Физика. Механика. Тесты для электронного экзамена и задачи для контрольных работ. Все формулы и единицы измерения приведены в международной системе единиц си

• Название: Тесты для электронного экзамена и задачи для контрольных работ. Все формулы и единицы измерения приведены в международной системе единиц си
• Дата: 15.03.2022
• Размер: 4.22 Mb.
• Имя файла: Физика. Механика.pdf
• Тип: Тесты; #397679
• страница: 17 из 40

Вопросы и задания для самопроверки. Дайте определение потенциальной энергии системы тел. Обоснуйте утверждение совершение силами, действующими в системе, положительной работы сопровождается изменениями конфигурации, приводящими к понижению потенциальной энергии. Как изменяется потенциальная энергия системы, если действующие в ней силы совершают отрицательную работу. Может ли потенциальная энергия тела, поднятого над землей, быть отрицательной. Может ли потенциальная энергия упругой пружины быть отрицательной. Обоснуйте утверждение зависимость потенциальной энергии деформированной пружины от квадрата удлинения определяется законом Гука. Изменятся ли изложенные выше количественные результаты и качественные выводы, если предположение о пропорциональности между силой и удлинением пружины (закон Гука) не будет выполняться. В чем состоит отличие между кинетической и потенциальной энергиями. Всегда ли уменьшение потенциальной энергии системы сопровождается возникновением и возрастанием кинетической энергии. Обоснуйте утверждение в системе, предоставленной действию только внутренних сил, происходят изменения ее конфигурации, сопровождающиеся уменьшением потенциальной энергии. Потенциальная энергия
179

180 Глава 3. РАБОТА И ЭНЕРГИЯ. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ. Дайте определение устойчивого и неустойчивого состояния равновесия. Работу какого знака совершают внутренние силы, возникающие при отклонении системы от устойчивого (неустойчивого) положения равновесия. Выведете математические условия для нахождения системы в состоянии устойчивого и неустойчивого равновесия.
Примеры решения задач
Задача Если массу m
1
= 3 кг тела, висящего на невесомой пружине, увеличить на m
2
= 1 кг, то ее длина возрастает на ΔL
2
= 30 мм. Найти потенциальную энергию пружины в конечном состоянии.
Дано: m
1
= 5 кг m
2
= 1 кг ΔL
2
= 30 мм.
Найти: Для решения задачи составим следующую систему уравнений стремя неизвестными величинами коэффициентом упругости пружины, удлинением ΔL
2
пружины, возникающем в пружине под действием тела массой m
2
; потенциальной энергии пружины в конечном состоянии U
m
1
g = kΔL
1
— условие равновесия в начальном состоянии
(1)
(m
1
+ m
2
)g = k(ΔL
1
+ ΔL
2
) — условие равновесия в конечном состоянии
(2)
U
k L
L
=
+
(
)
Δ
Δ
1 2
2 2
— потенциальная энергия пружин в конечном состоянии. Из соотношений (2), найдем коэффициент упругости g
k L
2 2
= Δ
→
k
g
m
L
=
2 2
Δ
. (Подставляя последний результат в (1), имеем g
m g
L
L
1 2
1 2
=
Δ
Δ
. (Отсюда найдем удлинение пружины в начальном состоянии 2
1 2
=
. (6)

Подставляя (4) ив, получим окончательный результат, представленный в ответе.
Ответ:
U
m
m
m
g L
=
+
(
)
1 2
2 2
1 2
Δ
= 5,4 (Дж. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ И ИЗМЕНЕНИЯ ЭНЕРГИИ
Замкнутая система
Рассмотрим изолированную систему материальных тел m
1
, m
2
, m
3
,
…, между которыми действуют только силы тяготения или упругости потенциальные силы. Запишем для каждого материального тела уравнение второго закона Ньютона 1
12 13 1
2 2
21 23 2
G
G
G
G
G
G
G
G
=
+
+ +
=
+
+ +
,
,
,
,
m
dv
dt
F
F
F
n
n
n
n
n n
G
G
G
G
=
+
+ +
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
−
1 2
1
(где
G
F
ik
– сила, действующая на ю точку со стороны ой (внутренняя сила. Отметим, что в уравнениях отсутствуют слагаемые
G
F
11
,
G
F
22
…,
G
F
ii
…, так как тела взаимодействуют только между собой и не взаимодействуют сами с собой. В дальнейшем изложении будем формально считать все эти слагаемые равными нулю, те, Пусть за время dt частицы совершают перемещения
dx dx
dx
n
G
G
G
1 Учитывая, что dt
i
i
G
G
=
, (i = 1, 2, …, умножим каждое уравнение системы (3.44) слева на
G
v dt
i
, а справа на
dx
i
G
. В результате имеем v dv
F
F
F dx
m v dv
F
n
1 1
1 12 13 1
1 2
2 2
21 0
( ,
) (
)
,
( ,
) (
G
G
G
G
G
G
G
G
G
−
+
+ +
=
−
++
+ +
=
−
+
+ +
G
G
G
G
G
G
G
G
F
F dx
m v dv
F
F
F
n
n
n
n
n
n
n
23 2
2 1
2 0
)
,
( ,
) (
,nn
n
dx
-
)
1 0
G
=
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
(3.45)
3.5. Законы сохранения и изменения энергии
181

