Физика. Механика. Тесты для электронного экзамена и задачи для контрольных работ. Все формулы и единицы измерения приведены в международной системе единиц си
 Скачать 4.22 Mb.
|
|
5.26 Колесная пара, состоящая из колес массой m = 400 кг и оси массой кг, катится по железнодорожному полотну со скоростью v = 4 мс. Определить кинетическую энергию T колесной пары. Считать колеса дисками, а ось — стержнем. 5.27 Обруч и сплошной цилиндр одинаковой массы m = 5 кг катятся без скольжения с одинаковой скоростью v = 10 мс. Найти кинетические энергии T 1 и T 2 этих тел. 5.28 Маховик делает n =100 об/с. Под действием постоянного тормозящего момента, равного M = 196 Нм, он остановился через t = 50 с. Определить момент инерции I маховика. 5.29 Однородный шар радиусом r = 20 см скатывается без скольжения с вершины сферы радиусом R = 50 см. Определить угловую скорость ω шара после отрыва от поверхности сферы. 5.30 Маховик начинает вращаться из состояния покоя с постоянным угловым ускорением ε = 0,4 рад/с 2 . Определить кинетическую энергию маховика T через время t 2 = 25 с после начала движения, если через t 1 =10 с после начала движения момент импульса L маховика составлял 60 кг · мс Горизонтальная платформа массой m = 25 кг и радиусом R = 0,8 м вращается с частотой n 1 =18 мин. В центре стоит человек и держит в разведенных руках гири. Считая платформу диском, определить частоту вращения платформы n 2 , если человек, опустив руки, уменьшит свой момент инерции от I 1 = 3,5 кг · м до I 2 = 1 кг · м 2 5.32 Человек, стоящий на скамье Жуковского, держит в руках стержень длиной l = 2,5 ми массой m = 8 кг, расположенный вертикально вдоль оси вращения скамейки. Эта система (скамья и человек) обладает моментом инерции I =10 кг · ми вращается с частотой n 1 =12 мин –1 Определить частоту вращения системы, если стержень повернуть в горизонтальное положение. 5.33 Человек массой m = 60 кг, стоящий на краю горизонтальной платформы массой Мкг, вращающейся по инерции вокруг неподвижной вертикальной оси с частотой n 1 = 10 мин, переходит к ее центру. Считая платформу круглым однородным диском, а человека точечной массой, определить, с какой частотой будет вращаться платформа. 5.34 Платформа, имеющая форму сплошного однородного диска, может вращаться по инерции вокруг неподвижной вертикальной оси c угловой скоростью ω 0 . На краю платформы стоит человек, масса которого в 3 раза меньше массы платформы M. Определить, как и во сколько раз изменится угловая скорость вращения платформы ω/ω 0 , если человек перейдет ближе к центру на расстояние l, равное половине радиуса платформы Человек массой m = 60 кг, стоящий на краю горизонтальной платформы радиусом R = 1 ми массой M = 120 кг, вращающейся по инерции вокруг неподвижной вертикальной оси с частотой n 1 = 10 мин, переходит к ее центру. Считая платформу круглым однородным диском, а человека — точечной массой, определить работу A, совершаемую человеком при переходе от края платформы к ее центру. Задачи для контрольных работ 329 Глава МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ. ПОНЯТИЕ КОЛЕБАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ Среди процессов, совершающихся в природе и технике, весьма распространенными являются колебания. Система, совершающая колебания, называется колебательной системой. Колебание — это физический процесс, характеризующийся повторяемостью во времени и пространстве. Например, волнение моря, движение маятника часов, биение сердца, звук, переменный токи т. д. В процессе колебаний значения физических величин, определяющих состояние объекта, через равные или неравные промежутки времени повторяются. Колебания называются периодическими, если значения изменяющихся физических величин повторяются через равные промежутки времени. Колебание обусловлено тем или иным воздействием на колеблющуюся систему. В зависимости от характера воздействия, вызывающего колебания, различают следующие периодические колебания свободные или собственные, затухающие, вынужденные, автоколебания и параметрические. Свободные или собственные колебания — это колебания, происходящие в системе, предоставленной самой себе после выведения ее из состояния устойчивого равновесия. Пример колебания груза на пружине. Вынужденными называются колебания, в процессе которых колеблющаяся система подвергается воздействию внешней периодически изменяющейся силы. Пример колебания моста, возникающие при прохождении по нему колонны войск, шагающих в ногу. Автоколебания, как и вынужденные колебания, сопровождаются воздействием на колеблющуюся систему внешних сил. Однако моменты времени, когда осуществляются эти воздействия, задаются самой колеблющейся системой, те. система сама управляет внешним воздействием. Например, автоколебательной системой являются часы, в которых на маятник действует сила тяжести поднятой гири или сила упругости пружины. Эти действия происходят в моменты прохождения маятника через положение равновесия. Различные по своей природе колебания (механические, электромагнитные и т. д) обнаруживают много общего они подчиняются одними тем же закономерностям, описываются одними и теми же уравнениями, исследуются одними и теми же методами. Это дает возможность создать единую теорию колебаний. Рассмотрение теории колебаний в полном объеме требует знаний специальных разделов математики. Поэтому ограничимся рассмотрением лишь основ этой теории. КИНЕМАТИКА МЕХАНИЧЕСКИХ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ Простейшим типом периодических колебаний являются гармонические колебания. Закономерности, которым подчиняются гармонические колебания, важно знать потому, что многие реальные колебания близки к гармоническим, апериодические негармони- ческие колебания есть результат сложения нескольких гармонических колебаний. Рассмотрим механические гармонические колебания материальной точки. Механическое гармоническое колебание — это такое прямолинейное неравномерное периодическое движение, при котором расстояние хот положения равновесия материальной точки до координаты, в которой в данный момент времени она находится, описывается уравнением 0 , (где х — координата материальной точки в момент времени Расстояние х материальной точки от положения равновесия до точки, в которой в данный момент времени она находится, называют сме- щением. Наибольшее смещение материальной точки от положения равновесия называется амплитудой колебания и обозначается буквой A. 6.2. Кинематика механических гармонических колебаний 331 332 Глава 6. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ Аргумент при тригонометрической функции ϕ = ω 0 t + ϕ 0 называется фазой колебаний. Фаза в процессе колебаний монотонно возрастает. Заодно полное колебание она получает приращение, равное 2π. Величина приращение фазы за промежуток времени t, величина ϕ 0 — значение фазы в начальный момент времени. Коэффициент называют циклической (круговой или угловой) частотой. Циклическая частота — величина, характеризующая быстроту изменения фазы стечением времени и равная приращению фазы за единицу времени ϕ 0 0 = − t (Наименьший промежуток времени Т, по истечении которого значение изменяющейся физической величины повторяется по модулю и направлению, если эта величина векторная по величине, если она скалярная, называется периодом колебаний этой величины. За период колебаний Т система совершает одно полное колебание. Число полных колебаний ν, совершаемых колеблющейся величиной за единицу времени, называется частотой колебаний. За единицу частоты принимается частота такого колебания, при котором за 1 с совершается одно полное колебание. Частота измеряется в герцах (Гц. Период и частота колебаний связаны соотношением ν Установим связь между ω 0 и Т. За время Т фаза возрастает на 2π. Подставив в (6.2) t = T и ϕ ϕ π − = 0 2 , получим ω π πν 0 2 2 = = T . Циклическая частота определяет число полных колебаний за 2π с. Графическое представление уравнения гармонического колебания приведено на рис. 6.1 (Для наглядности построения графика значение начальной фазы ϕ 0 = Гармоническое колебание — движение пространственно ограниченное, те. в процессе колебаний смещение материальной