Финансовая отчетность. Моделирование финансовой деятельности. Часть 3. Тема Моделирование инвестиционной деятельности компании
 Скачать 1.88 Mb.
|
|
Случай множества периодов Далее мы будем допускать, что плановый период инвестора всегда превышает 1 год (T > 1). Этот случай является более близким к действительности. 8 Ср. с. 60 и сл. 9 Ср. по этому поводу с. 188 и сл. 79 3.3.3.1. «Решение» Дина Вначале рассмотрим простой вариант этой проблемы. Помимо названных в разделе 3.3.1 основополагающих предпосылок, модель основывается на следующих допущениях. 1. Плановый период превышает 1 период (T > 1). По окончании периода предприятие ликвидируется. 2. Каждый проект можно включить в программу максимум 1 раз. 3. Инвестиции породят в t = 0 выплаты ( ), а во всех следующих моментах врмени или поступления или выплаты. По меньшей мере один платеж является поступлением ( по меньшей мере для одного t > 0), при осуществлении проектов финансирования это – в точности наоборот ( и по меньшей мере для одного t > 0) Мы ищем оптимальную при этих условиях программу инвестиций и финансирования. Джоэль Дин впервые в 1951 г. предложил решить проблему способом, описанным нами выше для случая одного периода. Иными словами, Дин предложил ранжировать инвестиционные проекты по их внутренней ставке процента в порядке убывания очередности, а проекты финансирования – так же по их внутренней ставке процента, но в порядке её возрастания. Точка пересечения образующихся таким образом кривых спроса на капитал и предложение капитала определяет – по Дину – оптимальную программу инвестиций и финансирования. Идею Дина нужно оценить положительно по той причине, что она – кроме вычисления внутренних ставок процента – не представляет трудностей, связанных с техникой расчета. Но этому противостоят следующие три серьезных недостатка. Внутренняя ставка процента как критерий ранжирования имеет существенные недостатки, если мы рассчитываем её для проектов, срок эксплуатации которых больше одного периода. Мы знаем о внутренней ставке процента, что она в случае множества периодов может быть неоднозначной или вообще не существовать. 10 Это означает, что существуют проекты, которые не имеют ни одной или имеют больше одной внутренней ставки процента. Если возникают такие проекты, остается открытым вопрос о том, какое место они должны занимать при ранжировании. Что касается ликвидности, то метода Дина лишь обеспечивает, что платежеспособность в момент времени t = 0 поддерживается. Однако остается открытым, обеспечено ли это условие и для момента времени t = 1,…,T. Значит, при некоторых условиях мы можем найти более выгодную программу инвестиций и финансирования, прибыль которой мы не можем присвоить лишь из-за того, что перед этим необходимо заявить о банкротстве. Но решающим является третий пункт критики: предложенный Дином метод не будет всегда приводить нас к принятию оптимальных решений, он будет «работать» только тогда, когда мы анализируем проекты с однозначными внутренними ставками процента, и ликвидность полностью поддерживается. Для иллюстрации приведем простой пример. Пример. Инвестор имеет плановый период, равный T = 2, и хочет максимизировать свое имущество, исходя из указанного горизонта планирования. Он не желает 10 Ср. с. 99 и сл. 80 осуществлять изъятия из предприятия до истечения планового периода. Этот инвестор имеет два инвестиционных проекты (А и В), характеризующихся представленными в Таблица 3.3.7 денежными потоками. Кроме того, он имеет два источника финансирования (C и D). Источник капитала С стоит 5% при сумме кредита, не превышающей 200, а источник капитала D стоит 12% при сумме кредита, не превышающей 300. Условия возврата в обоих случаях могут быть любыми. Кроме того, оба проекта совершенно независимы друг от друга. Как выглядит оптимальная программа инвестиций и финансирования? Таблица 3.3.7 Два инвестиционных проекта Момент времени t 0 1 2 Инвестиция А -200 190 75 Инвестиция В -120 12 132 Решение. Внутренние ставки процента инвестиционных проектов получаются равными и . Внутренние ставки процента финансирования соответствуют их стоимости капитала, следовательно, составляют и Отсюда следует, что оптимальным выглядит осуществление инвестиции А и её финансирование посредством кредита С. Включение проектов B и D в программу оказывается, напротив, невыгодным, так как внутренняя ставка процента B (10%) меньше необходимой для её финансирования стоимости капитала от D (12%). Графическое определение этого решения показано на Рис. 3.3.3. Рис. 3.3.3 Графическое