16: 270–283.
Затухающие колебания —типичный переходной процесс при котором некоторый параметр некоторое время
колеблется вокруг установившегося значенияПереходный процессПерехо́
дный процесс — в теории систем представляет изменения во времени координат динамической системы, до некоторого установившегося состояния; возникает под влиянием возмущающих воздействий, изменяющих её
состояние, структуру или параметры, а также вследствие ненулевых начальных условий[B: 1].
Изучение переходных процессов — важный шаг в процессе анализа динамических свойств и качества рассматриваемой системы. Широкое применение нашло экспериментальное и аналитическое определение и построение переходных процессов для наиболее неблагоприятных условий работы динамической системы при внешних возмущениях типа дельта-функции,
ступенчатом или синусоидальных воздействиях
[B: 1][B: 2]
ХарактеристикиОценка качества САУ по виду кривой переходного процесса производится при помощи так называемых прямых показателей качества —
перерегулирования,
допустимого числа колебаний и
времени переходного процесса. Обычно рассматривают переходный процесс, возникающий в системе при воздействии единичной ступенчатой функции, т. е. переходная функция замкнутой системы
[1]
Длительность переходного процесса в системе характеризует её быстродействие, а его характер определяет качество системы. За количественную характеристику длительности переходного процесса принимают время, необходимое выходному сигналу системы для того, чтобы приблизиться к своему установившемуся значению, т. е. время, по истечении которого выполняется равенство:
где
— установившееся значение;
— наперёд заданное положительное число
[1]
В линейных непрерывных динамических системах
принято рассматривать переходной процесс,
вызванный единичным ступенчатым возмущением, но в этом случае установившееся значение достигается за бесконечно большое время. Если же ограничить точность достижения установившегося значения некоторой малой величиной , то тогда длительность переходного процесса будет конечной величиной
[B: 1]
В приложениях теории управления обычно в САУ принимают равной 0,01—0,05 от
, т. е.
переходный процесс считают закончившимся, когда переходная функция отличается не более, чем на 1–5 % от своего установившегося (стационарного) значения
[1]
Перерегулирование (определяется величиной первого выброса) — отношение разности максимального значения переходной характеристики и её установившегося значения к величине установившегося значения. Измеряется обычно в процентах.
Степень затухания переходного процесса определяется относительным уменьшением соседних амплитуд переходной характеристики
[B: 3]
Числителем является амплитуда первого колебания. Степень затухания показывает во сколько раз уменьшается амплитуда второго колебания по сравнению с первым.
Степень затухания системы зависит от показателя колебательности
(см. ниже).
Время переходного процессаПеререгулированиеСтепень затухания переходного процессаЛогарифмический декремент колебанияЛогарифмический декремент колебания — натуральный логарифм отношения амплитуд двух соседних перерегулирований. Обратная ему величина показывает, за какое число колебаний их амплитуда уменьшается в раз ( — основание натуральных логарифмов). Уместен лишь для характеристики линейных систем
[B: 4]
Характеризует склонность системы к колебаниям и определяется как модуль отношения амплитуд второго колебания к амплитудам первого колебания. Колебательность системы характеризуют при помощи показателя колебательности
, который представляет собой отношение резонансного пика при резонансной частоте к значению АЧХ при нулевой частоте
[2]
Показатель колебательности связан со степенью колебательности формулой:
При увеличении
, уменьшается показатель колебательности и соответственно происходит уменьшение степени колебательности.
Установившаяся ошибка системы — разница между предполагаемым и реальным значением выходного сигнала при времени, стремящемся к бесконечности. В идеальных астатических системах установившаяся ошибка равна нулю.
В электрической цепи переходный процесс характеризуется плавным инерционным изменением тока и напряжения в цепи в
ответ на приложенное внешнее воздействие[B: 5]
Формула, описывающие протекание простейших переходных процессов (разряд конденсатора через резистор):
где
— значение напряжения на конденсаторе в момент перед началом переходного процесса,
— постоянная времени переходного процесса, С — ёмкость, R — сопротивление элементов цепей.
Для цепей, содержащих индуктивность, если можно пренебречь активным сопротивлением,
постоянная времени равна:
КолебательностьУстановившаяся ошибкаПримерыЭлектрические цепи
1. Пономарёв, 1974, § 5.7. Оценка запаса устойчивости и быстродействия по кривой процесса регулирования, с. 201—202.
2. МЭИ, 2011, 2.3. Решение линейных дифференциальных уравнений во временной области, с. 44—48.
