Физика. Механика. Тесты для электронного экзамена и задачи для контрольных работ. Все формулы и единицы измерения приведены в международной системе единиц си
 Скачать 4.22 Mb.
|
|
5.4. ВРАЩЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ. МОМЕНТ ИНЕРЦИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА. ТЕОРЕМА ШТЕЙНЕРА Дискретная система частиц Рассмотрим дискретное твердое тело, которое может совершать только одно движение вращение вокруг неподвижной оси, и определим, как меняется со временем его угол поворота вокруг этой оси. Совместим ось z декартовой системы координат с осью вращения и направим ее вверх. Напомним, что выбор направления оси z (вдоль оси вращения) задает по правилу правого винта положительное направление отсчета угла ϕ. В соответствии с определением вектора G ω угловая скорость вращения (рис. 5.3) одинакова для всех частиц тела и параллельна оси z, те, (где G k — единичный вектор, направленный вдоль оси z, а проекция угловой скорости G ω на ось z в общем случае равна z J J G i p G i r G i m W G k k G O i R z W W Рис. 5.3 ω ω z = ± , (где ω — модуль вектора G ω . По формуле Эйлера для скорости любой точки вращающегося тела имеем G ω,r ], (где G r — радиус-вектор точки. Выберем за начало системы координат любую точку О, лежащую на оси вращения. В соответствии с определением векторного произведения получаем (смотри с. 279) G v = [ G G ω,r ] = 0 0 G G G G G G i j k xi yj zk z + + + + ⎡⎣ ⎤⎦ = ω , − + + С другой стороны i v j v Следовательно −ω z v x y = ω z v z = 0 . (Тогда момент импульса и момент импульса относительно оси z любой частицы тела массой m равны (4.3) K L = [ G G r,p ] = [ xi j k, m(v i v j v k) x y z G G G G G G + + + + y z ] = = m [ xi j k, v i v j v k x y z G G G G G G + + + + y z ] = (5.19) = − mxz i z ω G − myz j z ω G + + m x y k z ( ) 2 Так как i L j L то, сравнивая с (5.19), получаем − ω , L myz y z = − ω , L z = m x y mR z z ( ) 2 2 2 + = ω ω , (где R x y = + 2 2 — расстояние от частицы до оси z, или радиус вращения частицы вокруг оси z. Так как расстояние от частицы до оси вращения (радиус вращения) не зависит от выбора начала системы координат (т. Ото от этого выбора не зависит величина L z . Добавим в выражение для момента импульса частицы относительно оси z индекс i всем переменным за исключением ω z , так как угловые скорости (и их проекции) одинаковы для всех частиц тела. Тогда для i частицы получаем. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. 289 290 Глава 5. ЭЛЕМЕНТЫ МЕХАНИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА m R i i z 2 ω (Подставляя это выражение в формулу (4.20), рассчитаем проекцию момента импульса системы частиц (твердого тела) при его вращении вокруг неподвижной оси R z iz i i i z i = = = ∑ ∑ ( ) 2 ω ω z i i I ∑ , (где R i i i = 2 . (5.23) — момент инерции ой частицы твердого тела относительно оси z. Введем момент инерции твердого тела I как алгебраическую сумму моментов инерции составляющих его частиц, те. (Размерность момента инерции [I ] = кг · м. Отметим, что при выборе другой оси расстояния от оси до частиц изменятся. Следовательно, изменится и момент инерции системы частиц. Подставляя (5.24) в (5.22), получаем проекцию момента импульса твердого тела на ось вращения в виде ω . (Проектируя на ось z векторное уравнение (5.2) получаем dL dt M z z = Так как момент инерции твердого тела (абсолютно твердого тела) I не меняется со временем, то I dt I d dt I z z z z = = = ( ) ω ω ε , (или = , (где ε ω ϕ ε z z z d dt d dt = = = ± 2 2 — проекция вектора углового ускорения на ось z, ε — модуль вектора углового ускорения ω ϕ z z d dt = / = ± ω — проекция вектора угловой скорости на ось z, ω — модуль вектора углового скорости ϕ ϕ z = ± — проекция вектора угла поворота на ось z, ϕ — модуль вектора угла поворота. Из уравнения (5.27) следует, что = Уравнение (5.27) называется основным уравнением вращательного движения или вторым законом Ньютона для вращательного движения. В отличие от поступательного при вращательном движении твердого тела вокруг неподвижной оси одинаковыми являются только угловые характеристики движения всех точек. Следовательно, кинематика вращательного движения тела совпадает с кинематикой вращательного движения точки. Поэтому 0 , (5.28) ϕ ϕ ω ϕ ω ε z z z t z z z t t dt t dt = + = + + ∫ ∫ ∫ 0 0 0 0 0 0 . (Если G ε = const ( ε z = const ), то, (5.30) ϕ ϕ ω ε z z z z t t = + + 0 0 2 2 . (Непрерывная система частиц Во многих случаях удобнее рассматривать твердое тело как непрерывную среду. Для этого твердое тело мысленно разбивают на бесконечно малые частицы с бесконечно малой массой dm. Заменяя в уравнении (5.24) I dI i → и m dm i → , получаем определение бесконечно малого момента инерции бесконечно малой массы dm в виде (рис. 5.5) dI R dm = 2 , (где R — расстояние от бесконечно малой частицы до оси вращения. Тогда для нахождения момента инерции непрерывной системы частиц относительно некоторой оси вместо суммирования конечного числа конечных моментов инерции отдельных частиц в выражении (5.24) надо суммировать (интегрировать) бесконечно большое число бесконечно малых моментов инерции отдельных частиц, т. е. v dm p d G G dm W G z R Рис. 5.5 5.4. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. 291 292 Глава 5. ЭЛЕМЕНТЫ МЕХАНИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА dm V = ∫ 2 . (Непрерывное распределение массы в пространстве в общем случае характеризуется объемной плотностью ρ( ) G r , которая определяется как отношение бесконечно малой массы тела dm к бесконечно малому объему этой массы dV, те, (где G r — радиус-вектор, определяющий положение бесконечно малой массы в пространстве в некоторой системе координат. Тогда dV = ρ( ) G . (Также, как и плотность тела ρ( ) G r , расстояние от любой точки тела до оси вращения зависит от радиус-вектора этой точки, те Из (5.35) и (5.33) получаем выражение для определения массы тела и его момента инерции относительно некоторой неподвижной оси dV V = = ∫ ∫ ρ( ) G , (5.36) I dI R dm r R r dV x y z R x y z dxdydz V V = = = = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 2 2 2 ρ ρ ( ) ( ) ( , , ) ( , , ) G G . (В простейшем случае, когда тело однородно, те, и = = m V const . (Тогда ρ , (5.39) I x y z R x y z dxdydz m V R x y z dxdydz V V = = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ρ( , , ) ( , , ) ( , , ) 2 2 . (Если интегрирование происходит по объему тела, то интеграл называется объемным. Он достаточно легко вычисляется, когда подынтегральное выражение и тело, по объему которого производится интегрирование, обладают каким- либо типом симметрии плоской, осевой, цилиндрической или сферической В этих случаях объемный интеграл легко сводится к определенному интегралу. Отметим, что момент инерции величина аддитивная (как и масса. Это означает, что момент инерции тела относительно любой оси всегда равен сумме моментов инерции относительно этой же оси его частей. Момент инерции величина неотрицательная Теорема Штейнера. Момент инерции I тела относительно некоторой оси z равен моменту инерции I C тела относительно оси z' параллельной z, и проходящей через центр масс тела, плюс произведение массы m тела на квадрат расстояния а между осями. (5.41) z O` a G z` i R G i R ` G С i m K О С O` i r` G i r > ` G i r` & G i R` G z` K а б A Рис. Докажем эту теорему. Момент инерции тела относительно оси z равен где R i — расстояние от произвольной точки тела K до оси z. Проведем через центр масс тела (т. С) ось ′ z , параллельную оси z, и введем вектора G R i , ирис, где ′ R i — расстояние от точки K до оси ′ z , а — расстояние между осями. Тогда имеем Возведя в квадрат это векторное равенство, получим G G R R a R R a a i i i i 2 2 2 2 2 = ′+ = ′ + ′ +Момент инерции тела, записанный относительно оси z, можно выразить как R m R R a a m R a m R i i i i i i i i i i i i i = = ′ + ′ + = ′ + ′+ ∑ ∑ ∑ ∑ 2 2 2 2 2 2 ( ) G G G G G G G G По определению. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. 293 294 Глава 5. ЭЛЕМЕНТЫ МЕХАНИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА R I I i i i C G ′ = ′ где I C – момент инерции относительно произвольной точки оси ′ z , проходящей через центр масс тела. Из (4.29, 4.35) следует, что СЦ 0 i i i i i i m r m так как m m i i = ∑ — масса тела, а m r m i i i G ′ ∑ СЦ r = G = 0 — радиус-вектор центра масс системы, рассчитанный в системе отсчета, связанной с центром масс, те. в Ц-системе. Разложим радиус-вектор центра масс системы и все радиус-векторы точек системы на сумму двух взаимно перпендикулярных векторов параллельных оси z и лежащих в плоскости, перпендикулярной оси z. Ц Ц Ц 1 1 1 1 ( ) 0 i i i i i i i i i i i i i r r r m r m r r m R m Если сумма двух взаимно перпендикулярных векторов равна нулю, то и каждый из этих векторов равен нулю. Следовательно R i i i G ′ Тогда R a m R m a I ma i i i i i i i i C = ′ + ′+ = + ∑ ∑ ∑ G G G G 2 2 2 Вопросы и задания для самопроверки. Линейные или угловые скорости являются одинаковыми для всех частиц системы при ее вращении относительно неподвижной оси. Как связаны между собой вектор линейной скорости частицы и вектор ее угловой скорости. Как связаны между собой вектор момента импульса частицы и вектор ее угловой скорости при вращательном движении вокруг неподвижной