_ТАУ Лекции Википедия. Теория управленияТеория управления
 Скачать 4.85 Mb.
|
|
Литература Теория линейных стационарных систем Теория линейных стационарных систем — раздел теории динамических систем, изучающий поведение и динамические свойства линейных стационарных систем (ЛСС). Используется для изучения процессов управления техническими системами, для цифровой обработки сигналов и в других областях науки и техники. Определяющими свойствами для любой линейной стационарной системы являются линейность и стационарность: Линейность означает линейную связь между входом и выходом системы. Формально, линейной называется система, обладающая следующим свойством: если сигнал на входе системы можно представить взвешенной суммой воздействий (например, двух) — x(t) = A·x 1 (t) + B·x 2 (t) то сигнал на выходе системы является также взвешенной суммой реакций на каждое из воздействий — y(t) = A·y 1 (t) + B·y 2 (t) для любых постоянных A и B. Обзор Стационарность — означает, что выходной сигнал системы как реакция на любой заданный входной сигнал одинаков для любого момента приложения входного сигнала (с точностью до времени запаздывания момента приложения входного сигнала). В более узком смысле — при запаздывании входного сигнала по времени на некоторую величину, выходной сигнал будет запаздывать на ту же самую величину. Связь между временн о́й и частотной областями Динамика систем, обладающих вышеперечисленными свойствами, может описываться одной простой функцией, к примеру, импульсной переходной функцией. Выход системы может рассчитываться как свёртка входного сигнала с импульсной переходной функцией системы. Этот метод анализа иногда называется анализом во временной области. Сказанное справедливо и для дискретных систем. Кроме того, любая ЛСС может быть описана в частотной области с помощью своей передаточной функции, которая является преобразованием Лапласа импульсной переходной функции (или Z-преобразованием в случае дискретных систем). В силу свойств этих преобразований, выход системы в частотной области будет равен произведению передаточной функции и соответствующего преобразования входного сигнала. Другими словами, свёртке во временной области соответствует умножение в частотной области. Для всех ЛСС собственные функции являются комплексными экспонентами. То есть, если вход системы представляет собой комплексный сигнал с некоторой комплексной амплитудой и частотой , то выход будет равен некоторому сигналу с комплексной амплитудой . Отношение будет являться передаточной функцией системы на частоте . Так как синусоиды представляют собой сумму комплексных экспонент с комплексно- сопряжёнными частотами, если вход системы — синусоида, то выходом системы будет также синусоида, в общем случае с другой амплитудой и фазой, но с той же частотой. Теория ЛСС хорошо подходит для описания многих систем. Большинство ЛСС гораздо проще анализировать, чем нестационарные и нелинейные системы. Любая система, динамика которой описывается линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами, является линейной стационарной системой. Примерами таких систем являются электрические схемы, собранные из резисторов, конденсаторов и катушек индуктивности (RLC-цепочки). Груз на пружинке также можно считать ЛСС. Большая часть общих концепций ЛСС схожа как в случае непрерывных систем, так и в случае дискретных систем. Рассмотрим нестационарную систему, чья импульсная характеристика представляет собой функцию двух переменных. Посмотрим, как свойство стационарности поможет нам избавиться от одного измерения. К примеру, пусть входной сигнал — , где аргумент — числа Стационарность и линейные преобразования действительной оси, то есть . Линейный оператор показывает, как система отрабатывает этот входной сигнал. Соответствующий оператор для некоторого набора аргументов представляет собой функцию двух переменных: Для дискретной системы: Так как — линейный оператор, воздействие системы на входной сигнал представляется линейным преобразованием, описываемым следующим интегралом (интеграл суперпозиции) Если линейный оператор ко всему прочему является и стационарным, тогда Положив получим: Для краткости записи второй аргумент в обычно опускается и интеграл суперпозиции становится интегралом свёртки: Таким образом, интеграл свёртки показывает как линейная стационарная система отрабатывает любой входной сигнал. Полученное соотношение для дискретных систем: Если ко входу системы приложить входной сигнал в виде дельта-функции Дирака, результирующий