Физика. Механика. Тесты для электронного экзамена и задачи для контрольных работ. Все формулы и единицы измерения приведены в международной системе единиц си
 Скачать 4.22 Mb.
|
|
М2.10 Магнитный поток Ф, пронизывающий рамку, меняется со временем по закону Ф) = ⋅ 4 2 sin π , Вб. Найти эдс индукции, возникающую в рамке в момент времени t = 8 с. М2.11 Магнитный поток Ф, пронизывающий рамку, меняется со временем по закону Ф) = ⋅ 8 4 sin π , Вб. Найти максимальную эдс индукции, возникающую в рамке. Интегральное исчисление М3.1 Известно, что скорость тела, брошенного вертикально вверх сна- чальной скоростью G v 0 , без учета сопротивления воздуха, меняется со временем по закону G v (t ) = G v 0 + G g t, где t − время, G g − ускорение свободного падения. На каком расстоянии от начального положения будет находиться тело через время t 0 от момента броска? М3.2 При гармонических колебаниях точки зависимость ее скорости от времени имеет вид v (t ) = 2 2 0 π π ϕ T t T cos + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ (t − время, T − период колебаний, ϕ 0 − начальная фаза. Найти положение точки в момент времени t 2 , если известно, что в момент времени t 1 она находилась в точке с координатой x = x 1 Задачи для контрольных работ 71 М3.3 Ракетный снаряд поднимается вертикально вверх. Считая, что при постоянной силе тяги ускорение ракеты (за счет уменьшения ее веса) растет по закону a A b ct = − (b − ct > 0), найти зависимость скорости снаряда от времени v (t ). Начальная скорость v (0) = 0. Найти высоту h 1 , достигнутую ракетой в момент времени t 1 М3.4 Какую работу A надо затратить, чтобы растянуть пружину на x 1 = 6 см, если сила F = 1 Н растягивает ее на x 2 = 1 см? М3.5 Два электрических заряда q 1 = 1 ⋅ 10 –7 Кл и q 2 = 2 ⋅ 10 –7 Кл находятся на оси OX в точках x 1 = 0 см и x 2 = 1 см. Какая работа A будет произведена, если второй заряд переместится в точку x = 10 см? М3.6 Модуль скорости точки задается формулой v (t ) = 1 + t , м / c. Найти путь S, пройденный точкой за время t = 1 с после начала движе- ния. М3.7 Модуль скорости тела меняется со временем как v (t ) = 4t t − cos , м / c. Найти путь S, пройденный телом за время t = 4 с после начала дви- жения. М3.8 Модуль скорости точки зависит от времени как v (t ) = 1 + t , м / c. Найти среднюю скорость V ср точки за время t = 10 с после начала дви- жения. М3.9 Скорость точки меняется со временем по закону v (t ) = 4t t − cos , м / c. Найти среднюю скорость V ср точки за время t = 8 с после начала дви- жения. М3.10 Какую работу A надо совершить, чтобы тело массой m = 1 кг поднять с поверхности Земли радиусом R = 6400 км 1) на высоту h = 1 м, 2) на высоту h = 1000 км? М3.11 Ток I в электрической цепи зависит от времени как I (t ) = 0,02sin2πt, A. Найти заряд q вцепив момент времени t = 1 / 6 с 72 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ М3.12 Ток в электрической цепи меняется согласно уравнению I (t ) = 0,4cos4πt, A. Найти заряд q вцепив момент времени t = 6 с. М3.13 Ток в электрической цепи меняется согласно уравнению I (t ) = 50sin3πt, м. Найти заряд q вцепив момент времени t = 14 с. М3.14 Найти закон изменения заряда q в электрической цепи, если ток вцепи меняется согласно уравнению 1) I (t ) = 2cos5πt, A, 2) I (t ) = 2t, A, 3) I (t ) = 7t + 7, мА, 4) I (t ) = 2sin5πt, A. Глава КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ Механика — это раздел физики, изучающий механическое движение тел. Механическое движение — процесс изменения взаимного расположения тел или их частей в пространстве стечением времени. Кинематика изучает механическое движение тел без учета причин, вызывающих это движение. Пространство однородно (одинаково во всех точках, изотропно (одинаково по всем направлениям). Время однородно и анизотропно (во всей Вселенной изменяется равномерно ив одном направлении). Материальная точка — это модель макроскопического тела, размерами которого можно пренебречь в условиях данной задачи.