точки Рис. 6.1 не выходит за пределы отрезка АЗа одно полное колебание в каждой точке траектории колеблющаяся точка бывает дважды один раздвигаясь водном направлении, другой разв другом. Найдем зависимости проекций скорости и ускорения от времени при гармонических колебаниях. С этой целью вычислим первую и вторую производные от (6.1) v x dx dt A t A t = = + = + + ω ω ϕ ω ω ϕ π 0 0 0 0 0 0 2 cos( ) sin( ) , (6.3) a d x dt A t A t x = = − + = + + 2 2 0 2 0 0 0 2 0 0 ω ω ϕ ω ω ϕ π sin( ) sin( ) . (Из (6.3 и 6.4) следует, что проекции скорости и ускорения гармонически колеблющейся материальной точки также совершают гармонические колебания стой же циклической частотой ω 0 . Амплитуды соответственно равны и A ω 0 2 . Начальная фаза скорости равна ϕ π 0 2 + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ , те. разность фаз скорости и смещения постоянна и равна (скорость опережает смещение на π 2 ). Начальная фаза ускорения равна ( ) ϕ π 0 + , те. разность фаз колебаний ускорения и смещения постоянна и равна π (ускорение опережает смещение по фазе на π). Графики зависимости смещениях, скорости хи ускорения хот времени при гармонических колебаниях для случая ϕ 0 0 = показаны на рис Из рис 6.2 видно, что смещение и ускорение при гармонических колебаниях происходят в противофазе, те. если смещение х максимально, то ускорение а минимально и находится в противофазе. Величина фазы ϕ ω ϕ = + 0 не влияет на форму кривой x(t), а определяет лишь ее положение в произвольный момент. Частота и период колебаний также не зависят от амплитуды. Траектория материальной точки — движение пространственно ограниченное, Рис. 6.2 6.2. Кинематика механических гармонических колебаний 333 334 Глава 6. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ периодическое, прямолинейное, не выходящее за пределы отрезка 2А. Систему, совершающую гармонические колебания, называют (например, в электромагнетизме) гармоническим осциллятором. Вопросы и задания для самопроверки. Приведите примеры колебаний, которые Вы наблюдали в окружающей действительности. Можно ли считать гармоническим колебательным процессом суточное вращение Земли вокруг своей оси, годичное — вокруг Солнца. Можно ли считать колебания дыхательной и сердечной деятельности гармоническими. Покажите, что при гармонических колебаниях не только сама колеблющаяся величина, но и ее скорость и ускорение совершают гармонические колебания. Покажите, что изменение координаты со временем опережает изменение скорости со временем по фазе на 1,57 радиан. Что такое собственная частота гармонического осциллятора. Если частица совершает гармонические колебания с амплитудой А, то, какое расстояние она проходит за один период. Каким образом можно удвоить максимальную скорость гармонического осциллятора? Примеры решения задач Задача Материальная точка совершает гармонические колебания с частотой Гц. В момент времени t = 0 точка имеет максимальное смещение х = 1 мм. Написать уравнение движения материальной точки. Дано: ν = 10 Гц х = 1 мм = 0,001 м. Найти: уравнение движения материальной точки. Максимальное смещение точки от положения равновесия — амплитуда колебаний х, циклическая частота колебаний ω πν 0 Уравнение имеет вид sin( ) 2 0 πν ϕ Найдем начальную фазу ϕ 0 . Из условия задачи при t = 0 x = х, те или 1 0 = sin ϕ , ϕ π 0 2 1 где k = 0, 1, Изменение фазы на 2π не меняет колебаний, следовательно, достаточно рассмотреть случай k = 0. Получим начальный сдвиг фазы С учетом начального сдвига фазы уравнение движения материальной точки имеет вид sin( ) 2 Если подставить численные значения, то 01 2 10 2 , sin( ) π π , м. Ответ: уравнение движения материальной точки имеет вид 01 62 8 2 , sin( , ) π , м. Задача Материальная точка совершает гармонические колебания с частотой Гц. Амплитуда колебаний А = 3 см. Определить величины скорости и ускорения точки, когда смещение х = 1,5 см. Дано: ν = 0,5 Гц А = 3 см х = 1,5 см. Найти: v, Уравнение гармонических колебаний Так как движение происходит вдоль оси х, то скорость всегда направлена вдоль этой оси. Поскольку движение колебательное, то направление скорости может быть параллельной или антипараллельной оси х. Следовательно, проекция вектора скорости на эту ось v v x = ± , где v — модуль скорости 0 0 cos( ) 6.2. Кинематика механических гармонических колебаний 335 336 Глава 6. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ Чтобы выразить скорость через смещение, нужно исключить из приведенных уравнений время. Для этого возведем оба уравнения в квадрат, разделим первое из них на А, второе — на Аи, сложив, получим 2 2 2 0 или, учитывая, что ω πν 0 2 = , x A A 2 2 2 2 2 2 4 1 + = v π Решая полученное уравнение относительно v, находим v = − 2 2 2 πν Ускорение a d dt A t x x x x = − + = − = − ν ω ω ϕ ω π ν 0 2 0 0 0 2 2 2 Величина ускорения — положительная, поэтому a x = 4 2 2 π Ответ величины скорости и ускорения равны v = 8,2 см/с, а = 59,16 см/с 2 Задача Точка совершает гармонические колебания. В некоторый момент времени t 1 смещение х = 5 см. При увеличении фазы вдвое смещение точки стало х = 8 см. Найти амплитуду А колебаний. Дано: х = 5 см х = 8 см. Найти: А. Уравнения гармонических колебаний для смещения в обоих случаях Согласно условию задачи 0 1 0 0 2 Обозначим ω ϕ α 0 1 0 t + = ; тогда уравнения для смещения могут быть представлены в виде sin α , x A A 2 2 2 = = sin sin cos α α α Полученные уравнения преобразуем к следующему виду 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 − = − = sin sin cos Учитывая, что x A 1 = sin α , получаем 2 2 2 1 4 2 откуда A x x x = − 4 4 1 4 1 2 2 Ответ амплитуда гармонических колебаний А = 8,3 см. ДИНАМИКА МЕХАНИЧЕСКИХ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ Выясним природу сил, создающих гармонические колебания. По второму закону Ньютона проекция силы, действующей на материальную точку, с учетом (6.4), равна m t m x = = − + = − ω ω ϕ ω 0 2 0 0 0 2 sin( ) . (Вывод сила, вызывающая гармонические колебания, пропорциональна смещению колеблющейся точки от положения равновесия и всегда направлена положению рав- новесия. Рассмотрим колебания груза, висящего на пружине (рис. 6.3) 1. Если пружина растянута, то координата груза отрицательна, следовательно, проекция силы на ось х положительная. Это возможно, когда вектор силы параллелен оси хи направлен к точке равновесия. Если пружина сжата, то координата груза положительна, следовательно, проекция упругой силы на ось х отрицательна. Это возможно, когда вектор силы антипараллелен оси хи направлен к точке равновесия. В положении равновесия сила, вызывающая колебания, на материальную точку не действует, те. при х = 0, F = Рис. 6.3 6.3. Динамика механических гармонических колебаний 337 338 Глава 6. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ Таким образом, условию (6.5) удовлетворяют упругие силы. Гармонические колебания могут быть вызваны также силами, которые не являются упругими по своей природе. Вывод: силы, не являющиеся упругими по своей природе, но подобные упругим по характеру зависимости от координаты, называются квазиупругими. Ниже приведены примеры колебаний систем, совершающихся в отсутствии сил трения и сопротивления среды. Пружинный маятник Пружинным маятником называют систему, состоящую из упругой невесомой пружины с коэффициентом упругости k и груза массой На рис. 6.3 показаны 1 — естественная длина пружины 2 — состояние равновесия маятника 3 — мгновенное состояние колеблющейся системы. Составим дифференциальное уравнение колебаний пружинного маятника и найдем его решение. Начало координат совместим с положением равновесия маятника (положение 2 рис. 6.3). Ось х направим вертикально вниз. На груз действует сила тяжести mg G и сила упругости упр. В положении равновесия векторная сумма сил, действующих на груз, равна нулю упр Проекция векторного уравнения на ось х упр или k x mg Δ = , (где Δx — деформация пружины в состоянии равновесия, k — коэффициент упругости. Если груз отклонить от положения равновесия в ту или иную сторону, то результирующая сила, действующая на тело, неравна нулю. По второму закону Ньютона система придет в движение с ускорением а