Физика. Механика. Тесты для электронного экзамена и задачи для контрольных работ. Все формулы и единицы измерения приведены в международной системе единиц си
 Скачать 4.22 Mb.
|
|
1.2. УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО Пусть требуется умножить вектор G a на число n. Если число n положительное, тов результате умножения получится новый вектор G b = n G a , имеющий тоже направление, что и вектор G a , но модуль враз больший, если n ≥1, и модуль враз меньший, если 0 ≤ n ≤1 рис. 1.4). Модуль вектора G b равен b = | n | a, а проекция вектора равна b x = Рис. 1.3 1. Векторная алгебра 15 Рис. 1.4 Рис. Если вектор умножить на отрицательное число k (k < 0), то получится вектор G c = k G a , направленный противоположно вектору G a , с модулем враз большим, если |k| ≥1, и модулем враз меньшим, если 0 ≤|k| ≤1 (рис. 1.5). Модуль вектора G c равен с = |k |a, а проекция вектора G c равна с = ka x 1.3. ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ Вычесть из вектора G a вектор рис. 1.6) — значит прибавить к вектору G a вектор − ( ) G b , отличающийся от вектора G b тем, что он направлен в противоположную сторону (знак минус указывает здесь противоположность направления G c = G a – G b = G a + − ( Модули векторов и − ( ) G b равны, а их направления противоположны (такие векторы называются противоположными. Проекции противоположных векторов имеют противоположные знаки. Сами же векторы не могут быть ни положительными, ни отрицательными. Можно находить разность векторов иначе. Если представить векторы G a и G b выходящими из одной точки рис. 1.7), то разность векторов изобразится вектором с, проведенным из конца вычитаемого вектора G b к концу уменьшаемого вектора Рис. 1.6 16 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ При вычитании векторов вычитаются и их проекции на координатные оси. Если G G G c a b = − , то с = a x – рис. 1.8). 1.4. КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА Прямоугольными координатами вектора G a называются проекции вектора на оси координат (рис. 1.9). Координаты вектора обозначаются буквами, Запись {a x , a y , a z }. (Векторы, изображенные на рисунке, называются единичными ортами (единичными векторами) координатных осей. Их модули равны единице, а направления совпадают с направлением осейОX, О и ОZ.Зная проекции вектора, можно представить его как = a x G i + a y G j + a z G k . (1.4) 1.5. ДЛИНА ВЕКТОРА Длина вектора G c = с, с, с выражается через его координаты по теореме Пифагора формулой = c c c x y z 2 2 2 + + . (После нахождения вектора G c , являющегося суммой векторов ив физике часто возникает задача нахождения модуля вектора G c , те. его длины. Возможны следующие случаи: Рис. Рис. Рис. 1.9 1. Векторная алгебра 17 1. Складываемые векторы сонаправлены ( G a ↑↑ G b ). В этом случае от векторной записи G a + G b (легко перейти к скалярной, спроектировав уравнение (1.6) на ось OX (рис. 1.10) OX: с = a + b. (1.7) 2. Складываемые векторы противоположно направлены ( G a ↑↓ G b ). Спроектировав уравнение G c = G a + на ось OX (рис. 1.11), получаем OX: с = a – b. (1.8) 3. Складываемые векторы перпендикулярны (рис. 1.12). Модуль вектора находим по теореме Пифагора, записанной для прямоугольного треугольника ODE. О = ⎪ G b ⎪ и Е — катеты треугольника, ⎪ОЕ⎪ = ⎪ G c ⎪ — его гипотенуза. Поэтому = a b 2 2 + . (1.9) 4. Угол α между складываемыми векторами произвольный (рис. 1.13) (α неравен, как это имело место выше. В этом случае применяется теорема косинусов Квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение сторон на косинус угла между ними. Для треугольника ODE, в котором известны стороны О и Е, а также угол α, теорема запишется как с 2 = а + b 2 − 2 ⋅ а ⋅ b ⋅ cosα. (Рис. Рис. Рис. Рис. 1.13 18 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ Применяя теорему косинусов, следует помнить, что в ней идет речь не об угле между складываемыми векторами G a и G b (угле β), а об угле α = 180° − β. Так как cos (180° − β) = −cosβ, выражение (1.10) можно записать в следующем виде: с 2 = а + b 2 + 2 ⋅ а ⋅ b ⋅ cosβ. (1.10) 1.6. УГЛЫ МЕЖДУ ОСЯМИ КООРДИНАТ И ВЕКТОРОМ Углы α, β, γ, образуемые положительными направлениями OX, OY, OZ с вектором (рис. 1.14), можно найти по формулам cosα = a a a a x x y z 2 2 2 + + = a a x | | G , (1.11) cosβ = a a a a y x y z 2 2 2 + + = a a y | | G , (1.12) cosγ = a a a a z x y z 2 2 2 + + = a a z | | G . (Вопросы и задания для самопроверки. Дайте определение вектора, скалярной величины. Среди перечисленных физических величин выберите векторные и скалярные скорость, сила, путь, масса, перемещение, температура, ускорение, плотность, давление, электроемкость, импульс, влажность. В чем заключаются правила параллелограмма и треугольника, применяемые для сложения векторов. В каком случае приумножении вектора G a на число результирующий вектор G b сонаправлен с вектором G a ? Противоположно направлен. Как вычесть из вектора G a вектор G b ? 6. Что такое орты координатных осей Как представить вектор через его проекции на координатные оси и орты координатных осей? Рис. 1.14 1. Векторная алгебра 19 7. Как найти длину вектора G a , зная его проекции a x , a y , a z на координатные оси. Как найти угол между осью координат и вектором. Сформулируйте теорему косинусов. Примеры решения задач Задача Самолет держит курс на север со скоростью v 1 = 200 мс относительно Земли. Дует восточный ветер со скоростью относительно Земли мс. Найти скорость самолета v относительно воздуха. Дано: v 1 = 200 мс мс. Найти Скорость самолета относительно воздуха G v равна G G G v v v = − 1 Изобразим треугольник скоростей. Так как 1 2 v v ⊥ G G , модуль искомой скорости находим по теореме Пифагора v = v v 1 2 2 2 2 2 200 15 + = + = 200,56 м / с. Ответ: скорость самолета относительно воздуха v = 200,56 м / с. Задача Найти модуль напряженности Е поля двухточечных зарядов q 1 = 1 нКл ив точке, находящейся на середине соединяющего их отрезка длиной r = 1 м. Дано: q 1 = 1 нКл; q 2 = 2 ⋅ q 1 ; r = 1 м. Найти: Е. Согласно принципу суперпозиции полей G G G E E E = + 1 2 , где G E 1 и G E 2 − напряженности полей зарядов q 1 ив точке А. Спроектируем это уравнение на ось О OX: ЕЕ Е 20 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ Знак «−» говорит о том, что вектор G E направлен противоположно оси О. Подставим числовые значения Тогда ЕЕ Ответ модуль напряженности поля двухточечных зарядов Е = Задача К телу приложены силы G F 1 и G F 2 , угол между которыми β = Найти модуль результирующей силы G F , действующей на тело, если F 1 = F 2 = 20 Н. Дано: β = 20°; F 1 = 20 Н F 2 = 20 