alfutova(алгебра и теория чисел). Сборник задач для математических школ м мцнмо, 2002. 264 с Настоящее пособие представляет собой сборник задач по математике
 Скачать 2 Mb.
|
|
n−r является целым при любом n > 1? 4. О том, как размножаются кролики Определение. Последовательность чисел Фибоначчи, F 1 , F 2 , . . . } = {0, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, . . . задается условиями F 0 = 0 , F 1 = 1 , F n+2 = F n+1 + F n (n > 0). 4. О том, как размножаются кролики 37 Эти числа были впервые описаны в Книге абака (1202 г) итальянского математика Леонардо Пизанского (Фибоначчи. Задача Леонардо Пизанского. Некто приобрел пару кроликов и поместил их в огороженный со всех сторон загон. Сколько кроликов будет через год, если считать, что каждый месяц пара дает в качестве приплода новую пару кроликов, которые со второго месяца жизни также начинают приносить приплод. О том, как прыгают кузнечики. Предположим, что имеется лента, разбитая на клетки и уходящая вправо до бесконечности. На первой клетке этой ленты сидит кузнечик. Из любой клетки кузнечик может перепрыгнуть либо на одну, либо на две клетки вправо. Сколькими способами кузнечик может добраться до й от начала ленты клетки (См. также. Некоторый алфавит состоит из 6 букв, которые для передачи по телеграфу кодированы так · − − − − − − · При передаче одного слова не сделали промежутков, отделяющих букву от буквы, так что получилась сплошная цепочка из точек и тире, содержащая знаков. Сколькими способами можно прочитать переданное слово. Чему равны числа Фибоначчи с отрицательными номерами, F −2 , . . . , F −n , . . . ? 3.112. Тождество Кассини. Докажите равенство F 2 n = (−1) n (n > Будет ли тождество Кассини справедливо для всех целых n? (См. также 12.13 .) 3.113. Докажите следующие свойства чисел Фибоначчи: а) F 1 + F 2 + . . . + F n = F n+2 − в) F 2 + F 4 + . . . + F 2n = F 2n+1 − б) F 1 + F 3 + . . . + F 2n−1 = г) F 2 1 + F 2 2 + . . . + F 2 n = F n F n+1 3.114. Докажите, что при n > 1 и m > 0 выполняется равенство F n−1 F m + Попробуйте доказать его двумя способами при помощи метода математической индукции и при помощи интерпретации чисел Фибоначчи из задачи. Докажите также, что тождество Кассини является частным случаем этого равенства 38 3. Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики. Докажите равенства а) F 2n+1 = F 2 n + б) F n+1 F n+2 − F n F n+3 = (в) F 3n = F 3 n + F 3 n+1 − F 3 n−1 3.116. Вычислите F 4 n+2 − F n F n+1 F n+3 F n+4 3.117. Вычислите сумму 1 · 2 + 2 1 · 3 + . . . + F n F n−1 · F n+1 3.118. Делимость чисел Фибоначчи. Докажите справедливость следующих утверждений: а) 2 | F n ⇐⇒ 3 | n; в) 4 | F n ⇐⇒ 6 | б) 3 | F n ⇐⇒ 4 | n; г) F m | F n ⇐⇒ m | n. 3.119. Докажите, что для любого натурального m существует число Фибоначчи F n (n > 1), кратное m. 3.120. Пусть первое число Фибоначчи, делящееся наесть Докажите, что m | F n тогда и только тогда, когда k | n. 3.121. Докажите, что два соседних числа Фибоначчи и F n (n > 1) всегда взаимно просты. Теорема Люка. Докажите равенство (F n , F m ) = См. также. В последовательности чисел Фибоначчи выбрано 8 чисел, идущих подряд. Докажите, что их сумма не является числом Фибоначчи. Рассмотрим множество последовательностей длины n, состоящих из 0 ив которых не бывает двух 1 стоящих рядом. Докажите, что количество таких последовательностей равно F n+2 . Найдите взаимно однозначное соответствие между такими последовательностями и маршрутами кузнечика из задачи 3.125. Фибоначчиева система счисления. Докажите, что произвольное натуральное число n, не превосходящее F m , единственным образом можно представить в виде n = m X k=2 b где все числа b 2 , . . . , b равны 0 либо 1, причем среди этих чисел нет двух единиц стоящих рядом, то есть b k b k+1 = 0 (2 6 k 6 m − 1). 