Физика. Механика. Тесты для электронного экзамена и задачи для контрольных работ. Все формулы и единицы измерения приведены в международной системе единиц си
 Скачать 4.22 Mb.
|
|
Вопросы и задания для самопроверки. Дайте определение первого закона Ньютона. Дайте определение инерциальной системы отсчета. Назовите необходимые условия инерциальности системы отсчета. Дайте определение силы, массы, импульса тела. Запишите второй закон Ньютона с использованием понятий силы, импульса силы, импульса тела. Запишите второй закон Ньютона для тела с изменяющейся массой. Запишите основное уравнение динамики. Какие задачи решаются с помощью основного уравнения динамики. Что утверждает третий закон Ньютона. Для каких систем отсчета выполняются законы Ньютона. ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ГАЛИЛЕЯ. НЕИНЕРЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА Принцип относительности Галилея состоит в том, что все механические явления в инерциальных системах отсчета протекают одинаковым образом и, следовательно, никаким опытом невозможно установить, покоится данная система отсчета или движется прямолинейно и равномерно. Р асс мот р им систему отсчета, движущуюся относительно инерциальной системы X, Y, Z с постоянной скоростью G u (рис. 2.3). Z Z' X X' 0 0' A y r' Рис. 2.3 2.6. Принцип относительности Галилея. Неинерциальные системы отсчета 113 114 Глава 2. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ Пусть в начальный момент времени t = 0 положение тел О и О систем отсчета совпадают. При относительном движении систем отсчета радиус-векторы материальной точки в них, в момент времени определяются G ′ = − r r ut , G G G r r ut = ′ + , (где G ut — перемещение системы X' Y' Z' по оси Продифференцируем полученное соотношение υ = ′ + u . (Равенство (2.11) называется правилом сложения скоростей. Ускорение материальной точки в системах отсчета, движущихся относительно друг друга прямолинейно с постоянной скоростью (2.12) G G a a = Силы, действующие нам. т. с массой m в движущихся относительно друг друга системах отсчета G G G F ma F ma = = , ' ' . Из-за равенства ускорений следует, что эти силы равны. Следовательно, законы динамики не изменяются при переходе от одной системы к другой, а система отсчета, находящаяся в покое или движущаяся равномерно и прямолинейно относительно инерциальной системы, сама является инерциальной. Рассмотрим другой случай, когда система X' Y' Z' движется относительно системы X, Y, Z со скоростью изменяющейся со временем u (t). В соответствии с правилом сложения скоростей υ = + ' ( ) u t . (Продифференцируем последнее равенство повремени где а — ускорение движущейся системы отсчета, a' — ускорение материальной точки в движущейся системе отсчета. Ускорение материальной точки в системах отсчета, движущихся относительно друг друга с изменяющейся скоростью неодинаково, и, следовательно, неодинаковы и силы G F , G F ' , действующие на нее. Если обозначить силу, действующую на материальную точку массой через G F , тов системе X' Y' Z' ее ускорение = − a F m a 0 . (Приумножении левой и правой части последнего равенства на m получим ma G G G ' = где при G F = 0 ma ma G G ' = − 0 , G G a a ' = Из последних соотношений следует, что при отсутствии силы G F , материальная точка в движущейся системе все равно будет двигаться с ускорением − G a 0 , те. так, как если бы на нее действовала сила. Эта сила F ma ин = − 0 называется силой инерции. Систему отсчета, движущуюся с ускорением относительно инерциальной системы, называют неинерциальной. Для неинерциальных систем отсчета справедливо соотношение ma F F ин ′ = + . (Вопросы и задания для самопроверки. Сформулируйте принцип относительности Галилея. Дайте определение неинерциальной системы отсчета. Определите ускорение материальной точки в неинерциальной системе отсчета при действии на нее внешней силы ив отсутствии ее. Запишите правило векторного сложения скоростей. Запишите правило векторного сложения ускорений для материальной точки в системах отсчета, движущихся относительно друг друга с ускорением. Принцип относительности Галилея. Неинерциальные системы отсчета 115 116 Глава 2. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ. СИЛЫ В МЕХАНИКЕ. Силы гравитационного взаимодействия Гравитационное взаимодействие проявляется в притяжении друг к другу тел. Объясняется это взаимодействие наличием гравитационного поля вокруг каждого тела. Модуль силы гравитационного взаимодействия F G между двумя материальными точками определяется законом всемирного тяготения (где F 1,2 , F 2,1 — силы взаимодействия, направленные вдоль прямой, соединяющей материальные точки (см. п, G = 6,67 · 10 –11 Нм 2 /кг 2 — гравитационная постоянная, m 1 , m 2 , r — массы точек и расстояние между ними. Закон всемирного тяготения справедлив не только для материальных точек, но и для тел со сферически-симметричным распределением масса также тел произвольной формы, размеры которых во много раз меньше расстояний между ними. Сила тяжести Если принять одно из взаимодействующих тел Землю, а второе — тело с массой m, находящееся вблизи или на её поверхности, то тело притягивается с силой m R = 3 3 2 , (где M 3 , R 3 — масса и радиус Земли. Соотношение G M R 3 2 3 в формуле (2.18) есть постоянная величина G M R = = 3 3 2 9 8 , м/с 2 , имеет размерность ускорения и называется ускорением свободного па- дения. Сила тяжести — сила гравитационного притяжения Землей тела массой m тяж m . (В отличие от силы G F G модуль тяж зависит от географической широты места расположения тела на Земле. На полюсах тяжа на экваторе уменьшается на 0,36 %. Это различие обусловлено тем, что Земля вращается вокруг своей оси и образует неинерциальную систему отсчета. С удалением тела относительно поверхности Земли на высоту h уменьшается сила тяжести тяж где, g G M R h h = ⋅ + ( ) 3 3 2 — ускорение свободного падения на высоте h от Земли. Масса в формулах (2.17–2.19) характеризует гравитационное взаимодействие тел, является его мерой и называется гравитационной. В настоящее время с высокой точностью установлено равенство инертной (см. 2.2) и гравитационной масс тела, поэтому их не различают и обозначают одной буквой Силы реакции Если подвесить тело или положить его на неподвижную опору, оно будет покоиться относительно Земли, так как сила тяжести уравновешивается силой реак- ции,действующей на тело со стороны опоры или подвеса. Сила реакции — сила, с которой действуют на данное тело другие тела, ограничивающие его движение. Сила нормальной реакции опоры G N приложена к телу и направлена перпендикулярно плоскости опоры. опора подвес N G g m G Т G N G N G опора g m G g m G g m Рис. 2.4 2.7. Силы в механике 117 118 Глава 2. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ Сила реакции нити (подвеса) G T приложена к телу и направлена вдоль нити (подвеса) (рис. Вес тела Вес тела G Q — сила, с которой тело давит на опору или растягивает нить подвеса и приложена к опоре или подвесу. В соответствии с третьим законом Ньютона G G G G Q N Q N = − = , , G G Q T = − , G G Q T = . Вес тела численно равен силе тяжести в том случае, когда тело находится на горизонтальной поверхности опоры в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения. Возможны случаи, когда больше или меньше тяжи даже когда G Q = 0. Рассмотрим тело, находящееся в лифте, движущемся с ускорением (рис. На тело действуют две силы реакции опоры G N и сила тяжести F тяж Запишем второй закон Ньютона ma N F тяж = + . (При движении с ускорением G a вверх равенство (2.20) с учетом знака векторов сил и ускорения на ось X имеет вид ma = N 1 – тяжа при движении вниз –ma = N 2 – тяж = N 2 – где N 1 и N 2 — силы реакции опоры. Из последних равенств следует, что = m (g + a), N 2 = m (g – Согласно определению веса тела Q 1 = N 1 и Q 2 = N 2 имеем при ускоренном подъеме тела Q 1 > тяжа при ускоренном спуске Q 2 < F тяж При спуске с ускорением a = g, Q = 0, тело находится в состоянии невесомости. тяж F G тяж F G 1 N G 2 N G X a G a G Движение вниз Движение вверх Рис. 2.5 2.7.2. Силы трения Сила трения — результат взаимодействия поверхностей соприкасающихся тел. Сила трения направлена по касательной к трущимся поверхностям в сторону, противоположную направлению относительного движения взаимодействующих тел. Различают внешнее (сухое) и внутреннее (вязкое) трение. Внешнее сухое трение возникает при относительном перемещении двух соприкасающихся тел и делится