изображение (выглядящей) оптимальной программы инвестиций и финансирования в случае множества периодов. Если бы инвестор реализовывал программу (А, С), то он получил бы остаточное имущество в объеме С 2 = 54. Выведение этого результата можно проследить на цифрах Таблица 3.3.8 Таблица 3.3.8 Полный финансовый план при осуществлении выглядящей оптимальной программы (А, С) Момент времени t 0 1 2 Инвестиция А (25%) -200,00 190,00 75,00 Финансирование С (5%) 200,00 -190,00 -21,00 Изъятие 0,00 0,00 0,00 Остаточное имущество 54,00 81 Денежный поток в проекте финансирования С образуется за счет получения кредита в момент времени t = 0 в сумме 200. К моменту времени t = 1 этот кредит при процентах, равных 5%, возрастает на 210, из которых инвестор, не желающий изъятий, возвращает 190, так что остается остаточный долг в объеме 200. Эта сумма при процентах, равных 5%, в момент времени t = 2 возрастает до 21. Следовательно инвестор достигает остаточного имущества в объёме Но если инвестор решается принять решение в пользу осуществления выглядящей на Ошибка! Источник ссылки не найден. невыгодной программы (A, B, C, D), то этот выбор окажется для него лучше, так как в этом случае он достигает остаточного имущества в объёме . В этом случае полный финансовый план выглядит, как показывает Таблица 3.3.9. Таблица 3.3.9 Полный финансовый план при осуществлении программы (A, B, C, D) Момент времени t 0 1 2 Инвестиция А (25%) -200,00 190,00 75,00 Инвестиция B (10%) -120,00 12,00 132,00 Финансирование С (5%) 200,00 -67,60 -149,52 Финансирование D (12%) 120,00 -134,40 Изъятие 0,00 0,00 0,00 Остаточное имущество 57,48 Инвестиционные возвратные потоки в t = 1 по величине 190 + 12 =202 используются инвестором для полного возврата кредита D. При сумме кредите 120 и при процентах, равных 12%, ему понадобится для этого 134,40. Остающиеся средства величиной в 202–134,40=67,60 используются им для частичного возврата кредита C. Вследствие этого здесь остается кредитная сумма 210 – 67,60=142,40, которая при процентах, равных 5%, в момент времени t = 2 возрастает до 149,52. Следовательно, в совокупности остаточное имущество составляет Следовательно, использование внутренней ставки процента в случае множества периодов может привести к принятию субоптимальных решений. В этом случае это можно объяснять тем, что стоимость капитала проекта D в размере 12% имеет место лишь в первом периоде, так как кредит в момент времени t=1 оказывается уже полностью возвращенным. Значит нам нельзя доверять качеству предложенного Дином способа решения. Во всяком случае, при нахождении оптимума можно ошибиться. 11 3.3.3.2. Решение с помощью линейного программирования Оптимальные решения в рамках одновременного инвестиционного и финансового планирования можно всегда определить с помощью моделей линейного программирования (моделей ЛП). Общие сведения о линейном программировании К сожалению, мы не можем предлагать, что все читатели в достаточной степени знакомы с линейным программированием. С другой стороны, этот метод нельзя объяснить несколькими фразами. Поэтому мы можем лишь поверхностно объяснить, что такое линейное программирование, и указать на дополнительную литературу по этой теме. 12 11 Ответ на вопрос о том, на сколько в среднем вы отдаляетесь от оптимального решения, если вы, несмотря на это, работаете с методом Дина, можно найти в работах [190] и [73]. 12 Ср., например, [244]. 82 Формулировка проблемы. Мы начнем с определения. Под линейным программированием понимается ряд математических алгоритмов, с помощью которых для линейно целевой функции при учете конечного множества линейных дополнительных ограничений может быть найдем максимум (или минимум). Если мы используем символику, применяемую в книгах по ЛП, то тогда целевая функция выглядит следующим образов: 1 n j j j c x (3.18) А дополнительные ограничения имеют вид: (3.19) Далее, нам всегда нужно учитывать условия неотрицательности При этом используемые здесь символы означают следующее: – определяемые, а значит, неизвестные значения переменных решений j (например, количество продукции, число инвестиционных проектов и т.д.); – прибыльность (например, прибыль на единицу продукции, потери на единицу продукции различных видов продуктов, чистая сегодняшняя стоимость отдельных инвестиционных проектов и т.д.). Значит, речь здесь идет об одной единице каждой переменной решения в отношении её вклада в достижение цели; – существующее множество мощностей i (например, мощность одной машины, имеющегося числа персонала, имеющихся финансовых средств и т.