Физика. Механика. Тесты для электронного экзамена и задачи для контрольных работ. Все формулы и единицы измерения приведены в международной системе единиц си
 Скачать 4.22 Mb.
|
|
Движение человека на лыжах, автомобиля по дороге, поезда по рельсам Если человек движется на лыжах, то против движения ноги вперед действует сила трения, направленная назад, а против движения ноги назад — сила трения, направленная вперед. Из-за наличия специальной мази сила трения, направленная назад, меньше по величине силы трения, направленной вперед. Векторная сумма сил трения является той результирующей внешней силой, которая перемещает центр масс человека впереди, следовательно, позволяет ему двигаться на лыжах в нужном направлении. Наличие лыжных палок добавляет к силам трения, приложенным к лыжам, внешнюю силу сопротивления, приложенную к палками направленную по направлению движения лыжника. Движение автомобиля и поезда также связано стем, что силы трения, приложенные к колесами направленные по g m P G G Q G N G Тр F G Тр F` G x Рис. 4.9 4.5. Центр масс системы частиц 255 256 Глава 4. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА движению, больше по величине сил трения, направленных против движения. Вопросы и задания для самопроверки. Дайте определение радиус-вектора и его координат, скорости и ускорения центра масс механической системы в произвольной инерциальной системе отсчета. Дайте определение импульса системы частиц через скорость ее центра масс. Объясните, почему барон Мюнхгаузен не мог вытащить сам себя за волосы из болота. Объясните динамику ходьбы и бега человека, движения авто- машины. Примеры решения задач Задача Найти центр масс (т. С ) системы двух частиц с радиус-векто- рами G r 1 и G r 2 и массами m 1 и Дано m 1 ; m 2 ; G r 1 ; Найти положение т. С. Пусть т. С — неизвестный центр масс системы двух частиц. По правилу сложения векторов получаем − r r r C 1 1 , G G G ′ = − r r r C 2 2 . (Подставим в (1) выражение для G r C (4.28) G G G G G G G G ′= − + + = + − + = = r r m r m r m m m r m r m r m r m m m 1 1 1 1 2 2 1 2 1 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2 - GG G G G r m r m m m m m r r 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 − + = + − ( ) (2) G G G G G G G G ′ = − + + = + − + = = r r m r m r m m m r m r m r m r m m m 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 - GG G G G r m r m m m m m r r 2 1 1 1 2 1 1 2 2 1 − + = + − ( ). (С n Так как 2 − ↑↓ ( ) G G r r 2 1 − , то G ′ r 1 ↑↓ G ′ r 2 Следовательно, эти вектора лежат на одной прямой. Пусть l r 1 1 = и l r 2 2 = ′ G . Тогда r r m m m m m r r m m 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 = ′ ′ = − + + − = G G G G G G ( ) ( ) . (Ответ центр масс системы двух частиц с массами m 1 и m 2 расположен на прямой, соединяющей эти частицы, и делит ее на части в соотношении m 2 к m 1 , считая от частицы с массой m 1 4.6. Ц-СИСТЕМА Для упрощения расчетов удобно рассматривать движение системы частиц относительно ее центра масс. Систему отсчета, жестко связанную с центром масс и перемещающуюся поступательно (те. без вращения) по отношению к инерциальным системам отсчета, называют системой центра масс или кратко Ц-системой. рис. 4.10). Из выражения (4.34) внеш C ma F = G G следует: если сумма внешних сил, приложенных ко всем частицам системы, равна нулю, то G a C = 0 и центр масс системы будет двигаться равномерно и прямолинейно или оставаться в покое относительно инерциальной системы отсчета, те. Ц-система будет инерциальной системой; если сумма внешних сил, приложенных ко всем частицам системы, неравна нулю, то G a C ≠ 0 и центр масс будет двигаться с ускорением относительно инерциальной системы отсчета, те. Ц-система будет неинерциальной системой. Так как система координат в Ц-сис- теме жестко связана с центром масс, то, очевидно, СЦ 0 r ≡ G , СЦ 0 v ≡ G и СЦ 0 a ≡ G . (4.35) C r G z O y x С C v G Рис. 4.10 4.6. Ц-система 257 258 Глава 4. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА Следовательно, суммарный импульс системы частиц в Ц-систе- ме (4.32) Ц СЦ p mv = ≡ G G 0. Уравнения моментов системы и уравнение моментов системы относительно оси (4.23, 4.26) в соответствии с принципом относительности Галилея инвариантны относительно преобразования Галилея, те. имеют одинаковый вид в любой инерциальной системе отсчета. Рассматривая моменты импульса и сил системы частиц относительно движущегося начала (точки) и движущейся оси, можно показать, что уравнения моментов и их проекций на ось остаются инвариантными (неизменными) и при переходе из инерциальной системы отсчета в Ц-систему, которая может быть как инерциальной таки неинерциальной. Таким образом, имеют место равенства Ц внеш Ц dL M dt = G G , (4.37) Ц внеш Ц z z dL M dt = , (где Ц L G , внеш Ц M G – момент импульса системы частиц и сумма моментов внешних сил, рассчитанных относительно центра масс системы, который в общем случае не является неподвижным. АБСОЛЮТНО ТВЕРДОЕ ТЕЛО. РАВНОДЕЙСТВУЮЩАЯ СИЛ, ПРИЛОЖЕННЫХ К ТВЕРДОМУ ТЕЛУ. РАВНОДЕЙСТВУЮЩАЯ СИЛ ТЯЖЕСТИ Рассмотрим частный случай — систему частиц с абсолютно жесткими связями. Модель такой системы — абсолютно твердое тело рис. 4.11). Следствием абсолютной твердости (жесткости) связей является неизменность расстояний между любыми двумя частицами и размеров всего тела при произвольном воздействии на систему (те. отсутствие деформаций, а значит и внутренних сил. Следовательно, абсолютно твердое тело — модель макроскопического тела, размерами которого в рамках данной задачи нельзя пренебречь, но можно пренебречь изменениями этих размеров, те. деформациями. При замене дискретной системы частиц на непрерывную неизменным остается расстояние между любыми двумя точками абсолютно твердого тела. Далее вместо термина абсолютно твердое тело используется термин твердое тело. Если система частиц представляет собой одно твердое тело, то индекс внеш ни у сил, ни у их моментов указываться не будет, так как для одного твердого тела все силы внешние. внеш 1 F G 1 2 a a a $ – деформация Дискретная система Непрерывная система $ внеш 1 F G 1 f G 2 f G 1 a 2 a 12 f G 21 f G Твердое тело Рис. Назовем равнодействующей сил, приложенных к твердому телу силу равн F G (рис. 4.12): 1 F G равн F G 2 F G 2 M G 1 M G равн M G равн F G равн M G r G 1 F G 2 F G 2 r G 1 r G 1 M G 2 M G Рис. равную сумме сил, действующих на твердое тело равн 1 i i F F = = ∑ G G , (4.39) 4.7. Абсолютно твердое тело. Равнодействующая сил. 259 260 Глава 4. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА момент которой относительно произвольной точки О равен сумме моментов всех сил относительно этой точки равн равн 1 1 [ , ] [ , ] i i i i i M r F r F M = = = = = ∑ ∑ G G G G G G . (Здесь G r i — радиус-вектор i частицы (точки) тела, к которой приложена сила G F i относительно точки О, G r – неизвестный радиус-вектор точки приложения равнодействующей силы относительно точки О. В общем случае совокупность сил, приложенных к твердому телу, может не иметь равнодействующей силы. Это значит, что не существует одной силы, которой можно заменить действие всех приложенных сил. Простейшим примером является действие на твердое тело пары сил, те. одинаковых по модулю, но противоположных по