Н. Найти: Результирующая сила G F , действующая на тело, — это векторная сумма сил G F 1 и G F 2 : G F = G F 1 + G F 2 . Найдем сумму векторов G F 1 и по правилу параллелограмма (см. с. 13). Для треугольника сил ОДЕ ОД = F 2 , ДЕ = F 1 , ОЕ = F ) запишем теорему косинусов ОЕ 2 = ОД 2 + ДЕ 2 − 2 ⋅ ОД ⋅ ДЕ ⋅ или = F 1 2 + F 2 2 − 2 ⋅ F 1 ⋅ F 2 ⋅ где α = 180° − Так как по условию F 1 = F 2 , то Ответ модуль результирующей силы F ≈ 39,4 H. 1. Векторная алгебра Задача Тело массой m = 1 кг движется с постоянной по модулю скоростью мс по окружности. Найти модуль изменения импульса тела Δp при прохождении четверти окружности (импульсом называется произведение массы тела m на его скорость Дано v = 10 мс кг. Найти: Изменение какой-либо величины — это разность конечной и начальной величины. Значит, 2 1 p p p Δ Пусть тело находилось в точке 1 и, двигаясь почасовой стрелке, оказалось в точке 2. Так как импульс по определению есть G G p mv = , то векторы G p и G v сонаправлены. Вектор скорости G v , как вы скоро узнаете из курса механики, направлен по касательной к траектории тела. Поэтому в точке 1 вектор G p 1 горизонтален, а в точке 2 вектор G p 2 вертикален. Построим разность векторов и правило вычитания векторов изложено нас. Так как G p 1 ⊥ G p 2 , то по теореме Пифагора 2 2 2 1 2 ( ) ( ) 2 2 1 10 14,1 p p p mv mv mv ⋅ Δ = + = + = = ⋅ ⋅ кг мс Ответ модуль изменения импульса тела 14,1 p ⋅ Δ кг мс Задача Вектор скорости тела меняется со временем по закону G v (t) = 6t G i + 4 G j − 12t 3 G k , м / с, где t — время, аорты координатных осей. Найти зависимость модуля скорости от времени v Дано G v (t) = 6t G i + 4 G j − 12t 3 G k , м / с. Найти: v (В данной задаче вектор G v выражен через проекции на координатные оси и орты G i , G j , координатных осей (см. с. 16). Сомножители при ортах G i , G j и G k − это проекции вектора скорости на оси OX, OY, OZ, соответственно. Таким образом, v x = 6t мс мс мс. Тогда модуль вектора скорости 22 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ 2 2 2 2 3 2 2 6 ( ) (6 ) (4) 12 ) 36 16 144 x y z v t v v v t t t t = + + = + + = + + , м/с. Ответ: зависимость модуля скорости от времени 2 6 ( ) 36 16 144 v t t t = + + , м/с. Задача Найти угол α между силой G G G G F t i tj tk ( ) = + + 4 7 2 , Н, действующей на тело, и осью OX в момент времени t = 1 с. Дано: G G G G F t i tj tk ( ) = + + 4 7 2 , Н t = 1 с. Найти: Найдем длину вектора G F . Как ив предыдущей задаче, запишем компоненты вектора G F : F x = 4 H, F y = 7t H, F z = 2t H. Используя формулу (1.11), получаем cos α = + + = + ( ) + ( ) = = + + = + F F F F t t t t t x x y z 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 7 2 4 16 49 4 4 16 В данную формулу подставим значение времени t = 1 с 4 4 cos 0, 48 69 16 53 1 α = = ≈ + ⋅ , α = arccos 0,48 ≈ Ответ между силой G F и осью OX угол α ≈ 61,3°. 1.7. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ ВЕКТОРОВ Скалярным произведением двух векторов G a и называется произведение их модулей на косинус угла между ними. Обозначения: G a ⋅ G b = G a G b = ( G a , Согласно определению | G a | ⋅ | G b | ⋅ cos( G a ,^ G b ). (1.14) 1. Векторная алгебра Скалярное произведение G a · G b обращается в нуль, если один из сомножителей равен нулю или если векторы G a и перпендикулярны (в этом случае косинус угла между векторами равен нулю. ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ Некоторые физические величины определяются как скалярное произведение векторных физических величин. Так, элементарной работой А, совершаемой силой G F на элементарном перемещении d G r , называется скалярное произведение А = K F ⋅ d G r = | K F |⋅ | d G r | ⋅ cosα, (где α — меньший угол между перемножаемыми векторами. Рис. Если сила F и угол α постоянны, а тело движется прямолинейно, то работа силы на перемещении А = S ⋅ F ⋅ cosα, (где S — модуль перемещения материальной точки. Мощность P равна скалярному произведению вектора силы G F , действующей на тело, и вектора скорости этого тела G v : P = G F ⋅ G v = F ⋅ v ⋅ cosα. (Рис. Элементарным потоком Ф вектора магнитной индукции через поверхность называется скалярное произведение 24 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ dФ = G B ⋅ dS G = B ⋅ dS ⋅ cosα, (где α — угол между вектором G B и вектором нормали G n к данной поверхности (рис. Рис. Вопросы и задания для самопроверки. Дайте определение скалярного произведения двух векторов. В каком случае скалярное произведение двух векторов положительно Отрицательно Равно нулю. Поясните физический смысл скалярного произведения. Изменится ли результат скалярного произведения двух векторов, если поменять местами перемножаемые векторы? Примеры решения задач Задача Найти скалярное произведение G a ⋅ G b , если длины векторов | G a | = 2 мима угол между ними α = Дано | G a | = 2 мм. Найти По определению скалярного произведения = | G a | ⋅ | G b | ⋅ cosα = 2 ⋅ 1 ⋅ cos120° = 2 ⋅ 1 ⋅ (− 1 2 ) = −1 м 2 Ответ: скалярное произведением. Векторная алгебра Задача Определить работу А силы K F , модуль которой | K F | = 5 Н. Длина вектора перемещениям. Сила K F действует под углом к перемещению Дано | K F | = 5 Нм. Найти По определению работа А силы K F A F = G S ⋅ K F = | G S | ⋅ | K F | ⋅ cosα = 4 ⋅ 5 ⋅ 2 2 = 10 ⋅ 2 ≈ 14,1 Дж. Ответ: работа силы A F ≈ 14,1 Дж. Задача Автомобиль массой m = 1000 кг перемещается прямолинейно под действием силы тяги F = 5000 Н. Найти работу А, совершаемую силами тяги G F , трения F G тр , нормальной реакции опоры G N и тяжести mg G на перемещении S = 1 км. Коэффициент трения μ = 0,1. Ускорение свободного падения g = 10 м/с 2 Дано: m = 1000 кг F = 5000 Н S = 1 км = 1000 мм с 2 Найти: A F , тр F A , A N , Работа силы тяги A F = F ⋅ S ⋅ cosα = 5000 ⋅ 1000 ⋅ cos0° = 5000 ⋅ 1000 ⋅ 1= 5 ⋅ 10 6 Дж между векторами силы тяги G F и перемещения угол α = Работа силы трения тр F A = F тр ⋅ S ⋅ cosα = μmg ⋅ S ⋅ cosα = 0,1 ⋅ 1000 ⋅ 10 ⋅ 1000 ⋅ cos180° = = 0,1 ⋅ 1000 ⋅ 10 ⋅ 1000 ⋅ (–1) = –10 6 Дж (между векторами силы трения три перемещения угол α = Работа силы тяжести A mg = mg ⋅ S ⋅ cosα = 1000 ⋅ 10 ⋅ 1000 ⋅ cos90° 0 = 0 Дж (между векторами силы тяжести mg G и перемещения угол α = 90°). 26 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ Работа силы реакции опоры A N = N ⋅ S ⋅ cosα = mg ⋅ S ⋅ cosα = 1000 ⋅ 10 ⋅ 1000 ⋅ cos90° = = 1000 ⋅ 10 ⋅ 1000 ⋅ cos90° = 0 Дж (между векторами нормальной реакции опоры G N и перемещения угол α = Ответ работа, совершаемая силами тяги G F , трения F G тр , нормальной реакции опоры G N и тяжести mg G , A F = 5⋅10 6 Дж, тр F A = −10 6 Дж, A N = 0 Дж, A mg = 0 Дж соответственно. |