Книги
1. Энциклопедия кибернетики / Глушков В. М.. — Киев: Глав. ред. УСЭ, 1974. — 624 с.
2. Основы автоматического регулирования и управления / Пономарев В. М. и
Литвинов А. П.. — М.: Высшая школа, 1974. — 439 с.
3. Управление и инноватика в теплоэнергетике / Андрюшин А. В., Сабанин В. Р.,
Смирнов. Н. И.. — М.: МЭИ, 2011. — 392 с. — ISBN 978-5-38300539-2.
4. Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний. — 2-е изд., перераб. и испр.. — М.: Наука, 1981. — 918 с.
5. Веников В. А. Переходные электромеханические процессы в электрических системах. — М.: Высшая школа, 1978. — 415 с.
Примечания
Литература
Типичная переходная функция системы второго порядка с перерегулированием, за которым следуют затухающие осцилляции, показано также время переходного процесса
Переходная функцияПереходная функция , иногда называют
переходный процесс — в теории управления реакция динамической системы на входное воздействие в виде функции Хевисайда, при заданных начальных условиях. Также реакцию динамической системы на ступенчатое воздействие называют
кривой разгона. Кривая разгона обозначается
y(t) и имеет размерность выходной величины.
[1]
В электронике переходную функцию часто определяют как изменение выходных сигналов системы, как реакцию на изменение входного сигнала от нуля до единицы за достаточно короткий промежуток времени. С практической точки зрения знание того, как система
реагирует на быстрое изменение входного сигнала, является важным,
поскольку скачок во входном сигнале может оказать серьёзное влияние на поведение всей системы или каких-то её компонентов. Помимо этого, по виду переходной функции можно судить об устойчивости системы, времени переходного процесса, величине перерегулирования,
статической ошибке и других динамических характеристиках системы.
Экспериментально кривые разгона определяются следующим образом:
1. Контролируется состояние динамической системы. До момента внесения ступенчатого воздействия система должна находится в статическом состоянии.
2. Осуществляется максимально быстрый перевод входного воздействия на уровень
x(t).Момент начала изменения входного воздействия принимается за начало отсчета времени.
3. Непрерывно или через равные интервалы времени записываются результаты измерения ординат кривой разгона и ступенчатого возмущения. Интервалы времен выбираются в зависимости от скорости изменения кривой разгона.
4. Ординаты кривой разгона пересчитываются в ординаты переходной характеристики:
где
ti - момент времени считывания показаний.
5. Строятся графики кривой разгона и переходной характеристики.
[2]
Зная переходную характеристику, можно определить реакцию
линейной системы (или линеаризованной) на произвольное входное воздействие с помощью интеграла Дюамеля:
,
где символически обозначено:
— свёртка двух функций,
— производная воздействия по времени.
Если система существенно нелинейна (
т.е. не может быть линеаризована без потери для анализа её изучаемых практически важных свойств), её отклик не может быть рассчитан с помощью интеграла Дюамеля.
1. А.В. Андрюшин, В.Р.Сабанин, Н.И.Смирнов.Управление и инноватика в теплоэнергетике. — М: МЭИ, 2011. — С. 15. — 392 с. — ISBN 978-5-38300539-2.
2. А.В. Андрюшин, В.Р.Сабанин, Н.И.Смирнов. Управление и инноватика в теплоэнергетике. — М: МЭИ, 2011. — С. 15. — 392 с. — ISBN 978-5-38300539-2.
Раздел «Переходная функция (переходная характеристика)» (https://web.archive.org/we b/20090804001039/http://edu.nstu.ru/courses/tech/tau/demo/book/Sod24.htm)
Примечания_Ссылки__Пример_сигнала_с_перерегулированием._Δh_-абсолютная_величина_перерегулирования.Перерегулирование_Перерегулирование'>Примечания
Ссылки
Пример сигнала с перерегулированием.
Δh -абсолютная величина перерегулирования.
Перерегулирование
Перерегулирование — в теории управления, электронике и математике ограниченный по времени выброс сигнала или функции над целевым значением. Чаще всего рассматривается в качестве динамической характеристики динамической системы (например фильтра низких частот) при рассмотрении переходной функции. Перерегулирование зачастую сопровождается затухающими колебаниями.
В теории управления перерегулирование относится к тому, насколько пиковое значение сигнала превосходит установившееся значение сигнала.
