Физика. Механика. Тесты для электронного экзамена и задачи для контрольных работ. Все формулы и единицы измерения приведены в международной системе единиц си
 Скачать 4.22 Mb.
|
|
Примеры решения задач Задача Найти работу A mg силы тяжести при движении тела массой m с высоты h до горизонтальной плоскости по произвольной криволинейной траектории. Дано: m, Найти Для нахождения работы A mg воспользуемся соотношением dS mg mg dS dS mg = = ∫ ∫ ( , ) cos( , ) G G G G ^ , (где mg — модуль силы тяжести выражение под знаком косинуса dS G G ^ — угол между векторами mg G и Так как длина проекции элементарного смещения dS G на направление силы тяжести, те. на вертикальное направление, есть элементарное изменение высоты тела, то cos ( , ) mg dS G G ^ dS = dh. Следовательно, проекция всего путина направление вектора mg G совпадает с высотой, на которую спускается тело при движении по криволинейной траектории, те. (Подставляя (2) в соотношение (1), имеем 3.2. Работа силы. Мощность 159 A mg = Последний результат означает, что работа силы тяжести, как ив задаче 3.2, не зависит от длины и формы траектории, а определяется лишь изменением высоты тела при движении, те. его начальными конечным положениями по вертикали. Согласно данным выше определениям в этой задаче рассмотрена консервативная механическая система, сила тяжести — потенциальная. Ответ: A mg = Задача Найти работу упр упругой силы и работу A F внешней силы при равномерном растяжении пружины с коэффициентом упругости k = 120 Нм на расстояние ΔL = 30 см от недеформированного состояния. Дано: k = 120 Нм см = 0,3 м. Найти: упр, Пусть сила, возникающая в растягиваемой пружине, подчиняется закону Гука F k x упр = где k — коэффициент упругости пружины G x — вектор деформации ( G x x = – абсолютное удлинение пружины. Знак минус указывает, что сила упругости и вектор деформации пружины направлены противоположно. Элементарная работа силы упругости определяется следующим образом упр − = ( , ) cos π Если пружина удлиняется на величину ΔL, то работа силы упругости равна = = ∫ ∫ A dA k xdx k x k L упр L L − = − = − 0 2 2 2 2 0 Δ Δ Δ упр Для растяжения пружины к ней необходимо приложить внешнюю силу по направлению, совпадающему с направлением ее удлинения. При равномерном перемещении точки приложения внешняя сила равна G G F kx = , и ее элементарная работа определяется следующим соотношением dx kxdx F = = ( , ) cos G G D 0 160 Глава 3. РАБОТА И ЭНЕРГИЯ. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ На расстоянии ΔL внешняя сила совершает работу xdx k x k L F F L L = = = = ∫ ∫ 0 2 0 2 2 значение которой, согласно последней формуле, зависит только от величины растяжения. Обратите внимание, что независимо оттого, как изменяется внешняя сила, работа упругой силы пружины зависит только от положения начальной и конечной точек, между которыми произошло перемещение конца пружины. Упругая сила пружины — потенциальная сила. Ответ: упр − Δ 2 2 = –10,8 (Дж A k L F = Δ 2 2 = 10,8 (Дж). Задача Математический маятник состоит из нити длиной L и материальной точки массой m, к которой приложена переменнаягоризонтальная сила G G F iF = , под действием которой материальная точка очень медленно движется, так что ее ускорение G a = 0. Найти работу внешней силы A F , силы натяжения нити A T , силы тяжести A mg при отклонении нити маятника на угол α 0 от равновесного положения. Дано: L, m, F, Найти A F , A T , A mg Рис. 1 Рис 1. Согласно первому закону Ньютона ( G a = 0 ) для любой точки траектории выполняется векторное равенство mg T + + = 0 . (Представим его в виде проекций на горизонтальную T − = sin α 0 (2) 3.2. Работа силы. Мощность и вертикальную оси T − = cos α 0 . (Из последнего соотношения получим модуль силы натяжения нити. (Подставляя (4) в равенство (2), получим зависимость модуля внешней силы от угла α F mg = tg α . (Обратите внимание, что внешняя сила — переменная величина, зависящая