Последний вариант цифровой электроники. Последний вариант цифровой электроники (1). Тема Математическое введение в цифровую технику. 11
![]()
|
Тема 2. Переходные процессы в RC-цепях. 2-1. Процессы, протекающие в простейшей RC-цепи. Переходный процесс обусловлен тем, что энергия электромагнитных полей, связанных с цепью при различных установившихся режимах различна, а скачкообразное изменение энергии, т.е. изменение энергии на конечную величину за бесконечно малый промежуток времени, невозможно из-за ограниченности величины мощности физически существующих источников энергии. Линейным устройством (элементом) называется устройство (элемент), параметры которого не зависят от протекающего тока или приложенного напряжения. Нелинейное устройство - это устройство, параметры которого зависят от тока или напряжения. Переходные процессы в простейших линейных цепях, т.е. в цепях RL или RC описываются дифференциальным уравнением первого порядка: ![]() где x(t) - напряжение или ток в схеме, y(t) - внешнее воздействие. Решение этого уравнения для случая y(t) = const имеет вид: ![]() где t - текущее время, x(t) - напряжение или ток в схеме, x(¥) - конечное значение x(t) при t®¥, x(0) - начальное значение x(t) при t = 0. Характер изменения функции x(t) представлен на рис. 2.1 (убывающая или нарастающая экспонента). ![]() Рис. 2.1. Характер изменения экспоненциальной функции. Выполним следующие преобразования: ![]() ![]() Поскольку ![]() При анализе переходных процессов часто возникает задача нахождения интервала времени ![]() ![]() ![]() Откуда ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Применим полученные соотношения для анализа RC-цепей. Предварительно напомним законы коммутации для RL и RC-цепей: 1-ый закон коммутации: напряжение на конденсаторе в момент коммутации не может измениться скачком UС(0-) = UС(0+); 2-ой закон коммутации: ток, протекающий через индуктивность, не может измениться скачком IL(0-) = IL(0+). Законы коммутации являются следствием того, что энергия в цепи не может изменяться мгновенно, так как для этого требуется бесконечно большая мощность источников энергии. Рассмотрим RC-цепь (рис. 2.2). Рис. 2.2. Схема простейшей RC-цепи. Пусть конденсатор не заряжен и в момент времени t = 0 ключ переходит из положения «0» в положение «1». Для начальных и установившихся режимов в этом случае можно записать: при t= 0 UС(0) = 0, UR(0) = E; при t= ¥ UС(¥) = E, UR(¥) = 0. После подстановки получаем: ![]() ![]() Считая, что конденсатор заряжен до значения UС= E, рассмотрим процесс после перевода ключа из положения «1» в положение «2». Начальные и установившиеся значения напряжений на элементах в этом случае запишутся: при t= 0 UС(0) = E, UR(0) = -E; при t = ¥ UС(¥) = 0, UR(¥) = 0. После подстановки получаем: ![]() ![]() Характер изменения функций UC(t) и UR(t) представлен на рис. 2.3. ![]() Рис. 2.3. Характер изменения функций UС(t) и UR(t) простейшей RC-цепи. Из курса математики известно, что за утроенное значение постоянной времени, т.е. за время 3t, экспонента изменяется на 0.95 своего конечного полного изменения. Это значит, что за время 3t конденсатор условно разряжается и заряжается. 2-2. Интегрирующая RC-цепь. Электрическая принципиальная схема интегрирующей RC-цепи представлена на рис. 2.4(а). Коммутация напряжения на входе, рассмотренная ранее, эквивалентна подаче на вход прямоугольного импульса напряжения (рис. 2.4(б)). Как было выведено ранее, характер изменения функции UC(t)=Uвых в общем случае выражается следующими зависимостями: ![]() ![]() ![]() ![]() Рис. 2.4. Интегрирующая RC-цепь и временные диаграммы напряжений. Разряд конденсатора после прекращения действия импульса приводит к тому, что выходной импульс будет иметь большую продолжительность, чем входной. Происходит расширение импульса без сохранения его формы, поэтому такая RC-цепь называется расширяющей. Поскольку ![]() ![]() ![]() Так как ![]() ![]() Рассмотрим случай, когда ![]() ![]() ![]() ![]() то есть на выходе интеграл от входного напряжения. Отсюда очевидно название рассмотренной цепи – интегрирующая. Эта цепь используется, в частности, для получения линейно изменяющегося напряжения. Для этого на вход интегрирующей цепи подается постоянное напряжение ![]() ![]() то есть на выходе линейно изменяющееся напряжение (рис. 2.5). ![]() Рис. 2.5. Графики изменения идеального и реального выходных напряжений интегрирующей RC-цепи. В отличие от рассмотренного идеального случая, в реальной цепи ![]() Найдем производную по t от функции идеального выходного напряжения: ![]() Аналогично для функции реального выходного напряжения производная запишется: ![]() При t=0 ![]() т.е. в нуле производные реальной и идеальной функций совпадают, а в дальнейшем - расходятся. За меру расхождения на интервале [0, tи] принимают коэффициент нелинейности ![]() ![]() Для случая ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() т.е. чем больше t при данном значении tи, тем меньше ß. Реальная функция Uвых.р в этом случае ближе к идеальной Uвых.ид. 2-3. Разделительная дифференцирующая RC-цепь. Электрическая принципиальная схема разделительной дифференцирующей RC-цепи и её временные диаграммы представлены на рис. 2.6. ![]() Рис. 2.6. Разделительная дифференцирующая RC-цепь и временные диаграммы напряжений. Как было показано ранее, ![]() ![]() ![]() При ![]() ![]() ![]() Для случая ![]() ![]() ![]() ![]() Оценкой качества разделительной цепи является величина относительного завала вершины , которая определяется как: ![]() Таким образом, завал вершины, а значит искажение входного импульса, тем меньше, чем больше постоянная времени цепи t при данном tи. Если величина завала вершины несравненно мала, то импульс передается без искажения. ![]() Рис. 2.7. Диаграммы входного и выходного напряжений разделительной цепи. Из временной диаграммы рис. 2.7 видно, что амплитуда последовательности импульсов выходного напряжения постоянна, но при этом импульсы смещаются относительно нулевого уровня. В установившемся режиме площади под графиком S+ положительной и S- отрицательной областей последовательности импульсов окажутся равными друг другу: S+ = S-. Доказать этот факт можно, рассмотрев диаграмму тока, протекающего через резистор (рис.2.8). Очевидно, что i1t1 - это заряд Qи, переносимый через емкость за время действия импульса на входе, а i2(t2-t1) – заряд Qп, переносимый через емкость за время паузы между импульсами, т.е. в обратном направлении. Тогда общий заряд, переносимый через емкость за время, равное периоду импульса будет равен: ![]() Поскольку постоянная составляющая через емкость не проходит ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Рис. 2.8. Диаграмма тока, протекающего через резистор разделительной RC-цепи. Поскольку ![]() ![]() ![]() Продифференцируем обе части полученного уравнения. Получим ![]() Так как ![]() ![]() Рассмотрим случай ![]() ![]() ![]() ![]() Из полученной формулы следует название такой цепи – дифференцирующая. Для дифференцирующей цепи должно выполняться условие ![]() ![]() Рис. 2.9. Диаграммы входного и выходного напряжений дифференцирующей RC-цепи. |