Физика. Механика. Тесты для электронного экзамена и задачи для контрольных работ. Все формулы и единицы измерения приведены в международной системе единиц си
 Скачать 4.22 Mb.
|
|
Задача Дан круг радиусам с вырезанным кругом радиусам. Расстояние между центрами кругов a = 1 м. Найти координаты центра тяжести фигуры. Дано: R = 3 мм м. Найти: x C , Представим несимметричную фигуру как сумму двух симметричных фигур сплошного круга радиуса R с плотностью единицы площади σ и сплошного круга радиуса r с плотностью единицы площади — σ. Тогда в формулах (4) и (5) задачи 4.7 площадь круга радиуса r должна входить со знаком минус. В этом случае S r S S S R r 1 2 2 2 1 2 2 2 = = − = + = − π π π , , ( ). (Пусть Си С — центры (тяжести) сплошных кругов с радиусами R и r соответственно. Центр тяжести всей фигуры С лежит на прямой С 1 С 2 , так как эта линия является осью симметрии для круга с вырезом, те. Найдем x C . Поместим начало координат в центр сплошного круга радиусом R и направим ось x вдоль прямой С 1 С 2 . Тогда абсциссы центров тяжести большого и малого кругов 2 0 = = , (и x S x S ar R r ar R r C = + = − − = − − = = − ⋅ − = − = − 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 3 1 1 8 Ответ x ar R r C = − − = − 2 2 2 0 мм. Интегрирование В общем случае, если твердое тело нельзя разбить на несколько конечных частей, положение центров тяжести которых известно, то можно дискретную систему заменить на непрерывную и определить координаты центра тяжести системы по формулам (4.19), заменяя в них суммирование на интегрирование. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ Момент G L импульса G p частицы G r p , ], где G r — радиус-вектор частицы Момент G M силы G F G M = [ G G r F , ], где G r — радиус-вектор точки приложения силы Уравнение моментов для частицы где G M – сумма моментов сил, действующих на частицу Закон сохранения момента импульса частицы если G M = 0 , то G L = const. м. Основные положения 267 268 Глава 4. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА Момент L z импульса G p частицы относительно оси z L L z = cosα, где α угол между вектором G L и осью z. • Момент M z силы G F частицы относительно оси z M M z = cosβ, где β— угол между вектором G M и осью z. • Уравнение моментов для частицы) относительно оси где M z – проекция суммы моментов сил на ось z. • Закон сохранения проекции момента импульса частицы если M z = 0 , то L z = const. • Сумма внутренних сил и их моментов для системы частиц равна нулю внут 0 F = G , внут 0 M = G • Момент G L импульса системы частиц где G L i — момент импульса i частицы Уравнение моментов для системы частиц) внеш dL M dt = G G , где G L – момент импульса системы частиц, внеш сумма моментов внешних сил, действующих на систему частиц Закон сохранения момента импульса системы частицы если внеш 0, то G L = const. • Уравнение моментов для системы частиц) относительно оси внеш z z dL M dt = , где L z –проекциямомента импульса системы частиц на ось z, внеш сумма проекций моментов внешних сил на ось z. • Закон сохранения проекции момента импульса системы частиц если внеш, то L z = const. • Радиус-вектор центра масс r C i i i = ∑ 1 , m m i i = ∑ где и G r i – масса и радиус-вектор i частицы Скорость и ускорение центра масс и G G G a dv dt d r dt C C C = = 2 2 • Ц-система — система отсчета, жестко связанная с центром масс и перемещающаяся без вращения относительно инерциальной системы отсчета Уравнение моментов для Ц-системы Ц внеш Ц dL M dt = G G , Цz внеш Цz dL M dt = • Центр тяжести — точка приложения равнодействующей сил тяжести. Совпадает с центром масс Сумма моментов сил тяжести относительно центра масс равна нулю. ОБОЗНАЧЕНИЯ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В ГЛАВЕ 4 G p — вектор импульса частицы — вектор момента импульса частицы — вектор силы — вектор момента силы — плечо импульса или силы — вектор скорости — вектор ускорения — масса частицы — время — вектор ускорения силы тяжести Обозначения, используемые в главе 4 269 270 Глава 4. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА ТЕСТЫ ДЛЯ ЭЛЕКТРОННОГО ЭКЗАМЕНА Момент импульса частицы. Момент силы Если G p — импульса радиус-вектор частицы, то момент G L импульса частицы равен) GG rp 2) [ G G p r , ] 3) [ G G r p , ] 4) m [ G G r p , ] 5) –[ G G r p , ] T4.2 Если G p — импульса плечо импульса, то модуль момента импульса частицы равен l p 2 2)p 3) l 2 p 4) l p 5) l 2 p 2 T4.3 Еслимодуль импульса равен 10 м, а плечо импульса равном, то модуль момента импульса равен) 500 мм мм м Если G F — сила, а G r — радиус-вектор точки приложения силы, то момент силы равен) G F 2) GG Fr 3) G G rF 4) [ G G F r , ] 5) [ G G r F , ] T4.5 Если G F — сила, а l — плечо силы, то модуль момента силы равен) lF 2) l 2 F 3) l F 2 4) l 2 F 2 5) F T4.6 Если модуль силы равен 10 На плечо силы равном, то модуль момента силы равен) 20 Нм 2) 40 Нм Нм Нм Н Если G M – момент силы, а β – угол между осью z и вектором G M , то проекция момента силы на ось z равна) M M z = sin β 2) M L z = cosβ 3) M M z = tgβ 4) M M z = ctgβ 5) M M z = cos β T4.8 Если F = 10 Нм, где F — сила, l — плечо силы, β — угол между осью z и вектором момента G M силы G F , то проекция момента силы на ось z равна) 30 Н 2) 10 Нм Нм Нм Нм Уравнение моментов Если G L – момент импульса частицы, а векторная сум- мамоментов сил, приложенных к частице, то уравнение моментов имеет вид 1) dL dt M G G = 2) dM dt L G G = 3) dL dt M = 4) dM dt L = 5) dL dt F G G = T4.10 Если момент импульса частицы меняется со временем поза- кону 3 2 t i G , где G i – единичный вектор вдоль оси X, товекторнаясум- ма моментов сил, действующих на частицу, равна) G G M i = 6 2) G G M t i = 6 2 3) G G M ti = −6 4) G G M ti = 3 5) G G M ti = 6 T4.11 Если векторная суммамоментов сил, приложенных к частице, равна нулю, то закон сохранения момента импульса частицы имеет вид) G L = 0 2) G L = целое 3) G L = const 4) G L = неотриц. 5) G L = нецелое Момент импульса системы частиц Если частицы образуют механическую систему, то векторная сумма внутренних сил равна) ∞ 2) 0 3) внеш 4) внеш 5) –∞ T4.13 Если частицы образуют механическую систему, то векторная сумма моментов внутренних сил равна) внеш 2) внеш 3) ∞ 4) 0 5) –∞ T4.14 Еслисумма внешних сил, приложенных к системе частиц, равна нулю, то связь между суммарными моментами внешних сил и G ′ M , приложенных к системе частиц относительно разных неподвижных точек O и ′ O , имеет вид) G G M M = − ′ 2) G G ′ = M M 2 3) G G M = M ′ 4) G G G ′ = M MF [ ] 5) G G M M = ′ 2 T4.15 Если векторная суммамоментов внешних сил приложенных к системе частицравна нулю, то закон сохранения момента импульса системы частиц имеет вид) G L = 0 2) G L = целое 3) G L = const 4) G L = неотриц. 5) G L = нецелое Центр масс системы частиц Если G r i и m i –радиус- вектор и масса i частицы, а m – масса всей системы, то радиус-вектор центра масс системы частиц равен r C i i i = ∑ 1 2) G G r m r C i i = ∑ 1 3) G G r m m p C i i i = ∑ 1 4) G G r m p C i i = ∑ 1 Тесты для электронного экзамена 271 272 Глава 4. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА Если x i и m i –координата и масса i частицы, а m – масса всей системы частиц, лежащих на оси X, то координата центра масс системы частиц равна x C i i i = ∑ 1 2) x m x C i i = ∑ 1 3) x m m p C i ix i = ∑ 1 4) x m p C ix i = ∑ 1 5) x m F C i ix = ∑ 1 T4.18 Еслитри частицы лежат на оси хи их массы равны 1 кг, 2 кг, и 3 кг, а координаты 1 мм им, то координата центра масс системы трех частиц равна) 0 мм мм м Если внеш векторная сумма внешних сила внут F G – векторная сумма внутренних сил, приложенных к системе частиц, то уравнение движения центра масс системы имеет вид) внеш 2) внеш 3) внут C mv F = G G 4) внут C ma F = G G 5) внеш Если модуль векторной суммы внешних сил, приложенных к системе частиц, равен 10 H, а ее масса равна 5 кг, то модуль ускорения центра масс системы равен) 2 мм мм м Еслисумма сил, приложенных к системе частиц, не меняется со временем, то центр масс системы движется) не движется 2) равномерно 3) неравномерно) равноускоренно 5) равнозамедленно T4.22 Еслисумма сил, приложенных к системе частиц, меняется со временем, то центр масс системы движется) не движется 2) равномерно 3) неравномерно) равноускоренно 5) равнозамедленно Ц-система T4.23 Если частицы образуют механическую систему, то радиус- вектор центра масс системы, рассчитанный в Ц-системе отсчета, равен мм Если частицы образуют механическую систему, то ускорение центра масс системы частиц, рассчитанное в Ц-системе отсчета, равно) ∞ 2) 1 мс 3) 0 4) –∞ 5) –1 мс Если частицы образуют механическую