критерию Гурвица:
Для того, чтобы динамическая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все главных диагональных миноров определителя Гурвица были положительны, при условии
. Эти миноры называются определителями Гурвица.
(Пример определителя Гурвица для характеристического уравнения пятой степени.)
Имеем характеристическое уравнение пятой степени:
. Определители Гурвица будут иметь вид:
,
,
,
, и
. Для устойчивости динамической системы необходимо и достаточно чтобы все пять определителей были положительны.
Анализируя условие критерия Гурвица, можно заметить его избыточность. Число неравенств можно уменьшить в два раза, используя теорему Льенара — Шипара.
Впрочем, в вычислительном отношении сложность критерия уменьшается не существенно, так как при вычислении минора высокого порядка чаще всего необходимо вычисление миноров низших порядков.
Недостаток критерия Гурвица — малая наглядность. Достоинство — удобен для реализации на
ЭВМ. Его часто используют для определения влияния одного из параметров САУ на ее устойчивость. Так равенство нулю главного определителя говорит о том, что система находится на границе устойчивости. При этом либо
— при выполнении остальных условий система находится на границе апериодической устойчивости, либо предпоследний минор
— при положительности всех остальных миноров система находится на границе колебательной устойчивости. Параметры САУ определяют значения коэффициентов уравнения динамики, следовательно изменение любого параметра влияет на значение определителя
. Исследуя это влияние можно найти, при каком значении определитель станет равен нулю, а потом — отрицательным. Это и будет предельное значение исследуемого параметра, после которого система становится неустойчивой.
Метод Гурвица достаточно удобен для определения устойчивости звеньев при помощи ЭВМ. При этом, однако,
следует учитывать, что применение критерия для систем с порядком выше 5 может привести к значительным ошибкам, поскольку вычисление определителей высоких порядков является достаточно сложной операцией и приводит к накоплению ошибок вычислений.
Ниже приведён пример автоматизации работы метода с использованием одного из самых распространённых языков для технических вычислений MATLAB версии 5.3 с его синтаксисом.
Представленная ниже функция выполняет все необходимые вычисления. Для работы её
необходимо поместить в текстовый файл с расширением
.m и именем, совпадающим с именем самой функции, в данном случае имя файла должно быть
raus_gur.m.
К вопросу об автоматизации методаfunction[Ust, Mnrs, Mtrx] = raus_gur
(D)
% Определение устойчивости системы методом Рауса-Гурвица, заданной при% помощи следующей передаточной функции.% % B(s) % W(s) = ----,% D(s) % % Здесь D(s) - характеристический полином.% % D(s) = a0*s^n + a1*s^(n-1) + a2*s^(n-2) + ... + an % % a0, a1, a2, ..., an - коэффициенты полинома D.% % % Обращение к функции RAUS_GUR может быть выполнено двумя способами:% % Способ 1.% % [Ust, Mnrs, Mtrx] = raus_gur(D);% % Входные параметры:% D - вектор коэффициентов знаменателя (характеристический полином)% % Выходные параметры:% Ust - строковое значение, сообщающее устойчива система или неустойчива% % Mnrs - вектор значений миноров от меньшего размера к большему,% которые необходимо вычислить для оценки устойчивости по методу Рауса-Гурвица.% Согласно методу Рауса-Гурвица, система устойчива, если все миноры положительны.% Вычисления значения внешнего минора не имеют смысла, так как его знак% всегда будет совпадать со знаком предыдущего минора.% % Mtrx - полная матрица Рауса-Гурвица для данного полинома.% % Способ 2.Достоинства и недостатки
Пусть дана передаточная функция:
Тогда вызов приведенной выше функции будет выглядеть следующим образом:
format shortG
[A, B, C] = raus_gur([1 16 95 260 324 144])
А результат вычислений:
A =
'система устойчива'
B =
1260 2.4696e+05 6.3504e+07
C =
16 260 144 0 0 1 95 324 0 0 0 16 260 144 0 0 1 95 324 0
%
% [Ust, Mnrs, Mtrx] = raus_gur(W);
%
% Входные параметры:
% W - объект класса LTI (см. описание Control System Toolbox)
%
% Выходные параметры аналогичны вышеописанным.