4. О том, как размножаются кролики 39 Для записи числа в фибоначчиевой системе счисления используется обозначение = (b k . . . См. также, 4.193 0 .) 3.126. Формула Бине. Докажите по индукции формулу Бине: F n = ϕ n − b ϕ n √ 5 , где ϕ = 1 + √ 5 2 — золотое сечение или число Фидия, а b ϕ = 1 − √ 5 фи с крышкой) — сопряженное к нему. (См. также. Докажите следующий вариант формулы Бине: 2 n−1 F n = [(n−1)/2] X k=0 C n 2k+1 См. также. Докажите, что число Фибоначчи F n совпадает с ближайшим целым числом кто есть 2 3.129. Числа Фибоначчи и треугольник Паскаля. Докажите равенство+ C 1 n−1 + C 2 n−2 + . . . = Сумма, стоящая в левой части равенства, может быть интерпретирована, как сумма элементов треугольника Паскаля, стоящих водной диагонали (См. приложение В , II и задачи 2.67 , 3.124 , 11.44 и 11.45 .) 3.130. Вычислите сумму C 0 n − C 1 n−1 + C 2 n−2 − . . См. также. Сколько существует последовательностей из 1 и 2, таких что сумма чисел в каждой такой последовательности равна n? Например, если n = 4, то таких последовательностей пять. Решите в целых числах уравнение x · ϕ n+1 + y · ϕ n = 1. 40 3. Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики Определение. Последовательность чисел Люка, L 1 , L 2 , . . . } = {2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, . . . задается равенствами L 0 = 2 , L 1 = 1 , L n+2 = L n+1 + L n (n > 0). 3.133. Докажите, что числа Люка связаны с числами Фибоначчи соотношениями: а) L n = F n−1 + б) 5 F n = L n−1 + в) F 2n = L n · г) L 2 n+1 + L 2 n = д) F n+2 + F n−2 = См. также. В вершинах правильных многоугольников записываются числа и 2. Сколько существует таких многоугольников, что сумма чисел стоящих в вершинах равна n (n > 3)? Две расстановки чисел, которые можно совместить поворотом не отождествляются. Выразите L n в замкнутой форме через ϕ и b ϕ . (См. также. Докажите равенства а + 3 √ 5 2 − 4 r 7 − 3 √ 5 2 = б + 5 √ 5 2 + 9 r 76 − 34 √ 5 2 = Найдите общую формулу, для которой данные равенства являются частными случаями. Решите в целых числах уравнения: а) x 2 − xy − y 2 = б) x 2 − xy − y 2 = −1 3.138. а) Докажите, что в последовательности чисел Фибоначчи при m > 2 встречается не менее 4 и не более 5 m-значных чисел. б) Докажите, что число F 5t+2 (t > 0) содержит в своей десятичной записи не менее t + 1 цифры. Рассмотрим алгоритм Евклида из задачи 3.36 состоящий из k шагов. Докажите, что начальные числа и должны удовлетворять неравенствам m 1 > F k+1 , m 0 > F k+2 3.140. Теорема Ламе. Пусть число в десятичной системе счисления записывается при помощи t цифр. Докажите, что при любом m 0 5. Цепные дроби 41 число шагов k в алгоритме Евклида для чисел и удовлетворяет неравенству k 6 5t. 3.141. Фибоначчиевы коэффициенты 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 3 6 3 1 1 5 15 15 5 1 1 8 40 60 40 8 1 1 13 104 260 260 104 13 Данная таблица аналогична треугольнику Паскаля и состоит из фи- боначчиевых коэффициентов F k n , определяемых равенством n = F n · F n−1 · . . . · F n−k+1 F k · F k−1 · . . . · F 1 (0 6 k 6 а) Докажите, что фибоначчиевы коэффициенты обладают свойством симметрии F k n = F k n−k б) Найдите формулу, которая выражает коэффициент F k через и F k аналогичную равенству б) из задачи 2.77 ). в) Объясните, почему все фибоначчиевы коэффициенты являются целыми числами. Обобщенные биномиальные коэффициенты. Пусть, A 2 , . . . — последовательность ненулевых целых чисел, такая, что, A n ) = A (m,n) (m, n > Докажите, что все обобщенные биномиальные коэффициенты n = A n · A n−1 · . . . · A n−k+1 A k · A k−1 · . . . · являются целыми числами. (См. также. Цепные дроби Определение. Пусть a 0 — целое, a 1 , a 2 , . . . , a n — натуральные и a n > 1 . членной цепной (непрерывной) дробью называется выражение a 0 + 1 a 1 + 1 a 2 + + 1 a n (3.1) 42 3. Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики (обозначается [a 0 ; a 1 , a 2 , . . . , a Числа a 1 , a 2 , . . . , a называются неполными частными дроби ( 3.1 ). 3.143. Разложите в цепные дроби числа и 111 3.144. Пусть [1; 1, . . . , 1 | {z } n ] . Чему равны P n и Q n ? 3.145. Как связано разложение рационального числа в цепную дробь с алгоритмом Евклида. Геометрическая интерпретация алгоритма Евклида. Работу алгоритма Евклида (см. раздел) можно представить следующим образом. В прямоугольник размерами m 0 × m 1 (m 1 6 m 0 ) укладываем квадратов размера m 1 × m 1 , в оставшийся прямоугольник размерами m 1 × m 2 (m 2 6 m 1 ) укладываем квадратов размера m 2 × m 2 , и т. д. до тех пор, пока весь прямоугольник не покроется квадратами. (См. также 3.157 .) Выразите общее число квадратов через элементы цепной дроби числа. Для каждого натурального n приведите пример прямоугольника, который разрезался бы ровно на n квадратов. Цепные дроби и электрические цепи. Для данного рационального числа a/b постройте электрическую цепь из единичных сопротивлений, общее сопротивление которой равнялось бы a/b. Как такую цепь можно получить при помощи разбиения прямоугольника a × b на квадраты из задачи. Пусть a 0 — целое, a 1 , . . . , a n — натуральные числа. Определим две последовательности 1, P 0 = a 0 , P k = a k P k−1 + P k−2 (1 6 k 6 n); Q −1 = 0, Q 0 = 1, Q k = a k Q k−1 + Q k−2 (1 6 k 6 Докажите, что построенные последовательности для k = 0, 1, . . . , n обладают следующими свойствами: а) P k Q k = [a 0 ; a 1 , a 2 , . . . , a б) P k Q k−1 − P k−1 Q k = (в) (P k , Q k ) = Определение. Рациональные дроби [a 0 ; a 1 , a 2 , . . . , a k ] (k = 0, 1, . . . , n) 5. Цепные дроби 43 называются подходящими дробями к непрерывной дроби ( 3.1 ). 3.150. Докажите следующие свойства подходящих дробей: а) P k Q k−2 − P k−2 Q k = (−1) k a k (k > б > в) Q 1 < Q 2 < . . . < г . . . 6 P n Q n 6 . . . д, l > 0). 3.151. Пусть числа a и b определены равенством a b = [a 0 ; a 1 , a 2 , . . . . . . , a n ] . Докажите, что уравнение ax − by = 1 c неизвестными x и y имеет решением одну из парили. Отчего зависит, какая именно из пар является решением. Разлагая число a/b в непрерывную дробь, решите в целых числах уравнения ax − by = 1, если a) a = 101, b = б) a = 79, b = 19. 3.153. Григорианский календарь. Обыкновенный год содержит 365 дней, високосный — 366. й год, номер которого не делится на является високосным тогда и только тогда, когда n кратной год, где n делится на 100, является високосным тогда и только тогда, когда n кратно 400. Так, например, й и й годы — високосные, ай и й — нет. Эти правила были установлены папой Григорием До сих пор мы имели ввиду гражданский год, число дней которого должно быть целым. Астрономическим же годом называется период времени, за который Земля совершает полный оборот вокруг Солнца. Считая, что григорианский год полностью согласован с астрономическим годом, найдите продолжительность астрономического года. (См. также 12.7 .) Определение. Бесконечной непрерывной дробью называется выражение вида a 1 , . . . , a n , . . . ] = a 0 + 1 a 1 + 1 a 2 + + 1 a где a 0 — целое, a 1 , a 2 , . . . , a n , . . . — натуральные числа 44 3. Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики Величиной бесконечной непрерывной дроби называется предел ее подходящих дробей, то есть такое число α, что = lim где [a 0 ; a 1 , a 2 , . . . , a n ] 3.154. Докажите, что любое иррациональное число α допускает представление = [a 0 ; a 1 , . . . , a n−1 , где a 0 — целое, a 1 , a 2 , . . . , a n−1 — натуральные, α n > 1 — иррациональное действительное числа. Отсюда следует, что каждому иррациональному действительному числу можно поставить в соответствие бесконечную цепную дробь. Докажите, что для любой бесконечной цепной дроби a 1 , . . . , a n , . . . существует предел ее подходящих дробей — иррациональное число Объясните, почему если это число α разложить в бесконечную цепную дробь при помощи алгоритма предыдущей задачи, то получится бесконечная цепная дробь, равная исходной. Таким образом, существует взаимно-однозначное соответствие между иррациональными числами и бесконечными цепными дробями. Поэтому в дальнейшем будем отождествлять цепную дробь с ее числовым значением. Предположим, что число α задано бесконечной цепной дробью. Докажите, что = a 0 + 1 q 0 q 1 − 1 q 1 q 2 + 1 q 2 q 3 − . . . + (−1) n 1 q n q n+1 + . . . 3.157. Последовательности k } и {b k } строятся последующему закону а) Докажите, что a n 6= 0 и a стремится к 0 при n → б) Докажите, что последовательность c n = a 2 1 + a 2 2 + . . . + a 2 n имеет предел и найдите этот предел 5. Цепные дроби 3.158. Юлианский календарь. Из астрономии известно, что год имеет 365,2420 . . . = [365; 4, 7, 1, 3, . . . ] так называемых календарных суток. В Юлианском стиле каждый четвертый год — високосный, то есть состоит из 366 дней. За сколько лет при таком календаре накапливается ошибка в одни сутки Насколько дней отстает Юлианский календарь залет И вообще, почему он отстает, если юлианский год длиннее астрономического. Персидский календарь. Наиболее точный календарь ввел в Персии в 1079 году персидский астроном, математики поэт Омар Альхайями. Восстановите этот календарный стиль, рассмотрев третью подходящую дробь [365; 4, 7, 1] к длительности астрономического года. За сколько лет в этом календаре накапливается ошибка в одни сутки? Определение. Бесконечная непрерывная дробь вида a 1 , . . . , a k , a k+1 , . . . , a k+T , a k+1 , . . . , a k+T , . . . ] = = [a 0 ; a 1 , . . . , a k , a k+1 , . . . , a называется периодической с периодом a k+1 , . . . , a k+T . Набор a 0 , a 1 , . . . . . . , a называется предпериодом. Бесконечная непрерывная дробь вида [ a 0 ; a 1 , . . . , a T называется чисто периодической. Вычислите следующие цепные дроби: а) [ 5; 1, 2, 1, 10 б) [ 5; 1, 4, 1, 10 в) [ 2; 1, 1, 3 ]. 3.161. Разложите в цепные дроби числа: а) √ 2 ; б) √ 3 ; в) 1 2 + √ 7 3.162. Формат A4. Найдите наименьшее натуральное n, для которого существует такое m, что < m n < 297 210 3.163. Числа из электрической розетки. Найдите наименьшее натуральное n, для которого существует такое m, что < m n < 220 См. Определение. Число называется квадратичной иррациональностью, если оно является иррациональным корнем некоторого квадратного уравнения с целыми коэффициентами 46 3. Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики Если α = b + c √ d — квадратичная иррациональность, то число α 0 = = b − c √ d называется сопряженным к числу α. 3.164. Докажите, что значение любой периодической цепной дроби квадратичная иррациональность. Верно более сильное утверждение. Теорема Лагранжа. Число разлагается в периодическую цепную дробь тогда и только тогда, когда оно является квадратичной иррациональностью. (См. [ 5 ], [ 28 ].) 