[1]
Для переходной функции, процент перерегулирования это разность пикового и установившегося значения, делённая на установившееся. Часто рассматривается также процент перерегулирования (PO) как функция декремента затухания ζ:
[2]
Декремент затухания можно найти как:
Теория управления
1. Kuo, Benjamin C & Golnaraghi M F. Automatic control systems (http://worldcat.org/isbn/0471 134767)
(неопр.)
. — Eighth edition. — NY: Wiley, 2003. — С. §7.3 p. 236—237. — ISBN 0-
471-13476-7.
2. Modern Control Engineering (3rd Edition), Katsuhiko Ogata, page 153.
Михайлов В. С. Теория управления. — Киев: Выща школа. Головное издательство,
1988.. — 312 с; 26 табл., 80 ил. — Библиогр.: 35 назв. ISBN 5—11—001791—3
Бесекерский В. А., Попов, Е. П. Теория систем автоматического регулирования. —
СПб.: Профессия, 2004. — 749 с. ISBN 5-93913-035-6.
Примечания
Литература
Передаточная функцияПeрeда́
точная фу́
нкция — один из способов математического описания динамической системы.
Используется в основном в теории управления, связи и цифровой обработке сигналов.
Представляет собой дифференциальный оператор, выражающий связь между входом и выходом линейной стационарной системы. Зная входной сигнал системы и передаточную функцию,
можно восстановить выходной сигнал.
В теории управления передаточная функция непрерывной системы представляет собой отношение преобразования Лапласа выходного сигнала к преобразованию Лапласа входного сигнала при нулевых начальных условиях.
Так как передаточная функция системы полностью определяет ее динамические свойства, то первоначальная задача расчета САР сводится к определению ее передаточной функции. При расчете настроек регуляторов широко используются достаточно простые динамические модели промышленных объектов управления. Передаточная функция является дробно-рациональной функцией комплексной переменной для разных систем.
Пусть
—
входной сигнал линейной стационарной системы, а
— её выходной сигнал.
Тогда передаточная функция такой системы записывается в виде:
где
— оператор передаточной функции в преобразовании Лапласа,
и
— преобразования Лапласа для сигналов и соответственно:
Линейные стационарные системы
Для дискретных и дискретно-непрерывных систем вводится понятие дискретной передаточной
функции. Пусть
— входной дискретный сигнал такой системы, а
— её дискретный выходной сигнал,
. Тогда передаточная функция такой системы записывается в виде:
,
где и
— z-преобразования для сигналов и соответственно:
,
АФЧХ системы можно получить из передаточной функции с помощью формальной
замены комплексной переменной на :
Импульсная переходная функция является оригиналом (в смысле преобразования
Лапласа) для передаточной функции.
1. Для стационарных систем (т.е систем неизменяемыми параметрами компонентов) и с сосредоточенными параметрами передаточная функция — это дробно-рациональная функция комплексной переменной :
Дискретная передаточная функция
Связь с другими динамическими характеристиками
Свойства передаточной функции, полюсы и нули
передаточной функции
2. Знаменатель и числитель передаточной функции — это характеристические полиномы дифференциального уравнения движения линейной системы. Полюсами передаточной функции называют корни характеристического полинома знаменателя, нули — корни характеристического полинома числителя.
3. В физически реализуемых системах порядок полинома числителя передаточной функции не может превышать порядка полинома её знаменателя , то есть
4. Импульсная переходная функция представляет собой оригинал (преобразования Лапласа) для передаточной функции.
5. При формальной замене в получается комплексная передаточная функция системы, описывающая одновременно амплитудно-частотную (в виде модуля этой функции) и фазо-частотную характеристики системы как её аргумент.
Для MIMO-систем вводится понятие матричной передаточной функции. Матричная передаточная функция от вектора входа системы до вектора выхода
— это матрица
,
элемент -й строки -го столбца представляет собой передаточную функцию системы от -й координаты вектора входа системы до -й координаты вектора выхода.
Передаточная функция (https://web.archive.org/web/20070607170005/http://edu.nstu.ru/co urses/tech/tau/demo/book/Sod27.htm)
Программа преобразования передаточной функции в разностное уравнение (http://ma dcat148.jimdo.com/programming/разное/)
Матричная передаточная функция
Ссылки
Коэффициент передачиМатериал из Википедии — свободной энциклопедии
Коэффицие́
нт переда́
чи (также
коэффициент преобразова́
ния,
крутизна преобразова́
ния) —
отношение приращения некоторой физической величины на выходе некоторой системы к
вызвавшему это приращение, изменению подаваемой на вход велечины данной системы
:
Величину на входе системы часто называют
возмущающим воздействием или просто возмущением, а выходную величину —
откликом системы.
