_ТАУ Лекции Википедия. Теория управленияТеория управления
 Скачать 4.85 Mb.
|
|
Логарифмический коэффициент передачи основном для выражения отношения частот, также входит в выражение для периода полураспада соответствующая логарифмическая единица называется октава, 1 октава соответствует изменению отношения величин в 2 раза. Энергетические величины (мощность, энергия, плотности энергии, интенсивность звука, световой поток и т. п.) пропорциональны квадрату силовых величин характеризующих данное явление, таких как электрическое напряжение, электрический ток, звуковое давление, амплитуда электромагнитного поля в световой волне и др. То есть: Соответственно, логарифмические коэффициенты передачи: Поэтому логарифмические коэффициенты передачи для энергетических величин в 2 раза больше логарифмических коэффициентов передачи для силовых величин. Пример. Электрическая мощность на сопротивлении нагрузки прямо пропорциональна квадрату напряжения или тока. Соотношения между силовыми и энергетическими логарифмическими коэффициентами передачи выраженные в белах, децибелах и неперах приведены в таблице. Единица Обозначение Изменение энергетической величины в … раз Изменение силовой величины в … раз Пересчёт в … дБ Б Нп децибел дБ, dB ≈ 1,259 ≈ 1,122 1 0,1 ≈0,1151 бел Б, B 10 ≈ 3,162 10 1 ≈1,151 непер Нп, Np e 2 ≈ 7,389 e ≈ 2,718 ≈8,686 ≈0,8686 1 Если коэффициент передачи больше 1, то логарифмический коэффициент передачи положителен, отрицателен при коэффициенте передачи меньше 1 и равен нулю, если коэффициент передачи равен 1. Энергетические и силовые логарифмические коэффициенты передачи Также в виде логарифмического коэффициента передачи обычно указывается затухание (ослабление) сигнала в электрических и оптоволоконных линиях передачи, часто в виде удельного ослабления на единицу длины линии, например, в дБ/км, при этом знак минус у логарифмического коэффициента передачи, как правило, не указывается, а подразумевается. Большинство изучаемых систем нелинейны, то есть для них не выполняется принцип суперпозиции. Практически при анализе многие системы поддаются линеаризации — они ведут себя как приближённо линейные для малых изменений возмущающих входных воздействий. Для линейных и линеаризованных систем вводят понятие комплексного коэффициента передачи. Если на вход линейной или приближённо линейной системы подать гармоническое воздействие с амплитудой и угловой частотой , то на выходе в установившемся режиме тоже будет гармонический отклик с амплитудой и фазовым сдвигом относительно входного воздействия и с той же частотой: Гармонические входное возмущение и выходной отклик можно записать в виде комплексных амплитуд, буквой обозначена мнимая единица: По определению коэффициент передачи равен отношению выходного и входного сигналов, в теории автоматического регулирования, теории электрических цепей комплексный коэффициент передачи обычно обозначают как , подчёркивая тем самым, что коэффициент передачи комплексное число, притом, в общем случае, зависящее от частоты возбуждающего гармонического воздействия : В этом выражении отношение называют модулем коэффициента передачи, а — множителем фазового сдвига коэффициента передачи или «поворачивающим множителем». Или в других обозначениях, если записать комплексный коэффициент передачи в нормализованном виде комплексного числа где и действительная и мнимая части комплексного числа соответственно, то модуль коэффициента передачи будет равен а аргумент Зависимость комплексного коэффициента передачи линейной системы от частоты возмущения графически можно изобразить в виде амплитудно-фазовой частотной характеристики, где на одном из графиков строится зависимость модуля коэффициента передачи от частоты, а на другом графике — зависимость фазового сдвига от частоты. Обычно для наглядности на оси частот и на оси модуля коэффициента передачи применяют логарифмические координаты, в этом случае такой график называют логарифмической амплитудно-фазовой частотной характеристикой, ось модуля коэффициента передачи обычно оцифровывается в децибелах. Также комплексный коэффициент передачи графически может изображаться в виде годографа на комплексной плоскости — траектории конца вектора векторного представления комплексного коэффициента передачи при изменении частоты, на этой траектории в виде засечек указывается