182 Глава 3. РАБОТА И ЭНЕРГИЯ. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
Складывая все эти уравнения, получим m v dv
F
F
F dx
i
i
i
i
n
i
i
in
i
i
n
( ,
)
)
G
G
G
G
G
G
=
=
∑
∑
−
+
+ +
=
1 1
2 1
0
. (Данное соотношение можно переписать в более краткой форме v dv
F dx
i
i
i
i
n
ij
i
i j
n
( ,
)
,
G
G
G G
=
=
∑
∑
−
=
1 1
0
. (Первое слагаемое в этом равенстве m v dv
d
m v
dK
i
i
i
i
n
i i
i
n
( ,
)
G
G
=
=
∑
∑
=
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
1 2
1 2
(представляет собой бесконечно малое изменение кинетической энергии всей системы. Второе слагаемое — бесконечно малая работа всех внутренних сил системы. Согласно рассмотрению п. 3.4 работа есть бесконечно малое уменьшение потенциальной энергии. Поэтому ее можно представить в виде G
F dx
dU
ij
i
i j
n
,
=
∑
= −
1
. (С учетом введенных обозначений (3.48) и (3.49) равенство (3.47) перепишем в виде dU
+
= или U
(
)
+
= Отсюда следует, что полная энергия системы, в которой действуют только внутренние силы, для любого момента времени остается величиной постоянной, те Значение const в последнем равенстве определяется значениями кинетической K
0
и потенциальной U
0
энергий системы в какой-то определенный момент времени = + =
+
K U
K
U
0 Полная энергия изолированной системы, в которой действуют только упругие силы или силы всемирного тяготения, есть величина постоянная Это закон сохранения энергии в механике, который для рассматриваемого случая (отсутствуют силы трения) непосредственно вытекает из второго и третьего законов Ньютона.
Незамкнутая система
Если система материальных тел не изолированная, то кроме внутренних сил, действующих между телами системы, на некоторые из них действуют внешние силы. Работу внешних сил нельзя учесть как изменение потенциальной энергии системы, и закон сохранения энергии должен быть сформулирован вином виде.
Рассмотрим теперь систему материальных тел m
1
, m
2
, m
3
,
…, и для каждого из них запишем уравнение второго закона Ньютона
m
dv
dt
F
F
F
Ф
m
dv
dt
F
F
F
n
1 1
12 13 1
1 2
2 21 23 2









=
+
+ +
+
=
+
+ +
,
n
n
n
n
n
n
n n
n
Ф
m
dv
dt
F
F
F
Ф
+
=
+
+ +
+
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
−






2 1
2 где

Ф
1
,

Ф
2
…,

Ф
n
— внешние силы, действующие на тела с массами
m
1
, m
2
, m
3
,
… соответственно.
В краткой форме систему можно переписать в виде
=
+
m
dv
dt
F
Ф
i
i
ij
i
j
n



=
∑
1
, i = 1, 2…, n (Умножая каждое уравнение системы (3.50) слева на
G
v dt
i
, а справа на
dx
i
G
, получим ,
−
=
m v dv
F Ф dx
i
i
i
ij
i
j
n
i
i
( ,
)
( ,
)
)
 
 
 Складывая правые и левые части уравнений, получим слева по- прежнему сумму бесконечно малых изменений кинетической и потенциальной энергий, а справа — сумму бесконечно малых работ всех внешних сил ,
−
=
m v dv
F Ф dx
i
i
i
i
n
ij
i
i j
n
i
i
i
n
( ,
)
( ,
)
)
,
 
 
 
=
=
=
∑
∑
∑
1 1
1
. (Если дополнительно к обозначениям. Законы сохранения и изменения энергии
183