%
%
% Ориентирована на работу в версии MATLAB 2022a
if
isa
(D,
'tf'
)
[
,D]=tfdata(D,
'v'
);
end
n=
length
(D)
-2
;
Dr=[D
zeros
(
1
,n)];
A=
flipud
(
reshape
(Dr,
2
,[]));
Mtrx=
cell2mat
(
arrayfun
(@(x)(
circshift
(A
'
,x))
'
,(
0
:n
/2
)
'
,
"UniformOutput"
,
false
));
Mnrs=
cell2mat
(
arrayfun
(@(x)
det
(Mtrx(
1
:x,
1
:x)),(
2
:n)
'
,
"UniformOutput"
,
false
));
Z=
''
;
if
any
(Mnrs
<0
)
Z=
'не '
;
end
Ust=[
'система '
,Z,
'устойчива'
];
end
Пример
0 0 16 260 144 0 0 1 95 324
A сообщает, что система устойчива.
Вектор
В содержит значения диагональных определителей от 2×2 до 4×4, первый элемент не имеет значения, а значение внешнего определителя всегда будет иметь тот же знак, что и предыдущий.
Согласно методу Гурвица, чтобы система была устойчива, все эти определители должны оказаться положительными.
Матрица
С — сам определитель Гурвица.
Эту функцию вполне можно использовать в математических пакетах, имеющих схожий с
MATLAB синтаксис или после небольшой переделки.
Система находится на границе апериодической устойчивости, если
. Система находится на границе колебательной устойчивости, если определитель Гурвица с индексом (n-1) будет равным
0.
1.
Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е изд. — М.: Физматлит, 2010. — С. 463. —
560 с. — ISBN 978-5-9221-0524-8.
Четаев Н. Г. Устойчивость движения. — М: Наука, 1965. — 234 с.
ПримечанияЛитература
Критерий устойчивости
Найквиста —Михайлова
Критерий устойчивости Найквиста — Михайлова — один из способов судить об устойчивости замкнутой системы управления по амплитудно-фазовой частотной характеристике её
разомкнутого состояния. Является одним из частотных критериев устойчивости. С помощью этого критерия оценить устойчивость весьма просто, без необходимости вычисления полюсов передаточной функции замкнутой системы.
Передаточная функция динамической системы может быть представлена в виде дроби
Устойчивость достигается тогда, когда все её полюсы находятся в левой полуплоскости . В
правой полуплоскости их быть не должно. Если получена замыканием отрицательной обратной связью разомкнутой системы с передаточной функцией
, тогда полюсы передаточной функции замкнутой системы являются нулями функции
. Выражение называется характеристическим уравнением системы.
Из теории функций комплексного переменного известно, что контур
, охватывающий на
-плоскости некоторое число неаналитических точек, может быть отображён на другую комплексную плоскость (плоскость
) при помощи функции таким образом, что
Условие устойчивости
Принцип аргумента Коши
получившийся контур будет охватывать центр
-плоскости раз, причём
,
где — число нулей, а
— число полюсов функции
. Положительным считается направление, совпадающее с направлением контура
, а отрицательным — противоположное ему.
Сначала построим контур, охватывающий правую полуплоскость комплексной плоскости. Контур состоит из следующих участков:
участок, идущий вверх по оси
, от до полуокружность радиусом
, начинающаяся в точке и достигающая конца в точке по часовой стрелке.
Далее отображаем этот контур посредством передаточной функции разомкнутой системы
,
в результате чего получаем плоскость АФЧХ системы. Согласно принципу аргумента число оборотов по часовой стрелке вокруг начала координат должно быть равно количеству нулей функции минус количество полюсов в правой полуплоскости. Если рассматривать вместо начала координат точку
, получим разницу между числом нулей и полюсов в правой полуплоскости для функции
. Заметив, что функция имеет такие же полюса, что и функция
, а полюса разомкнутой системы являются нулями замкнутой системы, сформулируем
критерий Найквиста — Михайлова:
Пусть
— замкнутый контур в комплексной плоскости, — число полюсов
, охваченных контуром
, а — число нулей
, охваченных
— то есть число полюсов
, охваченных
. Получившийся контур в
-плоскости, должен для обеспечения устойчивости замкнутой системы охватывать (по часовой стрелке) точку раз, где
В русскоязычной литературе, в основном, изданной в СССР, встречается иная формулировка критерия, называемого в этом случае
критерием Михайлова (критерий устойчивости был предложен советским ученым А. В. Михайловым в 1936 году
[1]
):
Система
порядка устойчива, если ее частотный годограф, начинаясь на положительной вещественной полуоси комплексной плоскости, последовательно проходит координатных квадрантов, нигде не обращаясь в 0.
Следствия критерия Найквиста — Михайлова:Если разомкнутая система с передаточной функцией устойчива, замкнутая система является устойчивой, если АФЧХ разомкнутой системы не охватывает точку
(−1; j0).
