ли, что эта последовательность ограничена. Для последовательности n } lim n →∞ a n+1 − a n 2 = Докажите, что lim n →∞ a n = 0. 3. Итерации 9.57. Числа a 1 , a 2 , . . . , a таковы, что равенство lim n →∞ (x n + a 1 x n−1 + . . . + a k x n−k ) = возможно только для тех последовательностей n }, для которых lim n →∞ x n = 0 . Докажите, что все корни многочлена) = λ k + a 1 λ k−1 + a 2 λ k−2 + . . . + a по модулю меньше 1. 9.58. Исследуйте последовательности на сходимость: а) x n+1 = 1 1 + x n , x 0 = б) x n+1 = sin x n , x 0 = a ∈ (0; в) x n+1 = √ a + x , a > 0 , x 0 = 0 9.59. Что останется от прямоугольника Золотой прямоугольник это такой прямоугольник, стороны a и b которого находятся в пропорции золотого сечения, то есть удовлетворяют равенству a : b = b : (a − b) . Представим, что такой прямоугольник вырезан из бумаги и лежит на столе, обращенный к нам своей более длинной стороной. Отсечем полевую сторону прямоугольника наибольший квадрат, который можно из него вырезать остаток будет снова золотым прямоугольником. Далее становимся полевую сторону стола так, чтобы снова иметь перед собой более длинную сторону и поступаем с новым прямоугольником также, как и с предыдущим. Таким образом обходим стол вокруг по направлению хода часовой стрелки и по очереди отсекаем квадраты. Каждая точка прямоугольника за исключением одной, будет раньше или позже отсечена. Определите положение этой исключительной точки. Алгоритм приближенного вычисления. Последовательность определяется условиями a > 0, a n+1 = 1 3 2a n + a a 2 n (n > Докажите, что lim n →∞ a n = 3 √ a 9.61. Укажите способ приближенного нахождения положительного корня уравнения x 3 − x − 1 = 0 9.62. Последовательность чисел n } задана условиями a 1 = 1, a n+1 = 3a n 4 + 1 a n (n > 1). 134 9. Уравнения и системы Докажите, что а) последовательность n } ограничена; б) |a 1000 − 2 | < (3/4) 1000 9.63. Найдите предел последовательности, которая задана условиями. Сходимость итерационного процесса. Предположим, что функция f(x) отображает отрезок [a; b] в себя, и на этом отрезке 6 q < 1. Докажите, что уравнение f(x) = x имеет на отрезке [a; единственный корень x ∗ . Докажите, что при решении этого уравнения методом итераций будут выполняться неравенства n+1 − x n | 6 |x 1 − x 0 | · q n , |x ∗ − x n | 6 |x 1 − x 0 | · q n 1 − q (n > 0). 9.65. Докажите, что для чисел n } из задачи 9.46 можно в явном виде указать разложения в цепные дроби n = [1; 2, . . . , 2 | {z } 2 n −1 ] (n > Оцените разность n − √ 2 |. (См. также. С какой гарантированной точностью вычисляется при помощи алгоритма задачи 9.48 после пяти шагов. Решите систему уравнений 1 1 + x 2 1 = x 2 , 2x 2 2 1 + x 2 2 = x 3 , 2x 2 3 1 + x 2 3 = x 1 9.68. Решите систему 4x 3 + x − 4, z 2 = 4y 3 + y − 4, x 2 = 4z 3 + z − 4. 9.69. Последовательность чисел n } задана условиями −a, x n+1 = √ a + x n 3. Итерации 135 Докажите, что последовательность n } монотонна и ограничена. Найдите ее предел. Играна монотонности. Докажите, что для монотонно возрастающей функции f(x) уравнения x = f(f(x)) и x = f(x) равносильны. Решите уравнение q a + p a + √ a + x = x 9.72. Арифметико-геометрическое среднее. Пусть a и b — два положительных числа, причем a > b. Построим по этим числам две последовательности n } и {b n } по правилам a, b 0 = b, a n+1 = a n + b n 2 , b n+1 = p a n b n (n > Докажите, что обе эти последовательности имеют один и тот же предел. Этот предел называется арифметико-геометрическим средним чисел и обозначается µ(a, b). 