оси. Дайте определение момента инерции частицы и системы частиц 5. В каких единицах измеряется момент инерции. Запишите второй закон Ньютона и основное уравнение вращательного движения. Сформулируйте теорему Штейнера. Примеры решения задач Задача Определить момент инерции прямоугольной пластиныдлиной L, шириной b и массой m относительно оси, параллельной ее боковой стороне и 1) проходящей через боковую сторону, 2) проходящей через середину пластины (центр масс). b y х O dх х L L х х dх O L L/2 –L/2 y а б Дано: m — масса пластины L — длина пластины b — ширина пластины. Найти: I — момент инерции пластины (стержня). Площадь сплошной однородной прямоугольной пластинки и ее поверхностная плотность равны, (1) σ = m S . (Направим ось х вдоль стороны пластинки, длина которой L. Рассмотрим часть пластинки в виде бесконечно тонкой полоски, параллельной оси Оу и расположенной на расстоянии хот нее (риса. Ширина полоски бесконечно мала и равна dx. Тогда площадь ds и масса dm этой бесконечно тонкой полоски bdx = , (3) 5.4. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. 295 296 Глава 5. ЭЛЕМЕНТЫ МЕХАНИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА . (Все точки бесконечно тонкой полоски пластины находятся на одинаковом расстоянии от оси у. Следовательно, момент инерции бесконечно тонкой полоски (5.32) dI r dm x m L dx = = 2 2 . (Момент инерции всей пластинки относительно оси равен сумме моментов инерции относительно той же оси всех бесконечно тонких полосок, на которые можно разрезать пластинку. Тогда получаем. (Если рассчитать момент инерции пластинки относительно оси, проходящей через середину пластинки (рис. б) вдоль оси у, то dm m L x dx m L x mL L L L L = = = = = = ∫ ∫ ∫ − 2 2 2 2 3 2 2 2 3 12 / / - / / . (Очевидно, что момент инерции не зависит от ширины пластинки b. Следовательно, результат справедлив и для пластинки с бесконечно малой шириной, те. для стержня длиной L и массой m. Еще раз подчеркнем момент инерции любого тела можно определить только тогда, когда известно, относительно какой оси он должен рассчитываться. Ответ: 1) I mL = 2 3 , 2) I mL C = 2 для прямоугольной пластины и стержня). Задача Определить момент инерции цилиндрической поверхности высотой H, радиусом основания R и массой m относительно оси, проходящей через центр основания поверхности параллельно ее направляющим. Дано: m — масса цилиндра H — высота цилиндра — радиус основания Найти I — момент инерции цилиндрической поверхности. Так как ось проходит через центр симметрии цилиндрической поверхности (а значит и церез точку центра масс, то I = I C . Так как все точки цилиндрической поверхности находятся на одинаковом расстоянии от оси цилиндра, то выражение (5.33) сводится к виду dm R dm mR C = = = = ∫ ∫ 2 2 2 . (Результат не зависит от высоты цилиндрической поверхности H. Следовательно, он справедлив для цилиндрической поверхности бесконечно малой высоты, те. для обруча радиуса R и масссой Ответ для цилиндрической поверхности и обруча). Задача Определить момент инерции сплошного цилиндра высотой H, радиусом основания R и массой m относительно оси, проходящей через центр цилиндра параллельно его на- правляющим. Дано: m — масса цилиндра H — высота цилиндра — радиус осно- вания. Найти: I — момент инерции цилиндра (диска). Так как ось проходит через центр симметрии цилиндра, то I = По определению объем и плотность сплошного однородного цилиндра. (Выделим бесконечно тонкий цилиндрический слой толщиной dr на расстоянии r от оси цилиндра. Объем и масса бесконечно тонкого слоя равны 2π , (3) dm dV m V rHdr m rHdr R H mrdr R = = = = ρ π π π 2 2 2 2 2 . (4) r dr R H 5.4. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. 297 298 Глава 5. ЭЛЕМЕНТЫ МЕХАНИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА Здесь ds rdr = 2π — площадь заштрихованного кольца. Так как все точки бесконечно тонкого цилиндрического слоя находятся на одном и том же расстоянии r от оси, то бесконечно малый момент инерции этого слоя равен dm r mrdr R m R r dr = = = 2 2 2 2 3 2 2 . (Момент инерции сплошного цилиндра относительно оси, проходящей через его центр параллельно направляющим, равен сумме моментов инерции относительно той же оси всех бесконечно тонких цилиндрических слоев, на которые можно разрезать сплошной цилиндр. Расстояние r от произвольного слоя до оси изменяется от 0 до R. Тогда получаем (5.37) I I dI r dm m R r dr m R r m R R mR C R R R = = = = = = = ∫ ∫ ∫ 2 0 2 3 0 2 4 0 4 2 2 2 2 4 2 2 . (Так как результат не зависит от высоты цилиндра, то он справедлив и для любого диска радиусом R, массой Ответ I mR C = 2 2 (для цилиндра и диска). |