184 Глава 3. РАБОТА И ЭНЕРГИЯ. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ m v dv
d
m v
dK
i
i
i
i
n
i i
i
n
( ,
)
G
G
=
=
∑
∑
=
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
1 2
1 2
;
G G
F dx
dU
ij
i
i j
n
,
=
∑
= ввести обозначение бесконечно малой работы внешних сил Ф dx
i
i
i
n
=
=
∑
)
 то равенство (принимает вид или K U
dA
ε При конечных изменениях конфигурации системы изменение ее полной энергии Δε равно работе, совершенной всеми внешними силами Ф. При переходе системы из состояния 1 в какое-либо другое состояние 2, имеем 1
2 12
=
+
=
∫
d K или = ε
1
– ε
2
= A
12
, (3.52)
ε
1
, ε
2
– полные энергии системы в начальном и конечном состояниях. Согласно (3.52), изменение полной энергии системы при переходе из одного состояния в другое равно работе, совершенной при этом внешними силами.Данное утверждение — более общая формулировка закона сохранения энергии в механике.
Если в замкнутой системе действуют силы трения, то их работа не может быть учтена изменением потенциальной энергии системы. Поэтому работу сил трения необходимо учитывать как работу внешних сил. Силы трения направлены навстречу перемещениям тел, и работа, совершаемая ими отрицательна, те, полная энергия
ε в замкнутой системе убывает. В замкнутой системе, в которой действуют силы трения, полная механическая энергия при движении не сохраняется. Следовательно, закон сохранения механической энергии несправедлив. Однако при таком исчезновении механической энергии всегда возникает эквивалентное количество энергии другого вида — тепловой энергии.
Таким образом, когда исчезает энергия одного вида, всегда возникает эквивалентное количество энергии других видов. Это утверждение подтверждается многочисленными экспериментальными исследованиями и не имеет исключений. Закон сохранения энергии в его общем физическом смысле формулируется следующим образом энергия никогда не исчезает и не появляется вновь, она лишь переходит из одной формы в другую.
Закон сохранения механической энергии представляет собой следствие законов движения и не является самостоятельным законом. Всеобщее же значение закона сохранения энергии выступает именно там, где он не является следствием законов движения. Там, где закон сохранения механической энергии оказывается несправедливым, те. не выполняется, всегда можно указать другие виды энергии, в которые превращается исчезнувшая механическая энергия.
Согласно классической физике энергия любой системы меняется непрерывно и может принимать любые значения. Квантовая теория утверждает, что энергия микрочастиц, движение которых происходит в ограниченном объеме пространства, может принимать только дискретный ряд значений.
Вопросы и задания для самопроверки. Дайте определение замкнутой и незамкнутой системы, потенциального поля, консервативных (потенциальных) и непотенциаль- ных сил. Приведите примеры. Почему приведенное выше рассмотрение ограничено лишь силами тяготения и упругими силами. Запишите систему уравнений движения для замкнутой и незамкнутой системы материальных тел. Дайте определение полной механической энергии системы материальных тел. Выведите закон сохранения механической энергии для замкнутой и незамкнутой систем материальных тел. Покажите, что в замкнутой системе тел увеличение их кинетической энергии равно уменьшению потенциальной энергии. Установите взаимосвязь между изменением полной энергии незамкнутой системы тел с работой внешних сил, действующих на нее. Почему силы трения, действующие в замкнутой системе, приводят к нарушению закона сохранения механической энергии. Законы сохранения и изменения энергии
185

186 Глава 3. РАБОТА И ЭНЕРГИЯ. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ. Почему закон сохранения механической энергии нельзя считать самостоятельным законом. Сформулируйте закон сохранения энергии в общефизическом смысле и обоснуйте ограниченность закона сохранения механической энергии.
Примеры решения задач
Задача Тело бросают вертикально вверх с начальной скоростью мс. Найти высоту h, на которой его кинетическая энергия в n = 3 раза меньше потенци- альной.
Дано: v
0
= 9 мс Найти Для решения задачи составим следующую систему уравнений h
K h
n
( )
( )
=
— условие задачи
(1)
U h
mgh
( )
=
— потенциальная энергия тела на высоте h;
(2)
K h
mv
( )
=
2 2
– кинетическая энергия тела на высоте h;
(3)
K h
U h
mv
( )
( )
+
=
0 2
2
— закон сохранения механической энергии. (В системе уравнений приняты обозначения K(h), U(h) – кинетическая и потенциальная энергии тела на высоте h; m – его масса v – скорость тела на высоте h. Неизвестными являются четыре параметра. По условию задачи необходимо найти первое из этих неизвестных. Для этого равенство (4) представим в виде h
K h
U h
mv
( )
( )
( )
1 2
0 Последнее равенство с учетом соотношений (1) и (2) перепишем в виде 1
2 0
2
+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=