выходной сигнал ЛСС будет представлять собой импульсную переходную функцию системы. Запись: Импульсная переходная функция Для дискретной системы: (из-за свойства сдвига дельта-функции). Заметим, что: то есть — импульсная переходная функция системы Импульсная переходная функция используется для того, чтобы найти выходной сигнал системы как реакцию на любой входной сигнал. Кроме того, любой вход может быть представлен в виде суперпозиции дельта-функций: Приложив ко входу системы, получим: (так как линейна) (так как постоянна по t и линейна) (by definition of ) В импульсной переходной функции содержится вся информация о динамике ЛСС. Собственная функция — функция, для которой выход оператора представляет собой ту же функцию, в общем случае с точностью до постоянного множителя. Запись: , где f — собственная функция, и — собственное число, константа. Экспоненты , где являются собственными функциями линейного стационарного оператора. Простое доказательство: Собственные функции Пусть входной сигнал системы . Тогда выходной сигнал системы равен: что эквивалентно следующему выражению в силу коммутативности свёртки: , где зависит только от s. Таким образом, — собственная функция ЛСС. Преобразование Лапласа является точным способом получить собственные числа из импульсной переходной функции. Особенный интерес представляют чистые синусоиды, то есть экспоненты вида где и — мнимая единица. Они обычно называются комплексными экспонентами даже если аргумент не имеет действительной части. Преобразование Фурье даёт собственные числа для чисто комплексных синусоид. называется передаточной функцией системы, иногда в литературе этот термин применяют и к Преобразование Лапласа обычно используется для односторонних сигналов, то есть при нулевых начальных условиях. Начальный момент времени без потери общности принимается за ноль, а преобразование берётся от ноля до бесконечности (преобразование, которое получается при интегрировании также и до минус бесконечности, называется двустороннее преобразование Лапласа). Преобразование Фурье используется для анализа систем, через которые проходят периодические сигналы, и во многих других случаях — например, для анализа системы на устойчивость. Преобразования Лапласа и Фурье Из-за свойств свёртки для обоих преобразований имеют место следующие соотношения: Для дискретных систем: Некоторые из важных свойств любой системы — причинность и устойчивость. Для того, чтобы система существовала в реальном мире, должен выполняться принцип причинности. Неустойчивые системы могут быть построены и иногда быть даже полезными. Система называется причинной, если её выход зависит только от текущего или предыдущего приложенного воздействия. Необходимое и достаточное условие причинности: Для дискретных систем: где — импульсная переходная функция. В явном виде определить причинная система или нет из её преобразования Лапласа в общем случае невозможно, так как обратное преобразование Лапласа не является уникальным. Причинность может быть определена когда задана область сходимости. Система является устойчивой по ограниченному входу, ограниченному выходу (англ. bounded input, bounded output stable, BIBO stable) если для каждого ограниченного входа выходной сигнал является конечным. Запись: Если и Некоторые свойства Причинность Устойчивость (то есть, максимумы абсолютных значений и конечны), тогда система устойчива. Необходимое и достаточное условие устойчивости: импульсная переходная характеристика системы, , должна удовлетворять выражению Для дискретных систем: В частотной области область сходимости должна содержать мнимую ось АФЧХ ЛАФЧХ Системный анализ Передаточная функция Функция Грина Нелинейное управление P. P. Vaidyanathan and T. Chen. Role of anticausal inverses in multirate filter banks -- Part I: system theoretic fundamentals (англ.) // IEEE Trans. Signal Proc. : journal. — 1995. — May. P. P. Vaidyanathan and T. Chen. Role of anticausal inverses in multirate filter banks -- Part II: the FIR case, factorizations, and biorthogonal lapped transforms (англ.) // IEEE Trans. Signal Proc. : journal. — 1995. — May. В.