д.); – коэффициент нагрузки i-й мощности одной единицы j-й переменной решения (например, время изготовления одной единицы, одного продукта на одной машине); – целевое значение решений, которое нужно максимизировать (например, издержки в течение периода, время изготовления, остаточное имущество, уровень дохода и т.д.). Алгоритм симплекс-метода. Мы определим линейное программирование как алгоритм, с помощью которого линейные целевые функции при учете линейных дополнительных ограничений могут быть максимизированы. Но что такое алгоритм? Алгоритм – это математический метод расчета, например, суммирование, вычитание, возведение в степень или дифференциальное исчисление. Для решения проблем ЛП были разработаны разные алгоритмы. Самый известный из них называется алгоритмом симплекс-метода. 13 Алгоритм симплекс-метода направлен на то, чтобы мы после конечного числа стадий расчетов (итераций) нашли в точности те значения переменных решения , которые максимизируют целевую функцию Z при учете заранее заданных дополнительных ограничений. 13 Для решения практических проблем он, в общем, не очень рекомендуется. Существуют значительно лучшие методики решения. Но мы здесь не хотим вдаваться в детали. 83 Способ функционирования алгоритма симплекс-метода не следует объяснять, исходя из целей этой книги. Алгоритм сам по себе требует таких затрат, что, кроме решения самых мелких задач, мы не можем обойтись без компьютера. Для этой задачи разработаны компьютерные программы, которые выполняют алгоритм симплекс-метода и другие алгоритмы подходящих решений ЛП «автоматически». Нам, в принципе, необходимо лишь знать, как ввести в компьютер соответствующие данные и задать нужную команду. Особые проблемы возникают тогда, когда все или некоторые переменные решения должны принять лишь значения целых цифр. В этом случае мы должны работать с линейным программированием, предназначенным для работы (полностью или частично) с целыми числами, и простого симплекс метода нам уже недостаточно. 14 Стандартный пример. Если задача имеет лишь две переменные, то способ функционирования моделей ЛП особенно хорошо иллюстрировать графически. Для представления примера обычно рассматривается проблема, касающаяся сферы производственного планирования. Пример. Предприниматель намерен максимизировать свой оборот и для этого он может произвести два продукта (№ 1 и № 2) в разных количествах. Цены продажи за штуку этих продуктов составляют соответственно 12 руб. и 15 руб. Производство осуществляется в двух цехах с разными техническими мощностями. Цех А имеет мощность, равную 12 часам, а мощность цеха В составляет лишь 10 часов. Производство одной единицы продукта № 1 требует в цехе А 4 часа, а в цехе В – 2 часа. В противоположность этому для производства продукта № 2 в цехе А необходимы 3 часа, а в цехе В – 5 часов, см. Таблица 3.3.10. Итак, мы ищем оптимальную производственную программу. Таблица 3.3.10. Исходные данные, предназначенные для простой задачи ЛП. Цех № продукта Мощность 1 2 А 4 часа 3 часа 12 часов В 2 часа 5 часов 10 часов Цена продажи 12 руб. 15 руб. Решение. Графическое решение задачи (ср. рис. 4.5) можно получить следующим образом. Каждая точка в первом квадранте системы координат x 1 ;x 2 описывает определенную производственную программу. Изображение границы мощности цеха А: если цех А производил бы лишь продукт № 1, то тогда мы могли бы произвести 3 штуки (x 1 = 3, x 2 = 0). Если бы наоборот, производился лишь продукт № 2, то тогда мы могли бы произвести 4 единицы (x 1 = 0, x 2 = 4). Поэтому линия, соединяющая эти две точки, описывает комбинацию объемов производства, которые можно максимально произвести при данной мощности в цехе А. Изображение границы мощности в цехе В: если бы цех производил лишь продукт № 1, тогда мы могли бы произвести 5 единиц (x 1 = 5, x 2 = 0). Если, наоборот, 14 Весьма мощной программой является Mathematical OPtimization System (MOPS), предложенная профессором Уве Х. Зулом из Свободного Университета Берлина. Версию MOPS для EXCEL можно найти на странице интернета http://www.mops.fu-berlin.de/d/index.htm (студенческая версия). 