Физика. Механика. Тесты для электронного экзамена и задачи для контрольных работ. Все формулы и единицы измерения приведены в международной системе единиц си
 Скачать 4.22 Mb.
|
|
Задача Камень массой m = 0,5 кг бросили под углом α =30° к горизонту с начальной скоростью мс. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти момент силы тяжести G M и импульса относительно точки бросания О в произвольный момент времени и при t = 5 с. Дано: m = 0,5 кг v 0 = 5 мс α =30°; t = 5 с. Найти: G M t ( ) , G L t ( ) , M ( ) 5 , L( О. Уравнение моментов относительно оси. Закон сохранения момента импульса. 245 246 Глава 4. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА Поместим начало координат О в точку начала движения камня и запишем основное уравнение кинематики точки в векторном виде с учетом того, что 0 = G G G r t v t gt ( ) = + 0 2 2 . (Момент силы тяжести (4.3) относительно точки О равен G G G M r mg v t gt mg v mg t g g t v m = = + = + = [ , ] [ , ] [ , ] [ , ] [ , 0 2 0 2 0 2 2 gg t ] , (так как векторное произведение двух одинаковых векторов [ ] GG gg = Из (4.10) следует, что G G G G G G L L Mdt r p v mg tdt mv v m t t = + = + = = + ∫ ∫ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 [ , ] [ , ] [ , ] [ , gg tdt v mg t v mg t t t ] [ , ] [ , ] . 0 0 2 0 0 2 2 2 ∫ = = G G G G (Дугой со стрелкой на рисунке указано направление вращательного движения правого винта от вектора начальной скорости G v 0 к вектору силы тяжести mg G , соединенному началом с вектором начальной скорости. Поступательное движение винта определяет направление вектора [ , ] G G v mg 0 . Вектор [ , ] G G v mg 0 – направленна нас и не меняется со временем. Векторы и сонаправлены сданным вектором, так как отличаются от него только положительными константами t и t 2 2 соответственно. По определению (4.2) и (4.4) M v mg t = 0 (sin ) α , M ( ) , , , 5 5 0 5 10 0 5 5 62 5 = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = Нм (кг · м 2 )/c. Ответ: G G G M v mg t = [ , ] 0 , M ( ) , 5 62 5 = Нм (кг · м 2 )/c. Задача Шарик, привязанный к концу нити длиной l 1 м, вращается без трения с частотой ω 1 60 = рад/мин вокруг вертикальной оси, опираясь на горизонтальную поверхность. Нить укарачивают до размеров l 2 0 5 = м. Найти частоту вращения шарика. Дано ω 1 60 = рад/мин = 1 рад l 1 м l 2 0 5 = , м. Найти: Так как при вращении ив процессе укорачивания нити) шарик взаимодействует стремя объектами (телами, тона него со стороны этих объектов действуют три силы. По горизонтали к центру вращения со стороны нити действует сила натяжения нити G T , по вертикали со стороны Земли к ее центру — сила тяжести G G P mg = и со стороны горизонтальной поверхности — нормальная составляющая силы реакции опоры G N , направленная вверх перпендикулярно поверхности. Так как в направлении оси z нет никакого ускоренного движения, то по 2 закону Ньютона P 0 + = . (1) Следовательно, равн 0 F N P T T T = + + = + = G G G G G G . (Из (4.10) и (4.3) получаем, что равн 1 [ , ] [ , ] i T i dL M r F r T M dt = = = = = ∑ G G G G G G G . (Так как G G r T ↑↓ , то , ] G G G r T M T = = 0 . (Тогда 0 или G L = const . (Вращая правый винт от первого вектора G r ко второму вектору по крайчайшему пути, получим направление вектора G L , совпадающее с поступательным движением правого винта, те. вверх, как показано на рис. Из постоянства вектора G L следует, что k G l r G v m p G G L G r G L G T G / 2 P 4.3. Уравнение моментов относительно оси. Закон сохранения момента импульса. 247 248 Глава 4. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА 2 = , (где L 1 — величина момента импульса шарика до укорочения нити, а L 2 — после. Так как угол между векторами G r и G p равен π/2, то, по определению (4.2), L r p mv r m r m l 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 2 = = = = sin / π ω ω , (7) L r p mv r m r m l 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = = = = sin / π ω ω (и, следовательно l ω 1 1 2 = m l ω 2 2 2 . (Сокращая на m и выражая ω 2 , имеем равенство 1 1 2 2 2 = l l . (Подставляя численные значения, получим 2 2 1 1 0 5 4 = ⋅ = / , рад/с. Ответ: ω 2 4 = рад/с. 4.4. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА СИСТЕМЫ ЧАСТИЦ. