_ТАУ Лекции Википедия. Теория управленияТеория управления
 Скачать 4.85 Mb.
|
|
Производная дельта-функции Преобразование Фурье Таким образом, спектр (Фурье-образ) дельта-функции, центрированной в точке , является «волной» в пространстве частот, обладающей «периодом» . В частности, спектр (Фурье-образ) дельта-функции, центрированной в нуле, является константой (нестрого говоря — «волной» с бесконечно большим «периодом»): Соответственно, наоборот — дельта-функция является Фурье-образом чистой гармонической функции или константы. В n -мерном пространстве в декартовых координатах (ортонормированном базисе): В двумерном пространстве: В полярных координатах: — несмещённая относительно начала координат (с особенностью при r=0 ), — с особенностью в точке общего положения при r=0 доопределяется нулём. В трёхмерном пространстве: В цилиндрической системе координат: Представление многомерных дельта-функций в различных системах координат — несмещённая относительно начала координат (с особенностью при ), — с особенностью в точке общего положения при r=0 доопределяется нулём. В сферической системе координат: — несмещённая относительно начала координат (с особенностью при r=0 ). В формулах с особенностью в начале координат нередко используют вдвое большие коэффициенты (1/π для цилиндрической и полярной, 1/2π для сферической). Это связано с тем, что предполагается вдвое меньший результат интегрирования в случае, если особая точка находится точно на границе интервала интегрирования. Вблизи заряженной точки поле бесконечно, ряды Тейлора для поля не сходятся, поэтому вводят специальные функции. Одной из таких функций является дельта-функция. Вопрос о поле точечной заряженной частицы сравнительно сложен, поэтому рассмотрим сначала более простой пример. Пусть частица, способная перемещаться вдоль прямой, при ударе пренебрежимо малой длительности скачком приобретает какую-то скорость. Зададимся вопросом: как рассчитать ускорение, приобретённое телом? Построим график зависимости изменения скорости от времени. График будет иметь следующий вид: Данный график почти всюду является графиком функции Хевисайда. Производная функции Хевисайда является единичной дельта-функцией, график которой условно можно изобразить как Данный график отображает бесконечное ускорение при мгновенном наборе скорости. В общем случае ускорение при ударе можно записать как Физическая интерпретация Мгновенное ускорение Если нужно найти суммарную массу (суммарный заряд) некоторого распределения плотности (или плотности заряда), содержащего, наряду с непрерывной компонентой , ещё и точечные массы (заряды), то удобно вместо формулы, раздельно учитывающей непрерывную конечную плотность и дискретные вклады: , где — радиус-вектор положения рассматриваемого элемента (для определённости обозначения соответствуют массе, а не заряду), писать просто: , имея в виду, что включает как непрерывную, так и дельтообразные, то есть сосредоточенные в геометрических точках (по одной для каждого точечного объекта ), составляющие: Дельта-функция применяется в математической физике при решении задач, в которые входят сосредоточенные величины. В квазиклассическом пределе ( ) квантовой механики волновые функции локализуются в волновые пакеты с дельтообразными (то есть имеющими в пределе форму дельта-функции) огибающими, и области их локализации движутся по классическим траекториям согласно уравнениям Ньютона. Преобразование Фурье единицы является дельта-функцией. Это позволяет более удобно и математически строго формулировать различные задачи, связанные с преобразованием Фурье, которые очень многочисленны: волновая оптика, акустика, теория колебаний. В квантовой механике преобразования Фурье волновых функций играют первостепенную принципиальную и техническую роль, именно для неё Дирак впервые ввёл дельта-функцию. Дельта-функции играют роль собственных функций оператора с непрерывным спектром в представлениях, где этот оператор диагонален. Таким образом, они играют роль базиса в диагональном представлении оператора. Важным применением дельта-функции является их участие в аппарате функций Грина линейных операторов. Для линейного оператора , действующего на обобщённые