Финансовая отчетность. Моделирование финансовой деятельности. Часть 3. Тема Моделирование инвестиционной деятельности компании
 Скачать 1.88 Mb.
|
|
Целевая функция. Из Таблица 3.3.15 без всяких затруднений можно увидеть, что остаточное имущество инвестора C T образуется как остаток после учёта всех платежей по инвестиционным проектам , проектов финансирования , базового платежа (M T ) и изъятия в рамках горизонта планирования, а значит, 1 1 2 2 1 1 2 2 , , max I I I I I I F F F F F F T T T JT J T T KT K T T платежи связанные с финансированием базовый платёж платежи связанные с инвестициями минус остаточное изъ C z x z x z x z x z x z x M f Y 1 1 ятие J K I I F F jT j kT k T T j k z x z x M f Y (3.20) Необходимо максимизировать это выражение. Но в качестве целевой функции при линейном программировании можно также использовать вспомогательную величину * 1 1 max J K I I F F T T T T jT j kT k j k C C M f Y z x z x (3.21) поскольку окончательное изъятие инвестора и базовые платежи являются константами. Таким образом, мы уже вывели целевую функцию. Дополнительные ограничения. Нам необходимо два вида дополнительных ограничений. С одной стороны, мы должны обеспечить, чтобы инвестор ни в одном из моментов своего планового периода не стал бы неплатёжеспособным (условия ликвидности), с другой – мы должны позаботится о том, чтобы задаваемые количества проектов равнялись разумным, с точки зрения инвестора, величинам или же определялись ими (условия количества проектов). Условия ликвидности. Ликвидность инвестора сохраняется, если сумма его выплат ни в один из моментов времени не превышает сумму его поступлений и/или финансовых запасов. Нам необходимы разные виды этих условий, а именно для момента времени , с одной стороны, и для момента времени – с другой. Между прочим, ограничение ликвидности можно очень легко вывести из схемы полного финансового плана (табл. 9.16). Для всех моментов времени перед окончанием планового периода, очевидно, должно быть верно 88 Если мы прибавим константу к правой части этого уравнения, то условия ликвидности для момента времени выглядят следующ м образом: 1 1 J K I I F F jt j kt k t t j k z x z x M f Y (3.22) Наконец, мы обратимся к последнему столбцу таблицы полного финансового плана (т.е. табл. 9.16). Здесь, очевидно, верно Если мы трактуем инвестора ликвидным лишь тогда, когда он достигает остаточного имущества, которое не меньше нуля, то условие ликвидности для момента времени выглядит следующи мобразом: 1 1 J K I I F F jt j kt k t t j k z x z x M f Y (3.23) Теперь все условия ликвидности инвестора сформулированы. Дополнительные условия количества проектов. Разумно полагать, что переменные решения не должны быть отрицательными, так как мы не можем реализовывать отрицательное число проектов. С другой стороны, количество проектов не должно превышать верхней границы, которую также устанавливает инвестор. Поэтому условия количества для инвестиций формулируются в виде (3.24) и для финансирования (3.25) Теперь мы описали все необходимые дополнительные ограничения проблемы принятия решения. Если для этой проблемы нам удастся составить описывавшуюся до сих пор лишь с помощью символов систему уравнений (неравенств) с конкретными цифрами, то мы сможем также найти оптимальное решение. Определение этого решения происходит с помощью подходящих для линейного программирования правил расчёта, например с помощью алгоритма симплекс-метода. Составление соответствующей системы уравнений и неравенств, а также решение проблемы далее иллюстрируется нами на примере. Пример. Инвестор имеет плановый период, равный субпериода, и намеревается максимизировать своё имущество на горизонт планирования. Кроме того, он хочет осуществлять постоянные изъятия