На- пример, при рассмотрении движения планет вокруг Солнца, размерами планет пренебрегают, считая их материальными точками. СИСТЕМА ОТСЧЕТА Движение материальной точки (м. т) всегда рассматривается относительно ка- кого-либо другого тела, которое принимается за неподвижное. Тело, которое считается неподвижными по отношению к которому определяется положение других тел, называется телом отсчета. Положение м. т. в пространстве определяется с помощью системы координат X, Y, Z, связанной с телом отсчета. Рис. Тело отсчета 74 Глава 1. КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ Совокупность тела отсчета, жестко связанной с ним системы координат и часов, образует систему отсчета (рис. Положение материальной точки в декартовой системе координат определяется через ее координаты x, y, z или радиус-вектор G r , проведенный в заданную точку изначала координат. Координаты х, у, z (рис 1.2.) — есть проекции радиус-вектора на оси координат, z r x y z = = = Радиус-вектор определяется через свои проекции i r j r k, x y z = ⋅ + ⋅ + ⋅ G G G G r xi yj zk = + + , (где G G G i, j, k — единичные векторы осей координат (рис. Модуль вектора G r в декартовой системе координат = + + = + + . (1.2) 1.2. ТРАЕКТОРИЯ, ПУТЬ, ПЕРЕМЕЩЕНИЕ При движении м. т. ее радиус-вектор относительно выбранной системы отсчета изменяется в зависимости от времени G G r r = ( ) t . Это векторное уравнение эквивалентно трем скалярным уравнениям t y y t z z t = = = ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ ( ); ( ); ( ). (Совокупность всех последовательных положений материальной точки в пространстве определяет траекторию ее движения. Уравнение траектории z = z (x, y) находится в результате решения системы уравнений (путем исключения параметра Движение называется прямолинейным, если его траектория — прямая линия, и криволинейным во всех других случаях. Вид траектории не зависит от выбора системы отсчета. Рис. 1.2 r z = r z x = r x y = r y i j k X Y Z 1.3. Скорость Траектория криволинейного движения характеризуется кривизной C s d ds S = = → lim , Δ Δ Δ 0 ϕ ϕ где Δϕ − угол между касательными τ 1 и τ 2 , проведенными в точках 1 ирис длина участка между точками. Величина, обратная кривизне С, называется радиусом кривизны При движении м. т. по произвольной криволинейной траектории за интервал времени Δt t t = − 2 1 изменяется ее пространственное положение относительно выбранной системы отсчета, которое определяется радиус-вектором Изменение Δ G G G r r r = − 2 1 (рис. 1.4) за интервал времени называется вектором перемещения. За интервал времени Δt м. т. проходит участок траектории Δs . Длина этого участка обозначается через s и называется путь. Путь может быть больше модуля вектора перемещения или равен ему. Равенство наблюдается только в частных случаях — при прямолинейном движении тела водном направлении, и для бесконечно малых промежутков времени Вопросы и задания для самопроверки. Назовите свойства пространства и времени. Материальная точка — это реальное тело или его модель. Из чего состоит система отсчета. Назовите способы задания положения материальной точки в пространстве. Дайте определение пути, перемещения, кривизны и радиуса кривизны траектории. СКОРОСТЬ Скорость — это векторная величина, характеризующая быстроту изменения положениям. т. в пространстве. Рис. Рис. 1.4 2 Δφ Δs R О 1 τ 2 τ 1 Y X υ cр Δs τ 1 τ 2 Δr 76 Глава 1. КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ Для характеристики движениям. т. вводят понятие средней и мгновенной скорости. Средней скоростью называется вектор, равный отношению вектора перемещения Δ G r к промежутку времени Δt , в течение которого произошло перемещением. т. υ ср = Δ Δ r t Направление G υ cp , совпадает с направлением вектора перемещения) (рис Мгновенной скоростью называется предельное значение вектора средней скорости при стремлении Δt к нулю = = = → Δ Δ Δ t r t dr dt r 0 lim (Вектор перемещения d G r направлен по секущей и при стремлении к нулю стремится к касательной в точке 1 (рис. 1.5 б). Следовательно, вектор мгновенной скорости G υ направлен пока- сательной в заданной точке траектории в сторону движениям. т. Модульмгновенной скорости определяется из соотношения υ = = = dr dt ds dt , (Путь, пройденный материальной точкой за интервал времени от t 1 до t 2 s dt t t 1 2 1 2 , = ∫ υ , (где υ = ds dt — путевая скорость, υ cp = s t — средняя путевая скорость за время движения С учетом соотношений (1.1) G G G G G G G G G G υ = = + + = ⋅ + ⋅ + ⋅ = = + dr dt d dt r i r j rk d dt x i y j z k i dx dt j x y ( ) ( ) ddy dt k dz dt i j k x y z + = ⋅ + ⋅ + ⋅ G G G G υ υ υ , (где υ υ υ x y z dx dt dy dt dz dt = = = , , — проекции скорости точки на оси координат Модуль вектора скорости в декартовой системе координат υ υ υ υ = = + + x y z 2 2 2 . (1.8) 1.4. УСКОРЕНИЕ В процессе движения направление и модуль вектора скорости м. т. могут изменяться. Изменение вектора скорости определяется ускорением. Ускорение материальной точки — векторная величина, характеризующая быстроту изменения