функции над многообразием , уравнение, определяющее функцию Грина с источником в точке имеет вид Особенно часто встречается применение этого аппарата к оператору Лапласа (электростатика, теплопроводность, диффузия, механическая теория упругости) и подобным ему операторам, таким как Оператор Д’Аламбера (акустика, электродинамика, квантовая теория поля, где функция Грина часто носит специальное название пропагатора). Масса/заряд материальной точки Другие примеры Для лапласиана в функцией Грина является функция , так что где — расстояние до начала координат. Этот факт используется для доказательства того, что выражение для скалярного потенциала удовлетворяет уравнению Пуассона: Обобщённая функция Функция Грина 1. Colombeau J. F. Elementary Introduction to New Generalized Functions. — Amsterdam: Elsevier Science Publishers B. V., 1985. — 281 с. — ISBN 978-0-444-87756-7. 2. Егоров Ю. В. К теории обобщённых функций (http://mi.mathnet.ru/umn4781) // УМН. — 1990. — Т. 45, вып. 5 (275). — С. 3—40. Дирак П. А. М. Основы квантовой механики / Пер. с англ. — М., 1932 (есть много переизданий). Кудрявцев Л. Д. Краткий курс математического анализа. — Том 2. — ISBN 5-9221-0185- 4. Weisstein, Eric W. Delta Function (https://mathworld.wolfram.com/DeltaFunction.html) (англ.) на сайте Wolfram MathWorld. Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных уравнений. — Том 1. Хермандер Л. Линейные дифференциальные операторы в частных производных. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщённые функции и действия над ними. Краснопевцев Е. А. Математические методы физики. Избранные вопросы. Источник — https://ru.wikipedia.org/w/index.php?title=Дельта-функция&oldid=125729189 Эта страница в последний раз была отредактирована 27 сентября 2022 в 15:03. Текст доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike; в отдельных случаях могут действовать дополнительные условия. Wikipedia® — зарегистрированный товарный знак некоммерческой организации Wikimedia Foundation, Inc. См. также Примечания Литература Единичная функция Хевисайда. При x = 0 доопределена значением 1. Функция Хевисайда Ф у́нкция Хевис а́йда (един и́чная ступ е́нчатая функция, функция едини́чного скачка, включённая един и́ца, «ступенька») — кусочно-постоянная функция, равная нулю для отрицательных значений аргумента и единице — для положительных [1] . В нуле эта функция, вообще говоря, не определена, однако её обычно доопределяют в этой точке некоторым числом, чтобы область определения функции содержала все точки действительной оси. Чаще всего неважно, какое значение функция принимает в нуле, поэтому могут использоваться различные определения функции Хевисайда, удобные по тем или иным соображениям, например: Функцию Хевисайда легко записать, используя скобку Айверсона: Функция Хевисайда широко используется в математическом аппарате теории управления и теории обработки сигналов для представления сигналов, переходящих в определённый момент времени из одного состояния в другое. В математической статистике эта функция применяется, например, для записи эмпирической функции распределения. Названа в честь Оливера Хевисайда. Функция Хевисайда является первообразной функцией для дельта-функции Дирака, , это также можно записать как (определённый интеграл является числом, для описания первообразной используется неопределённый интеграл [2] ): Можно определить дискретную функцию Хевисайда как функцию от целого аргумента : где — целое число. Дискретный единичный импульс является первой разностью дискретной функции Хевисайда: Для более удобного использования функцию Хевисайда можно аппроксимировать с помощью непрерывной функции: где большему соответствует более крутой подъём функции в точке . Задавшись необходимой шириной области перехода функции Хевисайда , значение можно оценить как Если принять , уравнение можно записать в предельной форме: Существует несколько других аппроксимаций непрерывными функциями: Дискретная форма Аналитические формы Часто используется и бывает полезной интегральная форма записи единичной функции: Значение функции в нуле часто задаётся как , или — наиболее употребительный вариант, поскольку по соображениям