из предприятий на уровне , которые начинаются в момент времени и ежегодно растут на пять процентных пунктов, значит, на . Лицу, принимающему решения, известны четыре реальных инвестиционных проекта, порождающих денежные потоки, проведённые в Таблица 3.3.16. Кроме того, на протяжении всего планового периода он может осуществлять финансовые инвестиции по (остающейся неизменной) ставке процента, равной 6%. Инвестиционные проекты 1, 2 и 3 включаются в программу лишь по одному разу. Но проект 4 можно было бы осуществить и два раза. Инвестор в момент времени имеет ликвидные средства 89 величиной в 500. Дальнейшие выплаты учитывать не нужно. Кроме того, он может Таблица 3.3.16 Проекты, связанные с осуществлением Момент времени t 0 1 2 3 4 Инвестиция 1 -500 -900 1250 350 Инвестиция 2 -800 80 160 320 520 Инвестиция 3 -700 500 300 -200 220 Инвестиция 4 -300 700 350 170 -1090 осуществить два проекта финансирования 1 и 2. Первый кредит позволяет получить финансирование по ставке 8%, при этом в первый год не выплачивается основная сумма, а после этого в течение трёх лет возвращается равными годовыми платежами. Предлагаемая кредитором сумма кредита равна 1000. При втором кредите вместе с начисленными по сложной ставке процентами (8.5%) по истечении четырёх лет. Значит, денежные потоки обоих кредитов при их полном использовании выглядят так, как показано в Таблица 3.3.17. Кроме того, инвестор может получить любую сумму по ставке 10%. Между прочим, все проекты бесконечно делимы и совершенно независимы между собой. Итак, мы ищем оптимальную программу инвестиций и финансирования. Таблица 3.3.17 Кредиты Момент времени t 0 1 2 3 4 Финансирование 1 1000 -80 -388 -388 -388 Финансирование 2 600 0 0 0 -832 Решение. Сначала мы должны определить все те проекты инвестиций и финансирования, которые можно реализовывать. Ими являются, кроме инвестиционных проектов 1 и 4, также и финансовые инвестиции (вложения под постоянный процент, равный 6%). Так как совокупный плановый период состоит из четырёх субпериодов, эти инвестиционные возможности можно описать, определив ещё четыре проекта (с 5 по 8) с помощью изображённых в Таблица 3.3.18 денежных потоков. Аналогично и при проектах финансирования должно быть учтено, что инвестор может получить любые средства по ставке процента, равной 10%. Значит, денежные потоки необходимых по этой причине дополнительных кредитов 1 и 2 в рамках проектов финансирования (с 3 по 6) выглядят так, как они изображены в нижней части Таблица 3.3.18. А теперь мы можем сразу записать целевую функцию, а также дополнительные ограничения проблемы, и обобщить их в Таблица 3.3.19. Строка 1 описывает целевую функцию. Строки с 2 по 6 отражают условия ликвидности для моментов времени до . В строках 7-11 учитываются Таблица 3.3.18 Дополняющие инвестиции и кредиты Момент времени t 0 1 2 3 4 Инвестиция 5 -100 106 Инвестиция 6 -100 106 Инвестиция 7 -100 106 Инвестиция 8 -100 106 Финансирование 3 100 -110 Финансирование 4 100 -110 Финансирование 5 100 -110 Финансирование 6 100 -110 Таблица 3.3.19 Базовая таблица линейного программирования при одновременном инвестиционном и финансовом планировании в случае стремления к имуществу и финансовом планировании в случае стремления к имуществу 90 Инвестиционные проекты Проекты финансирования 1 350 520 220 - 1090 106 -388 -832 -110 = Max ! 