частота. Графическое представление удобно при анализе устойчивости систем автоматического регулирования, в Комплексный коэффициент передачи и модуль коэффициента передачи частности, если годограф коэффициента передачи системы с разомкнутой обратной связью не охватывает точку комплексной плоскости −1, то такая системы при замыкании контура обратной связи будет устойчива. В общем случае отношение выходного сигнала к вызвавшему его входному сигналу любой системы можно назвать коэффициентом передачи. В зависимости от конкретной системы коэффициент передачи может называться по-разному. Например, отношение приращения тока через активный электронный прибор (например, электровакуумный триод, транзистор) в вызвавшему это приращение изменению напряжения на управляющем электроде прибора называют крутизной передаточной характеристики, имеющей размерность электрической проводимости. В измерительных стрелочных приборах отношение отклонения стрелки к вызвавшему это отклонение изменению измеряемой величины называют чувствительностью прибора или ценой деления шкалы. В основном термин «коэффициент передачи» используется в электротехнике, электронике, оптике, акустике. Например, коэффициент усиления усилителей, коэффициент затухания сигнала в линиях передачи, ослабление электромагнитного излучения в поглощающих средах, или наоборот, усиление света в активных средах лазеров, в описании поглощения и отражения звуковых волн и поглощении механических вибраций, и т. п. Прямое измерение — производится прямым измерением амплитуды сигнала на входе и выходе системы с последующим вычислением. Существуют специализированные оптические и электрические приборы для выполнения такого измерения. Измерение методом сравнения — производится с помощью аттенюатора, являющегося мерой ослабления. Например, с помощью аттенюатора ослабляют выходной сигнал усилителя до достижения равенства с входным сигналом, сравнение сигналов производится каким либо компаратором. По степени ослабления калиброванного аттенюатора определяют коэффициент усиления усилителя. Для измерения комплексных коэффициентов передачи применяются измерители импеданса и комплексных коэффициентов передачи, или, на сверхвысоких частотах, измерители комплексных коэффициентов и измерители коэффициента стоячей волны. 1. Боровков В. С., Графов Б. М. и др. Электрохимические преобразователи первичной информации. М. Машиностроение. 1969. 196 с., ил. Ослабление электромагнитного сигнала Усилитель Лазерные материалы Волоконно-оптический усилитель Четырёхполюсник Хлытчиев С. М. Основы автоматики и автоматизации производственных процессов. — 1985. Другие виды коэффициента передачи Применение понятия Методы измерения коэффициента передачи Примечания См. также Литература Словарь радиолюбителя — Л.: Энергия, 1979. Гусев В. Г. Электроника. — 1991. Синтез корреляционных алгоритмов идентификации в частотной области. (https://web.archive.or g/web/20020926002353/http://beda.stup.ac.ru/biometry/NonLinDin/NLD_1/GL_1/Pr3/1_3_3.html) Вывод комплексного коэффициента передачи системы каскадно-соединённых взаимодействующих четырёхполюсников. (https://web.archive.org/web/20070601051757/http://dv o.sut.ru/libr/tec/dmitr/11/11.htm#2) О методах описания линейных систем. (http://model.exponenta.ru/bt/bt_001124.html) Динамика линейных систем автоматического управления. (https://web.archive.org/web/20070927 193450/http://elib.ispu.ru/library/lessons/faleev/4.html) Источник — https://ru.wikipedia.org/w/index.php?title=Коэффициент_передачи&oldid=127762149 Эта страница в последний раз была отредактирована 9 января 2023 в 09:09. Текст доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike; в отдельных случаях могут действовать дополнительные условия. Wikipedia® — зарегистрированный товарный знак некоммерческой организации Wikimedia Foundation, Inc. Ссылки Схематический график одномерной дельта- функции. Дельта-функция Материал из Википедии — свободной энциклопедии Д е́льта-фу́нкция (или дельта-мера, δ - функция, δ -функция Дирака, дираковская дельта, единичная импульсная функция) — обобщённая функция, которая позволяет записать точечное воздействие, а также пространственную плотность физических величин (масса, заряд, интенсивность источника тепла, сила и т. п.), сосредоточенных или приложенных в одной точке. Например, плотность единичной точечной