симметрии в точке разрыва первого рода удобно доопределять функцию средним арифметическим соответствующих односторонних пределов, кроме того в этом случае функция Хевисайда связана с функцией знака: что с учетом определения функции знака можно выразить как Значение в нуле может явно указываться в записи функции: Производная функции Хевисайда равна дельта-функции (то есть функция Хевисайда — первообразная дельта-функции): Следовательно, применив преобразование Фурье к первообразной дельта-функции , получим её изображение вида: Запись Значение в нуле Преобразование Фурье то есть: (второй член — соответствующий нулевой частоте в разложении — описывает постоянное смещение функции Хевисайда вверх; без него получилась бы нечётная функция). Так как производной функции Хевисайда является дельта-функция Дирака, для которой известно, что , то существует формула для производной произведения ступенчатой функции с произвольной Доказательство По индукции, пусть для выполнено: Так, для единицы: Шаг индукции: Поскольку выражения — константы, дифференцируется лишь дельта-функция. Последнее слагаемое запишется, как Группируя полученные слагаемые в общую сумму: Другие свойства Таким образом, согласно принципу индукции, утверждение доказано для любого . [3] Эта функция использовалась ещё до появления её удобного обозначения. Например, Гульельмо Либри в 1830-х годах опубликовал несколько работ [4][5] , посвящённых функции . По его мнению, равен , если ; , если (см. Ноль в нулевой степени); или , если Таким образом Либри заключает, что равняется 1, если , и 0 в противном случае. Пользуясь нотацией Айверсона, это можно было бы записать, как Однако такой нотации в то время не было, и Либри считал достижением, что эту функцию можно выразить через стандартные математические операции. Он использовал эту функцию для выражения абсолютной величины (обозначения тогда ещё не было, оно было введено позже Вейерштрассом) и индикатора таких условий, как , и даже « является делителем » [6] 1. В теории автоматического управления и теории операторов Лапласа часто обозначается как . В англоязычной литературе часто обозначают или . См., например, Волков И. К., Канатников А. Н. Интегральные преобразования и операционное исчисление: Учеб. для вузов / Под ред. B. C. Зарубина, А. П. Крищенко. — 2-е изд. — М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2002. — 228 с. — (Математика в техническом университете; Вып. XI). — ISBN 5-7038-1273-9.; Методы классической и современной теории автоматического управления: Учебник в 5-и тт.; 2-е изд., перераб. и доп. Т. 1: Математические модели, динамические характеристики и анализ систем автоматического управления / Под ред. К. А. Пупкова, Н. Д. Егупова. — М.: Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2004. — 656 с. — ISBN 5-7038-2189-4 (Т. 1). 2. Зорич В.А. Математический анализ. Часть I.. — М.:МЦНМО, 2012. — С. 358. 3. Зорич В.А. Математический анализ. Часть I.. — М.:МЦНМО, 2012. — С. 358. 4. Guillaume Libri. Note sur les valeurs de la fonction 0 0 x , Journal für die reine und angewandte Mathematik 6 (1830), 67-72. 5. Guillaume Libri. Mémoire sur les fonctions discontinues, Journal für die reine und angewandte Mathematik 10 (1833), 303—316. 6. Donald E. Knuth, Two notes on notation, Amer. Math. Monthly 99 no. 5 (May 1992), 403— 422 (arXiv: math/9205211 [math.HO] (https://arxiv.org/abs/math/9205211) Архивная копия (https://web.archive.org/web/20181120201054/https://arxiv.org/abs/math/9205211) от 20 ноября 2018 на Wayback Machine). История Примечания Импульсная переходная функция Материал из Википедии — свободной энциклопедии Определение Свойства Применение Анализ систем Восстановление частотной характеристики Цифровая фильтрация См. также Примечания Импульсная переходная функция (весовая функция, импульсная характеристика) — выходной сигнал динамической системы как реакция на входной сигнал в виде дельта-функции Дирака. В цифровых системах входной сигнал представляет собой простой импульс минимальной ширины (равной периоду дискретизации для дискретных систем) и максимальной амплитуды. В применении к фильтрации сигнала называется также ядром фильтра. Находит широкое применение