Физика. Механика. Тесты для электронного экзамена и задачи для контрольных работ. Все формулы и единицы измерения приведены в международной системе единиц си
 Скачать 4.22 Mb.
|
|
Задача Определить модуль вектора скорости материальной точки в момент времени t = 5 c, если зависимость радиус вектора от времени G G G r t At i B t j ( ) sin( ) = + 2 π , где А = 1 мс м Дано G G G r t At i B t j ( ) sin( ) = + 2 π ; А = 1 мс В = 5 м t = 5 с. Найти: Из условия задачи следует, что r t At x ( ) = 2 , r t B t y ( ) sin( ) = π , r t z ( ) , = и, следовательно, материальная точка движется в плоскости Определим проекции вектора скорости 2 , υ π π y dy dt B t = = cos( Найдем модуль вектора скорости (см. 1.8.). υ υ υ π π = + = + x y A t B t 2 2 2 2 2 2 2 4 cos ( Ответ модуль вектора скорости υ π π = + = 4 18 7 2 2 2 2 2 A t B t cos ( ) , м/с. Задача Координаты двух материальных точек x t A t B t C t 1 1 1 2 1 3 ( ) , = + + x t A t B t C t 2 2 2 2 2 3 ( ) , = + + где B 1 = 4 мм мм. Определить проекции ускорения точек на ось Хи момент времени, когда их ускорения равны. Дано: x t A t B t C t 1 1 1 2 1 3 ( ) ; = + + x t A t B t C t 2 2 2 2 2 3 ( ) ; = + + B 1 = 4 мм м, C 2 = 1 м/c 3 Найти: t 1 , a t x 1 1 ( ), a t x 2 1 ( По формуле (1.11) находим ускорения t d x dt B C t x 1 2 1 2 1 1 2 6 ( ) , = = + a t d x dt B C t x 2 2 2 2 2 2 2 6 ( ) = = + (В момент времени по условию задачи a t a t x x 1 1 2 1 ( ) ( ), = 2 6 2 6 1 1 1 2 2 1 B C t B C Из последнего равенства находим 1 2 2 1 Из уравнений (1) определим ускорение точек в момент времени. Ускорение 81 82 Глава 1. КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ Ответ: t B B C C c a a B C B B C C x x 1 1 2 2 1 1 2 1 1 1 2 2 1 3 0 5 2 1 = − − = = = + − − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = − ( ) , ; ( ) м/с 2 Задача Точка движется по окружности радиусом R = 3 м по закону s = = At 2 + Bt, где A = 0,4 мс мс. Определить для момента времени после начала движения модули векторов нормального G a n , касательного и полного G a ускорений. Дано: s = At 2 + Bt; A = 0,4 мс мс м, t = 1 Найти a a Модуль скорости (см. 1.6.) υ t dS t dt At B ( ) = ( Модуль вектора касательного ускорения t dt A τ υ = = ( Модуль вектора нормального ускорения B R n = = + υ 2 2 2 ( Модуль полного ускорения B R n = + = + + τ 2 2 2 4 2 Ответ a A τ = = 2 0 мс, a At B R n = + = ( ) , 2 0 27 2 мс B R = + + = 4 2 0 84 2 4 2 ( ) , мс. КИНЕМАТИКА РАВНОМЕРНОГО ПРЯМОЛИНЕЙНОГО ДВИЖЕНИЯ Движение называется равномерными прямолинейным, если точка движется по прямой линии с постоянной скоростью Рассмотрим движение материальной точки с постоянной скоростью. Пусть в начальный момент времени t = 0, координата точки х = ха скорость G υ совпадает с направлением оси Ох (рис. 1.8). Найдем координату хи путь s, пройденный точкой за интервал времени. Воспользуемся определением скорости υ x x t = d d и запишем перемещение точки по оси Х за малый интервал где υ x — проекция вектора скорости G υ на ось ОХ. Проинтегрируем левую и правую часть последнего равенства в пределах изменения переменных x и t d dt x x x x t 0 0 ∫ ∫ = υ , x В общем случае с учетом того, что движение возможно и против оси OХ x x t = ± 0 υ При прямолинейном равномерном движении пройденный точкой путь s равен модулю ее перемещения x t = − = 0 υ 1.6. КИНЕМАТИКА РАВНОПЕРЕМЕННОГО ПРЯМОЛИНЕЙНОГО ДВИЖЕНИЯ Движение называется равнопеременными прямолинейным, если тело перемещается по прямой линии с постоянным ускорением G a . Равнопеременное прямолинейное движение может быть равноускоренным, когда вектор ускорения совпадает с вектором мгновенной скорости (риса) и равнозамедленным, когда ему противоположен (рис. 1.9б). Пусть в начальный момент времени координата точки x = х, скорость совпадает с направлением оси ОХ. 0 x 0 s x Х υ G υ G Рис. 1.8 1.6. Кинематика равнопеременного прямолинейного движения 83 84 Глава 1. КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ Для определения координаты и пути пройденного точкой с момента начала ее движения спроектируем векторы скорости и ускорения на ось Х. При равноускоренном движении, а равнозамедленном a a x = − υ υ 0 0 x = , где υ 0 , a — модули векторов начальной скорости и ускорения. Путь, пройденный точкой за время t s t x t = ⋅ ∫ υ d 0 , (где υ x — модуль проекции вектора скорости на ось Х находится из соотношения d d υ x x a t = (см. 1.11) интегрированием его левой и правой части в пределах изменения переменных υ x и t d d υ υ υ x x t ox x a t ∫ ∫ = 0 , υ υ x x x a t − = 0 , υ υ x x x a Подставим в соотношение (1.19) значение скорости υ x для равноускоренного движения и учтем, что ах = а, υ υ 0 0 x = s x x a t t t a t t = − = + ⋅ = + ⋅ ∫ 0 0 0 0 2 где t = + + ⋅ 0 0 2 2 υ . (Для равнозамедленного движения проекция скорости υ на ось ОХ и координата точки определяются последующим формулам t = − 0 , x x t at = + − 0 0 2 2 υ . (Рис. 1.10 0 x 0 x X υ 0 υ a υ 0 X x 0 a x υ 0 а) б) Путь − > − < s x x при при t a = − + ⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩ ⎪ ⎪ 0 0 1 0 1 где x x a 1 0 0 2 2 = + υ 1.7. КИНЕМАТИКА РАВНОПЕРЕМЕННОГО ДВИЖЕНИЯ Движение называется равнопеременным, если тело перемещается с постоянным вектором ускорения. Примером равнопеременного движения является движение тела, брошенного со скоростью υ 0 под углом ϕ к горизонту. Движение тела происходит в гравитационном поле Земли с постоянным ускорением свободного падения G g . Для определения положения тела в пространстве разложим его движение на равномерное прямолинейное по оси Х со скоростью υ υ ϕ 0 0 x = ⋅cos и равнопеременное по оси OY с ускорением свободного падения g и начальной скоростью υ υ ϕ 0 В момент времени t координаты тела 0 2 2 cos , sin , (вектор скорости υ υ = + x y i j , (модуль вектора скорости 2 0 2 2 0 2 cos ( sin ) , (где υ υ ϕ υ υ ϕ x y gt = = − 0 0 cos Рис. 1.10 X Y υ 0x υ 0 υ 0y υ 0x i j φ a n υ y g α a x υ 1.7. Кинематика равнопеременного движения 85 86 Глава 1. КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ Уравнение траектории найдем путем исключения параметра t из равенств (1.22) y x gx = − tg ϕ υ ϕ 2 0 2 2 2 cos . (Вектор ускорения свободного падения в любой точке траектории можно разложить на его касательную аи нормальную а составляющие (рис. Модуль касательного ускорения υ ϕ = = = − ( ) + − ( ) cos sin cos sin 0 0 2 2 0 2 , (где α — угол между векторами скорости G υ и ускорения в заданной точке траектории. Модуль нормального ускорения 2 τ . (Из сравнения уравнения параболы y x ax bx c ( ) = + + 2 и равенства (1.25) следует, что тело, брошенное под углом к горизонту, движется по параболе. КИНЕМАТИКА РАВНОМЕРНОГО ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ Рассмотрим движением. т. по окружности радиусом R с постоянной линейной скоростью υ вокруг неподвижной оси Z рис. Положение точки зададим радиус-век- тором G r , исходящим из точки О оси Z. За малый интервал времени точка совершает поворот на угол d ϕ . Движением. т. будем характеризовать вектором d G ϕ и определим его направление правилом правого винта если вращать правый винт по направлению движения точки, то поступательное движение винта совпадает Рис. 1.11 с вектором d G ϕ ). Модуль вектора d G ϕ равен углу поворота точки за интервал времени dt . Линейное перемещение вектора G r за время dt равно где β — угол между вектором G r и вектором d G ϕ , R r = Вектор перемещения G r r = ⋅ [ ] ϕ . (Последнее равенство справедливо для бесконечно малого угла Вектор линейной скорости движения точки G υ ϕ ω = = ⋅ ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ = [ ] dr dt d dt r r , (где G G ω ϕ = d dt — вектор угловой скорости. Вектор угловой скорости G ω совпадает с направлением вектора d G ϕ ) ( ) G G ω ϕ ↑↑ Согласно правилу векторного умножения векторов модуль вектора линейной скорости ω β ω = ⋅ ⋅ = ⋅ r R sin . (Вектор линейного ускорения G G G G G a t t r t r r t = = ⋅ [ ] = ⋅ ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ + ⋅ ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ d d d d d d d d υ ω ω ω = ⋅ [ ] + ⋅ [ ] = + G G G G G G ε ω υ τ r a a n , (где G G ε ω = d dt — вектор углового ускорения, G G G a r τ ε = ⋅ [ ] — вектор касательного ускорения, G G G a n = ⋅ [ ] ω υ — вектор нормального ускорения. Направление вектора углового ускорения G ε совпадает с направлением вектора