массы m , находящейся в точке a одномерного евклидова пространства записывается с помощью -функции в виде Дельта-функция также применима для описания распределений заряда, массы и т. п. на поверхностях или линиях. Несмотря на распространённую форму записи -функция не является функцией вещественной переменной, а определяется как обобщённая функция: непрерывный линейный функционал на пространстве дифференцируемых функций. Можно ввести производную для δ- функции, которая тоже будет обобщённой функцией, и интеграл, определяемый как функция Хевисайда. Нетрудно указать последовательности обычных классических функций, слабо сходящиеся к -функции. Можно различать одномерную и многомерные дельта-функции, однако последние могут быть представлены в виде произведения одномерных функций в количестве, равном размерности пространства, на котором определена многомерная функция. Введена английским физиком Полем Дираком. Определения_Простое_определениеКлассическое_определениеДельта-функция_по_КоломбоПодход_ЕгороваСвойства_Содержание'>Определения Простое определение Классическое определение Дельта-функция по Коломбо Подход Егорова Свойства Содержание δ-Функция как слабый предел Интегральное представление Производная дельта-функции Преобразование Фурье Представление многомерных дельта-функций в различных системах координат Физическая интерпретация Мгновенное ускорение Масса/заряд материальной точки Другие примеры См. также Примечания Литература Существуют различные взгляды на понятие дельта-функции. Получающиеся при этом объекты, строго говоря, различны, однако обладают рядом общих характерных свойств. Все указанные ниже конструкции естественно обобщаются на случаи пространств большей размерности Дельта-функцию (функция Дирака) одной вещественной переменной можно определить как функцию , удовлетворяющую следующим условиям: То есть эта функция не равна нулю только в точке , где она обращается в бесконечность таким образом, чтобы её интеграл по любой окрестности был равен 1. В этом смысле понятие дельта-функции аналогично физическим понятиям точечной массы или точечного заряда. Для понимания интеграла полезно представить себе некую фигуру на плоскости с единичной площадью, например, треугольник. Если уменьшать основание данного треугольника и увеличивать высоту так, чтобы площадь была неизменной, то в предельном случае мы получим треугольник с малым основанием и очень большой высотой. По предположению его площадь равна единице, что и показывает интеграл. Вместо треугольника можно без ограничения общности использовать любую фигуру. Аналогичные условия верны и для дельта-функций, определённых на Эти равенства не принято считать определением дельта-функции, однако во многих учебниках по физике она определяется именно так, и этого достаточно для точного определения дельта- функции. Отметим, что из данного определения дельта-функции вытекает следующее равенство Определения Простое определение (фильтрующее свойство) для любой функции f . Действительно, в силу свойства при значение этого интеграла не изменится, если функцию заменить функцией , которая равна в точке , а в остальных точках имеет произвольные значения. Например, берём , затем выносим за знак интеграла и, используя второе условие в определении дельта-функции, получаем нужное равенство. Производные от дельта-функции также почти всюду равны 0 и обращаются в при Дельта-функция определяется как линейный непрерывный функционал на некотором функциональном пространстве (пространстве основных функций). В зависимости от цели и желаемых свойств, это может быть пространство функций с компактным носителем, пространство функций, быстро убывающих на бесконечности, гладких функций на многообразии, аналитических функций и т. д. Для того, чтобы были определены производные дельта-функции с хорошими свойствами, во всех случаях основные функции берутся бесконечно дифференцируемыми, пространство основных функций также должно быть полным метрическим пространством. Общий подход к обобщённым функциям см. в соответствующей статье. Такие обобщённые функции также называют распределениями. Мы рассмотрим самый простой вариант. В качестве пространства основных функций рассмотрим пространство всех бесконечно дифференцируемых функций на отрезке. Последовательность сходится к , если на любом компакте функции сходятся к