2 -800 -700 -300 -100 100 0 600 100 = -500 3 -500 80 500 700 106 -100 -80 -110 100 = 20 4 -900 160 300 350 106 -100 -388 -110 100 = 21 5 1250 320 -200 170 106 -100 -388 -110 100 = 22 6 350 520 220 - 1090 106 -388 -832 -110 23 7 1 1 8 1 1 9 1 1 10 1 2 11 1 1 верхние границы для инвестиционных проектов с 1 по 4 и кредита 2 (условия количества проектов). Но пока что проблема ещё не решена, а лишь сформулирована математически в соответствии с методом линейного программирования. Решение удастся найти лишь после того, когда мы применим алгоритм симплекс-метода применительно к представленной в табл. 4.20 проблеме. В нашем примере мы сделали это, используя компьютер, и пришли к следующим результатам: Согласно этому, оптимум достигается, если осуществляются инвестиционные проекты 1 (0.960 раз), 2 и 3 (по одному разу) и финансовая инвестиция 8 (0.157 раз). Финансирование этой инвестиционной программы осуществляется ликвидными средствами, а также кредитами 1 (1 раз) и 5 (8.130 раз). Таким образом, инвестор в сумме достигает остаточное имущество – с учётом конечного изъятия – в объёме Лучшего решения при необходимости соблюдения ограничений не существует. Полный финансовый план инвестора при реализации оптимальной программы выглядит так, как показывает Таблица 3.3.20. Таблица 3.3.20 Полный финансовый план для оптимальной программы Момент времени t 0 1 2 3 4 Базовые платежи 500.00 0.00 0.00 0.00 0.00 Инвестиции 0.960 раз проект 1 -480.00 -864.00 1200.00 336.00 1.000 раз проект 2 -800.00 80.00 160.00 320.00 520.00 1.000 раз проект 3 -700.00 500.00 300.00 -200.00 220.00 1.000 раз проект 8 -15.70 16.64 91 Финансирование 1.000 раз проект 1 1000.00 -80.00 -388.00 -388.00 -388.00 8.130 раз проект 5 813.00 -894.30 Изъятия 0.00 20.00 21.00 22.00 23.00 Остаточное имущество 681.64 Модель для случая стремления к доходу Эта модель отличается от предыдущей в сущности лишь целью инвестора. Помимо названных в разделе 3.3.1 пяти условий, она основывается на следующих допущениях. Инвестор ожидает базовый денежный поток (M 0 , … , M T ). 1. Горизонт планирования инвестора охватывает один период или больше ( ). В момент времени T предприятие ликвидируется. 2. Каждый проект бесконечно делим, и его можно включать в программу один раз или чаще ( 3. Инвестор преследует цель – на основе заданного вектора структуры дохода и заданного остаточного имущества – максимизировать свои регулярные изъятия. Для получения оптимального решения с помощью линейного программирования мы снова должны сформулировать линейную целевую функцию и линейные дополнительные ограничения. При этом, как и в случае максимизации имущества, разумно ориентироваться на схематический полный финансовый план в соответствии с табл. 9.16. 16 Целевая функция. Для формулировки целевой функции не нужно детальных рассуждений. Она выглядит просто: ( 3.26) Объяснения излишни. Дополнительные ограничения. При выведении дополнительных ограничений нам необходимо, как и в случае максимизации остаточного имущества, определить условия ликвидности и условия количества проектов. Условия ликвидности. Для всех моментов времени верно, в соответствии с полным финансовым планом Таблица 3.3.15 Отсюда посредством вычисления константы и зависящей от решения величины мы можем вывести условие ликвидности 1 1 J K I I F F jt j kt k t t j k z x z x f Y M (3.27) В последнем моменте времени планового периода платёжеспособность инвестора сохранена, если верно Если мы перенесём зависящую от решения величину в левую часть и базовый платёж – в правую часть, то тогда возникает условие ликвидности 16 См. с. 180. 92 1 1 J K I I F F jT j kT k T T T j k z x z x f Y C M (3.28) Теперь все условия ликвидности инвестора сформулированы. Условия количества проектов. Условия количества проектов те же самые, что и в случае максимизации имущества. Значит, ( 3.29) и ( 3.30) После этого все необходимые дополнительные ограничения описаны. Модель полностью сформулирована. Пример. В приводимой ниже иллюстрации используются цифры из того же примера, который был приведен в случае модели максимизации остаточного имущества. Но цель инвестора сейчас состоит в том, чтобы максимизировать свой уровень доходов и при этом одновременно достичь остаточного имущества в объеме 500 (т.