систему, то импульс центра масс системы частиц, рассчитанный в Ц-системе отсчета, равен) ∞ 2) 1 кг · мс 3) 0 4) –∞ 5) –1 кг · мс Если частицы образуют механическую систему, то уравнение моментов для этой системы, рассчитанное в Ц-системе отсчета, имеет вид) внеш Ц Ц dL M dt = G G 2) внеш Ц Ц dL M dt = − G G 3) внеш Ц Ц dM L dt = G G 4) внеш Ц Ц dL F dt = G G 5) Ц Ц dL L dt = G G Абсолютно твердое тело. Центр тяжести Равнодействующая сил тяжести системы частиц приложена к) любой точке системы 2) началу координат системы) центру масс системы 4)) центру Земли 5) поверхности Земли Если две силы, приложенные к телу, являются парой сил, то их равнодействующая равна) не существует 2) 0 3) ∞ 4)) –∞ 5) удвоенной силе Если шесть шаров с массами 1, 2, 3, 4, 5 и 6 кг укреплены на невесомом горизонтальном стержне так, что находятся на одинаковом расстоянии, равном мдруг от друга, то расстояние между центром тяжести системы и первым шаром, массой 1 кг, равном мм мм Если велосипедист массой 60 кг поднимается в гору и давит на каждую педаль всем своим весома педали при вращении описывают окружность радиусом 18 см, то наибольший момент сил, создаваемый велосипедистом, равен (момент сил считать относительно центра вращения педали) 5,4 Нм Нм Нм Нм Н Тесты для электронного экзамена 273 274 Глава 4. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ Момент импульса частицы. Момент силы. Уравнение моментов 4.1 Сила G F с компонентами (F x = 3 H, F y = 4 H, F z = 5 H) приложена к точке A с координатами (x = 4 мм м. Найти а) момент силы относительно начала координат, б) модуль вектора силы G F , в) момент M z силы G F относительно оси Вектор момента импульса частицы изменяется по закону G G G L t i tj = − 8 3 6 2 cos . Чему равен вектор момента сил, приложенных к частице, в момент времени t = 3 с? 4.3 В начальный момент частица находится в покое. Чему равен вектор момента импульса частицы через t = 5 с после начала движения, если на частицу действует момент сил G G M ti = 4 Тело массой m = 0,1 кг брошено с некоторой высоты в горизонтальном направлении со скоростью v 0 = 20 мс. Найти модуль приращения момента импульса тела |Δ G L | относительно точки бросания за первые τ = 5 с. Сопротивлением воздуха пренебречь. Центр масс системы частиц 4.5 Найти центр масс следующей системы частиц m 1 = 1 кг, m 2 = 2 кг, m 3 = 3 кг, хм, хм, хм, уму м, у = 1 м. 4.6 Найти модуль ускорения центра масс системы, состоящей из двух частиц с m 1 = 5 кг и m 2 = 8 кг, на которые действуют силы F 1 = 10 H и F 2 = 15 H. Силы направлены под углом α = 60° друг к другу Центр тяжести 4.7 К концам однородного стержня массой m = 1 кг и длиной l = 1 м подвешены на нитях два алюминиевых шара радиусами R 1 = 7,08 см и R 2 = 4,46 см с плотностьюρ ал = 2,7 · 10 3 кг/м 3 . Найти расстояние от левого конца стержня до положения центра тяжести системы. 4.8 В однородном диске радиуса R = 4 см вырезано квадратное отверстие со стороной a = 2 см, центр которого отстоит от центра диска на расстоянии l = 2 см. Найти расстояние от центра диска до центра тяжести диска с вырезом. 4.9 Одна половина цилиндрического стержня стальная, другая — алюминиевая. Найти, на каком расстоянии x от стального конца стержня расположен его центр тяжести, если длина стержня L = 30 см. Плотность стали ст = 7,8 ·10 3 кг/м 3 , плотность алюминия ρ ал = 2,7 · 10 3 кг/м 3 4.10 На конце стержня длиной L = 30 см прикреплен шар радиусом R = 6 см. На каком расстоянии от центра шара x находится центр тяжести этой системы, если масса стержня m 1 = 1 кг, а масса шара m 2 = 2 кг? 4.11 На невесомой доске длиной L = 4 м находятся два мальчика массами кг и m 2 = 40 кг. Первый находится на левом краю доски, а второй — на расстоянии l = 1 мот правого края. Определить расстояние от левого края доски до центра тяжести системы. 4.12 Два шарика массами m 1 = 50 г и m 2 = 100 гс отверстиями вдоль диаметра насажены на стержень и связаны друг с другом нитью так, что расстояние между их центрами L = 20 см. Стержень помещен на центробежную машину с осью вращения перпендикулярно стержню. На Задачи для контрольных работ 275 276 Глава 4. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА каком расстоянии x от оси вращения надо расположить больший шарик, чтобы при вращении стержня шарики остались в равновесии? |