Отсюда получим окончательный результат, представленный вот- вете.
Ответ:
h
n
n
v
g
=
+
⋅
1 2
0 2
= 3,1 (м).
Задача Тело бросают со скоростью v
0
= 12 мс с высоты h = 30 м под углом к горизонту. Найти скорость v тела в момент падения на землю.
Дано: v
0
= 12 мс м
α = Найти Используя закон сохранения энергии, имеем 2
2 2
2
. (Первое слагаемое в левой части уравнения (1) представляет собой потенциальную энергию тела на высоте h, второе — кинетическую энергию, связанную сего броском. При движении тела его потенциальная и кинетическая энергии меняются так, что их сумма остается величиной постоянной и равной левой части уравнения (1). В момент падения потенциальная энергия тела становится равной нулю, аки- нетическая энергия определяется значением скорости, которую необходимо найти по условию задачи (правая часть уравнения (1)). Из
(1) найдем значение скорости v тела в момент падения на землю 2
2
. (Подставляя в последнюю формулу численные значения параметров, получим величину скорости, представленную в ответе.
Обратите внимание, что конечный результат (2), не зависит от угла бросания к горизонту. Это связано стем, что работа силы тяжести при движении тела не зависит от формы его траектории, а определяется только высотой, с которой брошено тело.
Ответ:
v
v
gh
=
+
0 2
2
= 27,1 м / с.
Задача Тело массой m бросают с начальной скоростью v
0
под углом
α к горизонту высоты h над поверхностью земли. Используя кинематиче-
3.5. Законы сохранения и изменения энергии
187

188 Глава 3. РАБОТА И ЭНЕРГИЯ. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
ские соотношения, найти зависимости кинетической K (t ) и потенциальной) энергии тела от времени t и показать для него выполнение закона сохранения механической энергии, те. независимость от времени полной энергии тела ε = K (t ) + U (t ) = Дано m, v
0
,
α, Найти K (t ), U (t ), ε = K (t ) + U (t ) = Кинетическая энергия движущегося со скоростью v (t ) тела, его потенциальная энергия на высоте y (t ) и полная механическая энергия определяются соотношениями t
mv t
( )
( )
=
2 2
; U (t ) = m g y (t ); ε = K (t ) + U (t ). (Скорость тела в произвольный момент времени t
v t
v
v t
x
y
2 2
2
( )
( )
=
+
. (Проекции скорости тела, брошенного с начальной скоростью под углом
α к горизонту, имеют вид = v
0 cosα, (3)
vy (t ) = v
0
sinα – gt. (Подставляя их в соотношение (2), имеем t
v
v gt
gt
2 0
2 0
2 2
( )
sin
( )
=
−
+
α
. (Учитывая, что
v t
dy t
dt
y
( )
( )
=
, получим зависимость высоты (y — координаты) тела от времени
y t
v
d
h v t
gt
y
t
( )
( )
sin
=
= +
−
∫
τ τ
α
0 0
2 2
. (Подставляя (5) ив, имеем t
m
v
v gt
gt
( )
(
sin
( ) )
=
−
+
2 2
0 2
0 2
α
; (7)
U t
mg h v t
gt
( )
(
sin
)
=
+
−
0 2
2
α
. (Складывая кинетическую (7) и потенциальную (8) энергии, получим полную механическую энергию тела =
+
=
+
K t
U t
mv
mgh
( )
( )
0 2
2
, (9)

которая является постоянной, независящей от времени величиной. Однако каждое входящее в нее слагаемое от времени зависит. Соотношение) представляет собой закон сохранения механической энергии.
Ответ: ε = const;
K t
m
v
v gt
gt
( )
(
sin
( ) )
=
−
+
2 2
0 2
0 2
α
;
U t
mg h v t
gt
( )
(
sin
)
=
+
−
0 Задача Тело массой m совершает гармонические колебания с циклической частотой
ω и амплитудой А на невесомой пружине с коэффициентом упругости k. Найти зависимости кинетической K (t ) энергии тела и потенциальной U (t ) энергии пружины от времени t и показать выполнение закона сохранения механической энергии, те. независимость от времени полной энергии системы ε= K (t ) + U (t ) = Дано k; x (t ) = A sin Найти K (t ), U (t ), ε = K (t ) + U (t ) = Кинетическая энергия движущегося со скоростью v (t ) тела, потенциальная (упругая) энергия и полная механическая энергия системы (тело + пружина) определяются соотношениями t
mv t
( )
( )
=
2 2
;
U t
kx t
( )
( )
=
2 2
;
ε =
+
K t
U t
( )
( ).
(Зная зависимость координаты тела от времени (тело совершает гармонические колебания с циклической частотой
ω и амплитудой А t
A
t
( )
sin
=
ω
, (можно найти проекцию его скорости на ось, вдоль которой происходит смещение тела t
A
t
x
=
=
'( )
cos
ω
ω
, (и скорость в произвольный момент времени t
v
v t
A
t
x
=
=
( )
cos
ω
ω
. (Подставляя (2) ив, имеем t
mv t
m
A
t
( )
( )
cos
=
=
2 2
2 2
2 2
ω
ω
, (5)
U t
kx t
kA
t
( )
( )
sin
=
=
2 2
2 2
2
ω
. (6)
3.5. Законы сохранения и изменения энергии
189