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА СИСТЕМЫ ЧАСТИЦ ОТНОСИТЕЛЬНО НЕПОДВИЖНОЙ (ЫХ) ТОЧКИ И ОСИ Как отмечалось ранее, наличие системы частиц означает, что силы, действующие на каждую частицу системы, можно разделить на внутренние внут F G (действующие между частицами системы) и внешние внеш (действующие на частицы системы со стороны внешних тел). О внут 21 F G l 1 r G 2 r G внут 12 F G 12 r G 1 внеш F G Y X 2 v G 1 v G 2 внеш F G внешнее тело внешнее тело внешнее тело Рис. Рассмотрим на примере простейшей системы, состоящей из двух частиц, свойства внутренних сил и их моментов (рис. 4.6). Выберем произвольную точку О и построим радиус-векторы частиц G r 1 и относительно этой точки. По правилу суммирования векторов имеем 2 12 = +По третьему закону Ньютона для внутренних сил внут внут 12 21 F F = и эти силы действуют по прямой, соединяющей частицы системы (для определенности взяты силы отталкивания. Тогда сумма внутренних сил и сумма моментов внутренних сил, приложенных к частицам относительно произвольной точки О, равны соответственно внут внут внут внут 12 21 12 12 0 F F F F + = − = G G G G внут внут 12 21 M M + G G = [ внут 1 12 , r F G G ] + [ внут 2 21 , r F G G ] = [ внут 2 12 12 ( ), r r F + G G G ] – [ внут 2 12 , r F G G ] = = [ внут 2 12 , r F G G ] + [ внут 12 12 , r F G G ] – [ внут 2 12 , r F G G ] = [ внут 12 12 , r Так как внут 12 и векторное произведение двух параллельных векторов равно нулю, то внут внут 12 Таким образом, обобщая полученные результаты на систему, состоящую из произвольного числа частиц, получаем (индексы i и j нумеруют частицы системы): внут внут 1 0 > = = ∑ G G ij i F F , (4.18) внут внут 1 0 > = = ∑ G G ij i M M . (Векторная сумма внутренних сил и моментов этих сил системы частиц относительно произвольной точки О равна нулю. Моментом G L импульса системы частиц относительно точки Она- зывается векторная сумма моментов импульсов всех частиц системы относительно этой точки G L L r p i i i i i = = ∑ ∑ [ , ] , (4.20) 4.4. Момент импульса системы частиц. 249 250 Глава 4. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА где G L i — момент импульса, G p i — импульс и G r i — радиус-вектор i час- тицы. Моментом G M сил, действующих на систему частиц относительно точки О, называется векторная сумма моментов сил, действующих на все частицы системы относительно этой точки. Так как сумма моментов внутренних сил равна нулю (4.19), то внеш внеш внеш , ] i i i i i M M M r F = = = ∑ ∑ G G G G G , (где внеш — момент внешней силы внеш, действующей на ю час- тицу. Рассмотрим, как связаны друг с другом моменты импульса и сил системы, если их брать относительно точек O' и O, находящихся на расстоянии R друг от друга. Для радиус-вектора i частицы системы рис) имеем + R i i = где G R — радиус- вектор точки O относительно точки O'. Тогда , ] G G r p i i i ∑ = [( ), ] G G G ′ + = ∑ r R p i i i [ , ] [ , ] G G G G ′ + = ∑ ∑ r p R p i i i i i = G ′ L + [ , ] G G R p i i ∑ = G ′ L + [ G G R где G G p p i i = ∑ — импульс системы частиц. Подставляя данное равенство в (4.20), получим + [ G G R Аналогично имеем + внеш. (Отметим, что если внеш тот. е. сумма моментов внешних сил, действующих на систему частиц, рассчитанных относительно любой неподвижной точки О, одинакова На примере простейшей системы частиц (рис) найдем ее уравнение моментов. Для каждой частицы системы, исходя из уравнений (относительно неподвижной точки О имеем dL dt G 1 = внут внеш 1 M M + G G , dL dt G 2 = внут внеш Определим производную повремени момента импульса системы частиц. С учетом (4.20) и (4.19) получим ) dt dL dt dL dt 1 2 G G G G G = + = + = 1 2 внут внеш 1 M M + G G + внут внеш 2 M M + G G = = внеш внеш Обобщим этот результат на систему, состоящую из произвольного числа частиц. внеш внеш, (те производная повремени момента импульса системы частицы относительно неподвижной точки О равна векторной сумме моментов внешних сил, приложенных к частицам системы сравните с выражением (4.10) для одной частицы. Уравнения (4.23) называются уравнением моментов системы частиц. Из (4.23) следует закон сохранения момента импульса системы частиц если внеш, то G L = const, или t L t ( ) ( ) 1 Если векторная сумма моментов внешних сил, действующих на частицы системы относительно неподвижной точки, равна нулю, то момент импульса системы частиц остается постоянным сравните с (4.11)). Если система изолирована (замкнута, те. на частицы системы не действуют внешние силы, то суммарный момент этих сил равен нулю и, следовательно, момент импульса изолированной системы частиц остается постоянным. Момент импульса системы частиц. 251 252 Глава 4. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА Отметим, что во всех случаях, когда момент импульса системы частиц постоянен, моменты импульса отдельных частиц, составляющих систему, могут меняться со временем. Проектируя на ось z векторные уравнения (4.20,4.23) получим, (внеш. (Здесь L z – момент импульса системы частиц относительно неподвижной оси, а внеш сумма моментов внешних сил, действующих на систему частиц относительно неподвижной оси. Уравнение (4.26) называется уравнением моментов системы частиц относительно неподвижной оси. Из (4.26) следует закон сохранения проекции момента импульса системы частиц (сравните с (4.17)): если внеш, то L z = const, или t L t z z ( ) ( ) 1 Если алгебраическая сумма моментов внешних сил, действующих на все частицы системы относительно некоторой неподвижной оси равна нулю, то момент импульса системы частиц относительно этой оси остается постоянным. Вопросы и задания для самопроверки. Докажите, что сумма всех внутренних сил системы частиц равна нулю. Докажите, что сумма моментов внутренних сил равна нулю. Запишите уравнение моментов импульса системы частиц. Запишите уравнение моментов импульса системы частиц относительно оси. Сформулируйте закон сохранения момента импульса системы частиц. Как меняется со временем момент импульса замкнутой системы частиц. Могут ли меняться со временем моменты импульса частиц, составляющих замкнутую систему 4.5. ЦЕНТР МАСС СИСТЕМЫ ЧАСТИЦ Центром инерции или центром масс системы частиц называется точка С, радиус-вектор которой определяется формулой r C i i i = ∑ 1 , (где (масса системы частица радиус-век- тор i частицы (рис. Декартовы координаты точки центра масс (или проекции радиус- вектора G r C ) в некоторой инерциальной системе отсчета имеют вид x C i i i = ∑ 1 , y m m y C i i i = ∑ 1 , z m m z C i i i = ∑ 1 . (Если число частиц системы и их масса не меняются со временем, то скорость точки центра масс G v C определяется как m m r m m dr dt m m v m p C i i i i i i i i i i i = = = = = = ∑ ∑ ∑ ∑ ( ) 1 1 1 1 1 m m p G , (где G G p p i i = ∑ — импульс системы частиц. Следовательно, можно записать, (те. импульс произвольной системы частиц в любой инерциальной системе отсчета равен произведению массы системы на вектор скорости ее центра масс. Определим ускорение центра масс системы как. (Продифференцируем импульс системы G p (4.32) повремени с учетом определений G v C (4.31) и G a C (4.33) dp dt dmv dt m dv dt m d r dt ma C C C C G G G G G = = = = 2 При рассмотрении закона сохранения импульса показано, что если G p – импульс системы частиц, то внеш внеш i i dp F F dt = = ∑ G G G C r G С z O y x i r G i m 4.5. Центр масс системы частиц 253 254 Глава 4. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА Тогда получаем уравнение движения центра масс 2 внеш 2 C C d r ma m F dt = = G G G . (Из этого уравнения видно, что центр масс произвольной системы движется так, как двигалась бы частица, масса которой равна сумме масс частиц системы, на которую действует сила, равная сумме внешних сил, приложенных к частицам системы. Отметим, что совершенно неважно, к каким частицам системы приложены внешние силы. Таким образом, движение центра масс описывает движение произвольной системы частиц в целом. Рассмотрим несколько примеров движения центра масс различных систем. Прыжок кошки Если кошка прыгает горизонтально (рис. 4.8), то ее центр масс перемещается также, как перемещается камень (материальная точка) равной массы, брошенный горизонтально стой же высоты истой же начальной скоростью. На кошку и камень в полете действует одна и та же внешняя сила тяжести (трением о воздух пренебрегаем. Поэтому внеш C ma F mg = = G G G За счет внутренних сил кошка может только менять положение частей своего тела (кувыркаться, ноне может изменить положение своего центра масс. Также как и камень, центр масс кошки движется в поле тяжести земли по параболе. y g m P G G x парабола v G Рис. 4.8 Движение человека При отсутствии сил трения человек (рис. 4.9) не мог бы двигаться в горизонтальной плоскости, так как в этом случае сумма проекций всех приложенных к человеку внешних сил (тяжести и нормальной составляющей реакции опоры) на любую горизонтальную ось равна нулю. Следовательно, внеш 0 Cx x x x ma F N P = = + = За счет внутренних сил человек, как и кошка, может только изменить положение частей своего тела (ног, рук, ноне положение своего центра масс. При ходьбе или беге человек выносит одну ногу вперед, приподнимая ее над землей, чтобы исключить действие на нее силы трения. Другая нога движется назад. Ей препятствут сила трения, приложенная к человеку и направленная вперед по его движению. Эта сила и есть та внешняя сила, которая позволяет центру масс человека перемещаться в нужном направлении. |