9.73. Арифметико-гармоническое среднее. Пусть a и b — два положительных числа, и a < b. Определим две последовательности чисел n } и {b n } формулами a, b 0 = b, a n+1 = 2a n b n a n + b n , b n+1 = a n + b n 2 (n > а) Докажите, что обе эти последовательности имеют общий предел. Этот предел называется арифметико-гармоническим средним чисел a и б) Докажите, что этот предел совпадает со средним геометрическим чисел a ив) Пусть a = 1, b = k. Как последовательность n } будет связана с последовательностью n } из задачи. Геометрико-гармоническое среднее. Назовем геометри- ко-гармоническим средним чисел a и b общий предел последовательностей и {b n }, построенных по правилу a 0 = a, b 0 = b, a n+1 = 2a n b n a n + b n , b n+1 = p a n b n (n > Обозначим его через ν(a, b). Докажите, что величина ν(a, b) связана с µ(a, b) (см. задачу) равенством, b) = µ 1 b , 1 a 136 9. Уравнения и системы. Найдите все действительные решения системы − x 2 1 = x 2 , 1 − x 2 2 = x 3 , 1 − x 2 n−1 = x n , 1 − x 2 n = x 1 9.76. Найдите с точностью до 0,01 сотый член последовательности, если а) x 1 ∈ [0; 1], x n+1 = x n (1 − x n ) , (n > б) x 1 ∈ [0,1; 0,9], x n+1 = 2x n (1 − x n ) , (n > 1). 9.77. Докажите, что касательная к графику функции f(x), построенная в точке с координатами (x 0 ; пересекает ось Ox в точке с координатой x 0 − f(x 0 ) f 0 (x 0 ) 9.78. Метод Ньютона. Для приближенного нахождения корней уравнения f(x) = 0 Ньютон предложил искать последовательные приближения по формуле x n+1 = x n − f(x n ) f 0 (x начальное условие следует выбирать поближе к искомому корню). Докажите, что для функции f(x) = x 2 − k и начального условия x 0 > итерационный процесс всегда будет сходиться кто есть lim n →∞ x Как будет выражаться x через x n ? Сравните результат с формулой из задачи 9.79. Метод Ньютона и числа Фибоначчи. Применим метод Ньютона для приближенного нахождения корней многочлена f(x) = x 2 − x − Какие последовательности чисел получатся, если а) x 0 = б) x 0 = К каким числам будут сходиться эти последовательности Опишите разложения чисел x в цепные дроби. Пусть p и q — отличные от нуля действительные числа и p 2 − 4q > 0 . Докажите, что следующие последовательности сходятся 3. Итерации 137 а) y 0 = 0, y n+1 = q p − y n (n > б) z 0 = 0, z n+1 = p − q z n (n > Установите связь между предельными значениями этих последовательностей, и корнями уравнения x 2 − px + q = 0 9.81. Метод Ньютона и цепные дроби. Предположим, что цепные дроби = p − q p − q p − q и = q p − q p − q сходятся. Согласно задаче, они будут сходиться к корням многочлена. С другой стороны к тем же корням будут сходиться и последовательности, построенные по методу Ньютона n+1 = x n − x 2 n − px n + q 2x n − p = x 2 n − q 2x n − Докажите, что если совпадает с нулевой подходящей дробью цепной дроби α или β, то числа x 1 , x 2 , . . . также будут совпадать с подходящими дробями кили. (См. также. Метод Ньютона не всегда позволяет приблизиться к корню уравнения f(x) = 0. Для многочлена f(x) = x(x − 1)(x + 1) найдите начальное условие такое, что f(x 0 ) 6= и x 2 = x 0 9.83. Метод Лобачевского. Пусть многочлен) = x n + a n−1 x n−1 + . . . + a 1 x + имеет корни x 1 , x 2 , . . . , x n , причем > |x 2 | > . . . > |x n |. В задаче 6.42 был предъявлен способ построения многочлена Q(x) степени n, корнями которого являются числа x 2 1 , x 2 2 , . . . , x 2 n . На основе этого рассуждения Лобачевский придумал метод для приближенного поиска корней многочлена P(x). Он заключается в следующем. Строится последовательность многочленов P 0 (x) , P 1 (x) , P 2 (x) , . . . такая, что P 0 (x) = и многочлен имеет корни x 2 k 1 , . . . , x 2 k n . Пусть) = x n + a (k) n−1 x n−1 + . . . + a (k) 1 x + Докажите, что а) lim k →∞ (−a (k) n−1 ) 1/2 k = б) lim k →∞ − a (k) n−l a (k) n−l+1 1/2 k = x l (1 6 l 6 n). 138 9. Уравнения и системы. Метод Лобачевского и числа Люка. Постройте последовательность полиномов, которая получается, если метод Лобачевского применить для приближенного нахождения корней многочлена Какие последовательности будут сходиться к корнями, если > |x 2 |? 9.85. Метод Архимеда. Для приближенного нахождения числа рассмотрим окружность радиуса 1/2. Опишем около нее и впишем в нее правильные угольники. Обозначим их периметры через для описанного) и p для вписанного). а) Найдите P 4 , p 4 , и б) Докажите, что справедливы следующие рекуррентные соотношения в) Найдите и p 96 . Докажите неравенства 10 71 < π < 3 1 3 9.86. Формула Ферма. Докажите равенство 2 · s 1 2 + 1 2 r 1 2 · v u u t 1 2 + 1 2 s 1 2 + 1 2 r 1 2 9.87. Последовательность чисел x 0 , x 1 , x 2 , . . . задается условиями x 0 = 1, x n+1 = a x n |