84 производился бы лишь продукт № 2, тогда мы могли бы максимально производить 2 единицы (x 1 = 0, x 2 = 2). Построение области решения: область решения описывается прямыми линиями мощностей обоих цехов и осями системы координат (пунктирная плоскость на рис. 4.5). Каждая точка вне этой области решения является недостижимой производственной программой. Наоборот, все точки внутри области решения (включая её край) являются достижимыми производственными программами. Определение оптимального решения: предположим, что предприниматель хочет достичь оборота в объёме 7 руб. Если бы он должен был произвести продукт № 1, то ему нужно было бы при цене по 12 руб. за штуку продать 6,25 единиц (x 1 = 6,25, x 2 = 0). А если бы он производил лишь продукт № 2, то ему нужно было бы из-за цены, равной 15 руб. за штуку, продать лишь 5 единиц, чтобы достичь оборота в объёме 75 руб. (x 1 = 0, x 2 = 5). Линия соединяющая обе эти точки, представляет все возможные производственные программы, которые приведут к обороту в объёме 75 руб. К сожалению, она находится очень далеко от области решения, так что предпринимателю приходится довольствоваться гораздо более скромным оборотом. Мы получаем оптимальное решение путем параллельного смещения прямой линии оборота в направлении области решения. Параллельным должно быть смещение из-за того, что наклон линии оборота определен соотношением цен обоих продуктов; при этом принято допущение, согласно которому цены независимы от объёма сбыта. В этом примере мы должны вернуться к обороту в объёме руб. Такого оборота удастся достичь тогда, когда мы произведем единиц продукта № 1 и единиц продукта № 2. Рис. 3.3.4 Графическое определение оптимального решения задачи ЛП 85 Если мы хотим решить проблему, используя алгоритм симплекс-метода, нам сначала нужно создать базовую таблицу (Таблица 3.3.11). Таблица 3.3.11 Базовая таблица, описывающая задачу ЛП x 1 x 2 b 1 4 3 12 b 2 2 5 10 Z 12 15 0 После нескольких стадий расчёта (итераций), которые мы не будем здесь объяснять, из неё образуется таблица решения (Таблица 3.3.12). Таблица 3.3.12 Таблица решения задачи ЛП b 1 b 2 x 1 x 2 Z Следовательно, оптимальные значения решения получаются равными Таким образом, определена производственная программа с максимальным оборотом. Двойственные оценки. Для каждого условия, ограничивающего область решения, в целевой функции таблицы решения существует величина, а именно 1 1 15 7 b d 2 2 12 7 b d Это так называемые двойственные оценки дополнительных ограничений. Двойственная оценка показывает, кокав был бы рост значения целевой функции, если бы мы увеличили соответствующее правой части дополнительное условие на одну единицу. Если бы мы, например, повысили мощность в цехе А на 1 до 13, то базовая таблица выглядела бы как Таблица 3.3.13. Таблица 3.3.13 Базовая таблица, x 1 x 2 b 1 4 3 13 b 2 2 5 10 Z 12 15 0 Из неё образуется таблица решения с величинами как в Таблица 3.3.14. Таблица 3.3.14 Таблица решения задачи ЛП b 1 b 2 86 x 1 x 2 Z Значение целевой функции действительно повысилось на 1 15 7 d . Новые значения переменных решения равны 1 2 5 , 1 2 x x Модель для случая стремления к имуществу Далее мы покажем, как можно использовать инструментарий линейного программирования для решения задачи одновременного инвестиционного и финансового планирования. При этом сначала мы используем «нормальный» (или непрерывный) вариант линейного программирования, при котором получаемые значения переменных решений не должны быть целыми числами. Мы обратимся к варианту с частично целыми числами позже. 15 Представляемая теперь модель оптимизации соответствует в своих существенных свойствах концепции Хакса ([112]) и Вайнгартнера ([347]). Помимо названных в разделе 3.3.1пяти условий, модель основывается на следующих допущениях: 6. Инвестор ожидает базовый денежный поток (M 0 , … , M T ). 7. Горизонт планирования инвестора охватывает один период или больше ( ). В момент времени T предприятие ликвидируется. 8. Каждый проект бесконечно делим, и его можно включать в программу один раз или чаще ( 9. Инвестор преследует цель – на основе данного проекта потока изъятий ( ) – максимизировать своё остаточное имущество (C T ). Перед началом формулировки решения этой ситуации на основе линейного программирования разумно установить схему полного финансового плана для всех достижимых программных альтернатив. Это один раз уже было сделано в Таблица 3.3.1на с. 70. Чтобы читатель не терял время на перелистывание страниц, а также исходя из того, что мы в последующем будем постоянно возвращаться к этой таблице, она приводится нами ещё раз. Таблица 3.3.15 (ср. с Таблица 3.3.1) Основополагающая формальная структура полного финансового плана при одновременном инвестиционном и финансовом планировании Момент времени t 0 1 … T Базовые платежи … Инвестиционный проект 1 … Инвестиционный проект 2 … …………………… ………… … … … … Инвестиционный проект J … Проект … 15 См. с. 193 и сл. |