Если разомкнутая система неустойчива, то количество оборотов вокруг точки −1
должно быть равно числу полюсов в правой полуплоскости.
Формулировка критерия
Количество дополнительных охватов (больше, чем
) вокруг точки −1 в точности равно количеству неустойчивых полюсов замкнутой системы.
1. § 5.3. Критерий устойчивости Михайлова (https://scask.ru/p_book_oau.php?id=42).
scask.ru.
Дата обращения: 7 августа 2022.
Михайлов А. В. О новом подходе исследования замкнутых регулируемых систем //
Автоматика и телемеханика. — 1973. — № 8.
Nyquist, H. 1932. Regeneration theory. Bell System Technical Journal, 11, pp. 126—147.
Чернецкий В. И. Математическое моделирование динамических систем. —
Петрозаводск: Петрозаводский гос. ун-т, 1996. — 432 с. — ISBN 5-230-08981-4.
Примечания
Литература
Критерий устойчивости РаусаМатериал из Википедии — свободной энциклопедии
Крите́
рий усто́
йчивости Ра́
уса — один из методов анализа линейной стационарной динамической системы на устойчивость. Наряду с критерием Гурвица (который часто называют
критерием Рауса — Гурвица) является представителем семейства
алгебраических критериевустойчивости (в отличие от
частотных критериев — таких, как критерий устойчивости
Найквиста — Михайлова). Предложен Э. Дж. Раусом в 1875 г.
[1]
Несмотря на то, что критерий Рауса исторически предложен ранее критерия Гурвица, его можно использовать как более удобную схему расчёта определителей Гурвица, особенно при больш и́х степенях характеристического полинома
[2]
К достоинствам метода относятся простая реализация на ЭВМ с помощью рекурсивного алгоритма, а также простота анализа для систем небольшого (до 3) порядка. К недостаткам можно отнести отсутствие наглядности метода: при его применении
сложно получить информацию о степени устойчивости, о её запасах.
Метод работает с коэффициентами характеристического уравнения системы. Пусть
— передаточная функция системы, а
— характеристическое уравнение системы. Представим характеристический полином в виде
Критерий Рауса представляет собой алгоритм, по которому составляется специальная таблица, в которую коэффициенты характеристического полинома записывают таким образом, что:
1. в первой строке записываются коэффициенты уравнения с чётными индексами в порядке их возрастания;
2. во второй строке — с нечётными;
Формулировка
3. остальные элементы таблицы определяются по формуле:
,
где
— номер строки, — номер столбца;
4. число строк таблицы Рауса на единицу больше порядка характеристического уравнения.
Таблица Рауса:
1 2
3 4
-
1
-
2 3
4
Формулировка критерия Рауса:
Для устойчивости линейной стационарной системы необходимо и достаточно,
чтобы коэффициенты первого столбца таблицы Рауса были одного знака. Если это не выполняется, то система неустойчива.
Критерий устойчивости Гурвица
Критерий устойчивости Найквиста — Михайлова
Теорема Рауса — Гурвица
Теорема Эрмита — Билера
Маркеры устойчивости линейных динамических систем (https://www.dropbox.com/s/pjd m5q8e3gx776w)
1. Постников, 1981, с. 15—16.
2. Чернецкий, 1996, с. 264—267.
Постников М. М. Устойчивые многочлены. — М.: Наука, 1981. — 176 с.
Чернецкий В. И. Математическое моделирование динамических систем. —
Петрозаводск: Петрозаводский гос. ун-т, 1996. — 432 с. — ISBN 5-230-08981-4..
См. также
Примечания
Литература
ЛАФЧХ фильтра нижних частот (ФНЧ) 1-го порядка с коэффициентом передачи равным 1 в полосе пропускания и частотой среза 1 рад/с
Логарифмическая амплитудно-фазовая
частотная характеристика
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Логарифм
и́ческая
амплит
у́дно-фа́зовая
част
о́тная характери́стика (распространённая аббревиатура
—
ЛАФЧХ, в иностранной литературе часто называют диаграммой Б
о́де или графиком Боде) — представление частотного отклика линейной стационарной системы в логарифмическом масштабе.