В общем случае
размерности возмущения и отклика не совпадают, например, звуковое давление,
развиваемое электродинамическим громкоговорителем и подводимая к нему электрическая мощность, или
ЭДС термопары и температура, в этом случае отношение выходной величины к входной часто называют
коэффициентом преобразования или
крутизной преобразования, при этом коэффициент передачи размерный в приведённых примерах — Па/Вт или В/К.
Если входная и выходная величины имеют одинаковую размерность, то коэффициент передачи —
безразмерная величина и его обычно называют
коэффициентом усиления. При этом если выходная величина больше по модулю входной величины, то коэффициент усиления больше 1. Если коэффициент усиления меньше 1 то часто используют обратную ему величину называемую
коэффициентомослабления или
коэффициентом затухания, или просто
затуханием.
В линейных системах коэффициент передачи не зависит от величины возмущения, то есть является постоянной величиной, и связь между откликом и воздействием выражается формулой:
В нелинейных системах связь между откликом и возмущением является некоторой нелинейной функцией,
при этом вводят понятие дифференциального коэффициента передачи — производной отклика по возмущению этот коэффициент зависит от величины возмущения. При этом при корректном указании численного значения коэффициента передачи нужно указывать величину возмущения или величину отклика.
Обычно коэффициент передачи не зависит от предыстории системы, но в некоторых системах текущий коэффициент передачи зависит от предыдущий воздействий, например, в электрических цепях с катушками индуктивности с ферромагнитными сердечниками или в цепях с электрохимическими элементами
[1]
Логарифмический коэффициент передачиЭнергетические и силовые логарифмические коэффициенты передачиКомплексный коэффициент передачи и модуль коэффициента передачиДругие виды коэффициента передачиПрименение понятияМетоды измерения коэффициента передачиСодержание Пример логарифмической амплитудно- частотной характеристики фильтра нижних частот 1-го порядка. В показанной на графике полосе частот коэффициент передачи по мощности изменяется на 6 порядков.
ПримечанияСм. такжеЛитератураСсылкиБезразмерный коэффициент передачи часто численно выражают в виде логарифма по некоторому оговорённому основанию :
Для коэффициентов передачи, имеющих размерность,
логарифмический коэффициент передачи не имеет смысла,
так как будет зависеть от системы выбранных единиц, в отличие от безразмерных коэффициентов передачи инвариантных относительно выбранной системы единиц.
Для размерных коэффициентов передачи имеют смысл только логарифмы их отношений, например, на двух разных частотах или при двух разных условиях.
Применение логарифмического коэффициента передачи обусловлено во-первых тем, что при последовательном соединении нескольких систем (звеньев, цепей) с коэффициентами передачи результирующий коэффициент передачи равен произведению коэффициентов передачи всех систем:
При замене на логарифмы коэффициентов передачи результирующий логарифмический коэффициент передачи будет равен сумме логарифмических коэффициентов передачи в соответствии со свойствами логарифмической функции:
то есть, перемножение чисел заменяется их сложением, что на практике при расчётах удобнее.
И, во-вторых, коэффициент передачи может изменяться на много порядков, например, при изменении частоты гармонического возбуждающего воздействия и на графиках выражение коэффициентов передачи в виде логарифмов получается нагляднее.
В качестве основания логарифма практически используются три числа, это логарифмы по основанию числа Эйлера — натуральные логарифмы, в этом случае единица логарифмического коэффициента передачи называется непер (Нп) — по имени шотландского математика Джона Непера, впервые опубликовавшего таблицы логарифмов. Изменение логарифмического коэффициента передачи на 1 непер соответствует изменению величины в раз, 2,72. Если в качестве основания логарифма использовано число 10 — десятичные логарифмы, то единицу измерения логарифмического коэффициента передачи называют бел (B — международное, Б — русское) названную в честь американского учёного Александра
Белла. Изменение величины на 1 Бел соответствует изменению отношения величин в 10 раз. Практически чаще используется дольная единица — децибел, равная 0,1 бела (dB — международное, дБ — русское).
Сейчас
единица непер практически вытеснена децибелами, но иногда используется и до сих пор, в основном в литературе по телефонной связи. Очень редко используются логарифмы по основанию 2, в
Скачать 4.85 Mb.