от угла α.). Учитывая, что внешняя сила параллельна оси ОХ, представим ее в виде tg α α ; ( ; ) 0 . (Входящее в формулу для элементарной работы dS F dS F dS F x x y y = = + ( , ) G G (элементарное смещение dS G , можно представить следующим образом (рис. 2) dS idx jdy i dS j dS G G G G G = + = + cos sin α α . (Найдем проекции смещения dS G на оси координат (рис dx = cosαdS; dy = sinαdS . (Подставляя в формулу (7) проекции внешней силы (6) и смещения, получим dA F = mg tgα cosα dS = mg sinα dS = mg Следовательно, работа силы G F имеет вид dy mgy F y = = = ∫ ∫ sin α α 0 0 0 где y 0 = L(1 – cosα 0 ) — координата материальной точки при отклонении нити маятника на угол α 0 рис. 1). В последнем соотношении учтено, что dy dS = sin α . Окончательный результат имеет вид = mgL(1 – cosα 0 ). 162 Глава 3. РАБОТА И ЭНЕРГИЯ. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ. Сила натяжения нити G T не совершает работы, так как она действует в направлении, перпендикулярном перемещению материальной точки dS TdS T = = = ( , ) cos G G π 2 0 → A T = 0. 3. Работа силы тяжести определяется соотношением G 0 0 α . (Принимая во внимание, что − = + , , ( , ) G G i j = перепишем (10) в виде − = − − ∫ 0 0 0 Отметим, что полная работа, совершаемая всеми силами, действующими на материальную точку, равна нулю + A T + A mg = что согласуется стем, что результирующая сила, действующая на материальную точку, согласно условию задачи (1), равна нулю. Примечание: сравните решение этой задачи с решением задачи Ответ A F = mgL(1 – cosα 0 ); A T = 0; A mg = –mgL(1 – cosα 0 ). 3.3. КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ Энергия — одно из наиболее значительных понятий в физике. Будем рассматривать энергию как способность тела совершать работу. Такой подход не вполне точен и неприменим ко всем видам энергии, вводимым в различных разделах физики. Однако его достаточно для механической энергии, обсуждаемой в настоящей главе. Определим теперь один из основных видов энергии — кинетическую энергию Строго говоря, работу совершает не тело, а возникающая при контакте тел сила. Такая подмена определения работы силы не приводит к искажению существа вопроса. Действительно, в данном случае причиной появления сил является контактное взаимодействие тел, которые являются носителями сил, совершающими работу Движущееся тело может совершить работу над другим телом приконтактном взаимодействии с ним. Действительно, летящее пушечное ядро совершает работу, проламывая стену. Падающий на гвоздь молоток совершает работу по его забиванию. В обоих случаях движущееся тело действует с определенной силой на второе тело и перемещает его на некоторое расстояние. Таким образом, приконтактном взаимодействии двух тел, движущегося и неподвижного, возникает сила и перемещение, те. совершается работа. Поскольку движущееся тело способно совершить работу, то оно обладает энергией Энергия механического движения называется кинетической энергией. Для того чтобы получить количественное определение кинетической энергии, рассмотрим частный случай одномерного движения. Пусть на неподвижное тело, находящееся на горизонтальной плоскости, вдоль нее действует постоянная сила. Тогда система уравнений, связывающая силу, скорость v (t) тела, пройденный путь S за время t и работу А, совершаемую силой, имеет вид F = ma; (3.12) v = at → t v a = ; (3.13) S at = 2 2 ; (3.14) A = FS. (Подставляя в соотношение (3.15) соответствующие параметры (3.12-3.14), получим выражение для работы FS ma at ma v a = = = ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 2 2 2 2 1 принимающее окончательный вид FS mv = = 2 2 . (Теперь выясним, какую работу могут совершить силы, возникающие при столкновении двух тел. Пусть движущееся тело имеет скорость, другое тело неподвижно. Для простоты полагаем, что со стороны неподвижного на движущееся тело, действует постоянная сила. Кинетическая энергия 163 164 Глава 3. РАБОТА И ЭНЕРГИЯ. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ (сила приложена к движущемуся телу. Система уравнений в скалярной форме аналогичная (3.12–3.15), имеет вид F ′ = ma ′; (3.17) v – a ′t ′ = 0 → ′ = ′ t v a ; (3.18) ′ = ′ − ′ ′ S vt a t 2 2 ; (3.19) A = FS cos π. Здесь t ′– время, в течение которого движущееся тело останавливается путь, пройденный точкой приложения силы G ′ a – ускорение этой точки (для простоты считается постоянным, сила F ′ совершает отрицательную работу A ′, так как направления силы и перемещения противоположны. Теперь в соотношение (3.20) подставим (3.17–3.19) ′ = − ′ ′ = − ′ ′ − ′ ′ ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = − ′ ′ − ′ ′ ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ A F S ma vt a t ma v a a v a 2 2 2 2 2 После простых преобразований имеем = − ′ ′ = − A F S mv 2 2 . (Обратим внимание на то, что со стороны движущегося тела к неподвижному также приложена сила. Согласно третьему закону Ньютона она по модулю совпадает с силой G ′ F , но противоположна ей по знаку. Работа, совершенная этой силой, очевидно, определяется соотношением так как вектор перемещения движущегося тела и сила ( ) − ′ G F направлены в противоположные стороны. Отсюда следует равенство A ′ + A ′′ = Из приведенных простых примеров можно сделать очень важные выводы. Когда на покоящееся тело начинает действовать постоянная по направлению сила G F , то приобретаемая им скорость G v совпадает по направлению с силой и возрастает по величине. При этом сила совершает положительную работу (3.16), так как перемещение тела совпадает по направлению с силой. Наоборот, если на движущееся тело начинает действовать сила, направленная навстречу его скорости (со стороны второго тела при столкновении, то скорость тела уменьшается, сила к нему приложенная совершает отрицательную работу (3.21), так как перемещение тела и сила направлены в противоположные стороны. Сила способна совершать работу до тех пор, пока скорость движущегося тела не уменьшится до нуля. Таким образом, в результате работы внешней силы тело приобретает определенную скорость, а вместе стем и способность совершать работу, теряя скорость (3.21). При этом + A ′ = 0. Последнее равенство означает, что движущееся тело способно совершить ровно столько работы, сколько оно предварительно запасает под действием внешней силы. Движущееся со скоростью v тело массой m, если его остановить совершает работу по модулю, равную (3.21). Данное выше качественное определение энергии как способности тела совершать работу, совместно с соотношением (3.21), позволяет ввести энергию тела, связанную сего движением, следующим образом 2 . (Последнее соотношение представляет собой кинетическую энергию движущегося тела. Рассмотрим более общий, чем приведенный выше случай. Пусть на тело действует переменная внешняя сила G F , увеличивающая его скорость, те. сила совершает работу над этим телом. Тогда ее работа на произвольной траектории S определяется соотношением (3.7) A F dS S = ∫ ( , ) G G . (Если воспользоваться вторым законом Ньютона и определением мгновенной скорости то (3.24) можно переписать в следующем виде dv v m v dv S S = = ∫ ∫ ( , ) ( , ) G G G G . (3.25) 3.3. Кинетическая энергия 165 166 Глава 3. РАБОТА И ЭНЕРГИЯ. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ Подынтегральное выражение представим в форме , ) G G v dv dv = 1 2 2 . (Действительно, с одной стороны , ) G G v dv dt v dv dt v dv dt v dv dt x x y y z z = + + . (С другой стороны 2 2 2 2 2 dv dt v dv dt v d dt v v v v dv dt v dv dt v dv dt x y z x x y y z z = = + + = + + . (Сравнение соотношений (3.27) и (3.28) подтверждает правильность формулы (3.26). С учетом сказанного перепишем (3.25) в виде 2 2 Отсюда следует, что формула (3.21), введенная для кинетической энергии на основании рассмотрения частного примера, не изменяется ив общем случае. Если же скорость