направлению сил, приложенных к разным частицам (точкам) тела. (рис. 4.13). Их сумма Результатом воздействия на тело пары сил является его вращение. Очевидно, что действие нулевой силы, те. отсутствие какого- либо воздействия на систему, неэквивалентно действию двух указанных выше сил. Отметим, что для сил, приложенных код- ной частице (4.8), равнодействующая сила существует всегда. Рассчитаем равнодействующую параллельных сил. Например сил тяжести твердого тела, представляющего собой дискретную систему частиц с абсолютно жесткими связями. Найдем модуль, направление и точку приложения равнодействующей (рис. 4.14). По определению (4.39–4.40) равн 1 i i i i F F m g mg = = = = ∑ ∑ G G G G , F F 1 G G F F 2 G G g m F G G g m i G С Рис. Рис. 4.14 равн равн [ , ] [ , ] M r F r mg = = G G G G G , (где m i – масса i частицы, m – масса системы частиц, G r — радиус-век- тор неизвестной точки приложения равнодействующей силы. С другой стороны, равн 1 1 1 1 [ , ] [ , ] [( ), ] i i i i i i i i i i i M M r F r m g m r g = = = = = = = = ∑ ∑ ∑ ∑ G G G G G G G G Радиус-вектор центра масс системы по определению (4.28) равен r C i Умножим и поделим выражение для равн M G на m. Тогда равн 1 1 1 [( ), ] [( ), ] [ , ] i i i i C i i M m r g m r mg r mg m = = = = = ∑ ∑ G G G G G G G . (Приравнивая (4.39) и (4.40), получаем , ] [ , ] G G G G r mg r Решением этого уравнения является вектор G G G r r g C = + ⋅ const Если повернуть все силы тяжести относительно точек их приложения на один и тот же угол, тоновая равнодействующая сила будет направлена в другую сторону. Можно показать, что все так полученные равнодействующие силы тяжести имеют одну общую точку приложения G G r r C = , те. равнодействующая сил тяжести приложена к центру масс системы. Точка, к которой приложена равнодействующая сил тяжести, называется центром тяжести системы. Следовательно, центр масс (инерции) и центр тяжести совпадают совпадение следствие приближения неизменности ускорения свободного падения в точках пространства, занятого системой частиц. Рассчитаем сумму моментов сил тяжести, приложенных к системе, относительно ее центра масс с учетом того, что СЦ r = G 0 (4.35). Ц Ц Ц Ц Ц 1 1 1 1 СЦ [ , ] [ , ] [ , ] [ , ] [0, ] 0. i i i i i i i i i i i m r m r M M r m g mg mg m m r mg mg = = = = = = = = = = = = ∑ ∑ ∑ ∑ G G G G G G G G G G G (4.41) 4.7. Абсолютно твердое тело. Равнодействующая сил. 261 262 Глава 4. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА Таким образом сумма моментов сил тяжести относительно центра масс твердого тела (те. в Ц-системе) равна нулю. Это равенство сохраняется при любом повороте твердого тела вокруг точки центра масс. Данное утверждение справедливо и для непрерывных твердых тел. Вопросы и задания для самопроверки. Дайте определение Ц-системы отсчета. Чему равны радиус-вектор G r C , скорость и ускорение центра масс механической системы в Ц-системе отсчета. Дайте определение равнодействующей сил, приложенных каб- солютно твердому телу. К какой точке абсолютно твердого тела приложена равнодействующая сил тяжести? Примеры решения задач Задача К концам горизонтального стержня длиной L = 1 ми массой кг подвешены два груза массами m 1 = 1 кг и m 2 = 3 кг. На каком расстоянии x от большей массы находится центр тяжести системы? Дано: L = 1 мкг кг m 2 = 3 кг. Найти: Выберем произвольно (например, на стержне) точку Си будем считать, что центр тяжести системы находится в этой точке. Тогда (4.41) сумма моментов сил тяжести всех частей системы относительно точки С равна нулю, т. е. Ц 1Ц Ц 2Ц 1 0 i i M M M M = = + + = ∑ G G G G . (1) L x C g m 1 G g