на трение покоя трение скольжения трение качения. Перечисленным видам внешнего трения соответствуют силы покоя, скольжения, качения. Сила трения покоя действует между соприкасающимися поверхностями взаимодействующих тел, когда величина внешних сил недостаточна, чтобы вызвать их относительное перемещение. Если к телу, находящемуся в соприкосновении с другим телом, приложить возрастающую внешнюю силу F, параллельную плоскости соприкосновения (риса, то при изменении F от нуля доне- которого значения F тр. max движения тела не возникает, что свидетельствует о неоднозначности силы трения покоя. Максимальная сила трения покоя F тр. max = где μ 0 – коэффициент трения покоя, N — модуль силы нормальной реакции опоры. Коэффициент трения покоя μ 0 можно определить экспериментально. Например, μ 0 = tgα, где α – угол наклона к горизонту поверхности опоры, с которой начинает скатываться тело под действием его силы тяжести. g m G N G F G п тр F G а g m G N G тр F G б υ G max тр F F Рис. 2.6 2.7. Силы в механике 119 120 Глава 2. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ При F > F тр. max происходит скольжение тел относительно друг друга с некоторой скоростью υ (рис. 2.6б). Сила трения скольжения направлена против скорости G υ . Модуль силы трения скольжения при малых скоростях движения вычисляется в соответствии с законом Амонтона по формуле F тр = μN, (где μ — безразмерный коэффициент трения движения, зависящий от материала и состояния поверхности соприкасающихся тел, и всегда меньше Сила трения качения возникает тогда, когда тело, имеющее форму цилиндра или шара, катится по поверхности опоры. Численное значение силы трения качения определяется в соответствии с законом Кулона по формуле F тр.к = k где k — коэффициент трения качения имеет размерность длины и зависит от материала соприкасающихся тел и состояния их поверхностей радиус катящегося тела. Сила внутреннего трения возникает между слоями одного итого же сплошного тела (жидкости или газа. Силы внутреннего (вязкого) трения зависят от относительной скорости смещения отдельных слоев газа или жидкости друг относительно друга. Например, вязкое трение возникает при течении жидкости или газа по трубам со скоростью (рис. Скорость слоев жидкости уменьшается при приближении их к стенкам трубы. Отношение разности скоростей Δυ в двух близких слоях, расположенных на расстоянии Δx, называется средним градиентом скорости. В одномерной задаче, когда υ = х, средняя сила внутреннего трения F вн.тр = ⋅ ⋅ η υ s x Δ Δ , (2.22) Х υ х Δ 0 Рис. 2.7 где η — коэффициент внутреннего трения, s — площадь взаимодействующих слоев жидкости, Δυ / х — средний градиент скорости. Коэффициент внутреннего трения зависит от агрегатного состояния и температуры вещества. Коэффициент внутреннего трения Вещество Вода Водяной пар Машинное масло Воздух t °C 20 100 30 20 η · 10 –3 Пас. Сила сопротивления среды При движении твердых тел в жидкости или газе, кроме силы внутреннего трения, на тело (в случае больших скоростей и размеров тел) начинает оказывать существенное влияние сила сопротивления среды F сопр = ρ υ βυ S 2 2 = , (где υ — скорость движения тела ρ — плотность среды (жидкости или газа S — площадь поперечного сечения тела, β = ρS — коэффициент сопротивления. Тело, движущееся в среде, испытывает действие двух сил силы вязкого трения (три силы сопротивления (F сопр ). При небольших скоростях сила сопротивления меньше силы вязкого трения, а при больших — значительно превосходит ее (рис. При некотором значении скорости υ′ силы три F сопр становятся равными по модулю. Сила сопротивления среды зависит от формы движущегося тела. Форму тела, при которой сила сопротивления мала, называют обтекаемой. Ракетам, самолетам, автомобилями другим машинам, движущимся с большими скоростями в воздухе или вводе, придают обтекаемую, каплеобразную форму. F υ тр F сопр F ' υ Рис. 2.8 2.7. Силы в механике 121 122 Глава 2. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ. Сила упругости При действии на тело внешних сил возникает деформация и упругая сила F упр Различают деформацию упругую и неупругую. При упругой деформации тело после прекращения действия внешних сил полностью восстанавливает свою форму и размеры. При неупругой деформации форма и размеры тела не восстанавли- ваются. Остановимся подробно на упругой деформации. При растяжении пружины на величину (рис. 2.9) относительно ее равновесного положения возникает упругая сила упр, которая возвращает пружину в прежнее состояние после прекращения действия внешней силы (х = 0). В соответствии с законом Гука упругая сила F x , возникающая при линейном растяжении или сжатии пружины, пропорциональна величине ее деформации = –kΔx, (где Δx = x – x 0 — деформация пружины F x — проекция силы упругости на направление перемещения пружины k — коэффициент упругости пружины, знак минус указывает, что направления силы и перемещения противоположны. 0 l 1 F G 1 F G 2 F G 2 F G l l 0 $ l l 0 $ Рис. 2.10. F упр Х 0 х Рис. 2.9 Однородные стержни ведут себя при растяжении или одностороннем сжатии подобно пружине. Если к концам стержня (рис. 2.10) приложить направленные вдоль его оси силы G F 1 идей- ствие которых равномерно распределено по всему сечению, то длина стержня l 0 получит положительную (при растяжении, либо отрицательную (при сжатии) деформацию Δl. Деформацию стержня можно характеризовать относительным удлинением = Δl l 0 . (Опыт показывает, что для стержня при упругой деформации относительное удлинение пропорционально силе F σ , действующей на площадь его поперечного сечения S ε α σ = F S , (где α — коэффициент упругости стержня, F S σ — напряжение стержня, измеряемое в паскалях (Па = Н/м 2 ). Из-за взаимодействия частей стержня друг с другом напряжение передаётся вовсе его точки. Если внешние силы направлены по нормали к поверхности, напряжение называют нормальным, а по касательной тангенциальным. Нормальное напряжение F σ / s = σ, тангенциальное Наряду с коэффициентом упругости α для характеристики упругих свойств тел при нормальных напряжениях используют модуль Юнга Е = 1 / α, который, как и напряжение, измеряется в паскалях. Относительное удлинение (сжатие) и модуль Юнга в соответствии с равенствами (2.25 и 2.26) определяется из соотношений = σ E , E l l = Модуль Юнга равен такому нормальному напряжению, при котором деформация стержня Δl равна его первоначальной длине В действительности при таких напряжениях происходит разрушение стержня. Решая уравнение (2.26) относительно F σ , и подставляя вместо ε = Δl / l 0 , α = 1 / Е, получим формулу для определения силы деформирующей стержень с сечение S на величину Δl 2.7. Силы в механике 123 124 Глава 2. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ = 0 Δ , (где ES l 0 — постоянный для стержня коэффициент, который в соответствии с законом Гука соответствует коэффициенту упругости стержня при его сжатии и растяжении. Рассмотрим деформацию сдвига. Возьмём однородное тело, имеющее форму прямоугольного параллелепипеда высотой b, и приложим к его противолежащим граням силы и G F 2 (F 1 = F 2 = F τ ), направленные параллельно граням (рис. Если действие сил равномерно распределено по всей поверхности соответствующей грани тела, тов любом сечении, параллельном этим граням, возникает тангенциальное напряжение τ τ = F S , где S — площадь грани. Под действием напряжений тело деформируется так, что одна грань сместится относительно другой на некоторое расстояние а. Если тело мысленно разбить на элементарные, параллельные рассматриваемым граням слои, то каждый слой окажется сдвинутым относительно соседнего с ним слоя. При деформации сдвига любая прямая, первоначально перпендикулярная к слоям, повернется на некоторый угол ϕ. Деформация сдвига характеризуется отношением которое называется относительным сдвигом. При упругих деформациях угол ϕ — очень мал, поэтому можно положить tgϕ ≈ ϕ и γ = Опыт показывает, что относительный сдвиг пропорционален тангенциальному напряжению Рис. 2.11 F 2 φ F 1 F 2 b c a γ τ τ = = ⋅ ⋅ 1 1 G F G где G — модуль сдвига, GS — постоянная величина для деформируемого тела. Модуль сдвига G = τ γ зависит только от свойств материала и равен тангенциальному напряжению при угле ϕ = 45°. Модуль сдвига также, как и модуль Юнга измеряется в паскалях (Па). Сила, вызывающая сдвиг стержня сечением S на угол ϕ, согласно, равна S τ γ = ⋅ ⋅ = G S ϕ, (где G · S — коэффициент упругости стержня при деформации сдвига. |