е. добиться того, чтобы оно было идентично начальному запасу ликвидных средств). Таблица 3.3.21 Базовая таблица линейного программирования при одновременном инвестиционном и финансовом планировании в случае стремления к доходу Инвестиционные проекты Проекты финансирования Доход 1 1.00 = Max! 2 -800 -700 -300 -100 1000 600 100 = -500 3 -500 80 500 700 100 -100 -80 -110 100 -1.00 = 0 4 -900 160 300 350 100 -100 -388 -110 100 -1.05 = 0 5 1250 320 -200 170 100 -100 -388 -110 100 -1.10 = 0 6 350 520 220 - 1000 100 -388 -832 -110 -1.15 ≥ 500 7 1 ≤ 1 8 1 ≤ 1 9 1 ≤ 1 10 1 ≤ 2 11 1 ≤ 1 Решение. Инвестор может осуществлять те же проекты, что и в случае максимизации остаточного имущества. Поэтому можно сразу же вывести целевую функцию и дополнительные ограничения и представить их в Таблица 3.3.21. Строка 1 содержит целевую функцию. Строки с 2 по 6 обозначают ограничения ликвидности. Строки с 7 по 11 описывают верхние границы для количества проектов с 1 по 4, а также кредит 2. Если мы будем решать проблему по правилам линейного программирования, то получим следующие значения переменных решения: =0.6117 =1.0000 =1.0000 =0.0000 =0.0000 =1.3667 =0.0000 =0.0000 =1.0000 =0.0000 =1.0000 =0.0000 =1.0000 =0.0000 93 Согласно этой формуле, для цели максимизации доходов оптимум достигается, если мы осуществим инвестиции 1 (0.6117 раз), 2 и 3 (по одному разу) и финансовую инвестицию 6 (1.3667 раз). Для финансирования мы должны использовать, помимо ликвидных средств, кредиты 1 (1 раз) и 5 (3.94 раз). Таким образом, инвестор достигает уровня дохода, равного = 57.47. Невозможно найти более хорошее решение, чем это, при ограничениях, которые нужно соблюдать. Соответствующий этому решению полный финансовый план приводится в Таблица 3.3.22. Таблица 3.3.22 Полный финансовый план для оптимальной программы инвестиций и финансирования в случае стремления к доходу Момент времени t 0 1 2 3 4 Базовые платежи 500.00 0.00 0.00 0.00 0.00 Инвестиции 0.6117 раз проект 1 -305.86 -550.52 764.62 214.10 1.0000 раз проект 2 -800.00 80.00 160.00 320.00 520.00 1.0000 раз проект 3 -700.00 500.00 300.00 -200.00 220.00 1.3667 раз проект 6 -136.67 144.87 Финансирование 1.0000 раз проект 1 1000.00 -80.00 -388.00 -388.00 -388.00 3.9400 раз проект 3 394.00 -433.40 Изъятия 0.00 57.47 60.35 63.22 66.10 Остаточное имущество 500.00 Эндогенные расчетные ставки процента В случае одного периода в рамках модели одновременного инвестиционного и финансового планирования расчетная эндогенная ставка процента образовывалась в точке пересечения кривой спроса на капитал с кривой капитала. 17 В случае множества периодов также существуют такие эндогенные расчетные ставки процента. Этот тезис верен хотя бы тогда, когда мы работаем с непрерывными моделями ЛП, а следовательно, допускаем, что переменные решения не принимают значения целых чисел. Эндогенные расчетные ставки процента как «побочные продукты» линейного программирования При решении на основе линейного программирования посредством симплекс- метода всегда образуются так называемые двойственные оценки. Они возникают в рамках дополнительных ограничений каждой линейной модели и показывают, на какую сумму увеличилось бы значение целевой функции, если бы мы увеличили правую часть дополнительных условий на одну единицу. С экономической точки зрения мы имеем здесь дело с предельной прибылью. 18 В моделях одновременного инвестиционного и финансового планирования, которые были представлены нами, существует два вида дополнительных ограничений: условие ликвидности и условия количества проектов. Особый интерес для следующих рассуждений имеют двойственные оценки условий ликвидности. 