И. Зубов. Теория уравнений управляемого движения (неопр.) . — Л.: ЛГУ, 1980. См. также Ссылки Циклический процесс обратной связи Обратная связь Обр а́тная связь в технике — это процесс, приводящий к тому, что результат функционирования какой-либо системы влияет на параметры, от которых зависит функционирование этой системы. Другими словами, на вход системы подаётся сигнал, пропорциональный её выходному сигналу (или, в общем случае, являющийся функцией этого сигнала). Часто это делается преднамеренно, чтобы повлиять на динамику функционирования системы. Различают положительную и отрицательную обратную связь. Отрицательная обратная связь изменяет входной сигнал таким образом, чтобы противодействовать изменению выходного сигнала. Это делает систему более устойчивой к случайному изменению параметров. Положительная обратная связь, наоборот, усиливает изменение выходного сигнала. Системы с сильной положительной обратной связью проявляют тенденцию к неустойчивости, в них могут возникать незатухающие колебания, то есть система становится генератором. Механизмы саморегулирования существовали с древнейших времен, а идея обратной связи начала входить в экономическую теорию Великобритании к XVIII веку, но в то время она не была признана универсальной и поэтому не имела названия [1] Первым известным устройством искусственной обратной связи был поплавковый клапан для поддержания воды на постоянном уровне, изобретенный в 270 году до нашей эры в Александрии. Это устройство иллюстрировало принцип обратной связи: низкий уровень воды открывает клапан, затем поднимающаяся вода обеспечивает обратную связь c системой, закрывая клапан при достижении требуемого уровня. Это повторяется по кругу, если уровень воды колеблется [2] Центробежные регуляторы использовались для регулирования расстояния и давления между жерновами в ветряных мельницах с 17 века. В 1788 году Джеймс Уатт разработал свой первый центробежный регулятор по предложению своего делового партнера Мэтью Боултона для использования в паровых двигателях. Ранние паровые двигатели использовали чисто возвратно- поступательное движение и использовались для перекачки воды — это применение не чувствительно к изменению рабочей скорости, но использование паровых двигателей в других случаях требовало более точного контроля скорости. История Поддержание желаемой производительности системы несмотря на помехи использования отрицательной обратной связи для уменьшения системных ошибок В 1868 году Джеймс Клерк Максвелл написал знаменитую работу "О регуляторах", которая считается классической в теории управления и математики обратной связи [3] Фраза "to feed back", в смысле возвращения к более раннему положению в механическом процессе, была впервые использована в США в 1860-е годы [4][5] , а в 1909 году нобелевский лауреат Карл Фердинанд Браун использовал термин "feed-back" в качестве существительного для обозначения (нежелательной) связи между компонентами аналоговой схемы [6] В 1912 году исследователи, использовавшие ранние электронные усилители (аудионы), обнаружили, что намеренное направление части выходного сигнала обратно во входную цепь увеличивает усиление (через регенерацию), но также вызывает лишний шум в устройстве. Это действие обратной передачи сигнала с выхода на вход привело к использованию термина "обратная связь" в качестве отдельного слова к 1920 году [7] На протяжении многих лет существовал некоторый спор относительно наилучшего определения обратной связи. Согласно Эшби, математики и теоретики, интересующиеся принципами механизмов обратной связи, предпочитают определение "цикличности действия", которое сохраняет теорию простой и последовательной. Для более практических целей обратная связь должна преднамеренно воздействовать через какую-то более осязаемую связь. Экспериментаторы возражают против математического определения обратной связи, так как в этом случае обратная связь присутствует в обычном маятнике между его положением и его импульсом — "обратная связь", которая, с практической точки зрения, несколько мистична. На это математики возражают, что если обратная связь должна действовать только тогда, когда есть реальный провод или нерв, чтобы представлять её, то теория становится хаотичной и пронизанной несоответствиями [8] Также имеется определение обратной связи как "информации о разрыве между фактическим уровнем и эталонным уровнем системного параметра", которая используется для "некоторого изменения разрыва". При этом информация сама по себе не является обратной связью, если она не переведена в действие [9] Положительная обратная связь: Если сигнал обратной связи с выхода находится в фазе с входным сигналом, то обратная связь является положительной. Отрицательная обратная связь: Если сигнал обратной связи имеет противоположную полярность или находится вне фазы на 180° по отношению к входному сигналу, то обратная связь называется отрицательной обратной