тела под действием приложенной к нему силы уменьшается, то ( , ) G G ′ ′ F dS < 0. В этом случае говорят, что тело совершает работу. Проведя аналогичные преобразования, получим = ′ ′ ∫ A F dS S ( , ) G G = − mv 2 Сравнение последнего соотношения с формулой (3.21) подтверждает сделанный ранее вывод о том, что тело не может совершить большую работу, чем его кинетическая энергия. Теорема об изменении кинетической энергии Пусть при движении по траектории S на тело одновременно действуют силы, увеличивающие (или не изменяющие) скорость тела, и силы, препятствующие этому процессу. В общем случае каждая из сил G F и G ′ F может представлять собой сумму сил, приводящих к возрастанию скорости тела и уменьшающие ее. Например, силы тяги и трения, действующие на автомобиль, (силы тяжести и реакции не совершают работы и не изменяют скорость автомобиля. Согласно определению, работа всех сил приложенных к телу, представима в виде A F F dS S + ′ = + ′ ∫ ( , ) G G G . (3.29) Принимая во внимание, что F m dv dt + ′ = ; представим (3.29) в виде A m v dv d dt mv mv mv S v v + ′ = = ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = − ∫ ∫ ( , ) G G 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 . (В последнем равенстве v 1 — модуль начальной скорости тела, при которой силы G F и G ′ F начинают на него действовать v 2 — конечная скорость тела. Если ввести обозначения 1 2 2 = ; K mv 2 2 2 2 = (начальной и конечной кинетической энергии тела, то соотношение (3.30) можно записать в форме + A ′ = K 2 – K 1 = ΔK, (где ΔK – изменение кинетической энергии тела, произошедшее из- за работы приложенных к нему сил. Следовательно, полная работа сил, действующих на тело, равна изменению его кинетической энергии Это утверждение носит название теоремы об изменении кинетической энергии. Его иногда называют теоремой о связи работы и кинетической энергии. Заметим, что теорема об изменении кинетической энергии не является новым независимым законом. Она установлена на основании определений работы и кинетической энергии с использованием второго закона Ньютона. Вопросы и задания для самопроверки. Определите кинетическую энергию как способность движущегося тела совершать работу и приведите качественные примеры того, что тело, обладающее скоростью, способно совершать работу. Определите условия, при выполнении которых движущееся тело совершает работу. На простых примерах математически обоснуйте утверждение, что движущееся тело не может совершить работу, превышающую его кинетическую энергию. Кинетическая энергия 167 168 Глава 3. РАБОТА И ЭНЕРГИЯ. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ. Дайте качественную интерпретацию формулы (3.22). 5. Может ли кинетическая энергия быть отрицательной. Сформулируйте и докажите теорему об изменении кинетической энергии. Примеры решения задач Задача Тело массой m = 100 г на нити длиной L = 40 см, закрепленной с одной стороны, движется в горизонтальной плоскости с постоянной по модулю скоростью. Найти кинетическую энергию тела, если нить образует с вертикалью угол α = Дано m = 0,1 кг L = 40 см α = Найти К. Для решения задачи запишем следующую систему уравнений 2 – кинетическая энергия тела (1) mg T ma G G G + = — второй закон Ньютона (2) G G a v R n = 2 — центростремительное ускорение тела (3) R L = sin α – радиус траектории движения тела. В уравнении (3) системы G n – единичный вектор, совпадающий по направлению с центростремительным ускорением. Запишем уравнение) с учетом (3), в виде проекций на горизонтальную = 2 (и вертикальную оси = . (Из последнего соотношения получим модуль силы натяжения нити. (7) Подставив (7), совместно с радиусом окружности (4), в соотношение, имеем Если обе части полученного равенства разделить на два, то получим выражение для кинетической энергии (1) тела, вращающегося на нити, и ее численное значение, представленные в ответе. Ответ: K mgL = 2 sin α α tg = 0,294 (Дж). |