17 Ср. с. 168 и сл. 18 Ср. с. 178 и сл. 94 Двойственная оценка условия ликвидности t-го периода ( ) показывает, на какую сумму увеличилось бы значение целевой функции (остаточное имущество, уровень дохода), если бы в этом периоде у инвестора имелось на одну денежную единицу больше. или: двойственная оценка условия ликвидности t-го периода ( ) показывает, какую дополнительную полезность (остаточное имущество, уровень дохода) представляет последняя включенная в программу единица одного проекта инвестиций или финансирования. Теперь для применения метода чистой сегодняшней стоимости в случае многопериодного одновременного инвестиционного и финансового планирования рекомендуются следующие рассуждения. Все проекты, которые содержатся в оптимальной программе, дают положительную предельную выгоду, в то время как проекты, от которых нужно отказаться, имеют отрицательную предельную выгоду. Под предельной выгодой при этом понимается относительное изменение остаточного имущества или уровня дохода, которое можно ожидать при включении (только одной единицы) проекта в программу. Отсюда следует, что двойственные оценки больше предельной выгоды всех не содержащихся в оптимальной программе проектов, и что они одновременно меньше или равны предельным выгодам всех включенных в программу проектов. На основе теоремы двойственности линейного программирования 19 можно доказать, что относительные двойственные оценки можно интерпретировать в качестве обоснованных множителей дисконтирования для выплат по всем проектам, конкурирующим за их включение в программу, так как: если мы используем относительные двойственные оценки в качестве множителей дисконтирования, то тогда все не относящиеся к оптимальной программе проекты имеют неотрицательную чистую сегодняшнюю стоимость, а этот же показатель всех проектов, от которых необходимо отказаться, является отрицательным. Тогда чистая сегодняшняя стоимость рассчитывается по формуле: 0 0 1 1 1 T T T t t t NPV z z z z (3.31) Уравнение (4.11) можно записать и по-другому. Для этого мы определяем и выражаем через итоговую ставку процента. Это дает , 19 Ср. по этому поводу [244. S. 133 и сл.]. 95 и мы можем записать уравнение чистой сегодняшней стоимости в виде: . Эта формула, которую мы уже знаем со с. 65. Но теперь мы можем сказать: в случае множества периодов существуют эндогенные расчетные ставки процента, которые не обязательно должны быть идентичны для всех моментов времени. Применительно к приведенному выше числовому примеру в случае максимизации дохода 20 мы получаем в качестве дополнительных результатов следующие двойственные оценки: =-0.2825 =-0.2601 =-0.2454 =-0.2231 =-0.2059 Отсюда по приведенной выше формуле можно вывести следующие расчетные ставки процента: Тогда чистую сегодняшнюю стоимость для инвестиционного проекта 2 с денежным потоком -800, 80, 160, 320, 520 можно рассчитать следующим образом: Если мы вычислим чистые сегодняшние стоимости других проектов похожим образом, то тогда получим приведенные в табл. 4.24 цифры. Таблица ясно показывает, что все проекты, которые не принадлежат оптимальной программе, 21 имеют отрицательную чистую сегодняшнюю стоимость. Значит, мы могли бы – точно так же, как и в случае одного периода, - принять оптимальные решения и с помощью (более простого по расчету линейного программирования) метода чистой сегодняшней стоимости, если бы нам только были известны эндогенные расчетные ставки процента. К сожалению, точные значения эндогенных расчетных ставок мы узнаем лишь после решения проблемы с помощью симплекс-метода, а значит тогда, когда у нас уже есть сведения об оптимальном решении. 20 Ср. с. 187 21 Это инвестиции 4, 5, 7 и 8, а также финансирование 2, 3, 4 и 6. |