Введение
ЛАЧХ
Масштаб по оси абсцисс ЛАЧХ
Масштаб по оси ординат ЛАЧХ
ЛФЧX
Асимптотические ЛАЧХ и ЛФЧХ
Названия
Использование
Свойства и особенности
ЛАЧХ
ФЧХ
Случай минимально-фазовых систем
Построение ЛАФЧХ
Построение асимптотической ЛАЧХ
(аппроксимация ЛАЧХ прямыми линиями)
Корректировка аппроксимированной
ЛАЧХ
Построение асимптотической ЛФЧХ
(аппроксимация)
Анализ устойчивости по ЛАФЧХ
Обоснование
Алгоритм вычисления
См. также
Примечания
Ссылки
Содержание
ЛАФЧХ строится в виде двух графиков: логарифмической амплитудно-частотной характеристики и
логарифмической фазо-частотной характеристики, которые обычно располагают друг под другом.
ЛАЧХ — это зависимость модуля коэффициента усиления (напряжения, тока или мощности) устройства, (
, для мощности
, от частоты в логарифмическом масштабе.
По оси абсцисс откладывается частота в логарифмическом масштабе, единица измерения — безразмерная величина:
декада (дек): 1 декада равна изменению частоты в 10 раз.
октава(окт): 1 октава равна изменению частоты в 2 раза.
По оси ординат откладывается амплитуда выходного сигнала в логарифмических безразмерных величинах:
децибел (дБ) (десятая часть бела) — это отношение мощностей (20 децибел равно изменению мощности в 10 раз)
[1]
непер (Нп): 1 непер равен изменению амплитуды сигналов в е раз
ЛФЧХ — это зависимость разницы фаз выходного и входного сигналов от частоты в полулогарифмическом масштабе по оси абсцисс откладывается частота в логарифмическом масштабе (в декадах или октавах)
по оси ординат откладывается выходная фаза в угловых градусах или радианах.
Неперы и октавы в настоящее время являются устаревшими и практически не используются.
Причины построения амплитудных и фазных характеристик в логарифмическом масштабе —
возможность исследования характеристик в большом диапазоне.
Собственно ЛАЧХ и ЛФЧХ мало используются на практике.
Для более наглядного анализа характеристик применяются их модифицированные варианты —
асимптотическая
логарифмическая
амплитудно-частотная
характеристика
(АЛАЧХ) и
асимптотическая логарифмическая фазо-частотная характеристика (АЛФЧХ), при этом кривая заменяется отрезками ломаной прямой. Обычно слово «асимптотическая» опускают, но всегда надо помнить, что АЛАЧХ (АЛФЧХ) и ЛАЧХ (ЛФЧХ) — это разные характеристики.
Масштаб по оси абсцисс ЛАЧХ
Масштаб по оси ординат ЛАЧХ
ЛФЧX
Асимптотические ЛАЧХ и ЛФЧХ
Введение
Анализ систем с помощью АЛФЧХ весьма прост и удобен, поэтому находит широкое
применение в различных отраслях техники, таких, как цифровая обработка сигналов, электротехника и теория управления.
В западной литературе используется название
диаграмма Бо́
де или
график Боде, по имени выдающегося инженера Хенрика Боде (англ.
Hendrik Wade Bode).
В инженерных кругах название обычно сокращается до
ЛАХ.
В пакете прикладных программ для инженерных вычислений GNU Octave и MATLAB для построения
ЛАФЧХ используется функция
bode.
Если передаточная функция системы является рациональной, тогда ЛАФЧХ может быть аппроксимирована прямыми линиями. Это удобно при рисовании ЛАФЧХ вручную, а также при составлении ЛАФЧХ простых систем.
С помощью ЛАФЧХ удобно проводить синтез систем управления, а также цифровых и аналоговых фильтров: в соответствии с определёнными критериями качества строится желаемая ЛАФЧХ,
аппроксимированная с помощью прямых линий, которая затем разбивается на ЛАФЧХ отдельных элементарных звеньев, из которых восстанавливается передаточная функция системы (регулятора) или фильтра.
На графике ЛАЧХ абсциссой является частота в логарифмическом масштабе, по оси ординат отложена амплитуда передаточной функции в децибелах.
Представление АЧХ в логарифмическом масштабе упрощает построение характеристик сложных систем,
так как позволяет заменить операцию перемножения АЧХ звеньев сложением, что вытекает из свойства логарифма:
На графике фазо-частотной характеристики абсциссой является частота в логарифмическом масштабе, по оси ординат отложен фазовый сдвиг выходного сигнала системы относительно входного (обычно в градусах).
Также возможен вариант, когда по оси ординат откладывается фазовый сдвиг в логарифмическом масштабе, в этом случае характеристика будет называться ЛФЧХ.
Скачать 4.85 Mb.