упр mg Если вектор ускорения G a в данный момент времени параллелен оси x, то проекция данного векторного уравнения на ось x имеет вид mg k x x m d x dt − + = ( ) Δ 2 С учетом (6.6), обозначив ω 0 2 = k m , получим x dt x 2 2 0 2 0 + = ω . (Второй закон Ньютона, записанный в форме (6.7), есть дифференциальное уравнение собственных колебаний груза на пружине в отсутствии силы сопротивления. Для решения этого уравнения воспользуемся методом Эйлера. По этому методу решение уравнения (6.7) выберем в виде x t Ce t ( ) = α , где С — произвольная константа, α — неизвестная константа. Для нахождения этих констант подставим t Ce t ( ) = α , dx t dt C e t ( ) = α α , d x t dt C e t 2 2 2 ( ) = в (6.7), получим тождество C e Ce t t α ω α α 2 0 2 0 + = или Ce t α α ω ( ) 2 0 2 Так как из трех сомножителей два неравны нулю Си, следовательно, ( ) α ω 2 0 2 0 + ≡ . Отсюда вычисляется первая константа где i — мнимая единица, ( i = Двум значениям корня α 1,2 соответствуют два частных решения. Общее решение находится как линейная комбинация двухчастных решений 0 0 1 2 0 0 * * * * 1 0 1 0 2 0 2 0 * * * * 1 2 0 1 2 0 т.к. cos sin cos sin cos sin ( ) cos ( )sin + ω − ω ± ω ⎡ ⎤ = + = = ω ± ω = ⎣ ⎦ = ω + ω + ω − ω = = + ω + − ω i t i t i t x C e C e e t i t C t C i t C t C Введем новые обозначения C C C iC iC C 1 2 1 1 2 2 * * * * , + = − = , получим C t C t = + 1 0 2 0 cos sin ω ω . (Решение (6.8) запишем в форме. Динамика механических гармонических колебаний 339 340 Глава 6. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ 0 (То, что выражения (6.8) и (6.9) эквивалентны друг другу, следует из тригонометрического тождества sin sin cos ) ω ϕ ω ϕ ω ϕ 0 0 0 0 0 0 + = + . (Из (6.8), (6.9) и (6.10) следует C t A t A t 1 0 2 0 0 0 0 0 cos sin cos sin sin Приравняв соответствующие коэффициенты при одних и тех же тригонометрических функциях, получим 0 2 0 = = sin , cos , ϕ ϕ A C C C C = + = 1 2 2 2 0 1 2 , Константы Си С находят изначальных условий, при этом лучше воспользоваться уравнением (При t = 0, x = х, dx dt = v 0 , где x 0 — начальная координата тела, v 0 — начальная скорость. Подставив начальные условия в уравнения C t C t = + 1 0 2 0 cos sin ω ω , dx dt C t C t = = − + v 1 0 0 2 0 0 ω ω ω ω sin cos , получим С 1 = x 0 , C 2 Отсюда амплитуда и начальный сдвиг фазы равны 2 0 2 0 2 v ω , ϕ ω 0 0 0 0 = arctg Уравнение колебания груза на пружине имеет вид arctg x = + + 0 2 0 2 0 2 0 0 0 0 v v ω ω ω sin( ) . (Зависимости скорости и ускорения груза от времени найдем, взяв производную от (6.9): v x dx dt A t = = + ω ω ϕ 0 0 0 cos( ) , a d x dt A t x = = − + 2 2 0 2 0 Кинетическая энергия груза 2 0 2 2 0 0 2 2 ω ω ϕ cos (совершающего гармонические колебания, изменяется от 0 до m A ω 0 2 2 Циклическая частота колебаний кинетической энергии равна 2 0 ω , так как cos ( ) cos ( ) 2 0 0 0 0 1 2 Потенциальная энергия груза 2 2 2 2 2 0 0 0 0 sin ( ) 2 П + совершающего гармонические колебания под действием силы упругости пружины, периодически изменяется от 0 до m A ω 0 2 2 2 с циклической частотой 2 Полная энергия груза 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 cos ( ) sin ( ) 2 2 2 К П W W W m A m A m A t t = + = ω ω ω = ω + ϕ + ω + ϕ = (6.12) — величина постоянная. Колебания любой физической величины, характеризующей математический маятник, включая смещение х груза, записанное в форме, называют собственными незатухающими колебаниями. Величины и T m k = 2π называют собственной циклической частотой и периодом колебаний маятника соответственно. Чем больше масса груза m и меньше коэффициент упругости k пружины, тем медленнее происходят колебания. Полная энергия колеблющегося груза остается постоянной, так как движение происходит без притока и без потерь энергии. Динамика механических гармонических колебаний 341 342 Глава 6. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ. Физический маятник Физический маятник — абсолютно твердое тело, совершающее колебание под действием силы тяжести mg G вокруг неподвижной горизонтальной осине проходящей через центр тяжести тела. Сила тяжести приложена к центру тяжести тела, расположенном на расстоянии d от оси вращения (рис. 6.4). Колебательное движение физического маятника удобнее всего изучать, используя основное уравнение динамики вращательного движения. Составим дифференциальное уравнение колебаний маятника и найдем его решение. Уравнение движения и закон движения запишем в скалярной форме. В качестве переменной величины выберем угловое смещение ϕ. Это угол отклонения маятника от положения равновесия. Пусть маятник отклонен от положения равновесия на малый угол ϕ. При малых углах силой сопротивления среды можно пренебречь. Запишем основное уравнение динамики вращательного движения второй закон Ньютона для вращательного движения) (см. гл. 5) M mg J z z ( ) G = ε , (где M mg z ( ) G — момент силы тяжести относительно оси z, J z – момент инерции маятника относительно оси вращения z, ε ϕ = d dt 2 2 — угловое ускорение маятника. Пусть в данный момент времени приращение угла d ϕ > 0 . В этом случае векторы угловой скорости G ω и углового ускорения G ε направлены вдоль оси z и параллельны этой оси. Так как сила тяжести поворачивает маятник почасовой стрелке, то моменту силы M следует приписать знак минус (–), те где h d = sin ϕ — плечо силы тяжести (рис. 6.4). Плечо — кратчайшее расстояние от линии действия силы до оси вращения Рис. 6.4 Дифференциальное уравнение движения физического маятника (6.13) принимает вид 2 . (При малых углах ϕ функцию sinϕ можно разложить в степенной ряд sin ! ! ( ) ( )! ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ = − + −⋅⋅⋅ + − + + + 3 5 2 1 3 5 1 2 1 n n n (Если ограничиться первым членом разложения (6.15) и обозначить то уравнение (6.14) примет вид 2 0 2 0 ϕ ω ϕ + = . (Уравнение (6.16) аналогично уравнению (6.9), следовательно, и решения уравнений одинаковы. Таким образом, при малых углах ϕ колебательное движение физического маятника, как и колебательное движение пружинного маятника, является гармоническим, а именно ϕ ω α = + max sin( ) 0 0 t . (где ϕ max — максимальное значение углового смещения маятника от положения равновесия, α 0 — начальное значение фазы. Циклическая частота и период колебания физического маятника вычисляются соответственно по формулам = mgd J z T J mgd z = = 2 2 0 π ω π . (При малых угловых смещениях период колебания маятника не зависит от амплитуды ϕ max и начальных условий движения. Формулы (6.18) могут быть использованы для экспериментального нахождения момента инерции тел сложной формы относительно выбранной оси z. 6.3. Динамика механических гармонических колебаний 343 344 Глава 6. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ. Математический маятник Математический маятник — материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити и совершающая колебания в вертикальной плоскости под действием силы тяжести (рис. Математический маятник представляет собой предельный случай физического маятника, вся масса которого сосредоточена в точке. Тогда расстояние от точки приложения силы тяжести до оси вращения равно длине нити l (рис. 6.5). Так как d = l, то момент инерции и циклическая частота такого маятника относительно оси вращения равны соответственно 2 = = = mgd J mgl ml g l z . (Дифференциальное уравнение колебаний математического маятника при отсутствии сопротивления среды такое же, как и для физического маятника и имеет вид 2 0 2 0 ϕ ω Таким образом, при малых углах отклонения ϕ от вертикали движение математического маятника представляет собой гармоническое колебание, описываемое формулой (6.10) ϕ ϕ ω α = + max sin( ) 0 0 t , (в которой Период колебаний математического маятника вычисляется по формуле 2 0 π ω π . (Рис. 6.5 Период колебаний не зависит от массы маятника m и амплитуды углового смещения Математический маятник используется в технике. Например, в геологии по измеренным значениям Т и l вычисляют ускорение свободного падения для данной местности. Если в земной коре на исследуемой территории имеется неоднородность, то величина g отличается от стандартного значения. По этой аномалии можно предположить наличие полезных ископаемых. |