вектора скорости стечением времени. По аналогии со средней и мгновенной скоростью вводят понятие среднего и мгновенного ускорения. Пусть в момент времени м. т. имеет скорость G υ 1 , а в момент t 2 — скорость рис. 1.5). Тогда за промежуток времени Δt t t = − 2 1 вектор скорости изменится на величину Δ G G G υ υ υ = − 2 1 , а среднее ускорение. (По направлению вектор среднего ускорения G a cp , совпадает с вектором Мгновенное ускорение G a t d dt d r dt r t = = = = = → lim , Δ Δ Δ 0 2 2 υ υ υ (где G G a d ↑↑ С учетом соотношений (1.1) и (1.7) G G G G G G G G G a d dt d dt i j k d dt i d dt j d dt k a i x y z x y z x = = + + = + + = + υ υ υ υ υ υ υ ( ) aa j a k y z G G + , G G G G G G G G a d r dt d dt x i y j z k d x dt i d y dt j d z dt = = ⋅ + ⋅ + ⋅ = + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) kk a i a j a k x y z = + + G G G , (Рис. 1.5 1 2 υ 1 υ 2 Δυ а ср 2 1 υ 1 υ 2 Δυ а υ 2 Δt→0 а) б) υ 2 1.4. Ускорение 77 78 Глава 1. КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ где a d dt d x dt a d dt d y dt a d dt d z dt x x y y z z = = = = = = υ υ υ 2 2 2 2 2 2 , , — проекции ускорения точки на оси координат. Модуль вектора ускорения в декартовой системе координат 2 2 . (Вектор ускорения G a можно разложить на два вектора ирис. Составляющая ускорения, характеризующая изменение мгновенной скорости по величине, называется касательным (тангенциальным) ускорением Составляющая ускорения, направленная к центру кривизны траектории и характеризующая изменение вектора скорости по направлению, называется нормальным ускорением Вектор полного ускорения, (а его модуль 2 . (Определим модули векторов G a n и Введем единичный вектор G τ , направленный по касательной к заданной точке траектории в сторону движениям. т. (рис. 1.6). Тогда вектор мгновенной скорости G G υ υ τ = Запишем мгновенное ускорение в виде τ τ υ υ τ ( ) , (где первое слагаемое по определению равно касательному ускорению G G a d dt τ υ τ = , а второе — нормальному ⋅ υ τ , (Рис. 1.6 О υ 2 τ υ 1 а τ 2 а а n 1 Вектор касательного ускорения может совпадать с вектором мгновенной скорости ( G G a τ υ ↑↑ ) и может быть ему антипараллелен. В первом случае движение будет ускоренным, а во втором замедленным. Рассмотрим перемещение материальной точки по траектории из точки A 1 в точку (риса. За малый интервал времени dt единичный вектор в точке А равен 1 = + где τ 1 — единичный вектор, определяющий направление движения в точке А, d G τ — вектор изменения направления движения. Треугольник A DC 1 , образованный векторами G G τ τ 1 2 , и d G τ , равнобедренный, т. к. G G τ τ 1 2 = =1. При dt → 0 , угол Δϕ между векторами G τ 1 и уменьшается и стремится к нулю (рис. б, а угол β между векторами G τ 1 и d G τ увеличивается до 90°. Следовательно, вектор направлен по нормали к скорости. Так как G G a d dt n = ⋅ υ τ , то и вектор G G a d a n n ↑↑ ⊥ τ τ , Модуль вектора нормального ускорения найдем из треугольников OA 1 A 2 ириса. Указанные треугольники равнобедренные и подобные, так как при Δt → 0 | | | | , , G G G G R R R 1 2 1 где R – радиус кривизны траектории. Из соотношения сторон треугольников D OA A C A A CD R R R d 1 1 2 1 1 2 1 1 2 2 = = = = = τ τ τ Δ . (Учитывая, что при dt → 0 ΔR dR = , R R R 1 2 = = , d dR R τ = . (1.19) D A 1 A 2 C O 2 R 1 R G Δφ ΔR G n G 2 τ G 1 τ G β 2 τ G dτ G а Δφ A 1 A 2 n G б 1 τ G 2 τ G β t 0 ∆ Рис. 1.7 1.4. Ускорение 79 80 Глава 1. КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ Вектор d G τ можно представить в виде d n d n dR R G G τ τ = ⋅ = , где G n – единичный вектор, совпадающий с вектором d G τ ( d n G G τ ↑ ↑ ) (рис. б. Тогда вектор нормального ускорения dR Rdt n R n = = υ υ 2 , (где υ Следовательно, модуль вектора нормального ускорения. (Вопросы и задания для самопроверки. Дайте определение средней и мгновенной скорости. Совпадают ли векторы средней и мгновенной скорости материальной точки, движущейся по окружности. Определите физический смысл понятий скорости и ускорения движения материальной точки. Запишите выражения для векторов скорости и ускорения материальной точки в декартовой системе координат. Определите модуль вектора скорости и ускорения в декартовой системе координат. Дайте определение тангенциального, нормального и полного ускорений. Определите модуль вектора ускорения движения точки по окружности радиусом R = 1 м, в момент времени t = 2 сот начала движения, если зависимость модуля вектора скорости от времени задается уравнением υ( ) t t = 2 Примеры решения задач |