G ω ( G G ε ω ↑↑ ), если угловая скорость возрастает, и противоположно, если она уменьшается. Модули векторов G a r R τ ε β ε = ⋅ ⋅ = ⋅ sin , G a R n = Модуль полного ускорения 2 2 4 . (Угловой путь м. т, движущейся по окружности за время dt 1.8. Кинематика равномерного вращательного движения 87 88 Глава 1. КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ Интегрируя последнее равенство в пределах изменения угла и времени, найдем угловой путь ( ) ϕ точки за интервал времени t при начальном угле ϕ 0 d dt t ϕ ω ϕ ϕ = ∫ ∫ 0 0 , ϕ ϕ ω − = ∫ 0 При постоянной угловой скорости ω угловой путь и угол поворота определятся из равенств ϕ ω − = 0 t , ϕ ϕ ω = + 0 t . (При равноускоренном вращении точки по окружности для t = 0, ω ω ( ) t = = 0 0 ε = const , угловая скорость определяется из соотношения которое получается интегрированием равенства d d ω ε = в пределах изменения угловой скорости и времени 0 ∫ ∫ = , ω Для равноускоренного вращения за время t угловой путь и угол поворота определяются из соотношений ω = , d d ϕ ω ε = + ( ) 0 t t , d d 0 0 t ϕ ω ε ϕ ϕ = + ∫ ∫ ( ) 0 t t , ϕ ϕ ω ε − = + 0 0 2 2 t t , ϕ ϕ ω ε = + + 0 0 2 2 t t . (Для равнозамедленного вращения ω ε = − 0 t , ϕ ϕ ω ε − = − 0 0 2 2 t t , (1.35) ϕ ϕ ω ε = + − 0 0 2 Согласно определению угловая скорость измеряется в рад / с, угловое ускорение — рад / с 2 Примеры решения задач Задача Материальная точка движется безначальной скорости υ 0 0 = вдоль прямой с ускорением a k t = ⋅ , где k= const. Определить в момент времени скорость точки υ 1 и пройденный ею путь s 1 , если известно, что за это время ускорение достигает значениям с 2 Дано: υ 0 0 = ; t 1 =10 c; а мс Найти υ 1 , Движение материальной точки ускоренное и прямолинейное. Из определения ускорения a t = d d υ найдем скорость в момент времени, (где k a t = 1 Пройденный точкой путь t t t = = = = ∫ ∫ υd d 0 2 0 1 3 1 1 2 1 1 2 6 6 (Ответ υ 1 1 1 2 25 = = a t мс, s a t = = 1 1 2 6 83 3 , м. Кинематика равномерного вращательного движения 89 90 Глава 1. КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ Задача Материальная точка начинает движение по окружности радиусом R = 29 см с постоянным касательным ускорением a τ = 0 5 , мс. Определить пройденный путь s, угловую скорость ω, угловое ускорение ε и время t, при котором вектор ускорения G a образует с вектором скорости угол α = Дано R = 29 см = 0,29 мм с α = 30°; υ 0 Найти t, s, ω, Из определения касательного ускорения a d dt τ υ = найдем скорость точки dt a Нормальное ускорение в момент времени t a R a t R n = = υ τ 2 2 Укажем на рисунке направление векторов G a τ , G a n , G a , угол α, и найдем tg α τ τ τ τ = = ⋅ = a a a t R a a t R n 2 2 Путь, пройденный точкой (см. 1.6) s dt a tdt a t R t = = = = ∫ ∫ υ α τ τ 0 2 2 Угловая скорость Угловое ускорение Ответ t R a = = tg α τ 0 58 , c, ω α τ = = a R tg 1 рад/с, ε τ = = a R 1 73 , рад/с 2 , s a R = = τ α tg 2 0 м Задача Тело брошено горизонтально со скоростью мс с высоты h = 10 м. Определить скорость G υ , касательное a τ , нормальное и полное ускорения a, радиус кривизны траектории в момент падения тела. Дано: υ 0 мс h = 10 мм с 2 Найти: υ, a τ , a n , a, Движение тела происходит в плоскости ХОY. По оси ОХ тело движется равномерно с постоянной скоростью υ υ x = 0 . По оси О тело движется с ускорением свободного падения. В точке падения вектор и модуль скорости υ υ υ = + = − x y i j i gtj 0 , υ υ = + 0 2 2 2 g где t — время падения тела, υ y = Время падения определим из уравнения движения тела вдоль оси ОУ y h gt = − 2 Когда у = 0, h gt = 2 2 , Модуль вектора скорости В любой точке траектории полное ускорение падающего тела G G a g = Модули составляющих полного ускорения sin , a g n = где ϕ — угол между направлениями векторов K υ и G υ 0 , g a n υ y a τ υ φ υ x X Y h υ 0 j i 0 1.8. Кинематика равномерного вращательного движения 91 92 Глава 1. КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ Тогда a g gt g t g gh gh τ υ υ υ = = = + 2 0 2 2 2 , a g g gh n = = + υ υ υ υ 0 0 0 Радиус кривизны траектории в точке падения тела найдем из определения нормального ускорения 0 2 3 2 Ответ υ υ = + = 0 2 2 20 6 gh , мс мс мс 1 м. |