связью. Типы обратной связи Положительная и отрицательная обратная связь Пример цикла с положительной обратной связью Пример цикла с отрицательной обратной связью В качестве примера отрицательной обратной связи можно представить систему круиз-контроля в автомобиле, которая соответствует целевой скорости. Управляемая система — это автомобиль; ее вход включает в себя комбинированный крутящий момент от двигателя и от изменяющегося уклона дороги. Скорость (состояние) автомобиля измеряется спидометром. Сигнал ошибки — это отклонение скорости, измеренной спидометром, от заданной скорости. Эта измеренная погрешность интерпретируется контроллером для регулировки акселератора, управляющего потоком топлива в двигатель. Результирующее изменение крутящего момента двигателя, обратная связь, сочетается с изменением крутящего момента вследствие изменения уклона дороги, чтобы уменьшить ошибку в скорости минимизируя дорожные помехи. Термины "положительная" и "отрицательная" были впервые применены к обратной связи в 1920- е годы с введением регенеративной схемы [10] . В 1924 году Фриис и Йенсен описали регенерацию в наборе электронных усилителей как случай, когда действие "обратной связи" является положительным в отличие от отрицательного действия обратной связи, о котором они упоминают лишь мимоходом [11] . Классическая статья Гарольда Стивена Блэка 1934 года впервые подробно описывает использование отрицательной обратной связи в электронных усилителях. По словам Блэка, положительная обратная связь увеличивает коэффициент усиления усилителя, отрицательная обратная связь уменьшает его [12] . Однако ещё до того, как были впервые применены эти термины, Джеймс Клерк Максвелл описал несколько видов "компонентных движений", связанных с центробежными регуляторами, используемыми в паровых двигателях, различая те, которые приводят к постоянному увеличению возмущения или амплитуды колебаний, и те, которые приводят к их уменьшению [13] 1. Otto Mayr (1989). Authority, liberty, & automatic machinery in early modern Europe. Johns Hopkins University Press. ISBN 978-0-8018-3939-9. 2. Moloney, Jules (2011). Designing Kinetics for Architectural Facades. Routledge. ISBN 978- 0415610346. 3. Maxwell, James Clerk (1868). "On Governors". Proceedings of the Royal Society of London. 16: 270–283. 4. Improvement in fluting-machines (https://patents.google.com/patent/US55469A/en) (англ.) Дата обращения: 25 марта 2021. Архивировано (https://web.archive.org/web/20200428161820/http s://patents.google.com/patent/US55469A/en) 28 апреля 2020 года. Примечания 5. Improvement in machines for making the spindles of wagon-axles (https://patents.google.co m/patent/US47769A/en) (англ.) Дата обращения: 25 марта 2021. Архивировано (https://web.arch ive.org/web/20200428120646/https://patents.google.com/patent/US47769A/en) 28 апреля 2020 года. 6. The Nobel Prize in Physics 1909 (https://www.nobelprize.org/prizes/physics/1909/braun/lect ure/) (англ.) . NobelPrize.org. Дата обращения: 25 марта 2021. Архивировано (https://web.archive. org/web/20171201233014/https://www.nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1909/braun-lectu re.html) 1 декабря 2017 года. 7. Stuart Bennett (1979). A history of control engineering, 1800–1930 (https://books.google.ru/b ooks?id=1gfKkqB_fTcC&redir_esc=y). Stevenage; New York: Peregrinus for the Institution of Electrical Engineers. ISBN 978-0-906048-07-8. 8. W. Ross Ashby (1957). An introduction to cybernetics (PDF) (http://pcp.vub.ac.be/books/Intro Cyb.pdf) Архивная копия (https://web.archive.org/web/20180219191406/http://pcp.vub.a c.be/books/IntroCyb.pdf) от 19 февраля 2018 на Wayback Machine. Chapman & Hall LTD, 37 ESSEX STREET WC2, London, UK. 9. Ramaprasad, Arkalgud (1983). "On the definition of feedback". Behavioral Science. 28: 4– 13. 10. David A. Mindell (2002). Between Human and Machine : Feedback, Control, and Computing before Cybernetics (https://books.google.com/books?id=sExvSbe9MSsC) Архивная копия (https://web.archive.org/web/20210323051934/https://books.google.com/books?id=sExvSbe 9MSsC) от 23 марта 2021 на Wayback Machine. Baltimore, MD, US: Johns Hopkins University Press. ISBN 9780801868955. 11. Friis, H.T., and A.G.Jensen. "High Frequency Amplifiers" Bell System Technical Journal 3 (April 1924):181–205. 12. H.S. Black, "Stabilized feed-back amplifiers", Electrical Engineering, vol. 53, pp. 114–120, January 1934. 13. Maxwell, James Clerk (1868). "On Governors". Proceedings of the Royal Society of London. |