190 Глава 3. РАБОТА И ЭНЕРГИЯ. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
Складывая кинетическую (5) и потенциальную (6) энергии, получим полную механическую энергию тела и пружины t
U t
m
A
t
kA
t
( )
( )
cos sin
2 2
2 2
2 2
2
. (Из последнего соотношения довольно трудно заключить, что полная механическая энергия не зависит от времени. Принимая во внимание зависимость периода колебаний тела от его массы и упругости пружины и взаимосвязь между периодом и циклической частотой 2π
; получим Подставляя последнюю формулу в первое слагаемое соотношения, имеем 2
2 2
2 2
(sin Таким образом, полная механическая энергия системы, состоящей из тела и пружины, на которой оно колеблется, является сохраняющейся, независящей от времени величиной. Это обусловлено тем, что в системе действуют только потенциальные силы — сила тяжести и упругая сила.
Ответ: ε = const;
K t
mv t
m
A
t
( )
( )
cos
=
=
2 2
2 2
2 2
ω
ω
;
U t
kx t
kA
t
( )
( )
sin
=
=
2 2
2 Задача Найти начальную скорость v
0
тела, направленную вдоль плоскости, составляющей угол
α = с горизонтом, его ускорение аи коэффициент μ трения тела о плоскость, если

при движении вверх до остановки оно проходит путь S = 3 м за время с.
Дано: S = 3 мс Найти v
0
, а, Для решения задачи составим следующую систему уравнений ε
2
– ε
1
= A
тр
— закон сохранения энергии с учетом работы внешней силы
(1)
ε
1 0
2 2
=
mv
— энергия (кинетическая) тела в начальном состоянии
(2)
ε
2
= mgh
— энергия (потенциальная) тела в конечном состоянии
(3)
h = S sinα
— высота, на которой находится тело в момент остановки
(4)
A
F
S
F
S
тр тр тр
=
⋅ =
⋅ ⋅


cos π
— работа силы трения
(5)

 

F
mg
N
ma
тр
+
+ =
— второй закон Ньютона
(6)
F
тр
– mg sinα = ma
— проекция векторного уравнения (6) на ось Ох (см. рис
(7)
–mg cosα + N = 0
— проекция уравнения (6) на ось О
(8)
F
тр
= μN
— сила трения тела о плоскость
(9)
v (t ) = v
0
– at
— зависимость скорости движения тела от времени. (Из уравнений (8), (9) найдем значения силы реакции = mg и силы трения
F
тр
= μmg Подставим полученные значения сил реакции и трения в соотношения) и (1) и перепишем систему уравнений (1–10) в виде cos
α
μ
α
−
= −
0 2
2
— закон сохранения энергии (11)
a = g ( sin + cos )
α
μ
α
— ускорение тела (12)
v
0
– at
1
= 0
— скорость тела (в верхней точке движения на высоте h в момент времени t
1 3.5. Законы сохранения и изменения энергии
191

192 Глава 3. РАБОТА И ЭНЕРГИЯ. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
Из соотношения (11) имеем 2
=
+
(sin cos )
α μ
α
. (С другой стороны, согласно (12),(13)
v
at
gt
0 1
1
=
=
+
(sin cos )
α μ
α
. (Из равенства (14) и (15) найдем коэффициент трения тела о поверхность. (Подставляя (16) в (15) и (12), получим окончательные выражения для начальной скорости и ускорения тела 1
2
=
,
a
S
t
=
2 Примечание задачу 3.14 можно решить, не используя закон сохранения энергии, рассматривая следующую систему уравнений t
at
v
at
ma
mg
=
−
−
=
=
+
⎧
⎨
⎪
⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
0 1 1
2 0
1 2
0
,
,
(sin cos ).
α В этой системе первые два уравнения кинематические, третье — динамическое (второй закон Ньютона. Решите систему самостоятельно и получите результаты, представленные в ответе.
Ответ:
v
S
t
0 1
2
=
= 7,5 мс мс. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ И ИЗМЕНЕНИЯ ИМПУЛЬСА