равномерно вместе со всеми своими производными: Это локально выпуклое метризуемое пространство. Дельта-функцию определим как функционал , такой что Непрерывность означает, что если , то . Здесь — значение функционала на функции . Используемому для работы с дельта-функцией интегральному выражению можно придать смысл, близкий к интуитивному, в рамках теории алгебры обобщённых функций Коломбо (англ. Colombeau algebra) [1] Пусть — множество бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем, то есть не равных нулю лишь на ограниченном множестве. Рассмотрим множество функций Классическое определение Дельта-функция по Коломбо Обобщённая функция — это класс эквивалентности функций бесконечно дифференцируемых по x при каждом и удовлетворяющих некоторому условию умеренности (полагая и все её производные по x достаточно медленно растут при ). Две функции полагаются эквивалентными, если , где — ещё один класс функций с ограничениями на рост при Дельта-функция определяется как Преимущество подхода Коломбо в том, что его обобщённые функции образуют коммутативную ассоциативную алгебру, при этом на множество обобщённых функций естественно продолжаются понятия интегрирования, дифференцирования, пределов, даже значения в точке. В этом смысле на дельта-функцию действительно можно смотреть как на функцию, равную 0 везде, кроме точки 0, и равную бесконечности в нуле, так как теория Коломбо включает в себя теорию бесконечно больших и бесконечно малых чисел, аналогично нестандартному анализу. Аналогичная теория обобщённых функций была изложена в работе Ю. В. Егорова [2] . Хотя она не эквивалентна теории Коломбо, конструкция значительно проще и обладает большинством желаемых свойств. Обобщённая функция — это класс эквивалентности последовательностей Последовательности и считаются эквивалентными, если для любого компакта функции последовательностей совпадают на начиная с некоторого номера: Всевозможные операции над последовательностями (умножение, сложение, интегрирование, дифференцирование, композиция, …) определяются покомпонентно. Например, интеграл по множеству I определяется как класс эквивалентности последовательности Две обобщённые функции слабо равны, если для любой бесконечно гладкой функции При этом дельта-функция определяется любой дельта-образной последовательностью (см. ниже), все такие обобщённые функции слабо равны. Дельта-функция чётная. Подход Егорова Свойства Функция Хевисайда. График функции Интеграл от дельта-функции по любому интервалу, содержащему в себе ноль, то есть интервалу вида где и — произвольные действительные положительные числа, равен 1. , где — простые нули функции Первообразной одномерной дельта- функции является функция Хевисайда: Фильтрующее свойство дельта- функции: Пусть Тогда последовательность слабо сходится к -функции. Выбор интегрируемой функции определённый интеграл которой в пределах от до равен 1 произволен. Например, в качестве можно выбрать функцию sinc: дающую последовательность: При требовании, чтобы все функции в последовательности были всюду положительны, можно в качестве исходной функции выбрать, например, нормированную функцию Гаусса или иную любую всюду неотрицательную функцию, интеграл которой равен 1: δ-Функция как слабый предел Во многих приложениях оказывается удобным интегральное представление дельта-функции: Доказательство Рассмотрим интеграл (1) который можно интерпретировать как предел где (2) Известно, что (3) В силу (3) для любого справедливо равенство: (4) Интегральное представление Можно показать (см. выше), что при неограниченном росте N для функции (2) оказываются верными все свойства дельта-функции и она в некотором смысле стремится к По определению производной дельта-функции : (распространение интегрирования по частям на случай подынтегральных выражений, содержащих дельта-функцию). Аналогично для n -й производной дельта-функции: А проинтегрировав так по частям n раз, получим в конце концов: Для производной дельта-функции имеет место тождество: которое можно получить дифференцируя произведение В этом параграфе мы будем применять нормировку, соответствующую соглашению о единичном коэффициенте в обратном преобразовании, то есть имея в виду Формулы этого параграфа имеют соответствующие аналоги для многомерного преобразования Фурье. К дельта-функции можно применить преобразование Фурье: |