3.165. Найдите рациональное число, которое отличается от α не более чем на 0,0001, где а) α б) α = 2 +в) α = 3 + √ 7 3.166. Докажите равенство 2; 2, . . . , 2 | {z } n ] = (1 + √ 2) n+1 − (1 − √ 2) n+1 (1 + √ 2) n − (1 − √ 2) n 3.167 * . Теорема Лежандра. Докажите, что если − p q < 1 то p q — подходящая дробь к числу α. 3.168. Теорема Валена. Докажите, что если p n /q n (n > 1) подходящая дробь к числу α, то имеет место по крайней мере одно из неравенств − p n q n < 1 2q 2 n или − p n−1 q n−1 < 1 Получите отсюда теорему Валена: для любого α найдется бесконечно много дробей p/q таких, что − p q < 1 2q 2 3.169 * . Докажите, что для любых целых чисел p и q (q 6= справедливо неравенство − p q > 1 3q 2 3.170. Докажите, что при k > 1 выполняется равенство 1 a F k+1 − 1 = [a F k ; a F k−1 , . . . , a F 0 ], 5. Цепные дроби 47 где {F k } — последовательность чисел Фибоначчи. Докажите, что положительный корень квадратного уравнения, где a и b — натуральные числа, разлагается в чисто периодическую цепную дробь с длиной периода, равной 2. Верно ли обратное утверждение. Докажите, что если квадратное уравнение с целыми коэффициентами имеет корень x = [ a; b ], то вторым корнем служит число a; b ] 3.173. Докажите, что если положительная квадратичная иррациональность +разлагается в чисто периодическую цепную дробь, то сопряженная ей квадратичная иррациональность α 0 = = A принадлежит интервалу (−1; 0). 3.174. Докажите, что если квадратное уравнение с целыми коэффициентами имеет корень x = [a; b, c ], то вторым корнем будет число a − [ c, b ] Глава Арифметика остатков. Четность. Пусть m и n — целые числа. Докажите, что mn(m + n) — четное число. Рукопожатия. Каждый из людей, когда-либо живших назем- ле, сделал определенное число рукопожатий. Докажите, что число людей, сделавших нечетное число рукопожатий — четно. В прямоугольном треугольнике длины сторон — натуральные взаимно простые числа. Докажите, что длина гипотенузы — нечетное число, а длины катетов имеют разную четность. На доске написано 10 плюсов и 15 минусов. Разрешается стереть любые два знака и написать вместо них плюс, если они одинаковы, и минус в противном случае. Какой знак останется на доске после выполнения 24 таких операций. Из шахматной доски вырезали две противоположные угловые клетки (a8 и h1). Можно ли оставшуюся часть доски покрыть непере- крывающимися косточками домино. Город имеет форму квадрата 5 × 5 (см. рисунок. Какую наименьшую длину может иметь маршрут, если нужно пройти по каждой улице этого города и вернуться в прежнее место (По каждой улице можно проходить любое число раз. Может ли ладья перейти из одного угла шахматной доски в противоположный угол (по диагонали, побывав по одному разу на всех 64 клетках Тот же вопрос для коня. Вороны на деревьях. Вдоль улицы стоят деревьев и на каждом из них сидит по вороне. Разв час две из них взлетают и каждая садится на одно из соседних деревьев. Может ли получится так, что все вороны соберутся на одном дереве. Термит и 27 кубиков. Представим себе большой куб, склеенный из 27 меньших кубиков. Термит садится на центр грани одного 1. Четность 49 из наружных кубиков и начинает прогрызать ход. Побывав в кубике, термит к нему уже не возвращается. Движется он при этом всегда параллельно какому-нибудь ребру большого куба. Может ли термит прогрызть все 26 внешних кубиков и закончить свой ход в центральном кубике Если возможно, покажите, каким должен быть путь термита. На хоккейном поле лежат три шайбы A, B и C. Хоккеист бьет по одной из них так, что она пролетает между двумя другими. Так он делает 25 раз. Могут ли после этого шайбы оказаться на своих местах. Все косточки домино выложены в цепь. На одном конце оказалось очков. Сколько очков на другом конце. Можно ли множество всех натуральных чисел больше 1 разбить на два непустых подмножества так, чтобы для любых двух чисел и b из одного множества число ab − 1 принадлежало другому. Дан выпуклый угольник A 1 , . . . , A 2n . Внутри него взята точка P, не принадлежащая ни одной из диагоналей. Докажите, что точка P принадлежит четному числу треугольников с вершинами в точках A 1 , . . . , A 2n 4.14. Вряд выписаны числа 1, 2, . . . , 10. Можно ли расставить между ними знаки «+» итак, чтобы значение полученного выражения было равно