в теории управления, обработке сигналов и изображений, теории связи и других областях инженерного дела. Импульсной характеристикой системы называется её реакция на единичный импульс при нулевых начальных условиях. Выходной сигнал линейной системы может быть получен как свертка его входного сигнала и импульсной характеристики системы : , либо, в случае цифровой системы Содержание Определение Свойства Для того чтобы система была физически реализуема в реальном времени, её импульсная переходная функция должна удовлетворять условию: при В противном случае система нереализуема, поскольку отклик на выходе системы не может появиться раньше, чем поступающее на вход системы воздействие, вызывающее отклик (см. статью физически реализуемая система). Важным свойством импульсной характеристики является тот факт, что на её основе может быть получена комплексная частотная характеристика, определяемая как отношение комплексного спектра сигнала на выходе системы к комплексному спектру входного сигнала. Комплексная частотная характеристика (КЧХ) является аналитическим выражением комплексной функции. КЧХ строится на комплексной плоскости и представляет собой кривую траектории конца вектора в рабочем диапазоне изменения частот, называемую годографом КЧХ. Для построения КЧХ обычно требуется 5-8 точек в рабочем диапазоне частот: от минимально реализуемой частоты до частоты среза (частоты окончания эксперимента). КЧХ, так же, как и временная характеристика будет давать полную информацию о свойствах линейных динамических систем. [1] Частотная характеристика фильтра определяется как преобразование Фурье (дискретное преобразование Фурье в случае цифрового сигнала) от импульсной характеристики. Импульсная переходная функция системы рассматривается только для дискретных сигналов, если же сигналы непрерывные, то фиксируются их значения только для дискретных моментов времени, кратных периоду прерывания сигнала в системе. Фильтр с характеристикой типа «приподнятый косинус» (ФПК) — особый электронный фильтр, часто встречающийся в телекоммуникационных системах благодаря возможности минимизировать межсимвольные искажения. Импульсный отклик такого фильтра описывается следующей формулой: Применение Анализ систем Восстановление частотной характеристики Цифровая фильтрация , в выражении через sinc функцию. Переходный процесс Переходная функция Передаточная функция 1. А. В. Андрюшин, В. Р. Сабанин, Н. И. Смирнов. Управление и инноватика в теплоэнергетике. — М: МЭИ, 2011. — С. 36. — 392 с. — ISBN 978-5-38300539-2. Источник — https://ru.wikipedia.org/w/index.php?title=Импульсная_переходная_функция&oldid=124538796 Эта страница в последний раз была отредактирована 3 августа 2022 в 21:11. Текст доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike; в отдельных случаях могут действовать дополнительные условия. Wikipedia® — зарегистрированный товарный знак некоммерческой организации Wikimedia Foundation, Inc. См. также Примечания Критерий устойчивости Гурвица Критерий устойчивости Гурвица — один из способов анализа линейной стационарной динамической системы на устойчивость, разработанный немецким математиком Адольфом Гурвицом. Наряду с критерием Рауса является представителем семейства алгебраических критериев устойчивости, в отличие от частотных критериев, таких, как критерий устойчивости Найквиста — Михайлова. Достоинством метода является принципиальная простота, недостатком — необходимость выполнения операции вычисления определителя, которая связана с определенными вычислительными тонкостями (например, для больших матриц может появиться значительная вычислительная ошибка). Метод работает с коэффициентами характеристического уравнения системы. Пусть — передаточная функция системы, а — характеристическое уравнение системы. Представим характеристический полином в виде где — комплексный аргумент. Из коэффициентов характеристического уравнения строится определитель Гурвица по алгоритму: 1. по главной диагонали слева направо выставляются все коэффициенты характеристического уравнения от до ; 2. от каждого элемента диагонали вверх и вниз достраиваются столбцы определителя так, чтобы индексы убывали сверху вниз; Формулировка |