m G g m 2 G 2 / L 2 r G 1 r G 1Ц M G Ц M G r G g m G 1 r G g m 1 G g m 2 G 2 r G 2Ц M G О r G Направление векторов определяем по поступательному движению правого винта, вращая его от радиус-вектора к вектору силы (4.3), а модули — из (4.5). Следовательно, 1Ц Ц М M ↑↑ G G и 1 2 , Ц Ц Ц M M M ⊥ G G G . (Модули векторов (4.5) равны соответственно 1 1 1 sin / Ц gr m g x = π = + , sin / Ц, (3) 2 2 2 2 sin / Ц gr m Сумма трех векторов 1 , Ц Ц M M G G и Ц, лежащих на одной прямой, равна нулю, только если 2 Ц Ц Ц M M M + = . (Подставляя в (4) значения модулей векторов из (3), получаем уравнение. (Раскрывая скобки и перенося выражения, содержащие неизвестное в левую часть уравнения, определяем x m g L m gx 1 1 2 + + mg L mgx 2 − = m или ( m 1 + m ) = ( ) m m m 2 им. Ответ x = + − + = m m m m m L 1 2 1 2 0,375 м. Абсолютно твердое тело. Равнодействующая сил. 263 264 Глава 4. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА. СПОСОБЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КООРДИНАТ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ ТВЕРДОГО ТЕЛА. Симметрия Если однородное тело имеет плоскость, ось или центр симметрии, то его центр тяжести лежит соответственно в плоскости, на оси или в центре симметрии рис. 4.15). С Отрезок прямой Прямоугольник с вырезом Эллипс с вырезом С С С Равносторонний треугольник Цилиндр С Шар С Рис. 4.15 2. Разбиение Если твердое тело можно разбить наконечное число таких частей, для каждой из которых положение центра тяжести известно, то координаты центра тяжести всего тела можно непосредственно вычислить по формулам (4.28). При этом число слагаемых в каждой из сумм будет равно числу частей, на которые разбито тело. Задача Дана однородная плоская фигура ABDE- FKLMN, состоящая из трех прямоугольников. Известны длины сторон всех прямоугольников, а значит, и координаты их центров симметрии. х С 1 4 2 3 4 2 –2 6 C Найти координаты центра тяжести фигуры. Дано: ABDO, OEFN, FKLM – прямоугольники АВ = 1 мм Ом мм м. Найти: x C , Определим координаты центров симметрии и площади прямоугольников, образующих фигуру ABDEFKLMN. x 1 = –1 мм мм мм мм м = S 1 + S 2 + S 3 = 2 + 8 + 8 = 18 м 2 Получим формулы для определения координат центра тяжести произвольной фигуры, которую можно разбить на части, центры тяжести которых известны. Умножим числитель и знаменатель в правых частях выражения (4.28) на g x mg m gx C i i i = ∑ 1 , y mg m gy C i i i = ∑ 1 , z mg m gz C i i i = ∑ 1 . (Так как фигура однородна, то введем плотность единицы площади фигуры σ [кг/м 2 ]. Тогда σ , (2) m S = σ , (где m m i i = ∑ – вся масса и S S i i = ∑ – вся площадь фигуры. Подставляя) ив, получим gx Sg S gx g Sg S x S x S C i i i i i i i i i i i i = = = = ∑ ∑ ∑ ∑ 1 1 σ σ σ σ (4) y mg m gy Sg S gy g Sg S y S y S C i i i i i i i i i i i i = = = = ∑ ∑ ∑ ∑ 1 1 σ σ σ σ , (где ( x y i i , ) — координаты центра тяжести i части фигуры. Подставляя в (4.45) и (4.46) условия примера, получим координаты центра тяжести фигуры ABDEFKLMN: x S x S x S x S C = + + = − + ⋅ + ⋅ = = 1 1 2 2 3 3 2 1 8 1 8 4 18 38 18 2 1 9 ( м. Способы определения координат центра тяжести твердого тела 265 266 Глава 4. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА y S y S y S C = + + = ⋅ + ⋅ + ⋅ = = 1 1 2 2 3 3 2 0 5 8 2 8 3 18 41 18 2 5 18 , м, где S 1 , S 2 , S 3 – площади первой, второй и третьей части фигуры, S = = S 1 + S 2 + Ответ x S x S x S x S C = + + = 1 1 2 2 3 3 2 1 9 мм. Дополнение Этот способ является частным случаем способа разбиения. Он применяется к телам, имеющим вырезы, если центры тяжести твердых тел без выреза и вырезанной части известны. |