нулю. К 17-значному числу прибавили число, записанное теми же цифрами, нов обратном порядке. Докажите, что хотя бы одна цифра полученной суммы четна. Улитка ползет по плоскости с постоянной скоростью, каждые 15 минут поворачивая под прямым углом. Докажите, что вернуться в исходную точку она может лишь через целое число часов. Есть 101 монета, из которых 50 фальшивых, отличающихся повесу на 1 грамм от настоящих. Коля Васин взял одну монету и заодно взвешивание навесах со стрелкой, показывающей разность весов на чашках, хочет определить фальшивая ли она. Сможет ли он это сделать. 7 стаканов. На столе стоят 7 стаканов — все вверх дном. Разрешается за один ход перевернуть любые 4 стакана. Можно ли за несколько ходов добиться того, чтобы все стаканы стояли правильно. В клетках квадратной таблицы 4 × 4 расставлены знаки +и − , как показано на рисунке+ − + + + + + + + + + + + + + + 50 4. Арифметика остатков Разрешается одновременно менять знак во всех клетках, расположенных водной строке, водном столбце или на прямой, параллельной какой-нибудь диагонали (в частности, можно менять знак в любой угловой клетке. Докажите, что, сколько бы мы ни производили таких перемен знака, нам не удастся получить таблицу из одних плюсов. Марсианские амебы. В пробирке находятся марсианские амебы трех типов A, B и C. Две амебы любых двух разных типов могут слиться в одну амебу третьего типа. После нескольких таких слияний в пробирке оказалась одна амеба. Каков ее тип, если исходно амеб типа A было 20 штук, типа B — 21 штука, и типа C — 22 штуки? (См. также. Игра «Йога». На поле для игры расставлены 32 фишки (смотрите рис. При взятии одна фишка перескакивает через другую почти как в шашках, ноне по диагонали, а по горизонтали или по вертикали. Допустим, в конце игры осталась 1 фишка. Объясните, почему для ее расположения есть только 5 вариантов, изображенных на рисунке. (См. также 5.79 .) Рис. Рис. Указание Рассадите на поле для игры марсианских амеб. Пусть в клетках A и B сидят амебы, а клетка C — пустая. Тогда амеба A, перепрыгивая через амебу B превращается в амебу C, а амеба B исчезает. Код, исправляющий ошибку. Предположим, что требуется передать сообщение, состоящее из нулей и единиц. Запишем его в виде квадратной таблицы n × n. Допишем к каждой строке сумму ее элементов по модулю 2. Получится еще один столбец высоты Аналогично поступим с каждым столбцом (в том числе найдем и сумму элементов дописанного столбца. Например, если требуется передать сообщение 0111, то таблица 2 × 2 окажется дополненной до таблицы 3: 0 1 1 1 → 0 1 1 1 1 0 1 0 1 2. Делимость 51 Докажите, что если при передаче расширенной таблицы (n + 1) × (n + произойдет одна ошибка, то эту ошибку можно будет найти и исправить. Какое наименьшее число ошибок должно произойти, чтобы об этом нельзя было узнать. Делимость. Пусть p > 3 — простое число. Докажите, что p 2 − 1 ... 24 4.24. Докажите, что любое натуральное число, десятичная запись которого состоит из 3n одинаковых цифр, делится на 37. 4.25. Докажите, что число 11 . . . 1 (1986 единиц) имеет по крайней мере а) б) 32 различных делителя. Докажите, что числа а) 2 3 2001 + б) 2 3 2001 − 1 — составные. Докажите следующие соотношения: а) 2 41 − 1 ... б) 2 70 + 3 70 ... в) 2 15 − 1 ... 20801 4.28. Докажите, что для любого простого числа p > 2 числитель дроби m n = 1 1 + 1 2 + . . . + 1 p − делится на p. 4.29. Натуральные числа m и n таковы, что m > n, m не делится на n и имеет отделения на n тот же остаток, что и m + n отделения на m − n. Найдите отношение m : n. 4.30. Даны целые числа a, b, c такие, что a + b + c ... 6. Докажите, что a 3 + b 3 + c 3 ... 6 4.31. Докажите, что 11 10 − 1 ... 100 4.32. Сколько имеется различных прямоугольных треугольников, |